《利用导数求参数范围》复习课

小结：已知函数的单调性，求参数的取值范围，转化为 f′(x)≥0[或f′(x)≤0，x∈(a，b)]恒成立或有解，求出参数 的范围。
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总结3、 分离参数法 • 恒成立问题和存在性问题求参数范围时，当
参数的系数符号确定时，可以先考虑分离参 数，进而求另一边函数的最值。
• （1）若a＞f(x)恒成立，即a＞f(x)max，
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解、(2) f′(x)＝2x＋a－1.
x
∵f(x)在区间(0,1]上存在递增区间∴f′(x) 0 在 x∈(0,1]有解
即 2x＋a－1x 0 在 x∈(0,1]有解∴a 1x－2x 在 x∈(0,1]有解
令
g(x)＝1－2x，∴a x
g(x)min，
易知 g(x)在(0,1]单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a －1.
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• 变式、已知函数f(x)＝x3－3x＋2， • g(x) ＝ － x2 ＋ 2x ＋ m ， 若 对 任 意 x1∈[0,2] ， 均 存 在
x2∈[0,2]，使得f(x1)＜g(x2)．求实数m的取值范围．
解、f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． ∴f(x)在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， ∵f(0)＝2＜f(2)＝4，∴f(x)max＝4. 又g(x)＝－x2＋2x＋m在区间[0,2]上，g(x)max＝g(1)＝m＋1， 由已知对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＜g(x)2，则 有f(x)max＜g(x)max. 则4＜m＋1，∴m＞3. 故实数m的取值范围是(3，＋∞).
《利用导数求参数范围》 复习课
• 高考定位：不等式恒成立问题（任意性）与 能成立问题（存在性）是历年高考的亮点； 单变量的任意性和存在性问题已经向双变量 发展；利用函数导数的单调性、极值、最值 求参数的取值范围是近几年高考命题的重点 ，试题难度较大。
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学习目标：
1.会利用导数求参数在区间上时参数取值范围。 2.会利用导数求参数在函数表达式上时参数取值范围。
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类型（一）：求参数放在区间上时参数的取值范围
问1 ： 题在 (a,区 b)内 f(间 x)0
f (x)单调递增
f (x)在(a,b)上单调递增 f(x)0在 (a,b)上恒成立
f(x)的图像 x轴 始 上 (x终 轴 方 在 上
问2 ： 题 f(x)的增(a 区 ,b)又 ,f间 (x)在 (是 c,d)上是 增函数 (c,d)(a,b)
∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x2－2x＋1.
∴g(x)＝ex－3，h(x)＝－x2－2x＋1.
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(2)设φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x2＋(a－2)x＋6， F(x)＝g(x)－xg(x)＝ex－3－x(ex－3)＝(1－x)ex＋3x－3. 依题意知：当x∈[－1,1]时，φ(x)min≥F(x)max. ∵F′(x)＝－ex＋(1－x)ex＋3＝－xex＋3，易知F′(x)在[－ 1,1]上单调递减， ∴F′(x)min＝F′(1)＝3－e＞0， ∴F(x)在[－1,1]上单调递增， ∴F(x)max＝F(1)＝0. ∴φφ－ 1＝1＝ a＋7－3≥a≥ 0，0， 解得－3≤a≤7. ∴实数 a 的取值范围为[－3,7]．
解、(1)f′(x)＝2x＋a－1.
x ∵f(x)在区间(0,1]上是减函数∴f′(x)≤0 对任意 x∈(0,1]恒成立，
即 2x＋a－1x≤0 对任意 x∈(0,1]恒成立，
∴a≤1－2x 对任意 x∈(0,1]恒成立． xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令 g(x)＝1x－2x，∴a≤g(x)min， 易知 g(x)在(0,1]单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a≤－1.
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1、利用方程根的分布求参数取值范围
例 2、已知 f(x函 )x数 33ax23x1在2 （ ,3）中 至少有一个极 a的值 取点 值， 范求 围 解析 f(： x)3x26ax3在2（ ,3）内有变号零
2
3
(1)有且仅有一零点
f(2)f(3)0
(2)有两变号零点
2a3 36 a 2 4 9 0 f (2) 0 f (3) 0
解得 5 a 5
4
3
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总结2： 能够利用方程根的分布求参数取值范围，通
常其导数 f(x)0 是二次方程或 可化为二次方程
的形式，要从对称轴、判别式、区间端点的函数值几 方面来考虑。
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2、利用函数的单调性、极值---构造新函数求参数 的取值范围 例3 函数f(x)＝x2＋ax－ln x(a∈R)．（1）若f(x)在区间 (0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．（2）若f(x)在 间(0,1]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
f′(x)＝2ax－ex＝0，显然 x≠0，故 2a＝ex. x
令
h(x)＝ex，则 x
h′(x)＝
x－1 x2
ex.
若 x＜0，则 h(x)单调递减，且 h(x)＜0.
若 x＞0，当 0＜x＜1 时，h′(x)＜0，h(x)在(0,1)上递减，
当 x＞1，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)min＝h(1)＝e.
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• 总结4 • 含参数的不等式恒成立、存在性问题 • (1)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立
⇔f(x)min≥g(x)min； • (2)∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，都有f(x1)≥g(x2)成
立⇔f(x)min≥g(x)max； • (3)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立
要使 f(x)有两个极值点，则 2a＝ex在(0，＋∞)上有两个不同解， x
故
2a＞e，即
a＞2e，故
a
的取值范围为
e，＋∞ 2
.
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3、利用最值思想求参数范围
例 4、定义在 R 上的函数 g(x)及二次函数 h(x)满足： g(x)＋2g(－x)＝ex＋e2x－9，h(－2)＝h(0)＝1 且 h(－3)＝－2. (1)求 g(x)和 h(x)的解析式； (2)对于∀x1，x2∈[－1,1]均有 h(x1)＋ax1＋5≥g(x2)－x2g(x2)成 立，求 a 的取值范围．
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解 (1)∵g(x)＋2g(－x)＝ex＋e2x－9，
①
g(－x)＋2g(x)＝e－x＋e2－x－9，即 g(－x)＋2g(x)＝2ex＋e1x－9，②
由①②联立解得：g(x)＝ex－3.
∵h(x)是二次函数，且 h(－2)＝h(0)＝1，
可设 h(x)＝ax(x＋2)＋1.
由 h(－3)＝－2，解得 a＝－1，
⇔f(x)max≥g(x)min； • (4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，有f(x1)≥g(x2)成立
⇔f(x)max≥g(x)max.
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汇报结束
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类型（一）：求参数放在区间上时参数的取值范围 例１.已知 f (x) x3 3x2 9x
在区间 (a, 2a 1) 上单调递减，求则 a 的取值范围
解：f (x) 3x2 6x 9 0，解得 -1 x 3,即f (x)的单调减区间为 （-1,3）， （a,2a 1) (1,3),即 a 1且2a 1 3，解得a 2
总结1：若函数f(x)（不含参数）在（a,b)（含参数） 上单调递增（递减），则可解出函数f(x)的单调区间是
（c,d),则 (a,b)(c,d)
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类型（二）：求参数放在函数表达式上时参数的取值范围 常见类型 • 1、利用方程根的分布求参数取值范围
2、利用函数的单调性、极值情况求参数范围 3、分离参数构造新函数法求参数范围 4、恒成立与存在性问题利用最值思想求参 数范围
• 若a≤ f(x)恒成立，即a≤ f(x)min. • （2）若a＜f(x)有解，即a＜f(x)max，
• 若af(x)有解，即af(x)min.
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变式：已知函数f(x)＝ax2－ex，a∈R.若f(x)有两个 极值点x1，x2(x1＜x2)，求实数a的取值范围．
解 若 f(x)有两个极值点，则方程 f′(x)＝0 的两个根．