一,齐次线性方程组解的性质

方程组的一个解. 再作 1 ,2 , ,nr 的线性组合 ,
r11 r22 nnr
由于 1 ,2 , ,nr 是Ax 0 的解,故 也是Ax 0的
解.
下面来证明 .
r11 r22 nnr
b11
b12
b1,nr c1
br
1
(1)证明1,2 , ,n 线性无关.
由于 n r 个 n r 维向量 线性无关，
1 0
0
0,
1,
,
0
0 0
1
所以 n r 个 n 维向量 1 ,2 , ,nr 亦线性无关.
(2)证明解空间的任一解都可由 1,2 , ,nr
线性表示.
设x 1 r r1 n T 为上述
故得基础解系
1 2 1 2
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
证明 A A A 0 b b,
所以x 是方程 Ax b的解.
,
线
n
性
表
示;
向量组1, 2 ,
,
与向量
n
组1
,
2
,
, n , b等价;
矩阵A 1,2 , ,n 与矩阵B 1,2 , ,n , b
的秩相等.
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
（2）利用初等变换
３．若1 ,2 , ,nr 是Ax 0 的基础解系，则
其通解为
x k11 k22 knrnr .
其中k1 , k2 , , knr是任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所 构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩
R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r. 当R( A) n时,方程组只有零解,故没有基础解
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x k11 knrnr . 其中 k11 knrnr 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特
解.
３．与方程组 Ax b有解等价的命题
线性方程组 Ax b有解
向量b能由向量组1 , 2 ,
3 7 4 7,
7 7 3 1 0 0 0
0
便得
x1 x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 , x4 .
令 x3 1及 0, 对应有 x1 2 7及 3 7,
x4 0 1
x2 5 7 4 7
2 7
3 7
即得基础解系
1
57 1
,
2
47 0
,
0
br
2
br
,n
r
cr
r1 1 r2 0 n 0 r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1
b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法．
x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn 0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
若记
（1）
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间); 当R( A) r n时,方程组必有含n r个向量的
基础解系 1, 2 , , nr ,此时,方程组的解可表示为
x k1 1 k2 2 knr nr ,
其中k1, , knr 为任意实数,解空间可表示为
S x k1 1 knr nr k1, , knr R .
, .
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
br 1
1 1 ,
0
0
b12
b1,nr
br
2
br
,n r
2 0 , , nr 0 .
1
0
0
1
下面证明 1 ,2 , ,nr 是齐次线性方程组解空 间的一个基．
xr1 1
xr2
0
,
xn 0
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1
b11 xr1
b1,n
r xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
x1 b11 b12
依次得 , ,
xr br1 br 2
b1,nr
1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
0 0 0 0 0
可见R( A) R(B) 2,故方程组有解,并有
x1 x2 x4 1 2,
x3
2 x4 1 2.
取 x2
x4
0, 则 x1
x3
1 ,即得方程组的一个解 2
3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0
解 对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3
A
2 1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1 1 1 4 3 1 1 1 4 3
~
0 0
1 2
1 2
3 6
1 2
~
0 0
1 0
1 0
3 0
1 0
0 2 2 6 2 0 0 0 0 0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量.
令
x3 x4
1 0
,
x5 0
0 1, 0
0 0 1
.
代入
x1
x2 x2
x3 4x4 3 x3 3x4 x5
x5
依次得 x1 2, 1 , 2. x2 1 3 1
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
1,2 , ,t称为齐次线性方程组Ax 0的基础
解系, 如果
(1)1 ,2 , ,t是Ax 0的一组线性无关的解; (2)Ax 0的任一解都可由1,2 , ,t线性表
出.
如果1 ,2 , ,t为齐次线性方程组 Ax 0
的一组基础解系,那么, Ax 0 的通解可表示为
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn 0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
若记
（1）
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
则上述方程组（1）可写成向量方程
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
2
1
3
1
1
1
,
0
0
2
0
,
1
0
3
0Βιβλιοθήκη Baidu
0
1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数 .
例3 证明R( AT A) R( A).
证 设A为m n矩阵, x为n维列向量. 若x满足Ax 0,则有 AT ( Ax) 0,即
0
0
1 0 b11 b1,nr x1 x2
0 Ax 0
1
br1
br
,nr
0
0 0
0
0
xn
x1
b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
现对xr1 , , xn 取下列 n r 组数：
x1 2 x2
x2 x3
x3 2x4
x4 x5 6x5
7 23
求基础解系
令
x3 1 0 0 x4 0, 1, 0.
x5 0 0 1
代入
x1 2 x2
x2 x3
x3 x4 x5 2x4 6x5
7 23
依次得
x1 1 2, 0 , 2 . x2 1 2 1 3
1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2 x3 x4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
,
(c1
,
c2
R).
例2 解线性方程组
x1 x2 x3 4 x4 3 x5 0
2
x1 x1
x2 x2
3 x3 3 x3
5 x4 2 x4
5x5 0 x5 0
例1 求齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩 阵，有
1 A 2
1 5
1 3
1 2
~
1 0
0 1
2 7 5 7
( AT A)x 0; 若x满足( AT A)x 0,则 xT ( AT A)x 0,即
( Ax)T ( Ax) 0,从而推知Ax 0. 综上可知方程组Ax 0与( AT A)x 0同解,
因此 R( AT A) R( A).
三、非齐次线性方程组解的性质
１．非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
x3 x4
c1
1 0 0
c2
0 2 1
0 12
,
(c1
,
c2
0
R).
例5 求下述方程组的解
x1 x2 x3 x4 x5 7,
3x1 2x2
x2 2x3 x3 2x4
x4 6x5
3x5 23,
2,
8 x1 3 x2 4 x3 3 x4 x5 12.
所以与都是此方程组的解 ,
1
c 1
r
由
r 1
r2
c r
r1
r2
1 c1 , ,r cr .
n
n
故 . 即 r11 r22 nnr .
所以1 , ,nr 是齐次线性方程组解空间的一个基.
说明 １．解空间的基不是唯一的．
２．解空间的基又称为方程组的基础解系．
1 2
0 12
.
0
在对应的齐次线性方程组
x1 x3
x
2
x4 ,中, 2 x4
取
x2 1及 0, 则 x1 1及 1, x4 0 1 x3 0 2
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
1
1
1 0
,
0
1
2
0 2
,
1
于是所求通解为
x1 1 1 1 2
x2
x k11 k22 ktt
其中k1 , k2 , , knr是任意常数.
２．线性方程组基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1 0 b11 b1,nr
0 A~
1
br1
br ,n r
0 0
1 1 1 1 1 7
解
B
3 0
1 2
2 1
1 2
3 6
2 23
8 3 4 3 1 12
1 1 1 1 1 7
~
0 0
2 0
1 0
2 0
6 0
23 0
0 0 0 0 0 0
由RA RB,知方程组有解.又RA 2,n r 3,
所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组
证明 A1 0, A2 0
A1 2 A1 A2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
证明 Ak1 kA1 k0 0.
证毕.
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax 0 的解空间．
Ax 0. 若 x1 11 , x2 21 , , xn n1 为方程 Ax 0 的
解，则
11
x
1
21
n1
称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．
２．齐次线性方程组解的性质
（1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.