向量代数与空间解析几何-空间直线及其方程
(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)(最新整理)
形对角线的交点（。见图 7－5）
图 7－4
解： a
b
AC
2
AM
，于是
MA
1
(a
b)
2
由于 MC MA ，
于是
MC
1
(a
b)
2
又由于
a
b
BD
2 MD
，于是
MD
1
(b
a)
2
由于 MB MD ，
于是
MB
1
(b
a)
2
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
五、向量的模、方向角、投影
设 a {ax , a y , az } ，可以用它与三个坐
标轴的夹角、、 （均大于等于 0，小
5
于等于 ）来表示它的方向，称、、 为非零向量 a 的方向角，见图 7－6，其余弦表示
形式cos、cos 、cos 称为方向余弦。
1． 模
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
2． 方向余弦
PP1 x2 2 2 32 x2 11 PP2 x2 12 12 x2 2
PP为： (1,0,0) ， (1,0,0)
四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向 量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的 点与有序数组之间建立了一一对应关 系，同样地，为了沟通数与向量的研 究，需要建立向量与有序数之间的对 应关系。
◆ 任意向量的方向余弦有性质： cos2 cos2 cos2 1
◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为：
a 0 a 1 {a x , a y , a z } {cos, cos , cos } aa
向量代数与空间解析几何(18)
m
n
p
s {m, n, p},
: Ax By Cz D 0, n {A, B,C},
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
20
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
y
x
• ••
L
24
旋转曲面方程
总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 :
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可.
25
如 yOz坐标面上的已知曲线f ( y, z) 0 绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程:
第六章 向量代数与空间解析 几何(二)
主要内容 典型例题 堂上练习题
小结
1
一、主要内容
第4节 平面的方程
关键确定平面的法向量
一、平面的点法式方程
经过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 法向量为 n {A, B, C} 的平面的点法式方程为:
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
z
O
y
x
28
z
5. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
6. 单叶双曲面
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
7. 双z叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x
y
z
[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.
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定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
例如， 直线 L1 : s1 = (1,−4, 0), 直线 L2 : s2 = (0,0,1),
∵ s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
例4
求过点 ( −3, 2, 5) 且与两平面 x − 4 z = 3 和
2 x − y − 5 z = 1的交线平行的直线方程.
x
s = ( m , n, p ), M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x0 y − y0 z − z0 直线的对称式方程 = = m n p （点向式方程）
注 : 当方向向量的某个坐标 为零时，比如 m = 0 ,n ≠ 0 ,p ≠ 0时，方程仍然写为 x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = n p 0 ⎧ x − x0 = 0 ⎪ 此时理解为二平面的交 线⎨ y − y0 z − z0 ⎪ n = p ⎩
x −1 y +1 z − 3 L: = = , 相交的直线方程. −5 3 2 L
分析: 关键是求得直线上另外 M • P1 一个点 M1. M1在过M且平行 于 平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点. 解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1
第七章第三节空间平面与直线及其方程
A 4C 0 , 即 A 4C ,
代入所设方程并消去C (C 0) , 得所求的平面方程为
4x z 0 .
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
三、空间直线的方程
1.空间直线的点向式方程与参数方程 (1) 直线的方向向量的定义 与直线平行的非零向量， 称为这条直线的一个方向向量． 直线的方向向量有无数多个.
i 1 0 j 1 1 k 0 1
n
M1
M3 M2
(1 , 1 , 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程为：
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.1 求过三点
的平面 的方程.
解: 平面 的法向量垂直于该平面内任一向量， 于是可取平面 的法向量为：
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.2 设一平面与
轴的交点分别为
R(0,0, c ) （其中 a 0，b 0，c 0 )， 求该平面的方程.
分析： 可用平面的一般方程做 或平面的点法式方程做. 解： 设平面的方程为
Ax By Cz D 0,
x x0 y y0 n m 得 y y0 z z0 p n
法2： 先找直线上两点A, B; AB 就是直线的方向向量.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.3 空间平面与空间直线及其方程
例7.3.5 用点向式方程及参数方程表示直线
分析： 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 解: 先在直线上找一点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) . y0 z 0 1 0 , 令 x0 0 , 代入原方程组得 2 y0 z 0 1 0 ,
《高等数学》各章知识点总结——第6章
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
空间解析几何.pdf
第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。
模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。
向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。
向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。
向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。
（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。
向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。
利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。
4空间直线及其方程
l ' l'
: 2x + y + 2z = 0
'：
即
x y 1 ( y z 1) 0 ,
x z 2 0.
故: 投影直线l':
xz 2 = 0 2x+y +2z = 0
作业
P33.2. 3. 5. 10. 11
3 2 3 2
(x – y + z – 1) = 0
即：5x – y + z – 3 = 0
例7 .求直线 l :
x + y 1=0,
y + z + 1=0.
在平面 : 2x + y + 2z = 0
l ' l'
上的投影直线方程. 解：设投影直线为l'，则由l与 l'决定的平面'与平面垂直。
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与 空间解析几何
空间直线及其方程
§4
空间直线及其方程
一. 空间直线的方程
(一).空间直线的一般方程 空间直线可看成是两个不平行平面1与 2 的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( 为任意实数 .)
过直线 l 与点 p0 的平面为:
(A x B y C z D )
1 1 1 1
Ax B y C z D
1 0 1 0 1 0
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
第七章 向量代数与空间解析几何 第4节 平面与直线
( 3) A = B = 0 , 平面平行于 xoy 坐标面； 坐标面；
类似地可讨论 A = C = 0 , B = C = 0 情形 .
例3 设平面过原点及点 (6 , − 3 , 2) , 且与平面
4 x − y + 2z = 8
求此平面方程. 垂直 , 求此平面方程. 解 设平面为 Ax + By + Cz + D = 0 , 由平面过原点知
两平面平行但不重合 .
2 −1 −1 , 两平面平行 = = ( 3) Q 2 −4 2 Q M (1 , 1 , 0) ∈ Π 1 , M (1 , 1 , 0) ∈ Π 2
两平面重合. ∴ 两平面重合.
例7 设 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 是平面 Ax + By + Cz + D = 0 外一点， 到平面的距离. 外一点，求 P0 到平面的距离. 解 ∀ P1 ( x1 , y1 , z1 ) ∈ Π
已知平面上的一个点为 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , 设平面上的任一点为 M ( x , y , z ) , r r 必有 M 0 M ⊥ n ⇒ M 0 M ⋅ n = 0 .
Q M 0 M = { x − x 0 , y − y0 , z − z 0 }
∴ A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
c
y
o
b
x
a
⇒
D D D A=− , B=− , C =− . a b c
D D D 将 A = − , B = − , C = − , 代入所设方程得 a b c
7(6)空间直线及其方程
解令
x2 1
y3 1
z4 2
t
x 2 t y 3t z 4 2t
代入平面方程, 得
2 ( 2 t ) ( 3 t ) ( 4 2 t ) 6 0 t 1 再代入
得 x 1, y 2 , z 2 .
2
2
2
两直线的夹角公式
17
空间直线及其方程
两直线的位置关系: (两直线垂直、平行的条件)
L 1 : s 1 ( m 1 , n 1 , p 1 ), L2 : s2 ( m 2 , n2 , p2 )
(1 ) (2)
L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , L1
令
x x0
m n x x 0 mt 故 y y 0 nt z z pt 0
直线的参数方程
直线方程的几种形式可以互相转换.
4
空间直线及其方程
x x0 m
过两点作直线
y y0 n
z z0 p
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程. 解 向量 M 1 M 2 与直线平行
则直线的一个方向向量为:
M 1M
2
( x 2 x 1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
于是对称式方程可写成:
x x1 x 2 x1 y y1 y 2 y1 z z1 z 2 z1
6
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相交
3 8 z 3 x 2 y 0 1 0 x ,y 7 7 z 2x y 0 2 0
8.2空间解析几何与向量代数 直线方程(3)
=
0 即 方程为
=
=
5 平面外一点到平面的距离 如图
M0 N
M
1
设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则 平面上点M1(x1, y1, z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0. 由于 M0N 为之法向.故 M0N // (A, B, C).
M2(1, 1, 1) 且与
平面1：x+y+z=0 垂直， 求平面 . 设 1 法向 n1=(1, 1, 1). 则 平面 // n1 . 而 过点M1, M2. 故 平面 // M1M2 .
M2
= =
重合
n1
M1
因此，平面 n1M1M2 . 即 的法向 n =n1M1M2 .
n
即
即
点到平面的 距离公式
3
王毅教案
二、 空间直线及其关系
例6 求 M0(x0, y0, z0) 到 xy 平面的距离. 解：xy平面：z=0. 1 空间直线的一般方程 上述直线也等价于
故
空间上任何两个不平行的平面的交点在一 条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两 条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程 组表示
z=0
例4 设平面 与 x, y, z 轴分别交于 P (p, 0, 0), Q(0, q, 0), R (0, 0, r)，求 的方程, 其中p, q, r 非零. 解：设平面 为方程 A x + B y + C z + D = 0. 则 A p+D = B q + D = C r + D = 0.
1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0.
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。
以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。
2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。
二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。
2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。
三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。
2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。
四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。
2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。
空间直线的点向式方程
14 . 2
1 t . 2
二、空间直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0, 表示这两个 方程组 A2 x B2 y C2 z D2 0
s m , n , p n 1 n 2 3 1 5 1 2 3 7i 14 j 7k ,
i
j
k
因此所求的直线方程为
x 1 y 3 z 2 , 7 14 7
即
x 1 y 3 z 2 . 1 2 1
x 1 t, 例 4 求 直 线 y 2 t , 与平面 2x + y z 5 = 0 z 3 2t 的交点.
0
一、空间直线的点向式方程和参数方程
由两向量平行的充要条件可知
x x 0 y y0 z z 0 . m n p
方程组 ① 称为直线的点向式方 程或标准方程 (当 m，n，p 中 有一个或两个为零时， 就理解 为相应的分子是零).
①
z
s
L M
M0 y x
若直线 L 的方程为 x x0 y y0 z z 0 , m n p
解 令 z = 0 代入原方程得 x = 2， y = 0， 即点 ( 2, 0, 0 )在直线上. 因为 s 分别垂直于两平面的法向量 n1 = 1, 1, 2， n2 = 2, 1, 3. 所以
i j k
s n1 n 2 1
1 1 4i j 3k , 2 1 3
显然 P 点的坐标应 解 设所求交点为 P(x, y, z)， 同时满足已知的直线方程与平面方程. 解方程组
同济高等数学下册第八章知识点精讲
总之:
运算律 : 结合律 分配律
可见
因此
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设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则
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求三
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导出刚体上
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使
其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
且
符合右手法则
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1. 定义 已知三向量
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两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角. 设平面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角 的余弦为
即
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和 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 设所求平面的法向量为 方程为
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y轴(纵轴)
x轴(横轴) Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
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点M
有序数组
向径
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
第七章空间解析几何第7节直线及其方程
投影直线为
小结
空间平面
一般形式 (三元一次方程) Ax+By+Cz+D=0. 法点式 n M 0 M 0
x y z 1. 截距式 p q r
空间直线
交面式 (一般形式)： 三元一次方程组. x x0 y y 0 z z 0 对称式: s M 0 M 0, 即 m n p 参数形式:
x3 y 3 z 故直线方程为 . 2 2 2
例6. 求直线 l1: x+y1=0, y+z+1=0, 在平面 : 2x+y+2z = 0 上的投影直线的方程. 解：直线l1的方向
s1 1 1 0 i j k =(1, 1, 1). 0 1 1
i
j
k
再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解
即
x 1 y z 1 . 1 4 1
l1
M1
n
M0
思想：
求直线与 交点M0； 求直线上平面 外一点M1 ； 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ; 求 l2 与 的交点M2 ；
求过M0，M2 的投影直线方程.
事实上，我们利用了直线的另外一种表达式 两点式
x 0 y 1 z 2 t. 2 1 2
设 l2 与 交点为M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足
22t +1+t+2(2+2t )=0 1 t 3 2 4 4 ). 得交点 M2(x2, y2, z2) ( , , 3 3 3 所求直线方程为 x 1 y 0 z 1 , 2 4 4 1 0 1 3 3 3
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
6、向量代数与空间解析几何
2.平面方程 (1) 一般式 Ax + By + Cz + D = 0. (2) 点法式 A(x - x0) +B (y - y0) +C (z - z0) = 0. (3) 截距式 x y z 1.
a bc (4) 三点式 过M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), 的平面方程为
1 2
例6-25 若椭圆抛物面的顶点在原点, z轴是它的轴, 且点A(-1, -2, 2)和B(1, 1, 1)在该曲面上, 求此曲面方程.
例6-26
求通过直线
L:
2xy0, 4x2y3z 6,
且切于球面
x2+y2+z2=4的平面方程.
x2 y2
例6-27
求以A(0,0,1)为顶点,
例6-23 一条直线通过坐标原点, 且和连接原点与点
(1, 1, 1)的直线成45角. 求此直线上点的坐标满足的关
系式.
例6-24 求曲线
9 x 2 6 x y 2 x z 2 4 x 9 y 3 z 6 3 0 , 2 x 3 y z 9
平行于z轴的投影柱面.
设有直线 L1:
x 4
y 1
1z，L2:z源自 5x 6, z 4 y 3, L3:
y 2x 4,
z
3y
5,
求平行于L1而分别与L2, L3都相交的直线方程.
例6-15 在平面x+y+z+1=0内, 作直线通过已知直线
y x
z 2z
大学数学微积分第七章 向量代数与空间解析几何平面与直线知识点总结
第七章 向量代数与空间解析几何§7.2 平面与直线一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2 距离公式 空间两点()111,,A x y z 与()222,,B x y z 间的距离d 为d =3 定比分点公式(),,M x y z 是AB 的分点：AMMBλ=,点A,B 的坐标为()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则 121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+，121z z z λλ+=+ 当M 为中点时， 122x x x +=，122y y y +=，122z zz += 二、平面及其方程。
1 法向量： 与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n 。
对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。
2 点法式方程： 已知平面π过()000,,M x y z 点，其法向量n ＝{A,B,C},则平面π的方程为 ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 或()00n r r ⋅-=其中 {}{}0000,,,,,r x y z r x y z ==3 一般式方程：0Ax By Cz D +++=其中A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示π的法线方向数，n ＝{A,B,C}是π的法向量 特别情形： 0Ax By Cz ++=，表示通过原点的平面。
0Ax By D ++=，平行于z 轴的平面。
0Ax D +=，平行yOz 平面的平面。
x ＝0表示yOz 平面。
4 三点式方程：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,()333,,C x y z 三点不在一条直线上。
则通过A,B,C 的平面方程为： 1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 5 平面束：设直线L 的一般式方程为1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，则通过L的所有平面方程为1K ()1111A xB yC zD ++++2K ()22220A x B y C z D +++=，其中()()12,0,0k k ≠6 有关平面的问题两平面为 1π：11110A x B y C z D +++= 2π：22220A x B y C z D +++=7 设平面π的方程为0Ax By Cz D +++=，而点()111,,M x y z 为平面π外的一点，则M 到平面π的距离d ： d =三 直线及其方程1 方向向量：与直线平行的非零向量S ，称为直线L 的方向向量。
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| m1m2 + n1n2 + p1 p2 | m12 + n12 + p12 m2 2 + n2 2 + p2 2
——两直线的夹角公式
两直线的位置关系
r r (1) L1 ⊥ L2 s1 ⊥ s2
m1 m 2 + n1 n2 + p1 p2 = 0,
( 2) L1 // L2 r r s1 // s2
π r∧r r∧ r π ( s , n ) = 或 ( s , n) = + 2 2
r r r | n s | sin = cos( s , n ) = r r ns
r∧
=
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 m 2 + n2 + p 2
—— 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系
r r A = B = C . (1) L⊥ Π s // n m n p r r ( 2) L // Π s ⊥ n Am + Bn + Cp = 0.
(四) 点到直线的距离
r Q 面积 S = s d
P d N L
r = s × MP
∴ 点P 到直线 L的距离为：
r s × MP d= r s
= ( A2 , B2 , C 2 )
r k C1 C2
由此可确定方向数 m, n, p，从而写出L的 对称式.
(二) 两直线的夹角 定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x x1 y y1 z z1 = = , 直线 L1 : m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 = = , 直线 L2 : m2 n2 p2
y2 y1 n1 n2
z2 z1 p1 = 0 p2
(4) L1 与 L2 异面
→ rr r r [ MN s1 s2 ] = ( MN × s1 ) s2 →
N ( x2 , y2 , z2 )
r s2 r s1
x2 x1 = m1 m2
y2 y1 n1 n2
z2 z1 p1 = 0 / p2
r r MN = ( 2, 2, 1), s1 = (1, 2, λ ) , s2 = (1, 1, 1)
→
r r MN = ( 2, 2, 1), s1 = (1, 2, λ ) , s2 = (1, 1, 1) → r r → r r Q [ MN s1 s2 ] = ( MN × s1 ) s2
→
2 = 1 1
2 1 1 2 2 λ 1 λ 2 λ = ( 2 ) 2 + ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1
= ( 2) ( 2 λ ) 2 (1 λ ) + 1= 4λ 5
r 而L1与L2 异面 [ MN s1 s2 ] = 0 /
→ r
5 ∴ 当λ ≠ 时，所给两直线异面 . 4
x = x0 y = y0
x x 0 y y0 z z 0 = = =t 令 m n p
3. 空间直线的参数方程
x = x0 + mt y = y0 + nt = + z z0 pt
(参数 t ∈ R )
注 化直线L方程的一般式
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 (1)
M ( x1 , y1 , z1 )
(三) 直线与平面的夹角 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 π 角 (0 ≤ ≤ ) 称为直线与平面的 r 2 n L 夹角．
x x0 y y0 z z 0 L: = = , m n p
Π : Ax + By + Cz + D = 0,
r s = ( m , n, p ), r n = ( A, B , C ),
L1 y +1 z 1 r L2 s2 = (1, 1, 1) 5 2 =0 P Q( x, y, z ) 4 5 r 1 1 s1 = (1, 2, )
故所求平面方程为
M (1,1, 1)
4
1 3 ( x 1) + ( y + 1) ( z 1) = 0，即 3 x + y 4 z + 2 = 0. 4 4
r s
M
(五) 平面束法 1. 平面束： 设直线L的方程为：
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (1) A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 则称 Πλ： A2 x + B2 y + C2 z + D2 + λ( A1 x + B1 y + C1z + D1 ) = 0 (2) (参数λ ∈ R)
x+3 y2 z5 所求直线的方程 = = . 4 3 1
y+1 z 1 例4 设有两直线 L1： 1 = x = 和 2 λ L2 : x + 1 = y 1 = z , 试确定 λ 的值，使 (1) 两直线异面； ( 2) 两直线相交，并求它们 所在平面的方程 .
解 (1) 依题设，有
M (1, 1,1) ∈ L1，N ( 1, 1, 0 ) ∈ L2，
7 | 1 × 2 + ( 1) × ( 1) + 2 × 2 | = . = 6 9 3 6 7 ∴ = arcsin 为所求夹角． 3 6
y+1= 0 的距离. 例6 求点 P (0,1,1)到直线 x + 2z 7 = 0 解 (方法1) 公式法 P
d 所给直线L的方向向量： r r r i j k r r N s = 0 1 0 = ( 2, 0, 1)， s M 1 0 2 L
例7 求过点 M ( 0 ,0 ,1),
Π1 :
且通过两平面
x+ y+ z+1= 0
Π 2 : 4 x y + 3z + 1 = 0 交线的平面方程 .
解 (方法1) ∵ Π1 // Π2
( 2) 两直线相交，并求它们 所在平面的方程 .
r r Q s1与s2不平行
L1 与 L2 相交
→
r s2 = (1, 1, 1)
N (1, 1, 0)
L1
L2
→ rr r r [ MN s1 s2 ] = ( MN × s1 ) s2 = 0
P r s1 = (1, 2, λ ) ,
为对称式的步骤： 1° 由(1), 任意求出直线L上的一点 M0(x0, y0, z0) (只要点M0的坐标同时满足(1)中的两个方程即可) r 2° 确定L 的方向向量 s .
Q L在平面 Π 1 和 Π 2上 r r ∴ L ⊥ n1 = ( A1 , B1 , C1 ), L ⊥ n2 r 又 Q s // L r r r r ∴ s ⊥ n1 , s ⊥ n2 r r r r 若 n1 // n2 , 则可取 i j r r r s = n1 × n2 = A1 B1 A2 B2
对称式方程
x 1 y 2 z + 2 = = , 4 1 3
x = 1 + 4t 参数方程 y = 2 t . z = 2 3 t
例2 一直线过点A(2,3,4)，且和 y 轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和 y 轴垂直相交 , 所以交点为 B( 0,3, 0),
一般思路：作过A 点 z 且垂直于已知直线L1 的平面Π，再求Π与 L1的交点，进而求得 B 所求直线的方向向量. x 此处 Π : y = -3
A
r 取 s = BA = ( 2, 0, 4),
o
y
x2 y+3 z4 所求直线方程 = = . 2 0 4
例3 求过点(3, 2, 5) 且与两平面 x 4 z = 3
和 2 x y 5 z = 1的交线平行的直线方程. r 解 设所求直线的方向向量为 s = ( m , n, p ), r r r s s ⊥ n1 = (1, 0,4) , 根据题意知 L r r s ⊥ n2 = ( 2, 1, 5) P (3, 2,5 ) r r r i j k r r r 取 s = n1 × n2 = 1 0 4 = ( 4,3,1), 2 1 5
第七章
第四节 空间直线及其方程
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 空间直线的方程 定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
1. 空间直线的一般式方程
为通过直线L的平面束.
设 Π1 : A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0
可以证明： Π λ 是通过直线 L(除去 Π 1 )的 所有平面.
二、典型例题
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z 1 = 0 2 x y + 3z + 6 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
x 1 y z +1 = = ， 例5 设直线 L : 2 1 2 平面 Π : x y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角.
解
r n = (1,1, 2), r s = ( 2,1, 2),
sin =
| Am + Bn + Cp | 2 2 2 2 2 2 A + B +C m +n + p