(优选)绪论第一章光辉灿烂的几何文化

罗巴切夫斯基几何 非欧几何 （19世纪） 黎曼几何
拓扑学
（几何与代数、 分析相结合， 多样化发展）
点集拓扑 代数拓扑 解析拓扑
分形几何
微分拓扑 微分流形 纤维丛
二、几何学发展概述
1.几何学的产生——无意识几何阶段 几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的
历史和算术是相似的。在远古时代(公元前5000年以前)， 人们在实践中积累了十分丰富的有关平面、直线、方、 圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识 了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量 关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。
第 1章
光辉灿烂的几何文化
几何学是一门源远流长，多姿多彩的学科，在 人类的理性文明中，它是当之无愧的老大哥。数 千年来，不论在思想领域的突破上，在科学方法 论的创建上，几何学总是扮演着“开路先锋”的 角色。 今天，几何学仍然是一门方兴未艾、蓬勃 发展的学科，在整个数学体系中，几何一直是一 个重要的主角。
以经验几何的活动方式对几何问题进行探索，不仅能 使学生充分体会到几何原理的来龙去脉，加深对其本 质意义的理解，而且其过程本身就包含了丰富的内容， 体现一定的趣味性和吸引力，从而使提高学生学习数 学的主动性；经验几何中所包含的还有另一主要思想 方法——不完全归纳法，而这一方法在发展学生“策 略创造”思维方面具有独特的效能。
——题 记
本章提纲
一、几何的发展历史线索 二、几何学发展概述 三、中学几何的逻辑结构 四、小结
一、几何的发展历史线索
经（远古─元前600年） （元前600年─ 400年）
积累了丰富的 经验，但未上 升成系统理论
埃及几何跟希腊逻辑 方法相结合，以抽象 化、逻辑化为特点
论证几何有两大基本要素：一是几何的基本原理—— 公理是否可靠，即出发点是否正确；二是逻辑推理的 过程是否严密。古希腊的哲学为论证几何的产生和发 展提供了坚实的理论基础和思想支柱，因为哲学研究 的思想方法就是从最简单的始点出发演绎出最复杂、 最丰富的世界。另外，对理性的追求，对严谨的渴望， 深深扎根于古希腊人的心灵深处。
所谓经验几何，就是人们通过对大量的具体几何素 材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般 的几何关系，在实践中对其加以验证和检验，并从 中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的 历史阶段。
经验几何最大的好处就是它包含了很重要的思想方 法——特例研究发现法，即对具体事例进行分析、研 究和实验，采用归纳、类比、联想等思维方法，发现 几何关系的本质特征，揭示事物的内在规律，寻找解 决问题的办法，从而达到解决问题的目的。
二、分几何证明、计算、变换、作图、解题五个研究学习板块，三 周为一个学段完成一个板块。小组结合教材内容研究各自的课题和 习题，课堂上进行互动交流，主要介绍自己小组的研究成果，在交 流的过程中，有师生的提问和评议。
三、每人撰写一篇关于初等几何的小论文。
课题来源
《中国初等数学研究》杂志 《初等数学研究》作者: 甘志国，图书馆有藏书
（优选）绪论第一章光辉灿烂的几何 文化
考核方式
理论知识考查与实践能力考察相结合。 课堂内考察（听讲，参与和思考）于课堂外考察（课外作业）作为 平时成绩共计30%。 期末考核占70%；时间形式为期末集中考试的形式进行，考试时 间120分钟，完成一套试题。
教学方式
一、3 人一组，以课题加习题的形式向各小组下达学习任务，以小 组团队为单位参与“初等数学研究”课程的学习。
所以在几何教学，尤其是初等几何教学中，我们主 张先从“宏观”——生动活泼的“策略效能”出发， 再以“微观”——一丝不苟的“逻辑演绎”予以补 正。
3.由哲学而来的新几何——论证几何
几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作 曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁 荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研 究几何就是最感兴趣的内容之一。在这里应当特别关 注的是古希腊著名哲学家、几何学家柏拉图和亚里士 多德对发展几何学的贡献。
在西安半坡遗址（新石器时代）的考古过程中发现一 些陶罐片上绘有方格、米字、回文等几何图案。看一 看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、 对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容 积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识 是多么丰富了。
2.几何学的初步发展——经验几何阶段
当人们经历了无意识几何的漫长的酝酿之后、初步形 成了“形”的意识，进而尝试了一些简单的“度量” 工作，同时对几何“结构”关系的探索也慢慢地开始 了。这样，几何就从无意识几何阶段步入了经验几何 阶段。
恩格斯说：“数学是从计算时间和器皿制造中产生 的”。计算时间产生了“数”，而器皿制造则产生了 “形”。正是这些有如器皿制造等生产实践的需要， 原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。 虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但 是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几 何知识之上的。
几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个 领域里最基础的分支之一。古巴比伦、古埃及、古印 度、中国、古希腊都是几何学的重要发源地。
在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本 知识，这有大量出土文物可以证明，
如甘肃省景泰县张家台（新石器时代，约公元前2000 年左右）出土的彩陶罐上发现的大量的平行线、三角 形、正方形、圆弧等。
非欧几何 几何基础 （公理几何）
解析几何
微分几何
射影几何
拓扑学
代数曲线
解析几何
(17世纪)
（坐标法）
代数法 代数几何
代数曲面 代数族 域上多胞形
微分几何
(19世纪)
（分析方法）
张量分析 微分流形、黎曼流形、复流形 大范围微分几何
射影几何
(19世纪)
（综合法、爱尔 兰根纲领代数法）
仿射几何 画法几何
但是在经验几何阶段，人们的思维发展水平不高限制 了对一些难度较大的问题的进一步探索，被迫转而采 用实验的方法对问题进行粗略的、近似的处理。在这 些问题中，人们首要考虑的是实际应用迫切需要但理 论上又暂时得不到解决的问题，比如“如何求圆的面 积”，“球体体积如何计算”等等。
林永伟先生认为：对于现今中小学几何教学而言，经 验几何的思想方法无疑给我们提供了许多更深层次的 启示意义：经验几何能够提供学生广阔的数学活动空 间，使数学教学成为真正意义上的“数学活动的教 学”。