结构力学第七章力法

2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
M 2图
1
36
X1=1 1 E1I1 l
B
E1I1 l C
1B
C
E2I2 l
A
M1图
X2=1
A
E2I2 l
M 2图
1
11
1 E1I1
1 2
1l
2 3
1 E2 I 2
1 1 l 2
2 3
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
EI l 原结构
θA b
解:
a
1）取两种基本体系如下图示
24
B
C
X2 X1
B
C
ΔCH=0 θ A b ΔCV=0
X2
X1
A
ΔAH=-a b θA= θ
a 基本体系I
2） 建立力法方程
11 X1 12 X 2 1C 0 21X1 22 X 2 2C 0
基本体系II
11 X1 12 X 2 1C a 21X1 22 X 2 2C
1C (1b) b
B1
C
1
X2=1
1 l
M 2图
基本体系II A
2C
(1b) l
b l
27
§7-3 力法举例
一、连续梁
q
A EI
EI
D
B EI C
l
l
l
原结构 ΔφB=0 ΔφC=0
用力法解连续梁时，其基本体系是将杆在中间 支座处变为铰，如下图所示。
q
X1
X2
A
D
B
C
基本体系
28
位移方程
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
1 1 l 2
1 3
l 6E2 I2
22
l 3E2 I 2
37
将求得的系数代入力法方程就得到：
l k 1
l
ql 3
( 3E2 I 2
k
)X1
6 E2 I 2
X2
24 E2 I 2 k
0
l 6 E2 I 2
X1
l 3E2 I 2
X2
1 ql 12
FQCB
1 ql 12
很容易求得CD杆剪力为:
1 ql 2 15
B l
FQBC
1 ql2 60
C
FQCB
FQCD
FQDC
1 ql 60
13ql 30 A
ql 12
BC
17ql 30
ql 60 D FQ图
34
二、超静定刚架
例7-3-1 求图示刚架M图。
q
B
C
E1I1 l
E2I2 l A
若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反 力可以有无穷多组解答。
2
如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支 座B的竖向反力可以是任意值。
q
A
B
EI , l
3 ql
8
3
二、超静定次数
超静定次数 n = 结构多余约束数目。 为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除 多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆 除的多余约束数。
q
q
C
D
C
D
FP ΔBH=0
ΔBV=0
A θB=0
B
原结构
FP
A
X3
B X1
基本体系 X2
15
q
C
D
FP
A
Δ3P B
Δ1P
Δ2P
C A
D δ32 B δ22 X2=1 δ12
C
D
A
δ31 B
δ21
X1=1
δ11
C
D
A
δ33 δ23
X3=1
B
δ13
16
力法方程为
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2P BV 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P B 0
一、一次超静定结构的力法计算
1. 力法的基本体系和基本未知量
如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相
应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去 掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法
基本结构。
FP
A
EI
B
l/2
l/2
9
FP
A
EI
BA
FP B
l/2 l/2 原结构（ΔBV=0）
基本体系 X1
11 ——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移；
1P ——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。
12
3. 力法计算 1) 求系数及自由项
FPl 2
A
FP
A l/2
MP图
B l
M图
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
B X1 1
1 p
1 EI
1 2
FPl 2
l 2
(2 3
l
1 3
l) 2
1 FPl 2 5 l 5FPl3 EI 8 6 48EI
32
ql2 15
A
C
B
ql2 60
5.5ql2 60
D M图
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
MB 0
FQAB
1(ql 2 l2
ql 2 ) 15
13 ql 30
q
A FQAB
1 ql 2
l B 15 FQBA
FQBA
17 30
ql
33
MC 0
FQBC
1(ql 2 l 15
ql 2 ) 60
A
B
基本结构
A
B Δ11+ A
X1
FP B Δ1P
(A
B
δ11 ）·X1
X1 1
10
2. 力法方程
力法方程为
11 1P BV 0 BV——原结构B截面竖向位移
基本体系的位移=原结构的位移
因为 方程可写为
11 11X1 11 X1 1P 0
11
讨论：
1）力法方程是位移方程； 2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知 量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支 座竖向位移； 3）系数的物理意义：
A θ EI l
B 原结构
A θ EI l
B
基本体系I X1
θ A
EI l
B
X1 基本体系II
（受X1及支座转角θ共同 作用）
（只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响）
19
解：
1）选两种基本体系如下图示
A θ EI l
B
基本体系I X1
θ A
EI l
B
X1 基本体系II
（受X1及支座转角θ共
同作用）
8
B
C
1 ql2 16
A
1 ql2
16
M图
可见，柱AB相当于在横梁 BC的B端提供了固定约束。
39
2）当k=1，刚架弯矩图如图a)示。
1 ql2 14
C
B 5 ql2
56
BHale Waihona Puke C1 ql2 8A
1 ql2 28
a) M图
A
b) M图
3）当k=∞，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗 弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当
13
2) 求未知力X1
X1
1P
/
11
5FP l 3 48EI
3EI l3
5 16
FP
()
3) 作内力图
3 16 FPl
A
11 16 FP
M MX1 M P
5 32
FPl
B
5 16 FP
M图 FQ图
14
二、多次超静定结构的力法计算
下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和 未知力X分别作用下的位移图。
42
基本体系I： 力法方程：
X1
FP A
X1
X1 B
根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。
主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。 副系数：δij (i≠j)可能大于、等于或小于零。 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。
17
由位移互等定理：δij= δji，即δ12= δ21， δ23= δ32， δ31= δ13。作 M 图及MP图，求出力法方程的系数和 自由项，解方程求出力法未知量，然后根据下式求 内力：
（只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响）
2）力法基本方程 位移条件 BV 0 力法方程 11X1 1C 0
A 11X1
20
3）求系数和自由项
A FR1 l
B
A X1=1
B
l
M 图 X1=1
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1
M图
11
1 EI
1 2
l
1
2 3
l 3EI
1C FRKCK l
0
2(k 1) k
X1
X2