结构力学第七章力法

A
B
基本结构
A
B Δ11+ A
X1
FP B Δ1P
(A
B
δ11 ）·X1
X1 1
10
2. 力法方程
力法方程为
11 1P BV 0 BV——原结构B截面竖向位移
基本体系的位移=原结构的位移
因为 方程可写为
11 11X1 11 X1 1P 0
11
讨论：
1）力法方程是位移方程； 2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知 量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支 座竖向位移； 3）系数的物理意义：
图的一个特征是：弯矩图局部化。
30
q
A
B
C
ql 2 8
A
B X1=1
C
D MP图
D M1图
A
1 B
C X2=1
D
M2图
11
Hale Waihona Puke Baidu
2 EI
1 2
l
1
2 3
2l 3EI
1
22
2l 3EI
12
21
1 EI
1 2
1 l
1 3
l 6EI
1P
1 EI
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql 3 24EI
2P 0
31
讨论方程及系数的物理意义。
25
3） 求自由项 本例主要讨论自由项的求法，其余计算略去。
B
Bl
C X1=1
l
C
X2=1
M1图
l
1
A
l 0
基本体系I
M 2图
l
0
A
l 1
基本体系I
1C (1 a l ) a l 2C (1 b l ) (b l )
26
l
C
B
M1图
X1=1 A 基本体系II 1
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；
4
3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当 于去掉三个约束；
4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个 约束。
例：
a)
原结构
X1
X2
X1
n=2
n=2 X2
5
b)
X2
原结构
X2 X1 n=2
n=2
X1 X2
8
B
C
1 ql2 16
A
1 ql2
16
M图
可见，柱AB相当于在横梁 BC的B端提供了固定约束。
39
2）当k=1，刚架弯矩图如图a)示。
1 ql2 14
C
B 5 ql2
56
B
C
1 ql2 8
A
1 ql2 28
a) M图
A
b) M图
3）当k=∞，即E1I1很大或E2I2很小。由于柱AB抗 弯刚度趋近于零，只提供轴向支撑，故梁BC相当
若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反 力可以有无穷多组解答。
2
如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支 座B的竖向反力可以是任意值。
q
A
B
EI , l
3 ql
8
3
二、超静定次数
超静定次数 n = 结构多余约束数目。 为了确定超静定次数，通常使用的方法是拆除 多余约束，使原结构变成静定结构，则n等于拆 除的多余约束数。
第七章 力 法
§7-1 超静定结构的组成和超静定次数 §7-2 力法基本原理 §7-3 力法举例 §7-4 力法简化计算 §7-5 温度变化及有弹簧支座结构的计算 §7-6 超静定结构的位移计算及力法计算校核
1
§7-1 超静定结构的组成 和超静定次数
一、超静定结构的组成
超静定结构有如下特征： 1) 从几何构造分析的观点来看，超静定结构是 有多余约束的几何不变体系。 2) 若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力 和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要 补充位移条件。
n=2 X1
6
c)
原结构
d)
原结构
X3
X1
X2
n=3
X2
X1
X1
X2
n=2
7
e)
原结构
X1 X2 n=1
f)
原结构
不要把原结构拆成几何 可变体系。此外，要把超 静定结构的多余约束全部 X1 拆除。
n=3
X3 X2
8
§7-2 力法基本原理
解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必 须满足位移协调条件。
11 ——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移；
1P ——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。
12
3. 力法计算 1) 求系数及自由项
FPl 2
A
FP
A l/2
MP图
B l
M图
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
B X1 1
1 p
1 EI
1 2
FPl 2
l 2
(2 3
l
1 3
l) 2
1 FPl 2 5 l 5FPl3 EI 8 6 48EI
13
2) 求未知力X1
X1
1P
/
11
5FP l 3 48EI
3EI l3
5 16
FP
()
3) 作内力图
3 16 FPl
A
11 16 FP
M MX1 M P
5 32
FPl
B
5 16 FP
M图 FQ图
14
二、多次超静定结构的力法计算
下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和 未知力X分别作用下的位移图。
q
q
C
D
C
D
FP ΔBH=0
ΔBV=0
A θB=0
B
原结构
FP
A
X3
B X1
基本体系 X2
15
q
C
D
FP
A
Δ3P B
Δ1P
Δ2P
C A
D δ32 B δ22 X2=1 δ12
C
D
A
δ31 B
δ21
X1=1
δ11
C
D
A
δ33 δ23
X3=1
B
δ13
16
力法方程为
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P BH 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2P BV 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3P B 0
1 ql 12
FQCB
1 ql 12
很容易求得CD杆剪力为:
1 ql 2 15
B l
FQBC
1 ql2 60
C
FQCB
FQCD
FQDC
1 ql 60
13ql 30 A
ql 12
BC
17ql 30
ql 60 D FQ图
34
二、超静定刚架
例7-3-1 求图示刚架M图。
q
B
C
E1I1 l
E2I2 l A
（只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响）
2）力法基本方程 位移条件 BV 0 力法方程 11X1 1C 0
A 11X1
20
3）求系数和自由项
A FR1 l
B
A X1=1
B
l
M 图 X1=1
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1
M图
11
1 EI
1 2
l
1
2 3
l 3EI
1C FRKCK l
2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
M 2图
1
36
X1=1 1 E1I1 l
B
E1I1 l C
1B
C
E2I2 l
A
M1图
X2=1
A
E2I2 l
M 2图
1
11
1 E1I1
1 2
1l
2 3
1 E2 I 2
1 1 l 2
2 3
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
M M1X1 M2X2 M3X3 M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQ3 X3 FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FN 3 X 3 FNP
18
三、超静定结构支座移动时的力法计算
超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解 力法的解题思路很有帮助。与静定结构不同，超 静定结构产生支座移动时，结构不仅产生变形， 而且有内力。下面讨论超静定结构产生支座移动 时力法的解题思路。
32
ql2 15
A
C
B
ql2 60
5.5ql2 60
D M图
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
MB 0
FQAB
1(ql 2 l2
ql 2 ) 15
13 ql 30
q
A FQAB
1 ql 2
l B 15 FQBA
FQBA
17 30
ql
33
MC 0
FQBC
1(ql 2 l 15
ql 2 ) 60
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
1 1 l 2
1 3
l 6E2 I2
22
l 3E2 I 2
37
将求得的系数代入力法方程就得到：
l k 1
l
ql 3
( 3E2 I 2
k
)X1
6 E2 I 2
X2
24 E2 I 2 k
0
l 6 E2 I 2
X1
l 3E2 I 2
X2
0
2(k 1) k
X1
X2
ql 2 4
1 k
0
X1 2X 2 0
解方程得：
X1
1 2
ql 2
1 3k
4
(
)
X2
1 4
ql 2
1 3k
4
(
)
38
3. 讨论
1）当k=0，即E1I1很小或E2I2很大，则
X1
ql 2 8
X2
ql 2 16
刚架弯矩图为：
1 ql2
C
8
B 1 ql2
16
1 ql2
将系数代入力法方程就得到：
2l 3EI
X1
l 6EI
X2
ql 3 24EI
0
l 6EI
X1
2l 3EI
X2
0
4X1
X2
ql 2 4
0
X1 4X 2 0
解方程得：
X1
1 ql2 ( 15
)
X2
1 60
ql2 (
)
3. 作内力图 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。
M M1X1 M2X2 MP
4）求未知力X1
X1
1C
/
11
l
3EI l3
3EI l2
(
)
X1
/ 11
3EI l
3EI ( )
l
21
5） 作内力图
A 3EI
l
BA
M图
3EI
l2
FQ图
B
3EI l2
在基本体系II中，若X1为逆时针方向，如下图 示，则力法方程成为：
A
X1=1
B
11X1
22
小结：
1）当超静定结构有支座位移时，所取的基本体 系上可能保留有支座移动，也可能没有支座移 动。应当尽量取无支座移动的基本体系。
1C (1b) b
B1
C
1
X2=1
1 l
M 2图
基本体系II A
2C
(1b) l
b l
27
§7-3 力法举例
一、连续梁
q
A EI
EI
D
B EI C
l
l
l
原结构 ΔφB=0 ΔφC=0
用力法解连续梁时，其基本体系是将杆在中间 支座处变为铰，如下图所示。
q
X1
X2
A
D
B
C
基本体系
28
位移方程
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
EI l 原结构
θA b
解:
a
1）取两种基本体系如下图示
24
B
C
X2 X1
B
C
ΔCH=0 θ A b ΔCV=0
X2
X1
A
ΔAH=-a b θA= θ
a 基本体系I
2） 建立力法方程
11 X1 12 X 2 1C 0 21X1 22 X 2 2C 0
基本体系II
11 X1 12 X 2 1C a 21X1 22 X 2 2C
A θ EI l
B 原结构
A θ EI l
B
基本体系I X1
θ A
EI l
B
X1 基本体系II
（受X1及支座转角θ共同 作用）
（只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响）
19
解：
1）选两种基本体系如下图示
A θ EI l
B
基本体系I X1
θ A
EI l
B
X1 基本体系II
（受X1及支座转角θ共
同作用）
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B
C
29
1. 力法方程
11X1 12 X 2 1P B 0 21X1 22 X 2 2P C 0
方程各系数示于上页图中。讨论方程和系 数的物理意义。
2. 方程求解 M1图、M 2 图及MP图见下页图示。上述弯矩
于简支梁，M图见图b)。
40
结论： 在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆抗
弯刚度EI的比值k 相关，而与杆件抗弯刚度EI的绝 对值无关。若荷载不变，只要k 不变，结构内力 也不变。
41
三 、超静定桁架
以下图示桁架为例讨论两种基本体系的处理 方法。除注明者外，其余各杆刚度为EA。
FP
E1A1
a
a 原结构
2）当基本体系有支座移动时，自由项按下式求
解：
1C FRKCK
FRK 为基本体系由X=1产生的支座反力； CK 为基本体系的支座位移。
3）当超静定结构有支座移动时，其内力与杆件 的抗弯刚度EI成正比，EI越大，内力越大。
23
例7-2-1 写出图示刚架的力法方程并求出系数ΔiC。 EI l C
E1I1 k E2 I 2
原结构
q
X1
B
C
φA=0
X2
ΔφB=0
A 基本体系
1. 力法方程
11X1 12 X2 1P B 0 21X1 22 X 2 2P A 0
35
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql3 ql3 24E1I1 24E2I2k
42
基本体系I： 力法方程：
X1
FP A
X1
X1 B
根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的 物理意义。
主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。 副系数：δij (i≠j)可能大于、等于或小于零。 i 表示位移的方位；j 表示产生位移的原因。
17
由位移互等定理：δij= δji，即δ12= δ21， δ23= δ32， δ31= δ13。作 M 图及MP图，求出力法方程的系数和 自由项，解方程求出力法未知量，然后根据下式求 内力：
一、一次超静定结构的力法计算
1. 力法的基本体系和基本未知量
如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相
应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去 掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法
基本结构。
FP
A
EI
B
l/2
l/2
9
FP
A
EI
BA
FP B
l/2 l/2 原结构（ΔBV=0）
基本体系 X1