高数第五章
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1 1 2 2 f 3 y ( 17 3) y2 ( 17 3) y3 2 2 2 2 2 f 2 z1 2 z2 6 z3
2 1
1 2 2 f 2u u2 6u3 2
2 1
正定二次型
§5.3 正定二次型
二、正定二次型
定义(P158)：若对于任意非零向量x=(x1,x2,…,xn)T,有二 次型f (x1,x2,…,xn) =xTAx >0(或<0)，则称二次型f 为正 定(或负定)二次型，对应矩阵为正定(负定)矩阵. 例如，二次型 f(x1, x2, x3) = 2x12+x22+3x32 二次型 f(x1, x2, x3) = x22+2x32
问题
•正定(负定)二次型具有什么性质. •如何判定正定(负定)二次型.
正定二次型
§5.3 正定二次型
正定矩阵的判定： 定理(P159)：设A为n阶实对称矩阵, 则下列命题等价： (1) A为正定矩阵; (2)A的正惯性指数为n； (3) A的特征值都大于零 ； (4)A的各阶顺序主子式
1 a11 , 2 a11 a21 a12 a22 , n A
说明
•任意一个实二次型唯一确定一个实对称矩阵， 反之亦然. •称对称阵A为二次型f 的矩阵. •称f 为矩阵A的二次型. •矩阵A的秩称为二次型f 的秩.
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩百度文库表示
记
a11 a21 A 实对称矩阵 a n1 a12 a22 an 2 a n1 x1 an 2 x2 ,x ann xn
说明
•标准形中系数非零的个数为A的非零特征值的个 数，即A的秩.
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
定理(主轴定理,P151)：对于任何一个n元实二次型 f =xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f 化为标准形 f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2, 其中1, 2, …, n为A的n个特征值, Q 的列向量就是A的 对应的n个单位正交特征向量. 利用正交变换法化二次型为标准形的步骤： (1)求出实二次型的系数矩阵A； (2)求矩阵A所有特征值； (3)求出正交矩阵Q，作变换x=Qy； (4)写出二次型的标准形 f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2,
T
•矩阵的合同关系是一种特殊的等价关系. •合同关系满足：反身性、对称性和传递性. •实对称矩阵与对角阵合同 •化二次型为标准型等价于将矩阵对称阵A合同于 对角阵
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
§5.2 化二次型为标准形
一、正交变换法
正交变换下的标准形
定理(主轴定理,P151)：对于任何一个n元实二次型 f =xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f 化为标准形 f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2, 其中1, 2, …, n为A的n个特征值, Q 的列向量就是A的 对应的n个单位正交特征向量. 推论：对于任何一个n元实二次型 f =xTAx, 可经可逆变 换x = Cz,化成规范形.
1 1 2 2 f 3 y ( 17 3) y2 ( 17 3) y3 2 2 2 2 2 f 2 z1 2 z2 6 z3
2 1
1 2 2 f 2u u2 6u3 2
2 1
问题
•同一个二次型的各种标准型之间有何规律.
惯性定理
§5.3 正定二次型
定理(惯性定理,P158)：实二次型 f =xTAx, 都可通过可 逆变换化为标准形 f = d1y12+ d2y22 + … + dnyn2, 其中正项的个数p和负项的个数q，都是可逆变化下的 不变量，且p+q=r(A)=r( f ). 称正项的个数p二次型的正 惯性指数，负项的个数q为二次型的负惯性指数. 例如
a11 x1 a12 x2 a1 n xn a x a x a x 22 2 2n n ( x1 , x2 , , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2 ann xn
二次型的基本概念
则二次型 f (x1, x2, …, xn) = xTAx 例如，二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+2x322x1x3 的 矩阵为
1 0 1 A 0 1 0 1 0 2
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
定义(P149)：只含有平方项、不含交叉项(即， aij=0,i≠j,1≤ i, j ≤n) 的二次型，即 f(x1, x2, …, xn)= k1x12+k2x22+…+knxn2 称为二次型的标准形. 如果标准型中系数k1,k2,…,kn只 在1, –1, 0三个数中取值，且变量系数按正、负、零的 顺序排序的二次型，即 f(x1, x2, …, xn) = x12 +…+ xp2 –xp+12–…–xr2+(0xr+12 +…+0xn2 ) 称为二次型的规范形.
记
a11 a21 A 实对称矩阵 a n1 a12 a22 an 2 an1 x1 an2 x2 ,x ann xn
则二次型 f (x1, x2, …, xn) = xTAx
x
0 x y 1 1 0 4 y
1 9
x
y
2 O
x x P ？ y’ y y
3 x
y
x’
O
x
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
定义(P147)：含有n个变量 x1, x2 , … , xn 的二次齐次多 项式 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn 称为一个n元二次型. 当系数aij 都为复数时，f 称为复二 次型；当系数aij 都为实数时，f 称为实二次型. 令 aij = aji , 上式可改写为
f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j
i 1 j 1 n n
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
n元二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn 令 aij = aji = a11x12+a12x1x2+…+a1nx1xn +a21x1x2+ a22x22+…+a2nx2xn +…+an1xnx1+ an2xnx2 +…+annxn2 = x1(a11x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a21x1+ a22x2+…+a2nxn) +…+xn(an1x1+ an2x2 +…+annxn)
作正交变换x=Qy，得二次型 f 的标准型为 f(y1, y2, y3) = y22+2y32
惯性定理
§5.3 正定二次型
§5.3 正定二次型
一、惯性定理
对于同一个二次型f经过不同的可逆变换会得到不 同的二次型，例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3，在三种不 同的可逆线性变换下可分别化为下列标准形:
1 0 1 p1 0 , p2 1 , p3 0 , 1 0 1
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
例1：利用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形. 解：特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 解得对应特征向量为
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
例1：利用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形. 解：特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 得正交矩阵
1 2 0 1 2 Q 0 1 0 1 2 0 1 2
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
对于二次型， f (x1, x2, …, xn) = xTAx 我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2 c21 y1 c22 y2 c2 n yn xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
定义(P150)：设矩阵A和B是n阶方阵，如果存在n阶可 逆矩阵P，使得 PTAP=B 则称矩阵A和B合同，记作 A B . 例如，
1 2 3 4 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 8 5
说明
第五章
二
次
型
二次型及其标准型 正定二次型
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
§5.1 二次型及其矩阵表示
4 2 9 2 x y 1 36 36 13 2 13 2 10 x y xy 1 72 72 72
13 72 y 5 72 5 72 x 1 13 y 72
§5.1 二次型及其矩阵表示
n元二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n ( x1 , x2 , , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1
a12 a22 an 2
an1 x1 an 2 x2 ann xn
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
代入后，使得二次型化为标准形 f(y1, y2, …, yn)= k1y12+k2y22+…+knyn2 记C=(cij)，可逆变换记作x=Cy, 代入二次型，得 f (x1, x2, …, xn) = xTAx = (Cy)TA(Cy) = yT(CTAC )y
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
例1：利用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形. 解：由题意，二次型矩阵为
1 0 1 A 0 1 0 1 0 1
得，特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 解得对应特征向量为
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
例1：利用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形. 解：由题意，二次型矩阵为
1 0 1 A 0 1 0 1 0 1
得，特征值为 1= 0, 2= 1, 3= 2.
1 0 1 p1 0 , p2 1 , p3 0 , 1 0 1
1 2 0 1 2 Q 0 1 0 1 2 0 1 2
单位化可得正交矩阵
2 1
1 2 2 f 2u u2 6u3 2
2 1
正定二次型
§5.3 正定二次型
二、正定二次型
定义(P158)：若对于任意非零向量x=(x1,x2,…,xn)T,有二 次型f (x1,x2,…,xn) =xTAx >0(或<0)，则称二次型f 为正 定(或负定)二次型，对应矩阵为正定(负定)矩阵. 例如，二次型 f(x1, x2, x3) = 2x12+x22+3x32 二次型 f(x1, x2, x3) = x22+2x32
问题
•正定(负定)二次型具有什么性质. •如何判定正定(负定)二次型.
正定二次型
§5.3 正定二次型
正定矩阵的判定： 定理(P159)：设A为n阶实对称矩阵, 则下列命题等价： (1) A为正定矩阵; (2)A的正惯性指数为n； (3) A的特征值都大于零 ； (4)A的各阶顺序主子式
1 a11 , 2 a11 a21 a12 a22 , n A
说明
•任意一个实二次型唯一确定一个实对称矩阵， 反之亦然. •称对称阵A为二次型f 的矩阵. •称f 为矩阵A的二次型. •矩阵A的秩称为二次型f 的秩.
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩百度文库表示
记
a11 a21 A 实对称矩阵 a n1 a12 a22 an 2 a n1 x1 an 2 x2 ,x ann xn
说明
•标准形中系数非零的个数为A的非零特征值的个 数，即A的秩.
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
定理(主轴定理,P151)：对于任何一个n元实二次型 f =xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f 化为标准形 f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2, 其中1, 2, …, n为A的n个特征值, Q 的列向量就是A的 对应的n个单位正交特征向量. 利用正交变换法化二次型为标准形的步骤： (1)求出实二次型的系数矩阵A； (2)求矩阵A所有特征值； (3)求出正交矩阵Q，作变换x=Qy； (4)写出二次型的标准形 f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2,
T
•矩阵的合同关系是一种特殊的等价关系. •合同关系满足：反身性、对称性和传递性. •实对称矩阵与对角阵合同 •化二次型为标准型等价于将矩阵对称阵A合同于 对角阵
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
§5.2 化二次型为标准形
一、正交变换法
正交变换下的标准形
定理(主轴定理,P151)：对于任何一个n元实二次型 f =xTAx, 都有正交变换x = Qy, 使f 化为标准形 f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2, 其中1, 2, …, n为A的n个特征值, Q 的列向量就是A的 对应的n个单位正交特征向量. 推论：对于任何一个n元实二次型 f =xTAx, 可经可逆变 换x = Cz,化成规范形.
1 1 2 2 f 3 y ( 17 3) y2 ( 17 3) y3 2 2 2 2 2 f 2 z1 2 z2 6 z3
2 1
1 2 2 f 2u u2 6u3 2
2 1
问题
•同一个二次型的各种标准型之间有何规律.
惯性定理
§5.3 正定二次型
定理(惯性定理,P158)：实二次型 f =xTAx, 都可通过可 逆变换化为标准形 f = d1y12+ d2y22 + … + dnyn2, 其中正项的个数p和负项的个数q，都是可逆变化下的 不变量，且p+q=r(A)=r( f ). 称正项的个数p二次型的正 惯性指数，负项的个数q为二次型的负惯性指数. 例如
a11 x1 a12 x2 a1 n xn a x a x a x 22 2 2n n ( x1 , x2 , , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2 ann xn
二次型的基本概念
则二次型 f (x1, x2, …, xn) = xTAx 例如，二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+2x322x1x3 的 矩阵为
1 0 1 A 0 1 0 1 0 2
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
定义(P149)：只含有平方项、不含交叉项(即， aij=0,i≠j,1≤ i, j ≤n) 的二次型，即 f(x1, x2, …, xn)= k1x12+k2x22+…+knxn2 称为二次型的标准形. 如果标准型中系数k1,k2,…,kn只 在1, –1, 0三个数中取值，且变量系数按正、负、零的 顺序排序的二次型，即 f(x1, x2, …, xn) = x12 +…+ xp2 –xp+12–…–xr2+(0xr+12 +…+0xn2 ) 称为二次型的规范形.
记
a11 a21 A 实对称矩阵 a n1 a12 a22 an 2 an1 x1 an2 x2 ,x ann xn
则二次型 f (x1, x2, …, xn) = xTAx
x
0 x y 1 1 0 4 y
1 9
x
y
2 O
x x P ？ y’ y y
3 x
y
x’
O
x
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
定义(P147)：含有n个变量 x1, x2 , … , xn 的二次齐次多 项式 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn 称为一个n元二次型. 当系数aij 都为复数时，f 称为复二 次型；当系数aij 都为实数时，f 称为实二次型. 令 aij = aji , 上式可改写为
f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j
i 1 j 1 n n
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
n元二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn 令 aij = aji = a11x12+a12x1x2+…+a1nx1xn +a21x1x2+ a22x22+…+a2nx2xn +…+an1xnx1+ an2xnx2 +…+annxn2 = x1(a11x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a21x1+ a22x2+…+a2nxn) +…+xn(an1x1+ an2x2 +…+annxn)
作正交变换x=Qy，得二次型 f 的标准型为 f(y1, y2, y3) = y22+2y32
惯性定理
§5.3 正定二次型
§5.3 正定二次型
一、惯性定理
对于同一个二次型f经过不同的可逆变换会得到不 同的二次型，例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3，在三种不 同的可逆线性变换下可分别化为下列标准形:
1 0 1 p1 0 , p2 1 , p3 0 , 1 0 1
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
例1：利用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形. 解：特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 解得对应特征向量为
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
例1：利用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形. 解：特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 得正交矩阵
1 2 0 1 2 Q 0 1 0 1 2 0 1 2
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
对于二次型， f (x1, x2, …, xn) = xTAx 我们讨论的主要问题是：寻求可逆线性变换
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2 c21 y1 c22 y2 c2 n yn xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
定义(P150)：设矩阵A和B是n阶方阵，如果存在n阶可 逆矩阵P，使得 PTAP=B 则称矩阵A和B合同，记作 A B . 例如，
1 2 3 4 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 8 5
说明
第五章
二
次
型
二次型及其标准型 正定二次型
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
§5.1 二次型及其矩阵表示
4 2 9 2 x y 1 36 36 13 2 13 2 10 x y xy 1 72 72 72
13 72 y 5 72 5 72 x 1 13 y 72
§5.1 二次型及其矩阵表示
n元二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n ( x1 , x2 , , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1
a12 a22 an 2
an1 x1 an 2 x2 ann xn
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
代入后，使得二次型化为标准形 f(y1, y2, …, yn)= k1y12+k2y22+…+knyn2 记C=(cij)，可逆变换记作x=Cy, 代入二次型，得 f (x1, x2, …, xn) = xTAx = (Cy)TA(Cy) = yT(CTAC )y
二次型的基本概念
§5.1 二次型及其矩阵表示
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
例1：利用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形. 解：由题意，二次型矩阵为
1 0 1 A 0 1 0 1 0 1
得，特征值为1= 0, 2= 1, 3= 2. 解得对应特征向量为
正交变换法
§5.2 化二次型为标准型
例1：利用正交变换把将二次型 f(x1, x2, x3) = x12+x22+x322x1x3 化为标准形. 解：由题意，二次型矩阵为
1 0 1 A 0 1 0 1 0 1
得，特征值为 1= 0, 2= 1, 3= 2.
1 0 1 p1 0 , p2 1 , p3 0 , 1 0 1
1 2 0 1 2 Q 0 1 0 1 2 0 1 2
单位化可得正交矩阵