南开大学 2004年数学分析

2004年南开大学数学分析试题答案
1. 1lim )()(lim
)
()(')()(ln
1
===⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→-→a f a f a
x a f x f a
x a
x a x e
e
a f x f
2.
y x f x
y
y f x z 2-=∂∂, yy yx y xy xx x f x
y f x y f x f x y yxf f y x z 3221---++=∂∂∂=yy y xx x f x y
f x yxf f 321--+
3.即证明
x x x ++<+111)1ln(2，即证x
x x +-+<+11
1)1ln(2 设=)(x f x
x x ++--+11
1)1ln(2，0)0(=f ，
2)1(1
112)('x x x f +--+=0)
1(2
2<+-=x x ，0)0()(=<f x f ，证完。

4.
⎰⎰+D
dxdy y x y x )ln(2
222=
⎰⎰
1
2520
22ln cos sin dr
r r d π
θθθ=
⎰⎰1
520
22ln cos sin 8rdr r d πθθθ= 72
π
-
5.设P=22y x -，Q=xy 2-，
y
P
y x Q ∂∂=-=∂∂2，积分与路径无关，则 ⎰=
=π
π0
3
2
3
dx x J
6.
α
αn
e
n n n
n
n
1ln 1-=-1ln +≈αn n ,又当0>α时，∑∞
=+11
ln n n
n α收敛，当0≤α时，级数∑∞
=+11
ln n n
n α发散，原题得证 7.由拉格朗日定理，
n
f n f n f n )(')()2(ξ=-，其中
n
n n 2<<ξ0
)
()2(lim
)('lim =-=∞
→∞
→n n f n f f n n n ξ，原题得证
8.（1）应用数学归纳法，当1
=n 时命题成立，
若当
k
n =时命题也成立，则当1
+=k n 时，
2
)(},min{1
111++++--+=
=k k k k k k k f F f F f F F ，由归纳假设
1
+k F 连续。

（2） （3）由
)}
({1x F k +单调递减趋于
)
(x F ，
)}
({1x F k +与
)
(x F 都连续，由地尼定
理，该收敛为一致收敛。

9.(1)证明：2
100),,(x x x b a x <<∀∈∀
取02210
20
1,,x x x x x x x x ==--=
λ，代入式中得， )]()([)()(02020101x f x f x x x x x f x f ---+
≤即0
2020101)
()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--，所以函数0
0)
()()(x x x f x f x g --=
单调递增有下界，从而存在右极限，则
=+)(0'x f 0
0)
()(lim
0x x x f x f x x --+
→；
4321x x x x <<<∀，由题设可得32322121)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--4
343)
()(x x x f x f --≤，
即
2121)()(x x x f x f --4343)()(x x x f x f --≤从而2121)
()(lim 12x x x f x f x x --→4
343)()(lim 34x x x f x f x x --≤→，
所以导函数递增。

(2)参考实变函数的有关教材。