辽宁省辽南协作校2021届高三一模拟考试数学(理)试题
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A． B． C． D．2
3．设样本数据 的均值和方差分别为1和4，若 为非零常数， ，则 的均值和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
4．公差不为零的等差数列 的前n项和为 是 的等比中项， ，则S10等于（）
A．18B．24C．60D．90
5．设 和 为双曲线 的两个焦点，若点 ， 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
8．B
【解析】
因为 所以再运用二项式定理展开共有 项，应选答案B．
9．D
【解析】
设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y−0.5)米，
在△ABC中,依余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcos∠ACB，
18．如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB =BC =1，BB1=2，∠BCC1=60°.
（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC ；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A-B1E-B的正弦值为 ，求CE 的长.
19．已知抛物线 ，直线 交 于 两点， 是 的中点，过 作 轴的垂线交 于 点.
（1）证明：抛物线 在 点处的切线与 平行；
（2）是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过 点？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
20．已知函数f(x)=x2+ +alnx.
（Ⅰ）若f(x)在区间[2,3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f(x)的导数f’(x )的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点A (x1, y1) ，B (x2,y2) 所在直线的斜率为k ，求证：当a≤4时，|k|>1.
13．如图所示，输出的 的值为__________．
14．已知四面体 ， ， ， ， ，则该四面体外接球的半径为__________．
15．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为__________．
三、解答题
16．已知函数 ，且当 时， 的最小值为2.
（1）求 的值；
（2）先将函数 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，再将所得的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求方程 在区间 上所有根之和.
A．10B．15C．20D．21
9．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（ ）
A．(1+ )米
B．2米
C．(1+ )米
D．(2+ )米
10．函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是（ ）
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
A． B． C． D．
6．设a=log23,b= ,c=log34，则a,b，c的大小关系为（ ）
A．b<a<cB．c<a<b
C．a<b<cD．c<b<a
7．圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．18B．6 C．5 D．4
8． 的展开式共（ ）项
辽宁省辽南协作校2021年高三一模拟考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 P={x|x＜4},Q={x|x2＜4}，则（ ）
A．P QB．Q⊆P
C．P⊆CRQD．Q CRP
2．复数 ，且 ，则 的值是（ ）
参考答案
1．B
【解析】P={x|x<4},Q={x∣x2<4}={x|−2<x<2}，如图所示，
可知Q⊆P，
本题选择B选项.
2．A
【解析】
因为 ，所以 ，即 ，由此可得 ，结合 可解之得 ，应选答案A．
3．A
【解析】
试题分析：因为样本数据 的平均数是 ,所以 的平均数是 ；根据 （ 为非零常数， ），以及数据 的方差为 可知数据 的方差为 ，综上故选A.
7．C
【解析】
圆的方程即： ，
圆心到直线的距离为： ，
故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为 ，
综上可得：圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是 .
本题选择C选项.
点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知Leabharlann Baidu圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
21．已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为
（1）求点 的直角坐标；
（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围.
22．设不等式 的解集为M， .
（1）证明： ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左焦点为F1有一小球A 从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．等比数列 的公比 ，已知 ， ，则 的前 项和 __________．
考点：样本数据的方差和平均数．
4．C
【详解】
依题意可得， ，设等差数列 的公差为 ，则 ．由 ， 可得 ，解得
所以 ，故选C
5．C
【解析】
若 ，设 ，则 ， 是等腰直角三角形的三个顶点， ， ， ，即 ， 双曲线的渐近线方程为 ，即为 ，故选C.
6．D
【解析】
∵ ，
，
∴a，b，c的大小关系为c<b<a.
17．某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队伍只比赛一场），有高一、高二、高三共三个队参赛，高一胜高二的概率为 ，高一胜高三的概率为 ，高二胜高三的概率为 ，每场胜负相互独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同时，高年级获胜.
（1）若高三获得冠军的概率为 ，求 ；
（2）记高三的得分为 ，求 的分布列和期望.
3．设样本数据 的均值和方差分别为1和4，若 为非零常数， ，则 的均值和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
4．公差不为零的等差数列 的前n项和为 是 的等比中项， ，则S10等于（）
A．18B．24C．60D．90
5．设 和 为双曲线 的两个焦点，若点 ， 是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
8．B
【解析】
因为 所以再运用二项式定理展开共有 项，应选答案B．
9．D
【解析】
设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y−0.5)米，
在△ABC中,依余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcos∠ACB，
18．如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB =BC =1，BB1=2，∠BCC1=60°.
（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC ；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A-B1E-B的正弦值为 ，求CE 的长.
19．已知抛物线 ，直线 交 于 两点， 是 的中点，过 作 轴的垂线交 于 点.
（1）证明：抛物线 在 点处的切线与 平行；
（2）是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过 点？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
20．已知函数f(x)=x2+ +alnx.
（Ⅰ）若f(x)在区间[2,3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f(x)的导数f’(x )的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点A (x1, y1) ，B (x2,y2) 所在直线的斜率为k ，求证：当a≤4时，|k|>1.
13．如图所示，输出的 的值为__________．
14．已知四面体 ， ， ， ， ，则该四面体外接球的半径为__________．
15．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为__________．
三、解答题
16．已知函数 ，且当 时， 的最小值为2.
（1）求 的值；
（2）先将函数 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，再将所得的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求方程 在区间 上所有根之和.
A．10B．15C．20D．21
9．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（ ）
A．(1+ )米
B．2米
C．(1+ )米
D．(2+ )米
10．函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是（ ）
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
A． B． C． D．
6．设a=log23,b= ,c=log34，则a,b，c的大小关系为（ ）
A．b<a<cB．c<a<b
C．a<b<cD．c<b<a
7．圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．18B．6 C．5 D．4
8． 的展开式共（ ）项
辽宁省辽南协作校2021年高三一模拟考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设 P={x|x＜4},Q={x|x2＜4}，则（ ）
A．P QB．Q⊆P
C．P⊆CRQD．Q CRP
2．复数 ，且 ，则 的值是（ ）
参考答案
1．B
【解析】P={x|x<4},Q={x∣x2<4}={x|−2<x<2}，如图所示，
可知Q⊆P，
本题选择B选项.
2．A
【解析】
因为 ，所以 ，即 ，由此可得 ，结合 可解之得 ，应选答案A．
3．A
【解析】
试题分析：因为样本数据 的平均数是 ,所以 的平均数是 ；根据 （ 为非零常数， ），以及数据 的方差为 可知数据 的方差为 ，综上故选A.
7．C
【解析】
圆的方程即： ，
圆心到直线的距离为： ，
故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为 ，
综上可得：圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是 .
本题选择C选项.
点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知Leabharlann Baidu圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
21．已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是 ，正方形 的顶点都在 上，且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为
（1）求点 的直角坐标；
（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围.
22．设不等式 的解集为M， .
（1）证明： ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左焦点为F1有一小球A 从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．等比数列 的公比 ，已知 ， ，则 的前 项和 __________．
考点：样本数据的方差和平均数．
4．C
【详解】
依题意可得， ，设等差数列 的公差为 ，则 ．由 ， 可得 ，解得
所以 ，故选C
5．C
【解析】
若 ，设 ，则 ， 是等腰直角三角形的三个顶点， ， ， ，即 ， 双曲线的渐近线方程为 ，即为 ，故选C.
6．D
【解析】
∵ ，
，
∴a，b，c的大小关系为c<b<a.
17．某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队伍只比赛一场），有高一、高二、高三共三个队参赛，高一胜高二的概率为 ，高一胜高三的概率为 ，高二胜高三的概率为 ，每场胜负相互独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同时，高年级获胜.
（1）若高三获得冠军的概率为 ，求 ；
（2）记高三的得分为 ，求 的分布列和期望.