内插法以及多项式逼近法
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
多项式插值与数值逼近理论
多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。
本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。
一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。
插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。
1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。
1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。
1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。
二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。
数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。
2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。
计算方法五插值与逼近优秀课件
p(i)(xi)f(i)(xi), i1,2, ,n; i 0,1, ,i1。
(4-2)
以上问题称作插值问题，x1,x2,,xn 称为插值节点，p(x) 称为
f ( x) 关于节点组 x1,x2, 的,插xn值函数, （4-2）称为插值条件。
y
yfx
y px
o
x0 x1
xn1
xn
x
在插值法中需考虑的问题：
考虑 n2 的情形，给定 x0, y0, x1,y1,x2,y2且 x0 x1x2
构造二次多项式 p2(x), 满足条件： p2(x0)y0, p2(x1)y1, p2(x2)y2
进一步写成 p2(x) l0xy0 l1xy1l2xy2
其中 li ( x ) i 0,1,2，均为二次的插值基函数多项式，且满足
设已知函数 f (x)在 [a, b] 上的 n1个互异插值节点 x0,x1,,xn 上的函数值 f0, f1,, fn，将基函数取作：
0(x) 1,
j1
j(x ) (x x 0 )x ( x 1 ) (x x j 1 )(xxi), i0
j1,2,,n
(4-8)
则可将 n次插值多项式写成如下形式：
l0(x0) 1 l0(x1) 0 l0(x2)0 l1(x1) 1 l1(x1)0 l1(x2)0
l2(x2)1 l2(x0)0 l2(x1)0
下面我们 l0 ( x ) 以为例来确定出： l0 (x) , l1(x) , l2(x)
由条件 l0 (x 1 ) 0l0 (x 2 ) 0可知, x1 , x 2 是 l0 ( x ) 的两个根，从而
n
pn(x) a j j ( x) j0
(4-9)
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用函数逼近是数值计算中的一种重要技术，用于在给定的函数空间中找到与目标函数最相近的函数。
函数逼近算法可以在不知道目标函数解析表达式的情况下，通过对给定数据进行处理来逼近目标函数的结果。
这篇文章将介绍几种常见的函数逼近算法及其应用。
1.多项式逼近：多项式逼近是一种利用多项式函数逼近目标函数的方法。
多项式逼近算法有很多种，常见的有最小二乘法、拉格朗日插值法和牛顿插值法等。
多项式逼近广泛应用于数据拟合、信号处理和图像处理等领域。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与多项式模型之间的差异来确定多项式系数的方法。
最小二乘法可以用于拟合非线性和线性函数。
拉格朗日插值法和牛顿插值法是通过插值多项式来逼近目标函数的方法，可以用于填充缺失数据或者生成曲线过程中的中间点。
2.三角函数逼近：三角函数逼近是一种利用三角函数来逼近目标函数的方法。
三角函数逼近算法有傅里叶级数逼近和小波变换等。
傅里叶级数逼近是一种利用三角函数的线性组合来逼近目标函数的方法。
这种方法广泛应用于信号处理、图像处理和数学建模等领域。
小波变换是一种通过特定的基函数来逼近目标函数的方法。
小波变换可以用于信号去噪、图像压缩和模式识别等应用。
3.插值逼近：插值逼近是一种通过已知数据点在给定区间内的函数值来确定目标函数的方法。
常见的插值逼近方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和差值多项式法等。
插值逼近广泛应用于任何需要通过已知数据点来逼近目标函数的领域。
在实际应用中，函数逼近常用于数据分析和模型构建。
例如，在金融领域，函数逼近可以用于确定股票价格走势的模型和预测。
在工程领域，函数逼近可以用于建立复杂系统的模型和优化控制。
在计算机图形学领域，函数逼近可以用于生成真实感图像和动画。
总结起来，函数逼近是一种重要的数值计算技术，有多种算法可供选择。
多项式逼近、三角函数逼近和插值逼近是常见的函数逼近算法。
函数逼近广泛应用于数据分析、模型构建和优化控制等领域，对于解决实际问题具有重要作用。
多项式逼近和插值
多项式逼近和插值多项式逼近和插值是计算数学中的两个基本概念，它们是求一定准确度下函数近似值所必须采用的数值方法。
多项式逼近是指用低阶多项式逼近原函数，插值是利用已知数据点在插值区间内构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。
它们的应用范围很广，包括科学工程计算、图像处理、信号处理等领域。
下面介绍它们的原理和应用。
一、多项式逼近当我们需要用低阶多项式逼近原函数时，可以采用最小二乘法。
最小二乘法是一种在数据拟合中广泛使用的方法，通过将误差的平方和最小化来确定函数的系数。
假设给定函数$f(x)$及其在$n+1$个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$处的值，我们要用一个$m$次多项式$p_m(x)$去逼近$f(x)$。
我们可以将$p_m(x)$表示为$p_m(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_mx^m$，则函数的误差可以表示为$E(a_0,a_1,...,a_m)=\sum_{i=0}^n [f(x_i)-p_m(x_i)]^2$，通过最小化误差函数来确定多项式系数$a_0,a_1,...,a_m$。
最小二乘法可以用线性代数和矩阵计算方法求解。
最小二乘逼近是一种非常有效的数据拟合方法，并且有许多实际应用。
例如，在金融领域中，我们可以用该方法来估计股票期权价格；在图像处理中，我们可以用该方法实现图片的平滑处理和降噪处理。
二、插值插值是利用已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。
插值法可分为以下两种情况：一是利用拉格朗日插值公式，将函数表示为已知节点函数的线性组合；二是利用牛顿插值公式，基于差商的思想构造插值多项式。
两种方法的计算效果是相同的，但在计算机实现过程中，两者有些微小的差别。
在实际应用中，插值方法常常用于图像处理、信号处理、数值微分和数值积分等问题，例如，在金融领域中，也可以利用插值方法对期权的未来价格进行预测。
可行性研究报告内插法
可行性研究报告内插法在进行可行性研究时，内插法是一种常用的分析方法。
它能够通过建立适合的模型，将已知数据点之间的关系进行插值计算，从而推断出未知数据点的结果。
本文将介绍内插法的基本原理、常见的内插方法以及其在可行性研究报告中的应用。
1. 内插法的基本原理内插法是一种基于已知数据点的近似估计方法。
其基本原理是通过建立适当的数学模型，使用已知数据点的信息来推测未知数据点的数值。
内插法的核心是寻找已知数据点之间的关系，从而对未知数据进行预测。
2. 常见的内插方法在实际应用中，有多种内插方法可供选择。
以下是其中几种常见的内插方法：线性插值：线性插值是一种简单而常用的内插方法。
它假设已知数据点之间的关系是线性的，通过连接相邻数据点，利用已知数据的比例关系计算未知数据点的数值。
多项式插值：多项式插值是一种更为精确的内插方法。
它通过构建一个多项式函数，通过已知数据点的数值来确定多项式的系数，从而计算出未知数据点的结果。
常见的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
样条插值：样条插值是一种通过分段多项式来逼近已知数据点的方法。
它将整个数据集分割成多个子区间，然后在每个子区间内构建一个多项式函数进行插值计算。
样条插值方法能够更好地适应数据的变化，具有较好的平滑性和拟合效果。
3. 内插法在可行性研究报告中的应用可行性研究报告通常需要进行不同变量之间的关系分析和结果预测。
内插法可以在可行性研究中用于以下几个方面：项目收益分析：通过已知的项目收益数据点，采用内插法来推测未来收益的变化趋势，从而评估项目的可行性和潜在收益。
成本估计：内插法可以在已知的成本数据点之间进行插值计算，从而推测未来成本的变化趋势。
这有助于对项目成本的估计和预测。
风险评估：通过内插法，可以分析已知的风险数据点之间的关系，预测未知风险的可能发生情况，并进行相应的风险评估和控制。
市场需求预测：内插法可以用于已知市场需求数据点之间的关系建模，预测未知时期的市场需求，为项目决策提供参考。
化工数值方法(5-2_插值和多项式逼近)
第五章 插值和多项式逼近
4.5 帕德逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
4.5.1 连分式
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
4.6.2 算法与程序练习
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
4.4化工数值计算方法
第五章 插值和多项式逼近
4.4 牛顿多项式
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
4.4.1 嵌套乘法
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
4.4.2 多项式逼近、节点及中心
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
第五章 插值和多项式逼近
插值与多项式逼近的数组计算方法实验讲解
插值与多项式逼近的数组计算方法实验郑发进 2012042020022【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如）cos，x e，它们（x（xsin，）是用多项式逼近来计算的。
虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。
在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。
构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。
关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近一、实验目的1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。
2.比较各插值方法的优劣并掌握。
二、实验原理1.泰勒级数在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
具有任意阶导数，则幂级数如果在点x=x处的泰勒级数。
称为在点x=0，得到的级数在泰勒公式中，取x称为麦克劳林级数。
函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。
2.拉格朗日插值法如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。
这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。
数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。
在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。
作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得最后可得3.牛顿插值法插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
第四章 插值与多项式逼近
函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个 区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)，或者给出 函数表：
x
x0
x1
x2 …… xn
y
y0
y1
y2 …… yn
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✓ 换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出” 所要点的函数值。用φ(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望 φ(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单
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WUHAN UNIVERSITY
设n次多项式
P(x) an x n an1 x n1 a1 x a0
是函数y=f(x)在区间[a, b]上的n+1个互异的节点xi (i=0,1,…,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)的问题 就归结为求它的系数a,由插值条件φ(xi)= f(xi)可得
an x0 n an1 x0 n1 a1 x0 a0 f (x0 ) an x1n an1 x1n1 a1 x1 a0 f (x1 ) ________a_n__x_n_n____a_n__1_x__n_n_1_________a_1_x__n____a_0_____f_(_x__n_)________
WUHAN UNIVERSITY
12
电子信息学院
School of Electronic Information
① xk位于区间[a,b] ② 满足a≤x0 ≤x1 ≤… ≤xn ≤b ③ yk=f(xk)
浅析GPS大地高转化为正高的方法
浅析GPS大地高转化为正高的方法【摘要】本文介绍GPS大地高转化为正高的方法，结合曲面拟合法对某GPS导线网进行实例计算，与网部分水准测量成果相比较，得出结论。
另外，对拟合过程中的粗差剔除及数据诊断也进行了分析。
【关键词】GPS；大地高；正高；曲面拟合法；粗差剔除；数据诊断0 引言对于GPS大地高，能否换算为正高，作为代替常规的水准成果，到目前为止还没有一种方法可以精确求证地面上各点的高程异常，从而使GPS高程精度降低。
这种精度降低后的GPS高程能否代替传统的水准成果呢？这一问题在实际工作中经常遇到。
对于地面上点A，其大地高与正高的近似关系为：h=H-ζ其中h为正高；H为大地高；ζ是大地水准面与参考椭球面之间的差距，称大地水准面差距。
通过GPS技术，可以确定式中的H，要得到正高h，只要能确定ζ而一般确定ζ的精度很低，不能满足精度要求，因此问题在于如何利用由GPS技术测定的高程信息确定ζ，从而可将大地高H转化为正高h。
1 大地水准面差距的确定在一个小的区域内，可以用一个曲面来确定该区域的大地水准面差距，不同的区域，选不同的曲面，曲面的选择直接影响着逼近的程度，也影响着内插的精度。
常见的有多项式逼近法与多面函数法。
1.1 多项式内插法多项式内插法，用一个二元多项式函数逼近测区的大地水准面差距，用最小二乘法求出函数系数，给定任意的xi，yi时，则可确定相应的ζi，得到相应的正高。
多项式的形式一般写为：ζi（xi，yi）=α0+α1xi+α2yi+α3x■■+α4y■■+α5xiyi+α6x■■+α7y■■+…上式为n次多项式，次数越高，需求解的未知系数就越多。
在一个较小的区域，大地水准面的变化一般较缓，可用一次或二次多项式来逼近，其形式为：一次：ζi（xi，yi）=α0+α1xi+α2yi二次：ζi（xi，yi）=α0+α1xi+α2yi+α3x■■+α4y■■+α5xiyi一次多项式需求解3个未知数，至少有3个已知点，即可求出α0一次多项式逼近，用一个平面描述大地水准面差距，这种替代精度很低。
函数逼近中的插值和逼近理论
函数逼近是数学中的一个重要分支，旨在通过已知的数据点构造一个逼近目标函数的函数，并用于预测未知数据值。
在函数逼近中，插值和逼近理论是两种常见方法。
插值是通过已知数据点在特定区间内构造一个函数，使该函数通过所有已知数据点。
插值函数在已知数据点上完全匹配原函数，但在其他位置可能会有较大误差。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式将函数逼近到已知数据点的方法。
该方法利用了拉格朗日多项式具有唯一性的性质，可以通过已知数据点构造一个唯一的函数。
这个唯一函数将准确地经过已知数据点，但在其他位置的逼近可能不够理想。
牛顿插值是一种利用差商和牛顿插值多项式来逼近函数的方法。
差商的定义是通过已知数据点的函数值来定义的，可以递归地计算出牛顿插值多项式的系数。
牛顿插值在构造插值函数时比拉格朗日插值更方便，并且在处理带噪声的数据时表现更好。
插值方法的优点是对已知数据点完全匹配，但缺点是在其他位置可能存在较大误差。
插值方法适用于已知数据点密集的情况，对于数据点较少或有噪声的情况可能不够适用。
逼近理论是另一种函数逼近的方法，它通过在整个区间内构造一个函数，使该函数与目标函数在整个区间上的误差最小。
逼近方法的目标是尽可能通过已知数据点，同时在整个区间上的误差最小。
常用的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
最小二乘逼近是一种通过最小化目标函数和逼近函数之间的二乘误差来逼近函数的方法。
该方法通过求解线性方程组来确定逼近函数的系数，使得目标函数和逼近函数之间的二乘误差最小。
最小二乘逼近在处理带噪声的数据时表现良好，同时对于数据点较少的情况也适用。
Chebyshev逼近是一种通过构造一系列Chebyshev多项式来逼近函数的方法。
这些多项式在某些特定点上取值最大，因此在逼近函数时能够在整个区间上准确逼近目标函数。
Chebyshev逼近在逼近理论中具有广泛的应用，能够以较高的精度逼近各种函数。
内插法的计算公式
内插法的计算公式内插法（Interpolation）是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它通过已知数据点的函数值来估计在其它位置上的函数值。
在给定已知点的坐标和函数值的情况下，内插法用一个多项式来逼近这些已知点，并且认为这个多项式逼近函数在这些点上的函数值与实际函数值相等。
以下是几种常见的内插方法及其计算公式：1. 线性插值（Linear Interpolation）线性插值方法是用一条直线来逼近已知点，以估计其他位置上的函数值。
设已知点为(x₀,y₀)和(x₁,y₁)，要估计在介于这两点之间的位置(x,y)的函数值，线性插值公式如下：y=y₀+(y₁-y₀)*(x-x₀)/(x₁-x₀)2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值方法使用拉格朗日多项式来逼近已知点，并以此估计其他位置上的函数值。
给定已知的n个点和函数值(x₀,y₀),(x₁,y₁),...,(xₙ,yₙ)，拉格朗日插值公式如下：L(x) = Σ(yₙ * ℒₙ(x)), j=0 to n其中，ℒₙ(x) = Π((x - xₙ) / (xₙ - xₙ)), k ≠ j, k=0 to n 在这个公式中，ℒₙ(x)称为拉格朗日插值基函数，L(x)为拉格朗日插值多项式。
3. 牛顿插值（Newton Interpolation）牛顿插值方法使用牛顿插值多项式来逼近已知点，并以此估计其他位置上的函数值。
给定已知的n个点和函数值(x₀,y₀),(x₁,y₁),...,(xₙ,yₙ)，牛顿插值公式如下：N(x) = y₀ + Σ(δₙ₋₁ * ℒₙ(x)), k=1 to n其中，ℒₙ(x)=Π(x-xₙ₋₁),δ₂=(y₁-y₀)/(x₁-x₀),δ₃=(δ₂-δ₁)/(x₂-x₀),...,δₙ=(δₙ₋₁-δₙ₋₂)/(xₙ-xₙ₋₂)以上是几种常见的内插方法及其计算公式。
根据需要，可以选择适用的方法进行内插计算。
内插法计算方法
内插法计算方法内插法是一种常见的数值计算方法，它通常用于求解函数的近似值。
内插法的基本思想是通过已知函数值的插值多项式来逼近未知函数值，从而达到计算函数值的目的。
内插法的应用范围非常广泛，包括但不限于数学、物理、工程等领域。
在本文中，我们将介绍内插法的基本原理、常见的内插方法以及内插法的应用实例。
内插法的基本原理是利用已知函数值构造插值多项式，再利用插值多项式来逼近未知函数值。
插值多项式的选取通常是根据已知函数值的分布情况来确定的，常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的插值方法。
拉格朗日插值是一种常用的插值方法，它利用拉格朗日插值多项式来逼近函数值。
拉格朗日插值多项式的表达式为：\[P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \cdot l_i(x)\]其中，\(f(x_i)\)表示已知函数值，\(l_i(x)\)为拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：\[l_i(x) = \prod_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\]利用拉格朗日插值多项式可以方便地求解函数值，适用范围广泛。
牛顿插值是另一种常见的插值方法，它利用牛顿插值多项式来逼近函数值。
牛顿插值多项式的表达式为：\[P(x) = f(x_0) + (x-x_0)f[x_0,x_1] + (x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2] + \cdots\]其中，\(f[x_0,x_1]\)、\(f[x_0,x_1,x_2]\)等为差商，可以通过递归的方式求解。
牛顿插值方法具有较高的计算精度，适用于需要高精度近似的情况。
除了上述两种方法外，还有一些其他的插值方法，如分段线性插值、三次样条插值等。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的插值方法。
内插法在实际应用中有着广泛的用途，例如在数值计算、函数逼近、数据拟合等方面都有着重要的作用。
内插法计算方法
内插法计算方法内插法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它可以用来估计函数在给定区间内的某些特定值。
内插法的基本思想是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知函数的值。
在实际应用中，内插法常常用于数据的补全和平滑，以及函数值的估计和预测。
本文将介绍内插法的基本原理和常用的计算方法。
1. 拉格朗日插值法。
拉格朗日插值法是内插法中最常用的一种方法。
它通过构造一个关于已知数据点的插值多项式来逼近未知函数的值。
假设给定n+1个互不相同的数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)，其中xi和yi分别为自变量和因变量的取值，那么拉格朗日插值多项式可以表示为：Pn(x) = Σ(yi li(x))。
其中li(x)为拉格朗日基函数，它的表达式为：li(x) = Π((x xj) / (xi xj)), j ≠ i。
通过计算拉格朗日插值多项式在给定点x处的函数值，就可以得到未知函数在该点的近似值。
2. 牛顿插值法。
牛顿插值法是另一种常用的内插法计算方法。
它利用了差商的概念，通过构造一个关于已知数据点的插值多项式来逼近未知函数的值。
假设给定n+1个互不相同的数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn)，其中xi和yi分别为自变量和因变量的取值，那么牛顿插值多项式可以表示为：Pn(x) = b0 + b1(x x0) + b2(x x0)(x x1) + … + bn(x x0)(x x1)…(x xn-1)。
其中bi为差商，它的表达式为：b0 = y0, b1 = (y1 y0) / (x1 x0), b2 = (y2 y1) / (x2 x1), …, bn = (yn yn-1) / (xn xn-1)。
通过计算牛顿插值多项式在给定点x处的函数值，就可以得到未知函数在该点的近似值。
3. 线性插值法。
线性插值法是内插法中最简单的一种方法。
它假设已知数据点之间的函数关系是线性的，通过直线的插值来逼近未知函数的值。
初识插值法和逼近法
初识插值法和逼近法插值法和逼近法是数值分析领域中常用的数值逼近方法。
两者在数学和工程领域均有广泛的应用。
本文将会介绍插值法和逼近法的基本原理、常用方法以及应用实例等内容。
一、插值法1. 插值法的基本原理插值法是利用一系列已知数据点，通过构造一个适当的函数来近似代替这些数据点之间未知函数的数值。
插值方法的基本思想是通过已知数据点的数值来推导出未知函数在数据点之间的数值，从而利用得到的函数对其他未知数据进行估计预测。
2. 常用插值方法（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
通过构造一个多项式函数，使其经过已知数据点，从而利用该多项式函数来逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：牛顿插值法也是一种基于多项式的插值方法。
它通过构造一个递推公式，逐步逼近未知函数。
（3）样条插值法：样条插值法是一种相对较为复杂的插值方法。
它将函数划分为多个小区间，并在每个区间上构造一个低次多项式，利用这些多项式来逼近真实函数。
3. 插值法的应用实例插值法在工程和科学领域有广泛应用。
例如，在图像处理中，插值法常用于图像的放大和缩小。
在地理信息系统中，插值法可用于构建高程模型。
此外，插值法还在金融领域中用于利率曲线的估计等。
二、逼近法1. 逼近法的基本原理逼近法是指通过选择一个适当的函数类，使其与所需逼近的函数相似，从而用该函数类逼近未知函数。
逼近方法的基本思想是通过一些已知的函数，找到一个最接近未知函数的函数。
2. 常用逼近方法（1）最小二乘逼近法：最小二乘逼近法是一种通过最小化残差平方和来逼近未知函数的方法。
它通过构造一个最优解，选择一个函数类，使其与未知函数的残差平方和最小。
（2）离散逼近法：离散逼近法是一种基于离散数值数据的逼近方法。
它通过选择一个函数类，在已知数据点上的函数值与未知函数在这些数据点上的函数值之间的差异最小。
3. 逼近法的应用实例逼近法在信号处理、数据拟合和函数逼近等领域有广泛应用。
例如，在信号处理中，逼近法可用于去除噪声信号。
最新内插法的定义及计算公式
最新内插法的定义及计算公式1.线性插值：线性插值是最简单和最常用的内插方法之一、它基于线性函数的性质，假设两个相邻数据点之间的关系是线性的。
设已知数据点为(x1,y1)和(x2,y2)，要估算的未知数据点为(x,y)。
线性插值公式如下：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)2.多项式插值：多项式插值是通过一个多项式函数来逼近已知数据点的曲线形状。
该方法假设未知数据点之间的关系可以用多项式函数来表示。
设已知数据点为(x1, y1)，(x2, y2)，...，(xn, yn)，要估算的未知数据点为(x, y)，多项式插值公式如下：y = P(x) = a0 + a1 * (x - x1) + a2 * (x - x1) * (x - x2)+ ... + an * (x - x1) * (x - x2) * ... * (x - xn-1)其中，a0, a1, a2, ..., an为多项式的系数，可以通过求解线性方程组来确定。
3.样条插值：样条插值使用分段多项式来逼近已知数据点的曲线形状。
该方法假设未知数据点之间的关系可以用不同的多项式函数段来表示。
设已知数据点为(x1, y1)，(x2, y2)，...，(xn, yn)，要估算的未知数据点为(x, y)，样条插值公式如下：y = S(x) = Si(x) = ai + bi * (x - xi) + ci * (x - xi)^2 + di * (x - xi)^3其中，Si(x)表示第i段多项式，ai, bi, ci, di为每个多项式的系数，可以通过求解线性方程组来确定。
不同的样条插值方法具有不同的限制条件，如自然边界条件、固定边界条件等，这些限制条件有助于确保插值结果的平滑和连续性。
以上是最新内插法的几种常见形式，它们在实际应用中具有广泛的适用性。
根据具体问题的特点和数据的性质，选择合适的内插方法能够提高估算的准确性和可靠性。
函数的插值与多项式近似计算
函数的插值与多项式近似计算1. 实验描述计算机中常常要用到库函数，sin(x),cos(x)和e x ,它们是用多项式逼近来计算的。
常见的多项式逼近方法有泰勒级数、拉格朗日逼近、牛顿多项式等。
在求解不同的问题时，采用不同逼近方法或同一种方法不同阶数都会对逼近结果造成影响。
好的方法可以降低误差优化计算。
2. 实验内容比较对函数f(x)=tan(x)的逼近：计算N=9的多项式计算及误差比较;要求：1.用泰勒多项式逼近；2.拉格朗日多项式逼近；3.牛顿多项式逼近；4.帕德逼近。
3. 实验结果及分析泰勒多项式逼近：设f ∈C N+1[a,b]，而x 0∈[a,b]是固定值。
如果x ∈[a,b]，则有f x =P N x +E N (x )其中P N x 为用来近似f x 的多项式：f x ≈P N x = f k x 0 k !N k =0(x −x 0)k 误差项E N (x )形如E N (x )=f N +1 c N +1 ! x −x 0 N +1，c 为x 和x 0的某个值c =c x 。
令w=tan(x)，则泰勒展开的9项式为：P = x+1/3*x^3+2/15*x^5+17/315*x^7+62/2835*x^9用泰勒展开逼近其绝对误差b=|F-P|，相对误差c=b/|F| 由图（1）得在区间从-1到1之间泰勒展式能很逼近tan （x ），误差基本为零。
但随着x的变化，绝对误差和相对误差都变大，失去逼近效果。
红线为tan （x ），蓝线为P图（1）绝对误差相对误差拉格朗日多项式逼近：设f ∈C N+1[a,b]，且x 0,x 1,…,x N ∈[a,b]为N+1个节点。
如果x ∈[a,b]，则f x =P N x +E N (x )其中P N x 是可以用于逼近f(x)的多项式：f x ≈P N x = f (x k )L N ,k Nk =0x误差项E N (x )形如E N (x )= x −x 0 x −x 1 … x −x N f N +1 c N +1 ！c =c x 为区间[a,b]内的某个值。
内插法与多项式插值法的比较 - 中学生网站
x1 x x1 x x2 x1 x2
y1 y y y1 y2 y2 y1
xx y y1 令 1 x2 x1 y2 y1 y y1 y( x x1 ( y2 y1 ) x2 x1
由 log 2 = 0.3010， log 2.25 log 方式五： 如果取較精確的 log2=0.30103，log2.25=0.32518，log2.5=0.39794 計算結果：log 2.1 =0.322137，與 log(2.1) 較精確的值 0.322219295 相當接 近 原因探討：原始值有誤差，運算後會使誤差更擴大。所以原始值要力求精確。
二、高樹題庫 指數與對數 1990 牛頓出版社 三、網路查詢 “插值法 （內插與外插） ”.tw/numerical thods/nm_units/interpolation_n_extrapolation_intro_n_polynomial.htm 四、基本數值分析 網路文章 網址：.tw/members/03725/math.htm
3
內插法與多項式插值法的比較
方式二： 如果再配合 log 1 = 0，使用二階的拉格朗日插值法， 用 log 1 = 0，log 2 = 0.3010，log3 = 0.4771，求 log2.1
f ( x) 0
( x 2)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 2) 0.3010 0.4771 (1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)
5
所以內插法的表示式與牛頓插值法在指定兩組數據(x1,y1)、(x2,y2)的算式完全 相同 四、內插法精確度的提升 問題： 如果只知道 log 2 = 0.3010，log3 = 0.4771，視需要配合對數律，再求出 log 4 =0.6020，log 5 = 0.6990…，log 1.5、log 2.25 等等 我們是不是可以求將內插法所給定的兩組值，提升為三組或四組，藉以出較 精確的 log x ( 1< x < 10 )？ 論例： 如何由 log 2 = 0.3010 ， log3 = 0.4771 求出較精確的 log2.1 的近似值(=0.3222)? 註：log(2.1) 較精確的值為 0.322219295 方式一： 直接用 log 2 = 0.3010，log3 = 0.4771，以內插法求 log2.1 x x1 2.1 2 ( y2 y1 ) 0.3010 (0.4771 0.3010) 0.31861 y y1 x2 x1 3 2 顯然誤差約 0.0036，頗大。 原因探討：2，3 與 2.1 的誤差太大。
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這個多項式稱為 n 次的 Lagrange 插値多項式，此多項式定義於下列定理中： 定理 1.1 如果有 x0 , x1 , x2 ,L , xn 共 n + 1 個相異的點且 f 為ㄧ函數，其函數値由 n + 1 個相異 的點給定，則唯一存在一個維度最高為 n 次的多項式 p( x) ，對於 k = 0,1,L , n 使得 f ( xk ) = p ( xk ) 。此多項式為：
這個例子中我們造了一個函數 Ln ,k ( x) 滿足當 i ≠ k ， Ln ,k ( xi ) = 0 以及 Ln ,k ( xk ) = 1 。 為了滿足當 i ≠ k ， Ln ,k ( xi ) = 0 ， Ln ,k ( x) 的分子必須為：
( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xk −1 )( x − xk +1 )L ( x − xn )
p( x) = L0 ( x) f ( x0 ) + L1 ( x) f ( x1 )
因為
L0 ( x0 ) = 1, L0 ( x1 ) = 0 and L1 ( x0 ) = 0, L1 ( x1 ) = 1
可以得到
p( x0 ) = 1× f ( x0 ) + 0 × f ( x1 ) = f ( x0 ) = y0
內插法以及多項式逼近法
第ㄧ節 內插法及 Lagrange 多項式
x
x0
表格一. L x1
xn
y
y0
y1
L
yn
假設有 n + 1 個相異的點為 x0 , x1 , x2 ,L , xn ，對應的 y 値為 y0 , y1 , y2 ,L , yn (如表 格一)，我們想要找一個通過這 n + 1 個點的多項式曲線。所以，我們想要算出定 義在 x 軸的多項式且對於在表格ㄧ中的 n + 1 個相異的點 xi 代入此多項式的函數 值會滿足對應於 xi 的 yi 値。一個多項式 p 滿足 p( xi ) = yi ， 0 ≤ i ≤ n ，被稱為插値 表格ㄧ。 通過 ( x0 , y0 ) 與 ( x1 , y1 ) 相異兩點的一次多項式問題等同於利用內插法找出一 次多項式來逼近函數 f ，且此多項式滿足 f ( x0 ) = y0 及 f ( x1 ) = y1 。 首先，我們定義下列函數： x − x0 x − x1 L0 ( x) = and L1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0 然後定義
為了滿足當 x = xk ， Ln ,k ( xk ) = 1 ， Ln ,k ( x) 的分母必須與分子相等，所以，
Ln ,k ( xi ) =
( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xk −1 )( x − xk +1 )L ( x − xn ) 。 ( xk − x0 )( xk − x1 )L ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )L ( xk − xn )
以及
p ( x1 ) = 0 × f ( x0 ) + 1× f ( x1 ) = f ( x1 ) = y1
所以函數 p( x) 是唯一通過 ( x0 , y0 ) 與 ( x1 , y1 ) 的線性函數。 （見下圖 1.1）
1
考慮建造一個通過 n + 1 個點的 n 次多項式 ( x0 , f ( x0 )), ( x1 , f ( x1 )), L , ( xn , f ( xn )). 見下圖 1.2
n i =0 i≠k
(1.2)
=∏
( x − xi ) 。 ( xk − xi )
當不會對多項式的最高次方數產生混淆時，可將 Ln ,k ( x) 簡化為 Lk ( x) 。
2
例題 1. 利用三個相異的點 x0 = 2, x1 = 2.5, x2 = 4 ，對 f ( x) = 1/ x 找出二次插值多項式，需 求出多項式的係數 L0 ( x), L1 ( x), L2 ( x) 。 [解]:
p( x) = f ( x0 ) Ln ,0 ( x) + L + f ( xn ) Ln ,n ( x) = ∑ f ( xk ) Ln ,k ( x),
kk = 0,1,L , n ，
Ln ,k ( xi ) =
( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xk −1 )( x − xk +1 )L ( x − xn ) ( xk − x0 )( xk − x1 )L ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )L ( xk − xn )
(−4 x + 24) x − 32 ( x − 4.5) x + 5 + 0.25 3 3
1 ㄧ個對於 f (3) = 的近似解（見圖 1.3）為 f (3) ≈ p (3) = 0.325 。 3
3
微分連續的函數，則對於每ㄧ點 x 在 a , b 區間，存在一個數 ξ ( x) 使得
f ( n +1) (ξ ( x)) f ( x) = p( x) + ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn ) (n + 1)! (1.3) 式中的 p( x) 為 (1.1) 式的內插多項式。
( x − 2.5)( x − 4) = ( x − 6.5) x + 10, (2 − 2.5)(2 − 4) ( x − 2)( x − 4) (−4 x + 24) x − 32 L1 ( x) = = , (2.5 − 2)(2.5 − 4) 3 ( x − 2)( x − 2.5) ( x − 4.5) x + 5 L2 ( x) = = . (4 − 2)(4 − 2.5) 3 L0 ( x) =
定理 1.2 假設在 a , b 區間有 x0 , x1 , x2 ,L , xn , n + 1 個相異的點，且 f 在 a , b 區間是 n + 1 次
因為 f ( x0 ) = f (2) = 0.5, f ( x1 ) = f (2.5) = 0.4, f ( x2 ) = f (4) = 0.25, 所以我們可以得到
p( x) = ∑ f ( xk ) Lk ( x)
k =0
2
= 0.5( ( x − 6.5) x + 10 ) + 0.4 = (0.05 x − 0.425) x + 1.15.