内插法以及多项式逼近法

p( x) = L0 ( x) f ( x0 ) + L1 ( x) f ( x1 )
因為
L0 ( x0 ) = 1, L0 ( x1 ) = 0 and L1 ( x0 ) = 0, L1 ( x1 ) = 1
可以得到
p( x0 ) = 1× f ( x0 ) + 0 × f ( x1 ) = f ( x0 ) = y0
為了滿足當 x = xk ， Ln ,k ( xk ) = 1 ， Ln ,k ( x) 的分母必須與分子相等，所以，
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Ln ,k ( xi ) =
( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xk −1 )( x − xk +1 )L ( x − xn ) 。 ( xk − x0 )( xk − x1 )L ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )L ( xk − xn )
定理 1.2 假設在 a , b 區間有 x0 , x1 , x2 ,L , xn , n + 1 個相異的點，且 f 在 a , b 區間是 n + 1 次
因為 f ( x0 ) = f (2) = 0.5, f ( x1 ) = f (2.5) = 0.4, f ( x2 ) = f (4) = 0.25, 所以我們可以得到
p( x) = ∑ f ( xk ) Lk ( x)
k =0
2
= 0.5( ( x − 6.5) x + 10 ) + 0.4 = (0.05 x − 0.425) x + 1.15.
以及
p ( x1 ) = 0 × f ( x0 ) + 1× f ( x1 ) = f ( x1 ) = y1
所以函數 p( x) 是唯一通過 ( x0 , y0 ) 與 ( x1 , y1 ) 的線性函數。 （見下圖 1.1）
1
考慮建造一個通過 n + 1 個點的 n 次多項式 ( x0 , f ( x0 )), ( x1 , f ( x1 )), L , ( xn , f ( xn )). 見下圖 1.2
這個例子中我們造了一個函數 Ln ,k ( x) 滿足當 i ≠ k ， Ln ,k ( xi ) = 0 以及 Ln ,k ( xk ) = 1 。 為了滿足當 i ≠ k ， Ln ,k ( xi ) = 0 ， Ln ,k ( x) 的分子必須為：
( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xk −1 )( x − xk +1 )L ( x − xn )
這個多項式稱為 n 次的 Lagrange 插値多項式，此多項式定義於下列定理中： 定理 1.1 如果有 x0 , x1 , x2 ,L , xn 共 n + 1 個相異的點且 f 為ㄧ函數，其函數値由 n + 1 個相異 的點給定，則唯一存在一個維度最高為 n 次的多項式 p( x) ，對於 k = 0,1,L , n 使得 f ( xk ) = p ( xk ) 。此多項式為：
( x − 2.5)( x − 4) = ( x − 6.5) x + 10, (2 − 2.5)(2 − 4) ( x − 2)( x − 4) (−4 x + 24) x − 32 L1 ( x) = = , (2.5 − 2)(2.5 − 4) 3 ( x − 2)( x − 2.5) ( x − 4.5) x + 5 L2 ( x) = = . (4 − 2)(4 − 2.5) 3 L0 ( x) =
內插法以及多項式逼近法
第ㄧ節 內插法及 Lagrange 多項式
x
x0
表格一. L x1
xn
y
y0
y1
L
yn
假設有 n + 1 個相異的點為 x0 , x1 , x2 ,L , xn ，對應的 y 値為 y0 , y1 , y2 ,L , yn (如表 格一)，我們想要找一個通過這 n + 1 個點的多項式曲線。所以，我們想要算出定 義在 x 軸的多項式且對於在表格ㄧ中的 n + 1 個相異的點 xi 代入此多項式的函數 值會滿足對應於 xi 的 yi 値。一個多項式 p 滿足 p( xi ) = yi ， 0 ≤ i ≤ n ，被稱為插値 表格ㄧ。 通過 ( x0 , y0 ) 與 ( x1 , y1 ) 相異兩點的一次多項式問題等同於利用內插法找出一 次多項式來逼近函數 f ，且此多項式滿足 f ( x0 ) = y0 及 f ( x1 ) = y1 。 首先，我們定義下列函數： x − x0 x − x1 L0 ( x) = and L1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0 然後定義
n i =0 i≠k
(1.2)
=∏
( x − xi ) 。 ( xk − xi )
當不會對多項式的最高次方數產生混淆時，可將 Ln ,k ( x) 簡化為 Lk ( x) 。
2
例題 1. 利用三個相異的點 x0 = 2, x1 = 2.5, x2 = 4 ，對 f ( x) = 1/ x 找出二次插值多項式，需 求出多項式的係數 L0 ( x), L1 ( x), L2 ( x) 。 [解]:
p( x) = f ( x0 ) Ln ,0 ( x) + L + f ( xn ) Ln ,n ( x) = ∑ f ( xk ) Ln ,k ( x),
k =0
n
(1.1)
上式中，對於 k = 0,1,L , n ，
Ln ,k ( xi ) =
( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xk −1 )( x − xk +1 )L ( x − xn ) ( xk − x0 )( xk − x1 )L ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )L ( xk − xn )
(−4 x + 24) x − 32 ( x − 4.5) x + 5 + 0.25 3 3
1 ㄧ個對於 f (3) = 的近似解（見圖 1.3）為 f (3) ≈ p (3) = 0.325 。 3
3
微分連續的函數，則對於每ㄧ點 x 在 a , b 區間，存在一個數 ξ ( x) 使得
f ( n +1) (ξ ( x)) f ( x) = p( x) + ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn ) (n + 1)! (1.3) 式中的 p( x) 為 (1.1) 式的內插多項式。