利用多边形的内角和与外角和公式解题例析

利用多边形的内角和与外角和公式解题例析

利用多边形的内角和来解决问题是我们在解题时经常遇到的，而知道多边形的外角和是多少也同样重要．在学习中我们知道任意多边形的外角和都为360°，内角和公式为（n-2）180°，利用这两个知识点可以解决多边形的内角、外角、边数及对角线等问题，现就一些例题进行一下例析．

一．求多边形的边数

例1．一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是_________.

分析：设此多边形边数为n ，利用多边形内角和公式，得到（n-2）180°=900°，解得n=7，所以这个多边形的边数为7．

例2．一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是__________.

分析：设多边形边数为n ，其内角和为（n-2）180°，外角和为360°，因为这个多边形内、外角和相等，可得（n-2）180°=360°解得n=4．所以这个多边形是四边形．

例3．如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是（ ）

分析：其中一种思考方法为：因为多边形的外角和为360°，而一个外角为72°，所以它的边数 为360°÷72°=5；另一种思考方法为：因为正多边形的一个外角为72°，可以得出与它相邻的内角为180°-72°=108°，因多边形的内角和为（n-2）180°，可得（n-2）180°=108°n ，解这个方程得：n=5．

例4．一个多边形的内角和是外角和的4倍，求这个多边形的边数．

分析：此题可设多边形的边数为n ，因为多边形内角和为（n-2）180°，多边形的外角和为360°，所以根据题意可得：（n-2）180°=360°×4，解得n=10．所以这个多边形的边数为10．

二．求多边形的内角度数

例3：正六边形每个内角的度数为_________.

分析：因为多边形的外角和为360°，所以正六边形每个外角的度数为

606

360=,所以每个内角的度数为180°-60°=120°;此题也可利用多边形的内角和来解为)()(

12061802661802=⋅-=⋅-n ．

三．求多边形对角线的条数

例4：一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的对角线有_______条.

分析：因为这个多边形的每个外角都是36°，所以这个多边形是正多边形．设这个正多边形的边数为

n ，则n=1036360=

，所以这个多边形是正十边形．因为多边形对角线的总条数为2)3(-n n ，所以这个多边形的对角线的条数为)(3527023

1010==-⨯．

四．实际应用

1．某装修公司到商场买同样一种多边形的地砖平铺地面，在以下四种地砖中，你认为该公司不能 买（ ）

A 正三角形的地砖

B 正方形地砖

C 正五边形地砖

D 正六边形地砖

分析：要使买的同样一种多边形的地砖能平铺地面，则它的几个角能构成360°，因正三角形三个内角和为180°，所以它符合标准；正方形的四个内角和为360°，所以它也符合要求；而正五边形它的一个内角为108°，360°不能被108°整除，所以正五边形不符合要求；用同样的道理可知正六边形符合要求．所以此题选C ．