灰色预测模型PPT课件
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第7章灰色预测方法课件-新版.doc
第7 章灰色预测方法预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数灰色系统理论中的一个重要概念是灰数。
灰数是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。
我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。
在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“”表示灰数。
灰数有以下几类：1．仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为a, 或 a ，其中a为灰数的下确界，它是一个确定的数，我们称a, 为的取数域，简称的灰域。
一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用表示大树的重量，便有0, 。
2．仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为( ,a ] 或(a)，其中a为灰数的上确界，是一个确定的数。
一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。
3．区间灰数既有下界a又有上界a的灰数称为区间灰数，记为a, a 。
海豹的重量在20~25 公斤之间，某人的身高在 1.8~1.9 米之间，可分别记为21 20,25 ， 1. 8,1.94．连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
数学建模灰色预测法PPT课件
d. 计算小误差概率：
P P 0i 0 0.6745S1
令: 则：
ei 0i 0 ， S0 0.6745S1 P Pei S0
P >0.95 >0.80 >0.70 ≤0.70
C <0.35 <0.50 <0.65 ≥0.65
好 合格 勉强合格 不合格
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构造矩阵B与向量Y
B
1 ( X (1) (2) X (1) (1)), 2
1 ( X (1) (3) X (1) (2)), 2
1
1
... ...
1 2
(
X
(1)
(n)
X
(1)
(n
1)),
1
Y=(X(0)(2),X(0)(3),……，X(0)(n))’
min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0 k X 0 k 为两级最大差；
ρ称为分辨率，0<ρ<1, 若越小，关联系数间
差异越大，区分能力越强。一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
➢累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
第10页/共41页
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
灰色预测原理及实例ppt课件
7
青岛理工大学 管理学院
数列累加
【例1】 设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) ( N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
对数据累加 ： x(1)(1) x(0)(1) 6，
x(1)(2) x(0)(1) x(0)(2) 6 3 9， x(1)(3) x(0) (1) x(0)(2) x(0)(3) 6 3+8 17， x(1)(4) x(0)(1) x(0)(2) x(0)(3) x(0)(4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0)(5)
ea(tt0 )
u a
.
对等间隔取样的离散值 (注意到 t0 1）则为
x(1) (k 1) [x(1) (1) u ]eak u .
a
a
(2.4)
灰色建模的途径是一次累加序列（2.2）通过最小二乘法来 估计常数a与u.
21
青岛理工大学 管理学院
2 灰色系统的模型
因x(1) (1) 留作初值用，故将 x(1) (2), x(1) (3),..., x(1) (N ) 分别代入方程(2.3),
（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定 值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模 型预测该定值所发生的时点。
（5）系统预测. 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰 色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
5
青岛理工大学 管理学院
生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，强化规律 性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始 时间序列进行数据处理，经过数据处理后的 时间序列即称为生成列。
关于“灰色预测模型”讲解42页PPT
关于“灰色预测模型”讲解
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
ENDΒιβλιοθήκη
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
ENDΒιβλιοθήκη
《灰色预测》PPT课件
2 灰色模块预 测思想
3 累加生成建 模思想
4 五步建模思 想
图7.3 灰色预测模型的基本思想
12
•1 灰色预测模型的提出
• 来源于控制论，Ashby将内部信息未知的对象称为黑箱（Black Box）
信息
信息
•黑
• 信息未 知
• 黑色系 统
补充 信息
补充
灰色系统理论着重
• 灰 研究系统内部(结构 、参数、总体信特息征
②通过数据的序列生成弱化原始数据序列的 随机性(尤其是对非平稳数据序列随机性的弱化)；
③ 提出模块预测和累加生成的思想。
14
灰色预测基本模型——GM(1,1) 模型
• 定义7.1 设X (0) (x(0) (1), x(0) (2),, x(0) (n))
•称
X (1) (x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n))
X1表示;固定资产投资为资本投入,用变量X2表示,则有网络关系;
X2
W1
X1
•固定资产的投资对GDP的产出有一定的拉动效应;
29
•用适当的固定资产投资率作为国民经济系统扩大再生产的投资.此 时,GDP是前因,固定资产投资为结果,即可以将再生产的投资作为正 反馈项加入网络,综合可得系统的网络模型如下图
,因W此1(s网) 络s图0为0.4.0186995,2可
X2
0.4169/(s+0.08952)
X1
31
•第五步: 优化模型 •系统的发展变化过程是否令人满意,主要反映在闭环系统传递函数的结构 和参数上.根据以上网络图有
W1(s)(x11(s) x12 (s)) x11(s)
•所以整个闭环传递函数为
数学建模-灰色预测方法PPT文档共58页
x(1) (n) x(1) (n 1) x(0)(n)
令 Z ( 1 ) 为 X ( 1 ) 的均值序列Z (1)(z(1)(2), ,z(1)(n ))
其中： z (1 )(k ) 0 .5 (x (1 )(k ) x (1 )(k 1 ))
则GM(1,1)的灰微分方程模型为：
x(0)(k)az(1)(k)b
为紧邻均值生成数，即等权邻值生成数。 类似地，可以定义非紧邻值生成数
由 而得的数列 称为紧邻均值生成数列。
2 GM（1，1）模型
灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显 著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式 的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。
灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母， M为model的第一个字母。
则称 x ( 0 ) ( k ) 为数列 x ( 1 ) 的1- 次累减生成。
一般地，对于r次累加生成数列
则称
为数列
的累减生成数列。
（3） 均值生成
设原始数列
则称
与 为后邻值，
为数列
的邻值，
为前邻值.
对于常数
，则称
为由数列
的邻值在生成系数（权）
下
的邻值生成数（或生成值）。
特别地，当生成系数
时，则称
有：
k
x(1)(k) x(0)(m )k1,2, ,n
m 1
x(1) (1) x(0) (1) x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2)
x(1) (1) x(0) (2)
x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0)(3) x(1) (2) x(0) (3)
（2） 累减生成 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成
灰色预测模型ppt课件
.
灰色建模实例
北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号
1 2 3 4
年份
1986 1987 1988 1989
Leq 序号
年份
Leq
71.1 5
1990
71.4
72.4 6
1991
72.0
72.4 7
1992
71.6
72.1
表：某城市近年来交通噪声数据[dB(A)]
.
第一步：级比检验，建模可行性分析
.
4、灰生成技术
灰色序列生成 是一种通过对原始数据的挖掘、整理来寻求数据变化 的现实规律的途径，简称灰生成。
灰生成特点 在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与 性质。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，
显现其规律性。
灰生成的作用 1.统一序列的目标性质，为灰决策提供基础。 2.将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模。 3.揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列。
(k2,3,L,7)，故可以用X ( 0 ) 作满意的GM(1, 1)
建模。
.
第二步： 用GM(1,1)建模
1. 对原始数据 X ( 0 )作一次累加：
k
x(1)(k) x(0)(m) (k1,2,L,7) m1
得：
X ( 1 ) x ( 1 )1 ,x ( 1 )2 ,L ,x ( 1 )7
.
例2 令原始序列X ( 0 )为
X ( 0 ) x ( 0 ) 1 ,x ( 0 ) 2 , x ( 0 ) 3 , x ( 0 ) 4 , x ( 0 ) 5
(1,1,1,1,1) A G O X (0 ) X (1 ) (1 ,2 ,3 ,4 ,5 )
灰色预测法PPT
0i X 0i Xˆ 0i i 1,2,..., n
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
灰色预测模型ppt
灰色系统理论与概率论、模糊数学一起并称为研究不确定系统的三种常用方 法。它们的研究对象都具有不确定性，但研究对象在不确定上的区别派生出三种 各具特色的不确定学科。三者的主要区别如下表所示：
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 目标 特色 灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 现实规律 概率论 随机不确定 康托集 概率分布 概率统计 典型分布 历史统计规律 模糊数学 认知不确定 模糊集 隶属度函数 边界取值 隶属度可知 认知表达 经验（数据）
=（10771,11204,11487,11778,12076,12382,12695,13016,13347,13684）
精度检验
通过计算得出：（1）平均相对误差为
0
（2）X (0) 与 X 的绝对关联度为 0.993 0.90 s （3）均方差比为 c 2 0.24 0.35
其中， x (1) (k )
x ( 0) (i ), k 1,2,, n
i 1
k
在灰色系统中，累加算子的逆算子就是累减算子，累减生成对累加生成起还原作 用。
3.灰色系统预测模型
灰色预测的概念
灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测的理 论步骤如下：
进行关联 分析，并 对原始数 据进行生 成处理
灰 色 系 统 系统内一部分信息已 知，一部分信息未知， 系统内各因素间具有 不确定的关系。
白 色 系 统
系统的内部特征是 完全已知的，即系 统信息是完全充分 的。
黑 系统内部信息对外 色 界来说是一无所知 系 的。 统
1.灰色系统理论
电力负荷预测第八章 灰色预测方法课件
2.28+2.98 =5.26
x0与x1的变化曲线
70
x0
60
x1
50
40
30
20
10
0
1
x0 2.28
x1 2.28
2 2.98 5.26
3 3.39 8.65
4
5
6
7
8
9
4.24 6.86 8.64 11.85 12.15 12.71
12.98 19.75 28.39 40.24 52.29 65.1
S1
1 n 1
n i 1
(
x0( i
)
x0
)2
③计算残差0( i ) 的均值 0 1 n 0( i )
n i1
④计算残差的均方差
S2
1 n 1
n i 1
( 0(i
) 0
)2
⑤计算方差比
C S2 S1
⑥计算小误差概率p
若记 P 0( i ) 0 0.6745S1 P ei S0
Step2:计算关联度
i
1 n
n
i ( k
k 1
)，i=1,m
——表示被比较数列与参考数列间的关联度； 为各关联系数的平均值。
●算例
已知：
参考序列 Y0 8,8.8,16,18,24,32
被比较数列 Y1 10,11.66,18.34,20,23.4,30
Y2 5,5.625,5.375,6.875,8.125,8.75
)
1
2
14.19 1 17.83 1
1 2
(15.97
19.69
)
1
Yn
x0( 2 )
x0
《灰色系统理论》课件
GM(1,1)模型适用于具有指数增长或衰减规律 的数据序列，能够有效地处理不完全信息，预 测精度较高。
Verhulst模型
Verhulst模型是灰色系统理论中的另一个重要模型，主要用于描述和预测系统中的阻滞、饱和机制，模拟系统的自我调节和限制因素对系统发 展的影响。
在社会领域中，灰色 系统预测模型可用于 人口预测、城市化进 程、社会治安等方面 的研究。
在环境领域中，灰色 系统预测模型可用于 预测污染物排放、生 态保护、气候变化等 方面的问题。
在工程领域中，灰色 系统预测模型可用于 机械故障诊断、交通 流量预测、能源消耗 等方面的研究。
04
灰色系统理论的实 际应用
交通规划
通过建立灰色预测模型，对城市交通 流量、拥堵状况等进行预测和管理， 为交通规划提供依据。
05
灰色系统理论的未 来发展
灰色系统与其他系统的融合
灰色系统与模糊系统融合
通过模糊数学的方法，将灰色系统中的灰色信息转化为模糊信息，提高信息处理的精度和准确性。
灰色系统与神经网络融合
利用神经网络的自学习、自组织和适应性，对灰色系统中的非线性、不确定性问题进行建模和分析。
灰色决策分析的步骤
确定决策问题、建立决策模型、求解决策问题、评估决策效果。
03
灰色系统建模方法
GM(1,1)模型
GM(1,1)模型是灰色系统理论中最为经典的模 型之一，用于对具有不完全信息系统的数学模 拟和预测。
它通过累加生成序列的方式，将原始数据转化 为具有指数规律的递增序列，然后利用最小二 乘法对参数进行估计，建立微分方程模型。
在经济领域的应用
金融市场预测
利用灰色系统理论对股票、期货 等金融市场数据进行处理和分析 ，预测市场走势，为投资决策提 供依据。
Verhulst模型
Verhulst模型是灰色系统理论中的另一个重要模型，主要用于描述和预测系统中的阻滞、饱和机制，模拟系统的自我调节和限制因素对系统发 展的影响。
在社会领域中，灰色 系统预测模型可用于 人口预测、城市化进 程、社会治安等方面 的研究。
在环境领域中，灰色 系统预测模型可用于 预测污染物排放、生 态保护、气候变化等 方面的问题。
在工程领域中，灰色 系统预测模型可用于 机械故障诊断、交通 流量预测、能源消耗 等方面的研究。
04
灰色系统理论的实 际应用
交通规划
通过建立灰色预测模型，对城市交通 流量、拥堵状况等进行预测和管理， 为交通规划提供依据。
05
灰色系统理论的未 来发展
灰色系统与其他系统的融合
灰色系统与模糊系统融合
通过模糊数学的方法，将灰色系统中的灰色信息转化为模糊信息，提高信息处理的精度和准确性。
灰色系统与神经网络融合
利用神经网络的自学习、自组织和适应性，对灰色系统中的非线性、不确定性问题进行建模和分析。
灰色决策分析的步骤
确定决策问题、建立决策模型、求解决策问题、评估决策效果。
03
灰色系统建模方法
GM(1,1)模型
GM(1,1)模型是灰色系统理论中最为经典的模 型之一，用于对具有不完全信息系统的数学模 拟和预测。
它通过累加生成序列的方式，将原始数据转化 为具有指数规律的递增序列，然后利用最小二 乘法对参数进行估计，建立微分方程模型。
在经济领域的应用
金融市场预测
利用灰色系统理论对股票、期货 等金融市场数据进行处理和分析 ，预测市场走势，为投资决策提 供依据。
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将上述例子中的 x(0)，x(1) 分别做成图7.1、图7.2. 可见图7.1上的曲线有明显的摆动，图7.2呈现逐渐 递增的形式，说明原始数据的起伏已显著弱化.可以 设想用一条指数曲线乃至一条直线来逼近累加生成 数列x ( 1 ) .
2021
7.2 灰色系统的模型
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算
dx(1) ax(1) u dt
（7 灰色系统的模型
其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对
系统的常定输入.此方程满足初始条件
的解为
当 tt0时 x(1)x(1)(t0)
(7.3)’
x(1)(t)x(1)(t0)u aea(tt0)u a.
对等间隔取样的离散值 (注意到 t 0 1 ）则为
i1,2,...,N ， x(0)(0)0.
2021
7.2 灰色系统的模型
2. 建模原理 给定观测数据列
x (0 ) { x (0 )( 1 )x ,(0 )(2 ) ,,x (0 )(N )}
经一次累加得
x (1 ) { x (1 )(1 )x ,(1 )(2 ) ,,x (1 )(N )}
设 x (1 ) 满足一阶常微分方程
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
2021
7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减 x ( 1 )( i) x ( 1 )( i) x ( 1 )( i 1 ) x (0 )( i) 其中
2012年暑期建模培训
灰色预测模型及其应用
2021
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测 是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助 于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描 述和分析，并形成科学的假设和判断.
2021
附表3 以往几届会议代表回执和与会情况
发来回执的代表数量
发来回执但未与会的代表数 量
未发回执而与会的代表数量
第一届 315 89 57
第二届 第三届 第四届
356
408
711
115
121
213
69
75
104
每年的与会人数和年份之间没有太多的内在联系，因此可以 看做一个灰色系统！！！！
2021
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全 确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要 标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
2021
2. 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化. （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律. （3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
63+8+10+734.
于是得到一个新数据序列
x(1){6,9,17,27,34}
2021
7.2 灰色系统的模型
归纳上面的式子可写为
i
x(（ 1) i） { x(0)(j) i1,2 ,N} j1
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成.显然有 x(1)(1)x(0)(1).
缺点：不考虑系统内在机理，有时会出现较大的错误。 因此，对于内在机理明确的系统，一般不建议使用灰色 预测模型。
2021
例子：预测与会代表人数（高教杯2009D题）
此题要求为会议筹备组制定一个预定宾馆客房，租借会议室，租用 客车的合理方案，为了解决这些问题，首先要先预测与会代表人数。预 测的依据为代表回执数量及往届的与会人员数据。已知本届会议的回执 情况及以往几届会议代表回执与与会情况，见下表，根据这些数据预测 本届与会代表人数。
x(1)(k1)[x(1)(1)u]eaku. aa
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7.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1)(1) x(0)(1) 6， x(1)(2) x(0)(1)x(0)(2) 639， x(1)(3) x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3) 63+817， x(1)(4) x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4) 63+8+1027， x(1)(5) x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4)x(0)(5)
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灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决 策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前 常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本. 若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预 测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种 预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有 效工具.
要求 男 女
本届会议代表的回执中有关住宿要求信息
合住1 154 78
合住2 104 48
合住3 32 17
独住1 107 59
独住2 68 28
独住3 41 19
说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、 161~200元、201~300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合 住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。
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灰色系统的模型
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通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有 了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色 预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例1】 设原始数据序列
x ( 0 ) { x ( 0 ) ( 1 )x ( 0 ,) ( 2 ) , ,x ( 0 ) ( N ) } { 6 ,3 ,8 ,1 ,7 } 0
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7.2 灰色系统的模型
图7.1
图7.2
为了把累加数据列还原为原始数列，需进行后减运算
dx(1) ax(1) u dt
（7 灰色系统的模型
其中是常数，称为发展灰数；称为内生控制灰数，是对
系统的常定输入.此方程满足初始条件
的解为
当 tt0时 x(1)x(1)(t0)
(7.3)’
x(1)(t)x(1)(t0)u aea(tt0)u a.
对等间隔取样的离散值 (注意到 t 0 1 ）则为
i1,2,...,N ， x(0)(0)0.
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7.2 灰色系统的模型
2. 建模原理 给定观测数据列
x (0 ) { x (0 )( 1 )x ,(0 )(2 ) ,,x (0 )(N )}
经一次累加得
x (1 ) { x (1 )(1 )x ,(1 )(2 ) ,,x (1 )(N )}
设 x (1 ) 满足一阶常微分方程
或称相减生成，它是指后前两个数据之差，如上例中
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7.2 灰色系统的模型
x(1) (5) x(1) (5) x(1) (4) 34 27 7， x(1) (4) x(1) (4) x(1) (3) 27 17 10， x(1) (3) x(1) (3) x(1) (2) 17 9 8， x(1) (2) x(1) (2) x(1) (1) 9 6 3， x(1) (1) x(1) (1) x(1) (0) 6 0 6. 归纳上面的式子得到如下结果：一次后减 x ( 1 )( i) x ( 1 )( i) x ( 1 )( i 1 ) x (0 )( i) 其中
2012年暑期建模培训
灰色预测模型及其应用
2021
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通过少量 的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的 一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决 实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题 的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测 是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助 于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描 述和分析，并形成科学的假设和判断.
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附表3 以往几届会议代表回执和与会情况
发来回执的代表数量
发来回执但未与会的代表数 量
未发回执而与会的代表数量
第一届 315 89 57
第二届 第三届 第四届
356
408
711
115
121
213
69
75
104
每年的与会人数和年份之间没有太多的内在联系，因此可以 看做一个灰色系统！！！！
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1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全 确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要 标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
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2. 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化. （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律. （3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
63+8+10+734.
于是得到一个新数据序列
x(1){6,9,17,27,34}
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7.2 灰色系统的模型
归纳上面的式子可写为
i
x(（ 1) i） { x(0)(j) i1,2 ,N} j1
称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生 成，简称为一次累加生成.显然有 x(1)(1)x(0)(1).
缺点：不考虑系统内在机理，有时会出现较大的错误。 因此，对于内在机理明确的系统，一般不建议使用灰色 预测模型。
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例子：预测与会代表人数（高教杯2009D题）
此题要求为会议筹备组制定一个预定宾馆客房，租借会议室，租用 客车的合理方案，为了解决这些问题，首先要先预测与会代表人数。预 测的依据为代表回执数量及往届的与会人员数据。已知本届会议的回执 情况及以往几届会议代表回执与与会情况，见下表，根据这些数据预测 本届与会代表人数。
x(1)(k1)[x(1)(1)u]eaku. aa
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7.2 灰色系统的模型
对数据累加
x(1)(1) x(0)(1) 6， x(1)(2) x(0)(1)x(0)(2) 639， x(1)(3) x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3) 63+817， x(1)(4) x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4) 63+8+1027， x(1)(5) x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4)x(0)(5)
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灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决 策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前 常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本. 若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预 测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种 预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有 效工具.
要求 男 女
本届会议代表的回执中有关住宿要求信息
合住1 154 78
合住2 104 48
合住3 32 17
独住1 107 59
独住2 68 28
独住3 41 19
说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、 161~200元、201~300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合 住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。
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灰色系统的模型
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通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有 了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色 预测。 1. 数据的预处理 首先我们从一个简单例子来考察问题. 【例1】 设原始数据序列
x ( 0 ) { x ( 0 ) ( 1 )x ( 0 ,) ( 2 ) , ,x ( 0 ) ( N ) } { 6 ,3 ,8 ,1 ,7 } 0