相似理论与模型试验-PPT
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相似理论与模型试验ppt课件
对于原型：
Fp M pap
(1)
对于模型
Fm M mam
(2)
如果模型与原型相似，则各对应物理量成比例：
Fm SF Fp
mm Smmp
am Saap
(3)
力相似常数
质量相似常数
加速度相似常数
将(3)代入(2)，与(1)相比有：
相似指标
SF SmSa
Fp
mpap
SF 1
(4)
SmSa
（4）式为判别模型与原型是否相似的条件，称为相似指标，若两 个物理系统现象相似，则它们的相似指标为1。
面积相似常数
截面抵抗矩相 似常数
惯性矩相似常 数相似常数
SA
Am Ap
hm bm hp bp
Sl2
SW
Wm Wp
1 6
bm
h2 m
1 6
bp
h2 p
Sl3
SI
Im Ip
1 12
bm
h3 m
1 12
bp
h3 p
Sl4
2.质量相似
➢ 要求模型与原型结构对应部分质量成比例。
➢ 质量之比称为质量相似常数。 代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。
假若确定a1 , a4, a5,则：
n-k 个导出量的量纲可用基本量纲表示：
量纲表示：麦克斯韦尔符号，比如[L],[M],[T]，表示长度，质量和时间的量纲。
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。 将上式代入模型系统，得：
将上式并与模型系统相比较，得相似准数如下
将各物理量的相似常数代入上式，即得相似条件
由第二相似定理，可以有：
模型系统各物理量为 由于 π 数对于相似的物理现象具有不变的形式，故模型设计时需模型物理量与原型物理量满足下式，即：
相似理论与模型试验
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7
④ 模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不 能直接研究的实物对象的性能。 ⑤当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了 现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工 程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用 前景。
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2
但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性， 在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓 住现象的全部本质，从而无法向实验条件范围以外的同类现象 推广。 但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究 的全新理论——“相似理论”，便应运而生了。它是把数学解 析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中 的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程 问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。
相似理论与模型实验
授课对象：研究生 授课教师：严仁军 二О一四年十月
引 言
1.人们对自然规律的不倦探索
在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界 的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静 止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用 的范围。 高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是 探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综 复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或 根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。
8
一、物理模拟和数学模拟
物理模拟——是指基本现象相同情况下的模拟。 这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。 区别只在于各物理量的大小比例不同。因此，物理模拟也可说 成是保持物理本质一致的模拟。 （两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。
流体力学(相似原理与)
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
1 v l
小，失去了模型实验的价值。
v l
显然，要同时满足以上两个条件，则
l 1
,即模型不能缩
从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力
相似是难以实现的。
二、模型设计
模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺 l 小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。 通常，模型和原型采用同一种类流体，则 1 ，然后按 所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的
二、佛汝德准则
作用在流体上的力主要是重力。即：重力
重力比尺
G V g p p p p 3 G g l G V g m mm m
G = mg = ρVg
由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即λf = λG 于是
2 2 3 l v g l
模型流量为
Q p
因为
Q m
vpA p v mA m
2 l
vp v m
所以
Q v . 3 ( 90 4 . 3 ) 8 . 2 0 . 325 3 p m 2 Q 0 . 091 ( m / s ) m 2 2 v 50 2 . 3 l p
相似原理与模化实验
1 6 226.8 10 80.64 pa 800 11.25
（3） 说明：以空气为介质作模型：由Re相等，则
m lp 30 p lm
m 180m / s
此时空气压缩性不能忽视，故不能用空气作介质，
则用水质后，
m 11.25m / s
5.3相似定理
三个定理回答了三个问题：
1.实验研究必须测量哪些量→相似第一定理 2.如何做到模型与原型相似→相似第三定理 3.如何对测量结果进行加工整理→相似第二定理
5.3相似定理
5.3相似定理
5.3相似定理
例：
总结： ⒈相似第一定理是对相似性质的总概括，阐明了 相似现象中各物理量之间存在一定关系。 ⒉对于复杂的现象，常存在几个相似准数。 例：对不可压缩粘性流体的不稳定等温流动共有 四个： t H0 均时性准数： 不稳定流体流动必与 t 有关。 l l Re 雷诺准数： 与粘性有关的流动，惯性力/粘性力 付鲁德准数： Fr
b 1 c 1 0 ab vd 1 1 v k d , k
1 b
Re
vd
5.4量纲分析和π定理
5.4.2.2 布金汉（Buckingham）定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数 关系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式 F(1,2, … n-m)=0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中 的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物 理现象的内在关系。
or 其中：
1 f（ 2， 3 n）
1 ——非定性准数 2 n ——定性准数
相似理论
▪ （1）理论基础：量纲齐次方程的数学理论，相似第二定律（即π定理）
▪
•
可以不局限于已知物理方程的物理现象，尤其对于一些机理尚未 弄清及规律还未充分掌握的复杂现象尤为明显；
可以通过相似实验核定所选参数的正确性，从而不断为善实验； 应用范围广，只要方程分析法能用，量纲分析法也能用，而方程 分析法不能用时，量纲分析法也能使用。 很难控制无量纲的量； 考虑不了现象中的单值条件； 不能区别量纲相同，但在方程中却有着不同物理意义的量纲； 量纲分析法并没有体现所研究对象的本质问题，从而导致有时获得 的相似判据不易显示其真正的物理意义。
相似理论与结构模型试验
姓名：张朋 学号：2017200253 专业：建筑与土木工程
目录：
▪ 1.相似概述与模型试验
▪ 2.相似分类及相似定理
▪ 3.相似条件的推导 ▪ 4.总结
1.相似概述与模型试验
▪ 相似：从我们初中学习的相似三角形这一概念出发，进行类比，在 许多现实世界的一些物理现象也可以实现相似，即各种物理量的相 似（如：时间，力，速度，加速度等），从而由现象相似简化到参 数相似。 ▪ 模型试验：是根据实体与原型之间相关联的相似要求设计而得的， 利用模型研究实体是一次认识论的飞跃，模型试验直观、有效的特 点始终是各类科研项目必选的研究方法之一，无论在传统的数学、 物理、化学学科，还是生物医药、航空航天、土木建筑等学科中都 起到了至关重要的作用。但模型不能完全反映实体的各个特征，必 须在实践中不断的摸索与改进，使之能更精确的描述实体。所以模 型试验在科学研究和技术革新等方面还需要更多完善。
谢谢大家观看！！！
▪ 分别以a=1,带入公式（2.68） b=1, c=1, 列出π矩阵：
3.相似条件的推导
仿真模型和研究对象的相似理论研究
５数学模型的相似理论
数学攒型的栩似理论以袭述誉同类事物的数学袭迭式为椭似熊磁，它通过对奠赏澍掾数学模型的饼 究，揭示粪变搴物乏润的趱鼯，恣待囊螫研究夺翔的寅体、夺Ｉ弼的物瑷譬领域、夺Ｉ浏的学科撩域的晦麟时－ 采溺缱ｊ楚该镢域的数学横塑．并邋遵数学模型的逡镎，搦零戮究对象之涧的樵似攥镎。主簧露”４； （ｉ）连续系统动力学的数学相似
弱榴僦唾ｔ Ｓ《爿．Ｂ．ａｂ）商械似城醴矗，谢Ｓ（８．ｅ．施）巾订捌｛咀域瓣。翻聚撑参翱船没钶突艇，’。黢爿４ｉ可
魅鬻Ｃ翱戗：如聚娃夯和如蠢交麓，在交繁的城ｒｐ彳和ｅ晦糍桐襄冀，假翱似程度弱于Ａ秘Ｂ发器和Ｃ的
镧似。阿觅，瓣翱似碜物程～般辩况“Ｆ。不满燧糯似的馁递观张。
期议理论中麴蜜物横烈稠似，数学模趔相似。多数楚潍搠戤，瓣，，。般添娩舱辋似，艇魏系缆翱似大多
ｓ㈣。＝ｉｍ
＾
（３～１）
跗小孚
珊个栩似特鬣在撕鸯特秘巾所￡譬的比例系教为Ｓ（ｒ）。，则有
（３－２）
刚。＝磊ｂ
继翱ｔ ｔ盯段得到Ｓ（甜）。、Ｓ（６）。秘Ｓ（，＋）。麴强攘荚系为
（３－３）
上：上＋上一Ｉ 一＝一十一一Ｉ
Ｓ（ｒ）。 Ｓ（ｎ）。 Ｓ（６）。
②线性蒙缆的相似度
（：ｉｌ一４）
ｌ，’一镛，
ｒ域｝｛｛；｜埘个拘似特掘祷自的比铡系数町耱铡记为ｔ赡，您，…，‰ａ考尴镣…糯戳特征缭黪嬲栩狱的影嘲
侔豢简介：荆、曦，蓝．游．ｂ涮瓮，羲，羹漤鲥究疗囱为仿爨横测＿蘩】涮一嗲§对鬣麴辩｛螽麓骥论黎ｌ黢褥战攒镑蠹；
Ｅ＊ｎ辫ａｉ ｌ：ｓ１８：：国１７睡１６３．ｃｏ獭。
２相似理论概述
栩似嚣沦魁蝣备瀵‘黪鞫之闻榭似规簿和淡现的描述，也憝研究枣物之润栩搬规律成用理论的描述。宅 措￡｝｛搿物之湖存程蔗辫。搬襻在筵憔，必饿寝现乏…为搠似性。棚戳憔誉仪稃程予举阏豹薄物乏闯，媳存 在ｊ：搴物的憋体鞫潮持之间．即露榴似性。不隧的学科饼究对藩正戆一瀵疑霄鼋鞫议麴溥物，邈研究这类枣 物的煞性的秘学，所｛冀栩戳理论的ｒ。泛涵义Ｗ以适爝多类学科。仿舆科譬．％技术豹栩搬理论楚限予为镑粪 两珏拽攀物乏问羽桐似髋的理沦，它跫一～个，ｊ、范阑内驰棚似性，怒为建宠仿舆系统蒋渗硬的枢戳饿的理沦， 蔽１｜ｆｌ认为它怒使仿囊成必现实的蕊攀理埝之”。歉据棚馘理论盼内澜，对萁进行分类，它渤以一Ｆ悲郯分缀 成。 厂翔戗豹・糕本理论 ｌ ｌ 寓物榄型棚溉璇论
相似理论与模型试验
因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行 驶所遇到的空气阻力
Fp=Fm/kF=1000/1=1000N
力矩M
压强p
kM
功率N
Fl m Fl p
k kl3kv2
动力粘度
kN kM kt 1 k kl 2kv3
kp
pm pp
kF kA
k kv2
k k klkv
46
Dynamic Similarity
Forces at corresponding locations on model and prototype are similar
满足了主要动力相似，抓住了解决问题 的实质。 （注意：对于Eu准数而言，在其他相似准 数作为决定性相似准数满足相等时， Eu 准数同时可以满足）
57
第三节 模型设计与数据换算
1 模型流动设计
设计模型流动,要使之成为原型流动的 相似流动，原则上要满足几何相似、运 动相似和主要动力相似。具体设计时， 首先要考虑该流动性质选择决定性相似 准数，此外还要考虑实验规模和实验室 的条件以及实验时所采用的流体是否与 原型流动中的流体相同且是否同一温度 等因素。
up vp
up um vp vm
vm um
45
三 动力相似（受力相似）
定义:两流动的对应部位上同名力矢成
同一比例。引入力比例系数 也可写成 kF kmka (k kl3)(klkt 2 )
k
kF kl
2kv
Fm Fp
2
C
力学物理量的比例系数可以表示为密度、
尺度、速度比例系数的不同
❖第一节 基本概念
❖ 1、相似 ❖ 指自然界中两个及以上现象在外在表象
及内在规律性方面的一致性。工程界常指 “模型”与“工程原型”之间的一致性。
Fp=Fm/kF=1000/1=1000N
力矩M
压强p
kM
功率N
Fl m Fl p
k kl3kv2
动力粘度
kN kM kt 1 k kl 2kv3
kp
pm pp
kF kA
k kv2
k k klkv
46
Dynamic Similarity
Forces at corresponding locations on model and prototype are similar
满足了主要动力相似，抓住了解决问题 的实质。 （注意：对于Eu准数而言，在其他相似准 数作为决定性相似准数满足相等时， Eu 准数同时可以满足）
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第三节 模型设计与数据换算
1 模型流动设计
设计模型流动,要使之成为原型流动的 相似流动，原则上要满足几何相似、运 动相似和主要动力相似。具体设计时， 首先要考虑该流动性质选择决定性相似 准数，此外还要考虑实验规模和实验室 的条件以及实验时所采用的流体是否与 原型流动中的流体相同且是否同一温度 等因素。
up vp
up um vp vm
vm um
45
三 动力相似（受力相似）
定义:两流动的对应部位上同名力矢成
同一比例。引入力比例系数 也可写成 kF kmka (k kl3)(klkt 2 )
k
kF kl
2kv
Fm Fp
2
C
力学物理量的比例系数可以表示为密度、
尺度、速度比例系数的不同
❖第一节 基本概念
❖ 1、相似 ❖ 指自然界中两个及以上现象在外在表象
及内在规律性方面的一致性。工程界常指 “模型”与“工程原型”之间的一致性。
第五章 相似理论与结构模型试验
2.2.6.边界条件和初始条件
在材料力学和弹性力学中，常用微分方程描
述结构的变形和内力，边界条件和初始条件是求 微分方程的必要条件。原型与模型采用相同组微 分方程和边界条件及初始条件描述。
2.2.6.1 边界条件
原型与模型在外界接触的区域内各种条件 保持相似。如支撑条件、约束情况、边界受力 等相似。
d 水泥砂浆
水泥砂浆被广泛地用来制作钢筋混凝土板壳等 薄壁
似，即模型与原模型结构对应部分的质量成比例 Sm=mm/mp或Sp=ρm/ρp 质量是密度与体积的乘积：
Sp=ρm vmvm/(ρpvpvp)=Sm/S3l
可见，在给定几何常数后，密度相似常数可以
由质量相似常数导出。
2.2.3.荷载相似
模型与原型在各对应点所受的荷载方向一
致，荷载大小成比例。集中荷载与力的量纲相
3.1 模型的类型分类
如按模型试验研究范围可分为：弹性模型试验、强
度模型试验。
如按试验模拟的程度分类：断面模型试验(平面)，
半整体模型，整体模型试验。
如按试验加载方法分类：静力结构模型试验，动力
结构模型试验，等等。
3、模型设计
3.2 模型几何尺寸的确定
确定几何尺寸是关键的一步，主要应考虑： a、 模型的尺寸大小要适中，可行，对于与结构 物相互作用问题，应考虑影响范围。 b、 测量手段，应考虑传感器的大小和精确度要 求。当传感器精度不够时应加大模型尺寸。 c、 试验待求量应方便、可以实施 因此，设计时应综合考虑模型类型、制作条件及试 验等，才能确定出一个最优的几何尺寸。
1.3.模型试验特点
经济性好
特点
针对性强 数据准确
1.4.模型试验适用范围
1
相似原理及水力模型试验PPT课件
(3)时间比尺
t
V Q
3L 2.5
L
0L.5
.
29
(4) 力的比尺
F
MPaP MMaM
PVP
dv
dtP
MVMddvtM
液体相同
3L 1
F 3L
(5) 压强比尺
液体相同
p
F A
2L3L
L
1
p L
.
30
(6) 功的比尺
WFL L4
1
W 4L
(7) 功率比尺
N
W t
0L.54L
3L.5
1
F
U 2D2
2
UD
按照什么相似准数设计模型试验？
2
UD
1 Re
相似准数为 Reynolds 数
1f(2)
.
24
Step7：确定模型试验数据
• 采用同样液体－水
– 速度比尺 v 1L 0.1
vL 1
– 时间比尺 t L vL 2100
– 力的比尺 FL3v/t 1
Step8：进行试验，测量
Step9：数据处理，还原
3 1 3
0 1 0 0
101
.
21
Step4：写出无量纲数（5-3=2个）
1
F
U D x1 y1 z1
U D 2
x2 y2 z2
Step5：根据量纲和谐原理求出各量指数
[M L T 2 ] [L 3 M 1 ]x 1 [L T 1 ]y 1 [L ]z 1
1 x1
x1 1
– 水力模型定义：
模拟水利工程、工程流体力学中的流动过程、 流动状态和流动现象的物理模型 (physical model)
水力学第12章 相似理论-2015
（2 ）相似准则
（i) 重力相似准则(弗劳德数相似准则）
G
Gp Gm
3 p g pl p 3 g l 3 m gmlm
重力起主要作用时： F G ，
3 3 p g pl p m g m lm 2 2 2 2 pl p v p m lm v m
1 1 a , b 2, c 2 2
Q k d p kd
2
1 2
1 2
2
p
kd
2
gh kd 2 gh
4
令 则
k 2 Q k'
k'
4
d 2 2 gh k ' A 2 gh
２. 定理
•
物理现象涉及 n 个物理量
f ( x1 , x2 ,, xn ) 0
p l vd l f ( , , ) f ( , Re, ) 2 2 2 v d d d d v2 两边乘以 g
p hf , g
令 f 3 (Re, ) d
p l v2 f 3 (Re, ) g d d 2g
l v2 hf d 2g
10
几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征 它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件
动力相似是决定流动相似的主导因素
运动相似是几何相似和动力相似的表现形式 它们是一个统一的整体，缺一不可。
2 相似准数及相似原理
（1）.牛顿数Ne及牛顿相似定律
牛顿数=外力/位移惯性力 惯性力：
•
如
诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出
[ x] [ L T M ]
相似性理论
例1：单自由度系统有阻尼受迫振 动相似准数的导出。振动微分方 程如下：
d 2 y dy
m
dt 2
c dt
ky
p
解：对于原型系统振动微分方程
mp
d 2 yp
dt
2 p
cp
dy p dt p
kp yp
pp
对于模型系统振动微分方程
mm
d 2 ym dtm2
cm
dym dtm
km ym
S
Sl
2.质量相似
要求模型与原型结构对应部分质量成比例。 质量之比称为质量相似常数。
质量密度相似常数
Sm
mm mp
S
m p
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。
S
Sm SV
Sm S3
l
3.荷载相似
要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致， 大小成比例。
集中荷载相似常数
第二章 结构相似理论
2.1 概述
力学分析
理论计算 实验研究
原型试验 模型试验
模型试验是将发生在原型中的力学过程,在物理相 似条件下，经缩小(或放大)后在模型上重演。对 模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根 据相似关系换算到原型中去，达到研究原型力学 过程的目的。
模型试验的优点： 经济性好－模型尺寸小 针对性强－突出主要因素，略去次要因素 数据准确－室内试验 模型试验的应用： 代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。 作为结构分析计算的辅助手段。 验证和发展结构计算理论。
Sp
Pm Pp
Am m AP P
S
相似理论与结构模型试验教学课件
多尺度研究
开展多尺度、多物理场的相似理 论与结构模型试验，以揭示复杂 结构在不同尺度下的行为和性能 。
THANKS 感谢观看
可分为缩尺模型和原尺寸模型。缩尺模型按一定比例缩小真实结构，主 要用于研究结构和材料的宏观特性；原尺寸模型与真实结构尺寸一致， 主要用于测试结构的整体性能。
按试验环境分类
可分为室内模型试验和室外模型试验。室内试验通常在试验室进行，环 境可控；室外试验则在大自然中进行，模拟真实环境条件。
03
按加载方式分类
相似准则的确定
相似准则的确定是模型设计的 关键步骤，它涉及到几何相似 、边界条件相似、物理量相似 等。根据相似理论，这些相似 准则需要在模型和实际结构之 间建立起来。
模型缩尺比例的选择
在模型设计过程中，需要根据 相似理论选择合适的缩尺比例 。缩尺比例的选择应考虑试验 条件、试验目的以及模型的制 作难度等因素。
经济性原则
在满足试验目的的前提下，应尽量节 约成本，选择合适的材料和工艺制作 模型。
可扩展性原则
设计应考虑未来扩展的可能性，以便 进行更深入的研究或应用于其他类似 结构。
03 相似理论在结构模型试验中的应用
相似理论在模型设计中的应用
相似理论在模型设计中的 应用
在结构模型试验中，相似理论 是指导模型设计的重要理论。 通过相似理论，可以确定模型 与实际结构的相似性，从而确 保试验结果的可靠性。
相似理论的基本概念包括相似准则、 相似判据、相似变换等，这些概念是 用来确定事物之间的相似程度和相似 关系的。
相似理论的应用领域
相似理论在许多领域 都有广泛的应用，如 工程设计、物理实验 、生物医学、社会科 学等。
在工程设计领域，相 似理论可以用于模型 试验和仿真分析，通 过建立相似模型来预 测实际系统的性能和 行为。
开展多尺度、多物理场的相似理 论与结构模型试验，以揭示复杂 结构在不同尺度下的行为和性能 。
THANKS 感谢观看
可分为缩尺模型和原尺寸模型。缩尺模型按一定比例缩小真实结构，主 要用于研究结构和材料的宏观特性；原尺寸模型与真实结构尺寸一致， 主要用于测试结构的整体性能。
按试验环境分类
可分为室内模型试验和室外模型试验。室内试验通常在试验室进行，环 境可控；室外试验则在大自然中进行，模拟真实环境条件。
03
按加载方式分类
相似准则的确定
相似准则的确定是模型设计的 关键步骤，它涉及到几何相似 、边界条件相似、物理量相似 等。根据相似理论，这些相似 准则需要在模型和实际结构之 间建立起来。
模型缩尺比例的选择
在模型设计过程中，需要根据 相似理论选择合适的缩尺比例 。缩尺比例的选择应考虑试验 条件、试验目的以及模型的制 作难度等因素。
经济性原则
在满足试验目的的前提下，应尽量节 约成本，选择合适的材料和工艺制作 模型。
可扩展性原则
设计应考虑未来扩展的可能性，以便 进行更深入的研究或应用于其他类似 结构。
03 相似理论在结构模型试验中的应用
相似理论在模型设计中的应用
相似理论在模型设计中的 应用
在结构模型试验中，相似理论 是指导模型设计的重要理论。 通过相似理论，可以确定模型 与实际结构的相似性，从而确 保试验结果的可靠性。
相似理论的基本概念包括相似准则、 相似判据、相似变换等，这些概念是 用来确定事物之间的相似程度和相似 关系的。
相似理论的应用领域
相似理论在许多领域 都有广泛的应用，如 工程设计、物理实验 、生物医学、社会科 学等。
在工程设计领域，相 似理论可以用于模型 试验和仿真分析，通 过建立相似模型来预 测实际系统的性能和 行为。
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Sm
mm mp
, Sc
cm cp
, Sk
km kp
,Sy
ym yp
, St
tm tp
,Sp
pm pp
模型系统各物理量为
mm Smmp , cm Sccp , km Sk k p , ym S p yp , tm Sttp , pm S p pp
将上式代入模型系统，得：
Sm
Sy St2
mp
例1：单自由度系统有阻尼受迫振 动相似准数的导出。振动微分方 程如下：
d 2 y dy
m
dt 2
c dt
ky
p
解：对于原型系统振动微分方程
mp
d 2 yp
dt
2 p
cp
dy p dt p
kpyp
pp
对于模型系统振动微分方程
mm
d 2 ym dtm2
cm
dym dtm
km ym
pm
各物理量的相似常数为
d 2 yp
dt
2 p
Sc
Sy St
cp
dy p dt p
Sk Sy
kp yp
Sp
pp
Sm
Sy St2
mp
d 2 yp
dt
2 p
Sc
Sy St
cp
dy p dt p
SkSy
kp yp
Sp
pp
与原型系统相比较，得：
Sm
Sy St2
Sc
Sy St
Sk Sy
mp
Sp
d 2 yp
dt
2 p
质量密度相似常数
Sm
mm mp
S
m p
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。
S
Sm SV
Sm S3
l
3.荷载相似
➢ 要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致，
大小成比例。
集中荷载相似常数
Sp
Pm Pp
Am m AP P
S
S2 l
线荷载相似常数
S
S
S l
面荷载相似常数
Sq S
弯矩或扭矩相似常数
确定相似条件
几个重要概念小结
➢ 相似常数:在两相似现象中，两个对应的物理量之比 为常数。
➢ 相似指标:由彼此相似现象中各相似常数组成的无量 纲量,彼此相似的现象都满足相似指标等于1的条件。
➢ 相似准数:在所有相似的现象中是一个不变量，无量 纲量,所有相似的系统相似准数应相等。
2.3.2 方程分析法
模型试验
Akashi Kaikyo Bridge, Japan
明石头海峡大桥，日本
模型试验
模型试验 航空航天领域
原型试验
日本，E-Defense振动系统， “足尺三维振动破坏实验设
施”
UCSD-NEES 室外振动台实验
模型试验的优点： ➢ 经济性好－模型尺寸小 ➢ 针对性强－突出主要因素，略去次要因素 ➢ 数据准确－室内试验 模型试验的应用： ➢ 代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。 ➢ 作为结构分析计算的辅助手段。 ➢ 验证和发展结构计算理论。
解：对于原型结构，在任意截面 a
P
处弯矩、正应力和挠度为：
M p Pp (Lp ap )
p
Mp Wp
Pp Wp
(Lp
ap )
a
L
fp
Pp a 2p 6EpI
p
(3Lp
ap)
模型方程
Mm Pm (Lm am )
m
Mm Wm
Pm Wm
(Lm
am )
fm
Pmam2 6Em I
m
(3Lm
am )
则相似系统的结构相似常数为
2.2.2 物理量的相似
1.几何相似
➢ 要求模型与原型结构之间所对应部分的尺寸成比例。 ➢ 几何尺寸之比称为几何相似常数。
Sl
lm lp
bm bp
hm hp
Sl 几何相似常数 l、b、h 结构的长、宽、高三个方向的线性尺寸 m、p 分别代表模型和原型
对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、 截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为
量纲只区分物理量得种类，而不区分同一物理量得 不同量度单位，如：5m，500cm。
同名物理量具有相同的量纲。
➢基本量纲:具有独立性的量纲，任何一个量纲不可 能由其他量纲组成。
质量系统：长度[L]、时间[T]、质量[M] 绝对系统：长度[L]、时间[T]、力[F]
➢导出量纲:所研究物理过程中全部有关物理量都可由 这组基本量纲表示，任何物理量B的量纲可写成 [B]=[FLT]
利用描述现象的基本微分方程组导出相似准数（判据）。
具体步骤：
➢第一步：将方程对于原型写出，加角标 p； ➢第二步：将方程对于模型写出，加角标 m； ➢第三步：定义模型和原型同名物理量间的相似常数； ➢第四步：将模型方程中各物理量以相似常数和原型中 对应物理量表示。 ➢第五步：比较原型与模型方程，消去原型方程中的各 物理量，即得到无量纲形式的相似指标和相应的相似准 数（判据）。
f (x1, x2 ,, xn ) 0
F (1, 2 ,..., nk ) 0
把表示物理过程的方程转换成由 相似准数表示的方程。
假设一物理现象的关系方程为：f(x1,x2,…,xn)=0,式中x1, x2,…, xn为n个物理量，其中k个为基本量纲，(n-k)个为 导出量纲。k个基本量纲为：
x1 x11x20......xk0
Sy yp
S
q'
S
4
l
qp
x
p
24
S
E
S
4
l
E
p
I
p
(Lp3
2Lpxp2
xp3)
SM MP
S
q'
S
2
l
qp
x
p
2
(LP
xP )
S
p
S
q'
S
2
l
qp
x
p
S
3
l
2W
p
(Lp
ห้องสมุดไป่ตู้
xp )
整理得
SySE S q'
yp
qp xp 24Ep I
p
(Lp3
2Lp xp2
x
3 p
)
SM S S2
q' l
MP
qp xp 2
教学课程《实验应力分析》
第二章 结构相似理论
哈尔滨工业大学土木工程学院 2012年11月16日
2.1 概述
力学分析
理论计算 实验研究
原型试验 模型试验
模型试验是将发生在原型中的力学过程,在物理相 似条件下，经缩小(或放大)后在模型上重演。对 模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根 据相似关系换算到原型中去，达到研究原型力学 过程的目的。
模型试验的理论基础——结构相似理论
2.2 模型的相似
2.2.1基本概念
物理量和 物理现象 的相似
1. 物理量相似
各种物理量，如几何，质量，力等。
2. 物理现象相似
是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系统中， 在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型与原型的 各相应物理量之间的比例应保持常数。
在两个系统中，所有向量在对应点和 对应时刻方向相同、大小成比例，所 有标量也在对应点和对应时刻成比例
Sl
Lm Lp
, SE
Em Ep
, SI
Im Ip
Sl4 , SW
Wm Wp
Sl3
模型系统各物理量为
ym
Sy yp,Mm
SM M p,m
S p , q'm
Sq'
q
' p
,
xm
Sl xp
Lm Sl Lp , Em SE Ep , Im Sl4I p ,Wm Sl3Wp
将模型系统各物理量代入上式
5.时间相似
对于结构的动力问题，在随时间变化的过程中，要 求模型与原型在对应时刻进行比较，要求相对应的 时间成比例。
St
tm tp
时间相似常数
6.边界条件相似
要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条 件（支承条件、约束条件和边界上的受力情况等） 保持相似。
与原型结构构 造相同的条件
7.初始条件相似－动力问题
SE
Em Ep
,Sp
Pm Pp
,
SM
Mm Mp
, S
m p
,S
f
fm fp
Sl
lm lp
am ap
hm hp
bm bp
, Sw
Sl3
Wm Wp
, SI
Sl4
Im Ip
,
将以上各式代入原型系统方程，
Mm
SM S P Sl
Pm (Lm
am )
m
S Sl2 Sp
Pm Wm
(Lm
am )
fm
S f SE Sl Sp
面积相似常数
截面抵抗矩相 似常数
惯性矩相似常 数相似常数
SA
Am Ap
hm bm hp bp
Sl2
SW
Wm Wp
1 6
bm
h2 m
1 6
bp
h2 p
Sl3
SI
Im Ip
1 12
bm
h3 m
1 12
bp
h3 p
Sl4
2.质量相似
➢ 要求模型与原型结构对应部分质量成比例。 ➢ 质量之比称为质量相似常数。