相似理论与模型试验-PPT

Pm am2 6 Em I
m
(3Lm
am )
将上式并与模型系统相比较，得相似准数如下
SM 1 S P Sl
1
M PL
S Sl2 1 Sp
2
L2
P
S f SESl 1 Sp
3
fEL P
Mp
Mm SM
Mm S pSl
由相似条件得到原型受力分布
p
m
S
m
Sl2 Sp
fp
fm Sf
fm
SE Sl Sp
Sy yp
S
q'
S
4
l
qp
x
p
24
S
E
S
4
l
E
p
I
p
(Lp3
2Lpxp2
xp3)
SM MP
S
q'
S
2
l
qp
x
p
2
(LP
xP )
S
p
S
q'
S
2
l
qp
x
p
S
3
l
2W
p
(Lp
xp )
整理得
SySE S q'
yp
qp xp 24Ep I
p
(Lp3
2Lp xp2
x
3 p
)
SM S S2
q' l
MP
qp xp 2
要求模型与原型在初始时刻的运动参数相似。 初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。模型 上的速度、加速度和原型的速度和加速度在对应的 位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动方向 一致。
2.3.结构相似定理
2.3.1.第一相似定理
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
对于原型：
Fp M pap
5.时间相似
对于结构的动力问题，在随时间变化的过程中，要 求模型与原型在对应时刻进行比较，要求相对应的 时间成比例。
St
tm tp
时间相似常数
6.边界条件相似
要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条 件（支承条件、约束条件和边界上的受力情况等） 保持相似。
与原型结构构 造相同的条件
7.初始条件相似－动力问题
物理方程量纲的齐次性：当量度单位发生改变时，方 程的结构形式不变的性质称为物理方程量纲的其次那 性。
第二相似定理
若在一个物理方程中共有n个物理参数x1, x2, …, xn和k 个基本量纲，则可组成(n-k)个独立的无量纲组合。无 量纲参数组合简称“π 数”，则此方程可改写为(n-k) 个π数的方程，即：
面积相似常数
截面抵抗矩相 似常数
惯性矩相似常 数相似常数
SA
Am Ap
hm bm hp bp
Sl2
SW
Wm Wp
1 6
bm
h2 m
1 6
bp
h2 p
Sl3
SI
Im Ip
1 12
bm
h3 m
1 12
bp
h3 p
Sl4
2.质量相似
➢ 要求模型与原型结构对应部分质量成比例。 ➢ 质量之比称为质量相似常数。
例3：受均布载荷 q′ 作用的简支梁在截面 x 处 的挠度、弯矩和正应力如下，求相似准数。
y qx (L3 2Lx2 x3) 24EI
M qx (L x百度文库 2
qx (L x)
2W
解：原型系统方程
yp
qp xp 24Ep I
p
(Lp3
2Lpxp2
xp3)
M
p
qp xp 2
(Lp
xp )
确定相似条件
几个重要概念小结
➢ 相似常数:在两相似现象中，两个对应的物理量之比 为常数。
➢ 相似指标:由彼此相似现象中各相似常数组成的无量 纲量,彼此相似的现象都满足相似指标等于1的条件。
➢ 相似准数:在所有相似的现象中是一个不变量，无量 纲量,所有相似的系统相似准数应相等。
2.3.2 方程分析法
Sl
Lm Lp
, SE
Em Ep
, SI
Im Ip
Sl4 , SW
Wm Wp
Sl3
模型系统各物理量为
ym
Sy yp,Mm
SM M p,m
S p , q'm
Sq'
q
' p
,
xm
Sl xp
Lm Sl Lp , Em SE Ep , Im Sl4I p ,Wm Sl3Wp
将模型系统各物理量代入上式
利用描述现象的基本微分方程组导出相似准数（判据）。
具体步骤：
➢第一步：将方程对于原型写出，加角标 p； ➢第二步：将方程对于模型写出，加角标 m； ➢第三步：定义模型和原型同名物理量间的相似常数； ➢第四步：将模型方程中各物理量以相似常数和原型中 对应物理量表示。 ➢第五步：比较原型与模型方程，消去原型方程中的各 物理量，即得到无量纲形式的相似指标和相应的相似准 数（判据）。
SM S Sl3
4.物理相似
要求模型与原型的各相应点的应力和应变、刚度 和变形间的关系相似。
S
m p
Em m EP P
SE S
S
m p
Gm m GP P
SG S
S
m p
S , SE , S , S , SG , S , S — 正应力、弹性模量、正应变、 剪应力、剪切模量、剪应变和泊松比的相似常数。
量纲只区分物理量得种类，而不区分同一物理量得 不同量度单位，如：5m，500cm。
同名物理量具有相同的量纲。
➢基本量纲:具有独立性的量纲，任何一个量纲不可 能由其他量纲组成。
质量系统：长度[L]、时间[T]、质量[M] 绝对系统：长度[L]、时间[T]、力[F]
➢导出量纲:所研究物理过程中全部有关物理量都可由 这组基本量纲表示，任何物理量B的量纲可写成 [B]=[FLT]
Sm
mm mp
, Sc
cm cp
, Sk
km kp
,Sy
ym yp
, St
tm tp
,Sp
pm pp
模型系统各物理量为
mm Smmp , cm Sccp , km Sk k p , ym S p yp , tm Sttp , pm S p pp
将上式代入模型系统，得：
Sm
Sy St2
mp
d 2 yp
dt
2 p
Sc
Sy St
cp
dy p dt p
Sk Sy
kp yp
Sp
pp
Sm
Sy St2
mp
d 2 yp
dt
2 p
Sc
Sy St
cp
dy p dt p
SkSy
kp yp
Sp
pp
与原型系统相比较，得：
Sm
Sy St2
Sc
Sy St
Sk Sy
mp
Sp
d 2 yp
dt
2 p
教学课程《实验应力分析》
第二章 结构相似理论
哈尔滨工业大学土木工程学院 2012年11月16日
2.1 概述
力学分析
理论计算 实验研究
原型试验 模型试验
模型试验是将发生在原型中的力学过程,在物理相 似条件下，经缩小(或放大)后在模型上重演。对 模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根 据相似关系换算到原型中去，达到研究原型力学 过程的目的。
模型试验的理论基础——结构相似理论
2.2 模型的相似
2.2.1基本概念
物理量和 物理现象 的相似
1. 物理量相似
各种物理量，如几何，质量，力等。
2. 物理现象相似
是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系统中， 在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型与原型的 各相应物理量之间的比例应保持常数。
在两个系统中，所有向量在对应点和 对应时刻方向相同、大小成比例，所 有标量也在对应点和对应时刻成比例
例1：单自由度系统有阻尼受迫振 动相似准数的导出。振动微分方 程如下：
d 2 y dy
m
dt 2
c dt
ky
p
解：对于原型系统振动微分方程
mp
d 2 yp
dt
2 p
cp
dy p dt p
kpyp
pp
对于模型系统振动微分方程
mm
d 2 ym dtm2
cm
dym dtm
km ym
pm
各物理量的相似常数为
速度=长度/时间
[V]=[LT-1]
力=质量×加速度=质量×长度/时间 [F]=[MLT-2]
➢无量纲量：物理量无量纲，用[1]表示。
常用物理量的量纲
2.4.2.第二相似定理（定理）
量纲的均匀性，齐次性
物理方程量纲均匀性：物理方程是反映客观物理现象 规律的各物理量的关系式，方程中各项的量纲必须相 相等，并应使用同一度量单位。只有相同的量纲才能 相加减，并用算术符号连接起来。（量纲和谐原理）
(1)
对于模型
Fm M m am
(2)
如果模型与原型相似，则各对应物理量成比例：
Fm SF Fp
mm Smmp
am Saap
(3)
力相似常数
质量相似常数
加速度相似常数
将(3)代入(2)，与(1)相比有：
相似指标
SF SmSa
Fp
mpap
SF 1
(4)
SmSa
（4）式为判别模型与原型是否相似的条件，称为相似指标，若两 个物理系统现象相似，则它们的相似指标为1。
将(3)代入(4) Fp Fm idem mpap mmam
无量纲值
称这一无量纲量为相似准数，也称相似判决，相似系统相似
准数相同
去掉角标，写成一般形式: F idem
ma
第一相似定理:
彼此相似的现象，以相似常数组成的受现象制约的相 似指标等于1或相同文字组成的相似准数为一不变量。
已知系统相似
SE
Em Ep
,Sp
Pm Pp
,
SM
Mm Mp
, S
m p
,S
f
fm fp
Sl
lm lp
am ap
hm hp
bm bp
, Sw
Sl3
Wm Wp
, SI
Sl4
Im Ip
,
将以上各式代入原型系统方程，
Mm
SM S P Sl
Pm (Lm
am )
m
S Sl2 Sp
Pm Wm
(Lm
am )
fm
S f SE Sl Sp
f (x1, x2 ,, xn ) 0
F (1, 2 ,..., nk ) 0
把表示物理过程的方程转换成由 相似准数表示的方程。
假设一物理现象的关系方程为：f(x1,x2,…,xn)=0,式中x1, x2,…, xn为n个物理量，其中k个为基本量纲，(n-k)个为 导出量纲。k个基本量纲为：
x1 x11x20......xk0
x2 x10 x12......xk0
xk x10 x20......x1k
n-k 个导出量的量纲可用基本量纲表示：
xk 1
x 1 1
x21 ...xk1
xn
x1nk
x nk 2
...xknk
若把物理量 x1, x2,…, xk 的度量单位各缩小1/a1, 1/a2, …, 1/ak，并取 a1, a2,…, ak 为任意数值，则在新的单位系 统中各物理量的数值变为： x1 a1x1
p
qp xp 2Wp
(Lp
x
)
模型系统方程
ym
qm xm 24 Em I
m
( Lm3
2Lm xm2
xm3 )
Mm
qm xm 2
(Lm
xm )
m
qm xm 2Wm
(Lm
xm )
相似系统的对应各物理量的相似常数为：
Sy
ym yp
, SM
Mm Mp
, S
m p
,
Sq'
qm' q'p
, Sl
xm xp
,
模型试验
Akashi Kaikyo Bridge, Japan
明石头海峡大桥，日本
模型试验
模型试验 航空航天领域
原型试验
日本，E-Defense振动系统， “足尺三维振动破坏实验设
施”
UCSD-NEES 室外振动台实验
模型试验的优点： ➢ 经济性好－模型尺寸小 ➢ 针对性强－突出主要因素，略去次要因素 ➢ 数据准确－室内试验 模型试验的应用： ➢ 代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。 ➢ 作为结构分析计算的辅助手段。 ➢ 验证和发展结构计算理论。
cp
dy p dt p
kpyp
pp
由上式得
SmSy St2
Sc S y St
SmSy St2
Sk Sy
SmSy St2
Sp
ScSt 1, Sm Sk St2 1, Sm S pSt2 1, SmSy
1
ct m
2
kt 2 m
3
pt 2 my
例2：一悬臂梁结构，在梁端作用一集中荷载 P，截面高 h，宽 b，求相似准数。
(LP
xP )
S Sl S q'
p
qp xp 2Wp
(Lp
xp )
则相似条件为
SESy 1 Sq' SM 1 Sq' Sl2 S Sl 1 Sq'
1
Ey q'
2
M q 'l2
3
l
q'
2.4 量纲分析法
2.4.1.基本概念
➢量纲：物理量的种类 ➢量纲表示：麦克斯韦尔符号，比如[L],[M],[T]，表 示长度，质量和时间的量纲。
2.2.2 物理量的相似
1.几何相似
➢ 要求模型与原型结构之间所对应部分的尺寸成比例。 ➢ 几何尺寸之比称为几何相似常数。
Sl
lm lp
bm bp
hm hp
Sl 几何相似常数 l、b、h 结构的长、宽、高三个方向的线性尺寸 m、p 分别代表模型和原型
对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、 截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为
质量密度相似常数
Sm
mm mp
S
m p
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。
S
Sm SV
Sm S3
l
3.荷载相似
➢ 要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致，
大小成比例。
集中荷载相似常数
Sp
Pm Pp
Am m AP P
S
S2 l
线荷载相似常数
S
S
S l
面荷载相似常数
Sq S
弯矩或扭矩相似常数
解：对于原型结构，在任意截面 a
P
处弯矩、正应力和挠度为：
M p Pp (Lp ap )
p
Mp Wp
Pp Wp
(Lp
ap )
a
L
fp
Pp a 2p 6EpI
p
(3Lp
ap)
模型方程
Mm Pm (Lm am )
m
Mm Wm
Pm Wm
(Lm
am )
fm
Pmam2 6Em I
m
(3Lm
am )
则相似系统的结构相似常数为