排列的综合应用

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[再练一题] 2．3 名男生，4 名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多 少种． (1)甲不站中间，也不站两端； (2)甲、乙两人必须站两端.
【导学号：29472015】
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2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列 问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里 n 个不同的元素指的是 什么，以及从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的每一种排列对应的是什么事情， 然后才能运用排列数公式求解．
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1．用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
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【自主解答】 (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是 A35＝5×4×3＝60， 所以共有 60 种不同的送法．
(2)由于有 5 种不同的书，送给每个同学的每本书都有 5 种不同的选购方法， 因此送给 3 名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是 5×5×5＝125，所以共有 125 种不同的送法．
【解析】 可选用间接法解决：先求出从 7 人中选出 3 人的方法数，再求出 从 4 名男生中选出 3 人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．
【答案】 186
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无限制条件的排列问题
[小组合作型]
(1)有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有 多少种不同的送法？
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【精彩点拨】 解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元 素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时， 应分类讨论．
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【自主解答】 (1)先考虑甲有 A13种站法，再考虑其余 6 人全排，故不同站法 总数为：A13A66＝2 160(种)．
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排XX队X 问题
7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男学生 4 人，女学生 2 人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)老师甲必须站在中间或两端； (2)2 名女生必须相邻而站； (3)4 名男生互不相邻； (4)若 4 名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
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【解析】 把 A，B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的 全排列，共 A44＝24 种．
【答案】 24
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3．从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活 动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．
(4)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种，而由高到低有从 左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法 2·AA7744＝420(种)．
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解决排队问题时应注意的问题 1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列， 但是要注意这个整体内部也要进行排列． 2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不 相邻的元素以插空的方式排入． 3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可． 4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以 从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
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1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制， 这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．
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[再练一题] 1．将 3 张电影票分给 10 人中的 3 人，每人 1 张，共有________种不同的分 法． 【解析】 问题相当于从 10 张电影票中选出 3 张排列起来，这是一个排列问 题．故不同分法的种数为 A310＝10×9×8＝720. 【答案】 720
阶
阶
段
段
一
三
第2课时 排列的综合应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
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1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
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[基础·初探] 教材整理 排列的综合应用 阅读教材 P18 例 3～P20，完成下列问题． 1．解简单的排列应用题的基本思想
【解析】 翻译活动是特殊位置优先考虑，有 4 种选法(除甲、乙外)，其余活 动共有 A35种选法，由分步乘法计数原理知共有 4×A35＝240 种选派方案．
【答案】 240
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4．从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三种不同的工作，若这 3 人 中至少有 1 名女生，则选派方案共有________种．
【解析】 从 2,4 中取一个数作为个位数字，有 2 种取法；再从其余四个数中 取出三个数排在前三位，有 A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数 共有 2×A34＝48 个．
【答案】 48
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2．A，B，C，D，E 五人并排站成一排，如果 A，B 必须相邻且 B 在 A 的右边， 那么不同的排法种数有________种．
(2)有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同 的送法？
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【精彩点拨】 (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，各人得到 的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 本， 各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
(2)2 名女生站在一起有站法 A22种，视为一种元素与其余 5 人全排，有 A66种排 法，所以有不同站法 A22·A66＝1 440(种)．
(3)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插 入男生，每空一人，则插入方法 A44种，所以共有不同站法 A33·A44＝144(种)．