正交化及正交矩阵

1
1
2
2,1

1
3
取3 3 [ 3 ,1 1 3 ,2 2 ] 2
3

2 k 1
3,k k 2

k
,3

3 3
1
设1, 2, …, s, s < m,是两两正交的单位向量, 并且该向量组与1, 2, …, s等价.
交基.
定理2 若1, 2, …, m是向量空间V的一组标准
正交基， = 11 + 22 + … + mm是V中
的一个向量，则j = <, j>, j = 1, 2, …, m
m
证明： j , j, ii
m
i 1
i j ,i j
例2. 设X, Y是两个相互正交的n维向量, 试证明勾 股定理: X Y 2 X 2 Y 2
证明: X Y 2 X Y, X Y X, X X,Y Y, X Y,Y X2 Y2
定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。
1

2

0

31

1


1

3

3 2

1

3 3
1
1
2
3,1)1
X 2 2 X,Y Y 2
再由 X,Y X Y 得到:
X Y 2 X Y 2
即: X Y X Y
证毕
例1. 设X, Y, Z皆是n维向量, 试证明三角不等式: XZ XY YZ
证明: X Z (X Y) (Y Z) XY YZ
s
取 s1 s1 s1 ,k k
s1

s1 s1 s1
ks1 s1 , k
k 1
k 2
; 当 j = 1,
s
k
2, …,
s
时,
s1, j s1, j s1,k k , j
证明：令 f(t) = <X+tY, X+tY>，显然函数f(t) 0且
f(t) = <X, X+tY> + <tY, X+tY> = <X, X> + t<X, Y> + t<Y, X> + t2<Y, Y>
= ||X||2 + 2t<X, Y> + t2||Y||2
从而有：4 X,Y 2 4 X 2 Y 2 0
2. 内积的性质 (1) <X, Y> = <Y, X> (2) <X, Y> = < X, Y> (3) <X+Y, Z> = <X, Z> + <Y, Z>
3. 向量的范数
n
称 xi2 为向量X的长度 (范数), 记为||X|| i 1
称||X – Y||为X与Y之间的距离.
(4) X,Y X Y
k 1
s1, j s1, j j , j 0
显然, 1, 2, …, s, s+1是两两正交的单位向 量,并且该向量组与1, 2, …, s, s+1等价.
经过若干次后我们就可以得到V的一组标准
正交基1, 2, …, m。
, j 1,2,...,m
例3. 把列向量组1 = (1, 0, 1, 1)T, 2 = (1, 1, 0, 1)T, 3 = (0, 1, 1, 1)T正交化。
解: 令1 = 1,
1 1 1
2 2
1
1
2
2, 1)1


1


0

证明：设1, 2, …, m是一组两两相互正交的非 零向量. 1, 2, …, m是一组数，使得 11 + 22 + … + mm = 0
则 0 = <j, 11 + 22 + … + mm>
= j <j, j> 又||j||2 > 0, 所以j = 0, j = 1, 2, …, m
证毕
Schmidt正交化过程
1 = 1,
2 2
1
1
2
2, 1)1
3 3
1
1
2
3,1)1

1
2
2
3,2 )2
k
k1 k1
1 2 k , j ) j ,k = 1, 2, …, m-1
j1
j
j
j j
j 1,2, ,m
i 1
2. Schmidt正交化过程
定理3 若V是Rn的一个非零子空间，则V一定 有标准正交基 .
证明：设1, 2, …, m是V的一组基。 2
取1 1,
1
1 1
1
取 2 2 2 ,1 1 2
2
2 2
Schmidt正交化 及正交方阵
一. 向量的内积及其性质
1.向量内积的定义
x1
y1
设
X


x2

,
Y


y2

是两个n维向量


xn


yn

n
令 X, Y xi yi XT Y i 1
称<X, Y>是向量X和向量Y的内积。
从而1, 2, …, m线性无关
证毕
二. 向量空间的标准正交基
1.标准正交基的定义及其性质
定义:设V是一个向量空间，1, 2, …, m是
V的一组基，若满足：
1）1, 2, …, m两两相互正交 2）||j|| = 1, j = 1, 2, …, m 则称1, 2, …, m是向量空间V的一组标准正
即 X,Y X Y
证毕
称 arccos X,Y
XYห้องสมุดไป่ตู้
为向量X与之间的夹角.
即 cos

X,Y XY
,特别
X

Y


X, Y


0
4. 范数的性质 (5) ||X|| 0, 且 ||X|| = 0 X = 0
(6) X X
(7) X Y X Y 证明: 由 X Y 2 X Y, X Y