正交化及正交矩阵
正交矩阵与正交化方法
正交矩阵与正交化方法正交矩阵是线性代数中的重要概念，是指满足矩阵的转置矩阵与原矩阵的乘积等于单位矩阵的方阵。
一、正交矩阵的性质正交矩阵具有以下几个重要性质：1.正交矩阵的行列式的值为±12.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
3.正交矩阵的行向量（列向量）是相互正交的单位向量。
4.正交矩阵的任意两行（列）向量的内积等于0。
正交化方法是将一组线性无关的向量组通过线性变换，得到一组相互正交的向量组的过程。
常用的正交化方法有施密特正交化和正交分解法。
施密特正交化方法是基于施密特正交基的概念，通过一系列线性变换，将一组线性无关的向量组转化为一组正交基。
具体的步骤如下：a)选取第一个向量作为正交基的第一个元素。
b)对于向量组中的其他向量，通过将其与正交基的前面的向量进行正交投影，使其与前面的向量正交。
c)重复上述步骤，直到得到一组相互正交的基向量。
2.正交分解法正交分解法是将一个向量表示为一组正交基向量的线性组合的过程。
具体的步骤如下：a)选取一组正交基向量。
b)计算向量在每个正交基向量上的投影（即向量在每个基向量上的内积）。
c)将每个投影与对应的基向量相乘，并求和，得到向量的正交分解。
三、应用实例正交矩阵和正交化方法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些应用实例：1.3D图形学正交矩阵在3D图形学中用于旋转和缩放三维物体。
通过将物体的顶点坐标与旋转矩阵相乘，可以实现对物体的旋转操作。
2.特征值问题正交矩阵在解决特征值问题中起到重要作用，可以通过正交变换将原始矩阵对角化，便于求解特征值和特征向量。
3.数据压缩正交矩阵在数据压缩领域具有重要应用。
通过正交变换将数据压缩到低维空间，可以降低数据的维度，提高数据传输和存储的效率。
4.信号处理正交矩阵在信号处理中有着广泛的应用，如正交频分复用技术（OFDM）和正交编码技术。
通过正交变换可以将多个信号进行隔离和恢复，提高信号传输的可靠性。
5.图像处理正交矩阵在图像处理中被用于图像压缩、降噪和图像分析等方面。
正交矩阵——精选推荐
第五章 二次型除特别指明外，本章都是在实数域内进行的讨论．§5.1 正交矩阵一、向量的内积1.定义：① 设有n 维行向量α = (a 1, a 2, ……, a n ) ，β = (b 1,b 2, ……, b n ) ，定义α与β的内积为： α βT = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ． ② α 与 β 正交： α βT = 0 ．注：非零向量正交一定线性无关（反之不成立）．③ 对n 维列向量 α = (a 1, a 2, ……, a n )T ，β = (b 1,b 2, ……, b n )T ， α与β的内积为： α T β = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ， α与β正交，则： α T β = 0 ．说明：①.我们采用符号<α,β>统一表示n 维向量α和β的内积．②.在大家熟知的三维普通空间，建立笛卡儿坐标系后，矢量（也称向量）k a j a i a a r r r r321++= 和 kb j b i b b r r r r 321++=可以作为特例．不过用行（或列）矩阵[即行（或列）向量]表示内积（亦称点积、数量积）b a rr ⋅时，必须写成[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅321321b b b a a a b a rr ． 2.性质：① 对称： α βT = β αT ；（ <α,β> = <β,α> ） ② 数乘（齐次）：( λ α ) βT = α ( λ βT ) = λ ( α βT ) ； ③ 分配（可加）：( α + β) γT = α γT + β γT ；④ 自身相乘非负： α αT ≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ． 3.向量的长度（或模）： 22221Tn a a a +++==L ααα ，为非负的实数．性质：① 非负：α≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ； ② 数乘（齐次）： ααk k = ；③ 单位向量及非零向量单位化：若1=α，则α为n 维单位向量．对非零向量α ，都可单位化：ααβ= ． ④ 三角不等式： βαβα+≤+ ； ⑤ 柯西-施瓦茨不等式：222T )(βαβα≤ ．二、向量正交化1.正交向量组定义：若向量组α1，α2，……，αs 中的向量两两正交，则称该向量组是一个正交向量组． 重要的n 维正交向量组：)0,,0,1(1L =e ，)0,,1,0(2L =e ，……，),,0,0(n n L =e ．2.向量组正交化方法（Schmidt 正交化方法）：有一线性无关的向量组α1，α2，……，α r ，但不是正交向量组，用施密特（Schmidt ）正交化方法可以将其转化为一组正交且单位化的向量组． ① 正交化：令 11αβ= 1111222,,ββββααβ><><−= 222231111333,,,,ββββαββββααβ><><−><><−= ……111122221111,,,,,,−−−−><><−−><><−><><−=r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβL ② 单位化：令111ββγ=，222ββγ=，……，rr r ββγ=．（课后看教材P.156之例6和例7．） 三、正交矩阵1.定义：设A 为n 阶实方阵，若A T A = I ，则称A 为n 阶正交方阵．2.性质：① 若A A T = I ，则A 为正交矩阵； ② 若A T = A -1 ，则A 为正交矩阵； ③ 若A 为正交矩阵，则行列式1±=A ；④ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量为一个相互正交的单位向量组；（用定义A T A = I 说明）⑤ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量为一个相互正交的向量组；⑥ 若A ，B 为n 阶正交矩阵，则AB ，BA 也是n 阶正交矩阵；因 ( AB )T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I ． ⑦ 正交矩阵的特征值的模等于1 ．（证明略） 四、向量的正交变换：1.定义：设A 为n 阶正交矩阵，X 为任意一个n 维向量，则称Y = A X为正交变换．2.重要性质：向量X 经正交变换后长度（模）不变．因 X X X AX A X AX AX Y Y Y =====T T T T T )()( ．3.推论：两个向量做相同正交变换后，内积不变，几何图形的形状不变． 五、实对称矩阵1. n 阶实对称矩阵A 的性质：[ 简单性质：A A A A A A ===T T )(,,]① 特征值都是实数；② 不同特征值对应的特征向量正交；证明： A T = A ， AX 1 = λ1X 1 ， AX 2 = λ 2 X 2 ， λ1 ≠ λ 2 ；( AX 1 ) T = ( λ1X 1 ) T ， ( X 1 ) T A T = λ1 ( X 1 ) T ；( X 1 ) T A = λ1 ( X 1 ) T ， ( X 1 ) T A X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ；λ 2 ( X 1 ) T X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ， ( λ 2 - λ1)[ ( X 1 ) T X 2 ] = 0 ；( X 1 ) T X 2 = 0 ．③ 有n 个线性无关的实特征向量；④ 必有正交矩阵P ，使得P -1AP = P T AP = D = diag( λ1, λ2,…, λn )其中λ1, λ2,…, λn 恰为A 的n 个特征值（重根按重数依次计入）；（证明：略）2.把n 阶实对称矩阵A 用正交矩阵对角化的步骤： ① 求出A 的相异特征值λ1, λ2,…, λ 5 ；② 对每个特征值λ i ，求出( λ i I – A ) X = 0 的一个基础解系，然后再正交化、单位化；③ 将求得的n 个相互正交的单位特征向量X 1, X 2, ……, X n 作为列向量排成矩阵P （就是所求的正交矩阵）；④ 计算),,,,,diag(11s i i T λλλλ==−L L AP P AP P ，即为所求（n 个对角元素的值可能有重复）． 六、例题（P.162例9亦P.132例4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，求正交矩阵P ，使P T AP 为对角矩阵．解：① 由A 的特征方程0=−λA I ，求其特征值λ：1221105551222122210−λ−−−λ−+λ−λ−λ−λ=−λ−−−−λ−−−−λ=−λ=A I 2)1)(5(10211005+λ−λ=+λ−−λ−+λ−λ=解得51=λ，132−=λ=λ；② 求对应51=λ的特征向量，解齐次线性方程组 0X A I =−)5( ；由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−000110112330330112422242224)5(A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000110101 ，得同解方程组 ⎩⎨⎧=−=−003231x x x x ，令 33~x x = ， 则 3132~,~x x x x == ，得特征向量 []T1111=X ；单位化： T1313131⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P ； ③ 求对应132−=λ=λ的特征向量，由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−=−−000000111222222222)(A I ，得同解方程组 0321=++x x x ，令 3322~,~x x x x == ，得特征向量 []T2011−=X ， []T3101−=X ； [与书不同，都对]正交化：[]T22011−==X α ，[][]TTT 22223331212101121101,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−=><><−=αααααX X ；单位化： T22202121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ， T333626161⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ； [与书不同] ④ 所求正交矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−==62031612131612131221P P P P ． [与书不同]本题附：① 可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=6203161213161213112221222162616102121313131T AP P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000100056203561213561213562616102121313131 ． ② 用书上的P ，同样也可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．作业(P.162)：1； 6.(1)； 8；附录：关于复矩阵的共轭问题① 复矩阵的共轭矩阵 —— 每一矩阵元都取共轭；即复矩阵A = (ai j )的共轭矩阵为)(j ia=A．② 复向量的共轭向量 —— 每一元素都取共轭．。
四规范正交基(标准正交基)
例2 设
1 1 4 1 2 , 2 3 , 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取
b1 1;
1 b1 1 e1 2 b1 6 1
b2 e2 b2
1 1 1 3 1
b3 3
3 , b1 b 3 , b2 b
b1
2 1
b2
2
2
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1
e3
0 0 1 2 1 2
0 0 1 e4 2 1 2
由于 所以
e
i
,e j
1 0
i j i j
(i,j=1,2,3,4)
e1 ,e2 ,e3 ,e4
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α31
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
b2 2 2 , e1 e1
b1 b1 2 2 , b1 b1
2
4.3正交矩阵
1 1 2 1 , 3 0 0 1
令
P 1 2
1 1 1 3 1 1 0 1 0 1
则
6 4 1 1 1 1 A PP P 3 P 1 4 1 1 1 4 3
2 i iT aii 1, i 1,2,, n,
即 aii 1,
i 1,2,, n,
2 实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值全是实数
实对称矩阵不同特征值所对应的实特征向量
正交
对于 n 阶实对称矩阵 A , 存在正交矩阵 Q s.t.
Q AQ Q AQ
AT A1 A*
即 aij Aij
i, j 1,2,, n(n 3) A 是正交矩阵, 且 | A | 1 (| A | 1)
即
n ( n > 2) 阶矩阵 A 是 行列式为 1 ( - 1) 的 正交矩阵
A 是非零实矩阵, 且
aij Aij , (aij Aij ) i, j 1,2,, n(n 3)
对 1 2 3 3, (3E A) X 0 的基础解系 为 1 1 1 1 , 0 , 0 0 1 0 0 0 1
正交化单位化得
1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 0 6 2 2 3 1 0 0 3 对 4 5, (5E A) X 0 的基础解系经
T T T 1 1 1 2 1 n T T T 21 2 2 2 n
5.1向量组规范正交化
x2
x2
x4 x4
a4
令x2
c1
2 (0,0,1,1)
2
,
1 0
x4
c2
c1
1 0 0
c2
0 11
则a1, a2 , a3, a4即为所求
解(1)法二a1, a2线性无关，可取3 (1,0,0,0)，4 (0,0,1,0)
使a1,
a2
,
3
,
线性无关。
4
将a1
,
a3
[a3, b1] [b1, b1]
b1
[a3 [b2
, ,
b2 b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化， 得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
(ii) 齐次性 x x ; R
(iii) 三角不等式 x y x y .
证 (i) 与(ii) 是显然的,下面证明 (iii) , (iii) 三角不等式 x y x y .
x y 2 [ x y , x y ] [ x, x ] 2 [x, y] [ y, y ] ,
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a3 (3,5,1,1)
正交规范化.
解 先正交化， 取 b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
a2 , b1 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
1
1 1
正交矩阵 标准正交基
正交矩阵标准正交基在线性代数中，正交矩阵和标准正交基是非常重要的概念，它们在矩阵和向量的运算中起着至关重要的作用。
本文将对正交矩阵和标准正交基进行详细的介绍，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些概念。
首先，让我们来了解一下正交矩阵。
正交矩阵是指满足以下条件的实数方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即满足条件$A^T A = I$，其中$I$为单位矩阵。
换句话说，正交矩阵的每一列都是单位向量，并且两两正交（即内积为0）。
正交矩阵具有许多重要的性质和应用，比如在旋转、镜像等几何变换中起着重要作用，同时在信号处理、图像处理等领域也有广泛的应用。
接下来，我们来介绍标准正交基。
在n维欧几里得空间中，如果一个基底中的向量组成正交矩阵，并且每个向量的模长为1，则称这个基底为标准正交基。
标准正交基在向量的表示、正交化、投影等问题中有着重要的作用，它能够简化向量运算的复杂度，同时也便于对向量空间进行分析和研究。
正交矩阵和标准正交基之间有着密切的联系。
事实上，正交矩阵的列向量就构成了一个标准正交基。
这是因为正交矩阵的列向量两两正交且模长为1，因此它们构成了一个标准正交基。
反之，任意一个标准正交基都可以通过正交化得到一个正交矩阵。
这种联系使得正交矩阵和标准正交基在理论和实践中都有着重要的地位。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对矩阵进行正交化或者基底进行标准化的情况。
这时，我们可以利用正交矩阵和标准正交基的性质来简化计算，提高运算效率。
比如，在信号处理中，我们可以利用正交矩阵来进行信号的正交变换，从而简化信号的处理和分析；在机器学习中，我们可以利用标准正交基来表示特征向量，从而简化特征空间的计算和分析。
总之，正交矩阵和标准正交基是线性代数中非常重要的概念，它们在向量空间的表示、运算和分析中起着至关重要的作用。
通过深入理解和熟练运用这些概念，我们可以更好地解决实际问题，提高工作效率，同时也能够更深入地理解线性代数的理论和方法。
第二节 正交化
令k11 k22 L kmm 0, ki R,
m
m
则 (i , k j j ) k j (i , j ) ki (i ,i ) 0
j 1
j 1
由i 0 知 (i ,i ) 0,
ki 0, i 1,2,L , m.
故 1,2 ,L ,m 线性无关.
1、正交向量组
2. 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：R3 中1 (1,1,0), 2 (1,0,1) 线性无关． 但 1,2 不是正交向量组.
Q (1,2 ) 1 0.
3. n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
2、标准正交基
n 维欧氏空间中，由n 个向量构成的正交向量组
称为正交基（orthogonal basis）； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基 （normal orthogonal basis）. 注意
1. 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基.
AA
A2 M
A1, A2 ,L
, An
En
An
3、标准正交基间的基变换 注意：
（1）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交
矩阵. （2）设 1,2,L ,n 是标准正交基，A为正交矩阵， 若 (1,2 ,L ,n ) (1, 2 ,L , n ) A
则 1,2,L ,n 也是标准正交基. （3）A Rnn 为正交矩阵
由于 1,2,L ,n 是标准正交基，所以
3、标准正交基间的基变换
(i , j j 1,2,L ,n
由公式③，有
1 i j
(i , j ) a1ia1 j a2ia2 j
把A按列分块为 A
ani anj 0
A1, A2 ,L , An
5.3 n维向量空间的正交化
返回
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 则称 为正交矩阵 . 2. 性质
(1) A = A , (2) A = A = I =1.
T T 2
正交矩阵的乘积也是正 交矩阵. T T T T 设 A A = AA = I B B = BB = I , 则
β1 = (β1 , β1 )
4 4 1 = (α1 , α1 ) + (α2 , α2 ) + (α3 , α3 ) = 1 , 9 9 9 同样 ，β2 = β3 = 1 .
α2 = X1 = (1, 0, − 1) , ( X2 , α2 ) 1 α3 = X2 − α2 = (0, 1, − 1) − (1, 0, − 1) (α2 , α2 ) 2
1 = (− 1, 2, − 1) . 2
返回
将 X1 , X2 正交化：
例4 将 α1 = (1, 1, 1) , α2 = (1, 2, 1) ,α3 = (0, − 1, 1) 标准正交化. 解 设 β1 = α1 = (1, 1, 1), 4 (α2 , β1 ) β2 = α2 − β1 = (1, 2, 1) − (1, 1, 1) 3 (β1 , β1 )
是 Rn 的标准正交基 .
1 1 1 1 0 0， ，3 = (0， 0) 1 α1 = ，， ，2 = − ， α α ， 2 2 2 2 3 是 R 的标准正交基 .
返回
α1 , α2 ,L,αs 满足： (1) (αi , α j ) = 0 , (i ≠ j, αi ≠ 0, α j ≠ 0) (2) αi = 1, (i = 1, 2,L, s) ( α Lα 则称α1， 2， ， s 为标准 规范)正交向量组.
线性代数课件7-3正交变换
05
正交变换在信号处理中的 应用
信号分解与合成原理介绍
信号分解
将复杂信号分解为一系列简单信 号的过程，这些简单信号通常是 正交基函数的线性组合。
信号合成
将分解得到的简单信号按照一定 规则重新组合，以恢复或逼近原 始信号的过程。
正交基函数
一组满足正交性条件的函数，用 于表示信号空间中的任意信号。 常见的正交基函数包括正弦函数、 余弦函数、小波基函数等。
曲线和曲面形状描述及性质分析
曲线形状描述
通过正交变换可以对曲线进行形 状描述，如曲线的弯曲程度、拐 点等性质可以通过正交变换进行
分析。
曲面形状描述
正交变换也可以用于曲面的形状描 述，如曲面的弯曲程度、法线方向 等性质可以通过正交变换进行分析。
性质分析
通过正交变换可以分析曲线和曲面 的性质，如曲线的长度、曲面的面 积等性质可以通过正交变换进行计 算和分析。
小波变换原理及实现方法
小波变换原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和 平移小波基函数来匹配信号的局部特性。与 傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频 分辨率和局部化特性，适用于非平稳信号的 分析和处理。
实现方法
小波变换的实现包括连续小波变换（CWT） 和离散小波变换（DWT）两种方法。CWT 通过连续变化的小波基函数对信号进行匹配， 可以得到信号的时频分布；DWT则通过离 散化的小波基函数对信号进行分解和重构， 可以实现信号的压缩和去噪等应用。
通过正交变换得到的标准型具有唯一性，即不依赖于正交矩阵的选择。
02
正交变换的求解方法
施密特正交化过程
01 选择一组线性无关的向量作为起始向量组。
02
对起始向量组进行施密特正交化，得到一组 正交向量组。
线性代数-正交矩阵
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
上海森伯格矩阵的正交化
上海森伯格矩阵的正交化上海森伯格矩阵的正交化是一种重要的数学方法，用于将一个矩阵转化为正交矩阵或单位正交矩阵。
它在信号处理、图像处理、量子力学等领域都有广泛应用。
上海森伯格矩阵的正交化方法步骤如下：1. 首先，我们需要明确什么是上海森伯格矩阵。
上海森伯格矩阵是指一个方阵，其中每一行（或列）代表一个向量，且向量之间的内积为零。
换句话说，上海森伯格矩阵的行（或列）是一组正交向量。
2. 确定矩阵的尺寸。
假设我们有一个n ×m 的矩阵A，其中n表示矩阵的行数，m表示矩阵的列数。
3. 计算矩阵的转置。
我们需要首先计算矩阵A的转置矩阵，记作AT。
4. 初始化正交化矩阵。
我们创建一个空的正交化矩阵Q，其尺寸与原始矩阵A相同，即为n ×m。
5. 遍历矩阵的列向量。
对于原始矩阵A的每一列向量a_i（i表示列索引），执行以下步骤。
6. 初始化正交化向量。
我们创建一个与原始矩阵A列向量a_i的尺寸相同的零向量v_i。
7. 遍历已经正交化的向量。
对于正交化矩阵Q中的每个列向量q_j（j<=i），执行以下步骤。
8. 计算正交化向量。
我们将矩阵A的列向量a_i减去已经正交化的向量q_j与a_i的内积的加权和，得到一个新的正交化向量v_i。
9. 规范化正交化向量。
并将正交化向量v_i除以其长度得到一个单位正交向量q_i。
10. 将单位正交向量q_i加入到正交化矩阵Q的对应列。
11. 重复步骤7至10，直到遍历完所有已经正交化的向量。
12. 将正交化矩阵Q返回作为结果。
通过上述步骤，我们可以将一个矩阵正交化为一个正交矩阵或单位正交矩阵。
正交矩阵有许多重要的性质，例如它们的列向量或行向量组成一组基，因此可以用于线性变换、数据压缩、数据噪声降低等应用。
需要注意的是，上述的上海森伯格矩阵的正交化方法是一种迭代方法，可能无法得到精确的结果。
因此，在实际应用中，我们通常会设置一个迭代次数的上限，以控制计算的精度。
线性代数——正交矩阵
将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。
4 , , , R 1 2 3 4 例5 设 是 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 , 2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
小结：设 (1 2
n ) (1 2
n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交 矩阵. 2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基. 3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R 3 的一组标准正交基, 证明
三、正交矩阵及其性质
T 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 Q Q E , 则 称 Q 为正交矩阵. 1 T Q Q ; 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E , 则Q 为正交矩阵. (2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1 也是正交矩阵 ;
则
即 Q 为正交矩阵, 且 所以 1 , 2 , 3 是一组标准正交基 .
QQT E ,
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； 答：(4)不正确。 (4) A+B 为正交矩阵。
1 2 2 3 3 3 2 2 1 例3 设 P , 设三维向量的长度 3 3 3 1 2 2 3 3 3 || ||＝8, 则|| P ||＝？
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QT Q E .
11第4章2正交矩阵
得特征值
1 2 1, 3 10
14
（２）求特征向量 对于 1 2 1,
1 由 I A 2 2 得一个基础解系
解方程组 I A X 0
2 1 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 4 4 T T 1 2,1, 0 , 2 2, 0,1 2
对于
3 8
得到特征向量
3 （2， 1， 2）
1 1，
取 3
1 1 0.5 [2，1 ] 1 2 2 1 2 0 2 [ 1，1 ] 0 2 1 0.5
I A x 0
4 2 4 x1 0 2 1 2 x2 0 4 2 4 x 0 3
，2 （， 1 0， 1 ） （， 1 2， 0） 得到两个线性无关的特征向量 1
2 问A能否对角化？请说明理由。
解
因 是矩阵A的特征向量，故存在数，使得A ，
2 1 2 1 1 即 5 a 3 1 1 , 1 b 2 1 1 1 得 2 a , 1 b
0 0 1 0 0 1
定义4.6 如果一个方阵P满足 则称矩阵P为正交矩阵。
PT P I （或 PPT I ），
2
例1 证明
6 2 3 1 是正交矩阵。 验证矩阵 A 3 6 2 7 2 3 6 因为 6 2 3 6 3 2 1 1 T AA 3 6 2 2 6 3 7 7 2 3 6 3 2 6 49 0 0 1 0 49 0 I 49 0 0 49
正交矩阵与正交化方法
正交矩阵与正交化方法
正交矩阵是一类方阵，其各行（或各列）元素之间是正交的，即它们的内积（内积是指两个向量积的结果）为零。
它的特点是其特征值只有（+1，-1）两个，其特征向量都具有相同的模，并且是互相正交的，每一个特征向量都与任意其他特征向量都不共线。
正交矩阵的应用非常广泛，可以用于特征提取，信号处理，信息论等领域。
特别是在图像处理，机器学习等领域，正交矩阵是极为重要的。
例如，正交矩阵可以用来减少图像的维度，从而更高效地处理图像。
正交化方法（orthogonalization）是指将向量空间中的多维向量组成的矩阵变换为正交矩阵的一系列过程。
它通过改变向量（或矩阵）的正交度来改善数据处理性能，从而减少数据存储空间，提高系统的效率，以及更加准确的估计参数等优势。
正交化方法有很多种。
正交实际上是用一系列正交变换来把给定的多维、非正交空间变换成一系列正交空间。
最常见的正交变换是格拉姆变换和正交矩阵变换。
格拉姆变换是一种典型的正交变换，它通过改变向量的方向、长度和分量使其成为相互正交的。
正交矩阵变换可以将一个非正交的矩阵通过一系列的分解、旋转和缩放变换为一个正交矩阵。
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s
取 s1 s1 s1 ,k k
s1
s1 s1 s1
ks1 s1 , k
k 1
k 2
; 当 j = 1,
s
k
2, …,
s
时,
s1, j s1, j s1,k k , j
Schmidt正交化 及正交方阵
一. 向量的内积及其性质
1.向量内积的定义
x1
y1
设
X
x2
,
Y
y2
是两个n维向量
xn
yn
n
令 X, Y xi yi XT Y i 1
称<X, Y>是向量X和向量Y的内积。
, j 1,2,...,m
例3. 把列向量组1 = (1, 0, 1, 1)T, 2 = (1, 1, 0, 1)T, 3 = (0, 1, 1, 1)T正交化。
解: 令1 = 1,
1 1 1
2 2
1
1
2
2, 1)1
1
0
1
2
0
31
1
1
3
3 2
1
3 3
1
1
2
3,1)1
X 2 2 X,Y Y 2
再由 X,Y X Y 得到:
X Y 2 X Y 2
即: X Y X Y
证毕
例1. 设X, Y, Z皆是n维向量, 试证明三角不等式: XZ XY YZ
证明: X Z (X Y) (Y Z) XY YZ
从而1, 2, …, m线性无关
证毕
二. 向量空间的标准正交基
1.标准正交基的定义及其性质
定义:设V是一个向量空间，1, 2, …, m是
V的一组基，若满足：
1）1, 2, …, m两两相互正交 2）||j|| = 1, j = 1, 2, …, m 则称1, 2, …, m是向量空间V的一组标准正
k 1
s1, j s1, j j , j 0
显然, 1, 2, …, s, s+1是两两正交的单位向 量,并且该向量组与1, 2, …, s, s+1等价.
经过若干次后我们就可以得到V的一组标准
正交基1, 2, …, m。
即 X,Y X Y
证毕
称 arccos X,Y
XY
为向量X与之间的夹角.
即 cos
X,Y XY
,特别
X
Y
X, ) ||X|| 0, 且 ||X|| = 0 X = 0
(6) X X
(7) X Y X Y 证明: 由 X Y 2 X Y, X Y
2. 内积的性质 (1) <X, Y> = <Y, X> (2) <X, Y> = < X, Y> (3) <X+Y, Z> = <X, Z> + <Y, Z>
3. 向量的范数
n
称 xi2 为向量X的长度 (范数), 记为||X|| i 1
称||X – Y||为X与Y之间的距离.
(4) X,Y X Y
1
1
2
2,1
1
3
取3 3 [ 3 ,1 1 3 ,2 2 ] 2
3
2 k 1
3,k k 2
k
,3
3 3
1
设1, 2, …, s, s < m,是两两正交的单位向量, 并且该向量组与1, 2, …, s等价.
证毕
Schmidt正交化过程
1 = 1,
2 2
1
1
2
2, 1)1
3 3
1
1
2
3,1)1
1
2
2
3,2 )2
k
k1 k1
1 2 k , j ) j ,k = 1, 2, …, m-1
j1
j
j
j j
证明：设1, 2, …, m是一组两两相互正交的非 零向量. 1, 2, …, m是一组数，使得 11 + 22 + … + mm = 0
则 0 = <j, 11 + 22 + … + mm>
= j <j, j> 又||j||2 > 0, 所以j = 0, j = 1, 2, …, m
j 1,2, ,m
i 1
2. Schmidt正交化过程
定理3 若V是Rn的一个非零子空间，则V一定 有标准正交基 .
证明：设1, 2, …, m是V的一组基。 2
取1 1,
1
1 1
1
取 2 2 2 ,1 1 2
2
2 2
例2. 设X, Y是两个相互正交的n维向量, 试证明勾 股定理: X Y 2 X 2 Y 2
证明: X Y 2 X Y, X Y X, X X,Y Y, X Y,Y X2 Y2
定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。
交基.
定理2 若1, 2, …, m是向量空间V的一组标准
正交基， = 11 + 22 + … + mm是V中
的一个向量，则j = <, j>, j = 1, 2, …, m
m
证明： j , j, ii
m
i 1
i j ,i j
证明：令 f(t) = <X+tY, X+tY>，显然函数f(t) 0且
f(t) = <X, X+tY> + <tY, X+tY> = <X, X> + t<X, Y> + t<Y, X> + t2<Y, Y>
= ||X||2 + 2t<X, Y> + t2||Y||2
从而有：4 X,Y 2 4 X 2 Y 2 0