Gram-Schmidt正交化方法

合集下载

相关主题

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

Gram-Schmidt 正交化方法正射影

设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令

;11αβ= 11

1122,,ββββααβ-

=; (1)

222231111333,,,,ββββαββββααβ-

-

=;……

11

1122

2211

11,,,,,,-----

---=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ .

则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1

i i

i ββγ= s i ,.2,1 =

则},,,{21s γγγ 为规范正交组.

将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中k

k k i ik t βββα,,=

,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k

{},

,,2,1,s j i ∈∀

有

∑∑-=-=++=

1

,,j k j

k jk i k i k ik

j

i t t

β

βββα

α()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=-001,00

0,000,0,,0,1,,,1112

2221

11,21

j j j i i i i t t t t t t β

βββββ 令⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=---10

10010

11,2,2,11,1,121

s s s s s s t t t t t t T

则

T

s

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

β

α

,

1

2

1

/

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

上式左端的实方阵是

s

α

α,

,

2

1

的格兰母矩阵，记为：()s

Gα

α

α,

,

2

1

，上式右端

中间的对角阵是

s

β

β,

,

2

1

的Gram矩阵.即

有:()()T

G

T

G

s

β

α

α,

,

2

1

/

2

1

=

因此()()

s

G

Gβ

β

α

α,

,

det

,

det

2

1

2

1

2

1

=

注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵

（或者事先给出定义）.

例1 设

s

α

α,

,

2

1

欧式空间V中向量，则

（1）()⇔

≠0

,

det

2

1s

Gα

α

s

α

α,

,

2

1

线性无关;

（2）()⇔

=0

,

det

2

1s

Gα

α

s

α

α,

,

2

1

线性相关.

证明:只证（2）

)

⇐设sα

α

α,

,

2

1

线性相关，则存在一个向量，不妨设为

1

α,可由其余向量线性

表示:

s

k

kα

α

α+

+

=

2

1

给s阶的行列式()

s

Gα

α

α,

,

det

2

1

的第i行乘数()i k

-加到第1行，s

i,

,3,2

=得

(

)

s

i

s

i

s

i

s

i

s

k

G

α

,

det

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

∑

=

-

=

)

⇒法一：由上页证明推理过程立即得证。

法二：当()0

,

det

2

1

=

s

Gα

α

α 时，()s

Gα

α

α,

,

2

1

的行向量组线性相关，

因此存在不全为零的实数

12

,,,

s

k k k

，使