Gram-Schmidt正交化方法

Gram-Schmidt 正交化方法 正射影设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令;11αβ= 111122,,ββββααβ-=; (1)222231111333,,,,ββββαββββααβ--=;……111122221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ .则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1i ii ββγ= s i ,.2,1 =则},,,{21s γγγ 为规范正交组.将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中kk k i ik t βββα,,=,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k{},,,2,1,s j i ∈∀有∑∑-=-=++=1111,,j k jk jk i k i k ikji t tββββαα()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---101001011,2,2,11,1,121s s s s s s t t t t t t T则TTssssssssssssss⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----ββββββββαααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,,112211/21121112221212111上式左端的实方阵是sααα,,,21的格兰母矩阵，记为：()sGααα,,,21，上式右端中间的对角阵是sβββ,,,21的Gram矩阵.即有:()()TGTGssβββααα,,,,,,21/21=因此()()ssssGGβββββββββααα,,,,,,det,,,det22112121==注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵（或者事先给出定义）.例1 设sααα,,,21欧式空间V中向量，则（1）()⇔≠0,,,det21sGαααsααα,,,21线性无关;（2）()⇔=0,,,det21sGαααsααα,,,21线性相关.证明:只证（2）)⇐设sααα,,,21线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性表示:sskkααα++=221给s阶的行列式()sGααα,,,det21的第i行乘数()i k-加到第1行，si,,3,2=得()ssssssisiissiiisiiiskkkGααααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det2122212212221211121∑∑∑===---==)⇒法一：由上页证明推理过程立即得证。

法二：当()0,,,det21=sGααα 时，()sGααα,,,21的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数12,,,sk k k，使1,0,1,2,,sii ji kj sαα===∑ .即1,0,1,2,,siiji k j sαα===∑ .故11,0ssiiiii i k k αα===∑∑，即有10si i i k α==∑.即有12,,,s ααα 线性相关.注：当12,,,s ααα 线性无关时，12det (,,,)0s G ααα≠ ，且12det (,,,)0s G ααα> .推论1 设12,,,s ααα 是欧氏空间V 中任意向量，则 (ⅰ) 12(,,,)s G ααα 是半正定矩阵；(ⅱ) 12(,,,)s G ααα 是正定阵⇔12,,,s ααα 线性无关. 证明(ⅰ)对任意121k i i i s ≤<<<≤ ，主子式12121212det[(,,,)]det (,,,)k k s i i i k i i i G G i i i αααααα⎛⎫=⎪⎝⎭总大于或等于零. 因此12(,,,)s G ααα 是半正定矩阵.(ⅱ)（⇐）当12,,,s ααα 线性无关时，对任意121k i i i s ≤<<<≤ ，主子式12121212det[(,,,)]det (,,,)k k s i i i k i i i G G i i i αααααα⎛⎫=⎪⎝⎭总大于零（因为12,,,ki i i ααα 线性无关）.故12(,,,)s G ααα 是正定阵.（⇒）由例1，这是显然的.推论2 (ⅰ)设欧氏空间V 中向量12,,,s ααα 线性无关，则121det (,,,),ss i i i G ααααα=≤∏，且上式取等号⇔12,,,s ααα 两两正交.(ⅱ)设12,,,s V ααα∈ （欧），则121det (,,,),ss i i i G ααααα=≤∏.(ⅲ)设()n A M ∈ ，12(,,,),n n i A αααα=∈ ，则12(,,,)s G A A ααα'= ，故2211det()(det )nnjij i A A A a=='=≤∑∏.当A 可逆时，上式取等号⇔,{1,2,,},i k n i k ∀∈≠ ，有10nji jk j a a ==∑.例2 设12(),(),,()s f x f x f x 是欧氏空间[,]C a b 中的向量，且它们线性无关. 证明21m ax ()()(),;,1,2,,bb i j k a ai sf x dx f x f x dx j k j k s≤≤≥≠=⎰⎰.证明 令()ij n n B b ⨯=，其中(),()()()b ij i j i j ab f x f x f x f x dx ==⎰.则B 是线性无关向量组12,,,s f f f 的G ram 矩阵，故B 正定.假如B 的元素中，绝对值最大者不在主对角线，设max{,1,2,,}kl ij b b i j s == ，k l ≠.则0kl kk b b >>，0kl ll b b >>.故2kl kk ll b b b >.这样B 的二阶主子式20kk kl kk ll kl lk kk ll kl lkllb b b b b b b b b b b =-=-<.这与B 是正定阵相矛盾.因此B 的元素中，绝对值最大者必是主对角元，结论得证.注：从例2的证明中，可以看出这样一个结论：任意m 阶（实对称）正定阵的元素中，绝对值最大者必在主对角线上.设12{,,,}n ααα 是(0)n >维欧氏空间V 的规范正交基，,V ξη∀∈，1niii a ξα==∑，1niii b ηα==∑，则1）,,1,2,,i i a i n ξα== .2）1,ni ii a b ξη==∑.3）2,ξξξ=⇒=4）(,)d ξηξη=-=.设W 是欧氏空间V 的有限维子空间，则V W W ⊥=⊕.,,,V W Wξξηζηζ⊥∀∈=+∈∈，表示法唯一.称η为ξ在W 上的正射影.当12,,,t γγγ 为W 的规范正交基时，ξ在W 上的正射影为1122,,,n n ηξγγξγγξγγ=+++ .例3 证明，3 中向量000(,,)x y z 到平面3{(,,)|0}W x y z ax by cz =∈++=证明 000(,,)x y z ξ=，,,)a b c γ=，ξ在L （γ）的正射影的长度即为所求：,ξγ==.例4 设12{,,,}m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明，对于任意V ξ∈，以下不等式成立：22,1im i ξαξ≤∑=.证明：令W =L 12(,,,)m ααα ，则V W W ⊥=⊕，,V ξξηζ∀∈=+，,W W ηζ⊥∈∈.简单的计算表明222ξηζ=+.故22ηξ≤.而ξ在W 上的正射影,1i i mi ηξαα=∑=.因此由22ηξ≤知22,1im i ξαξ≤∑=.注：设12,,,m ααα 与12,,,m γγγ 均是V 的规范正交基，且 L 12(,,,)m ααα = L 12(,,,)m γγγ，则22,,11iim m i i ξαξγ=∑∑== .。