高一数学必修二 2.3.2 平面与平面垂直的判定

说明该平面角是直角.
（一般通过计算完成证明）
（2）判定定理： 要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线. （线面垂直面面垂直）
线线垂直 线面垂直 面面垂直
不如意的时候不要尽往悲伤里钻，想 想有笑声的日子吧！
本节结束，谢谢观看！
于____9_0_°__．
【解析】因为 PA⊥平面 ABC， 所以 PA⊥AB，PA⊥AC. 所以∠BAC 是二面角 B－PA－C 的平面角． 又∠BAC＝90°， 则二面角 B－PA－C 的平面角是 90°.
4.如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=90° ,P为△ABC所在平
面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，
6. 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
∠ACB=90°，AC=BC= 1
2
AA1，D是棱AA1的中点.
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC.
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，
求这两部分体积的比.
定义
二面角
画法 度量方法 直二面角
平面角
两平面垂直
两个平面垂直的证明方法：
（1）定义法： 找二面角的平面角
为什么？ P
PA PA

面ABC 面PAC

面PAC

面ABC
PA PA

面ABC 面PAB


面PAB

面ABC
A
C
B
P
CB CB

面PAB 面PBC


面PBC

面PAB
A
C
B
５．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1B1 A1C1 ， D ，E 分别是棱 BC ，CC1 上的点（点D 不同于点 C ），且 AD DE ，F 为 B1C1 的中点．求 证：平面 ADE 平面 BCC1B1 ．
1．自二面角 α－l－β 的棱 l 上任选一点 O，若∠AOB 是
二面角 α－l－β 的平面角，必须具有条件( D )
A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B．AO⊥l，BO⊥l C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D．AO⊥l，BO⊥l 且 AO⊂α，BO⊂β
【解析】根据二面角的平面角的定义判断．
2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的 中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正
方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重
合后记为G- SEF，则四面体S-EFG中必有( ).
A.SG⊥△EFG所在平面
S
G3
B.SD⊥△EFG所在平面 C.GF⊥△SEF所在平面 D.GD⊥△SEF所在平面
F D
G1
E
G2
S
G3
F D
G1
E
G2
SG⊥△EFG所在平面.故选A.
3．如图，三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°， 则二面角 B－PA－C 的大小等
是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
记作α⊥β
α
Aa D
β C
Bb E
图形表示 β
β
α
α
注意：把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
思考4 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？

平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号表示:
a a


证明：因为 ABC - A1B1C1 是直三棱柱，所以CC1 ⊥平面 ABC .
又因为 AD 平面 ABC ，所平面 BCC1B1，CC1∩DE = E ， 所以AD⊥ 平面 BCC1B1 . 又因为 AD 平面 ADE ， 所以平面 ADE 平面 BCC1B1 ．
a

线面垂直
面面垂直
例1 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平 面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析：找出在一个 面内与另一个面垂 直的直线.
BC⊥平面PAC
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， 有PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC， 因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点， AB为⊙O的直径， 所以∠BCA＝90°， 即BC⊥CA. 又因为 PA与AC是△PAC所在平面内 的两条相交直线， 所以 BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内， 所以平面PAC⊥平面PBC.
2.掌握两个平面垂直的判定定理并能进行简单应用. （重点）
3.培养空间想象能力与转化化归的思想．（难点）
半平面
半平面 半平面
二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫 做二面角的面.
Q
l P

记为：二面角 l
简记： P l Q
高一数学必修二教学课件
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.3.2 平面与平面垂直的判定
水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的 坡面与水平面要成一个适当的角度.
建筑施工时，为了保证墙面是竖直的，常使用铅锤 来检测，这是什么道理呢？
1.理解 “二面角”、“二面角的平面角”及“直 二面角”、“两个平面互相垂直”的概念.
思考1 我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大 一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？
二面角的平面角
AOB即为二面角 l 的平面角.
A
l
O
B
β
说明:1.平面角的两边分别 在二面角的两个面内，分别 垂直于二面角的棱.
2.二面角θ的取值范围为 0°≤θ≤180°
思考2 ∠AOB的大小与点O在l上的位置有关系吗？ 为什么？
平面角的大小与棱 上点的选取无关.
A
lO
B
β
求二面角的平面角
求二面角C1 - AB - C的平面角. 45
D1
C1
B1 A1
N
M
D C
A
B
思考3 教室的相邻两面墙与地面可以构成几个 二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平 面角及度数？
P
α
平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角
【变式练习】
设两个平面α ,β ,直线l，下列三个条件：①l⊥α ;
②l∥β ;③α ⊥β .若以其中两个作为前提，另一个
作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确
命题的个数为 ( C )
A.3
B.2
C.1
D.0
解：若①,②成立，则l与β内的某一直线a平行，所 以a⊥α,所以β⊥α，即③成立；若①③成立，l还 可能在β内，所以不能推出l∥β;若②③成立，l也 可能平行于α所以不能推出l⊥α,故只有①②⇒③ 正确.