(完整版)初中几何变换思想之翻折

中考汇编几何变换之翻折
1．（2016山东省枣庄市）如图，△ABC 的面积为6，AC =3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C ′处，P 为直线AD 上的一点，则线段BP 的长不可能是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5.5
D ．10
2．（2015常州）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）
A ．338cm 2
B ．8cm 2
C ．33
16cm 2 D ．16cm 2 3．（2016江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 ．
4．（2014年湖北天门学业3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为 ▲ ．
5．（2014年四川凉山5分）如图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为 ▲ ．
6．（2014年江苏盐城12分）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．
小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF；
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；（注：矩形即小学学过的长方形，对边平行且相等、四个角是直角）
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，
EC⊥CB，垂足分别为D、C，（且AD•CE=DE•BC，AB=，AD=3dm，dm．改编为）
∠A=∠ABC，AB=20dm ，AD=11dm ，BD=13dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
7、如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=1/2∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H.若MH=8cm，则BG=___cm.
8、如图，M、N是正方形ABCD边AB、CD上两动点，连接MN，将四边形BCNM沿MN折叠，使点B落在AD边上点E处、点C落在点F.（提示：正方形四边平行且相等，四个角是直角）
(1)求证：BE平分∠AEF；
(2)求证：C△EDG=2AB(注：C△EDG表示△EDG的周长)
9、在四边形ABDE中，C是BD边的中点。

(1)如图(1),若AC平分∠BAE,∠ACE=90∘，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
___;(直接写出答案)
(2)如图(2),AC平分∠BAE,EC平分∠AED,若∠ACE=120∘，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系?写出结论并证明；
(3)如图(3),BD=8,AB=2,DE=8,若ACE=135∘,则线段AE长度的最大值是___(直接写出答案).
10. 问题：如图①,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45∘，DC=2.求BD 的长。

(1)请你回答：图中BD的长为___；
(2)参考（1）的思路,探究并解答问题：如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=30∘，DC=2，求BD和AB的长。

答案
1、【解析】如图：
过B作BN⊥AC于N，B M⊥AD于M，∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的
C′处，∴∠C′AB=∠CAB，∴BN=B M，∵△ABC的面积等于6，边AC=3，∴1
2
×AC×BN=6，
∴BN=4，∴B M=4，即点B到AD的最短距离是4，∴BP的长不小于4，即只有选项A的3不正确，故选A．
考点：翻折变换（折叠问题）．
2、试题分析：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°，∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=1
2
×4×4=8cm2．故选B．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．最值问题．
3、提示：过F点作FM⊥AB，垂足为M，连FB，利用面积法S△ABC=S△FBC+S△FBA求出FM 再减FP既得答案为：1.2．
考点：翻折变换（折叠问题）．
4、∵将正方形ABCD沿直线EF折叠，
∴AG=HG，AD=H M，DN=M N．
∵正方形ABCD的边长为2，
∴4个阴影三角形的周长之和=正方形ABCD的周长=8．
5、如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
根据勾股定理，得A B20
'===（cm）．
6、【答案】解：【问题情境】证明：如图②，连接AP ，
∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，且S △ABC =S △ABP +S △ACP ， ∴111AB CF AB PD AC PE 222⋅=⋅+⋅．
∵AB =AC ，∴CF =PD +PE ．
【变式探究】证明：如答图1，连接AP ．
∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，
且S △ABC =S △ABP ﹣S △ACP ，
∴11
1
AB CF AB PD AC PE 222⋅=⋅+⋅．
∵AB =AC ，
∴CF =PD ﹣PE ．
【结论运用】如答图2，过点E 作EQ ⊥BC ，垂足为Q ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD =BC ，∠C =∠ADC =90°．
∵AD =8，CF =3，∴BF =BC ﹣CF =AD ﹣CF =5．
由折叠可得：D F =BF ，∠BEF =∠DEF ．
∴DF =5．
∵∠C =90°，
∴2222DC DF CF 534=-=-=．
∵EQ ⊥BC ，∠C =∠ADC =90°，∴∠EQC =90°=∠C =∠ADC ．
∴四边形EQCD 是矩形．∴EQ =DC =4．
∵AD ∥BC ，∴∠DEF =∠EFB ．
∵∠BEF =∠DEF ，∴∠BEF =∠EFB ．∴BE =BF ．
由问题情境中的结论可得：PG +PH=EQ ，∴PG +PH=4．
∴PG+PH的值为4．
【迁移拓展】如答图3，延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，∵∠A=∠CBE．∴FA=FB．
由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH．
设DH=x dm，则AH=AD+DH=（11+x）dm．
∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°．
∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2．
∵AB=20dm，AD=11dm，BD=13dm，
∴132﹣52=202﹣（11+x）2解得：x=5．
∴BH2=BD2﹣DH2=144．∴BH=12．∴ED+EC=12．
∵∠ADE=∠BCE=90°，且M、N分别为AE、BE的中点，
∴DM=E M=1
2
AE，CN=EN=
1
2
BE．
∴△DE M与△CEN的周长之和=DE+DM+E M+CN+EN+EC=DE+AE+BE+EC
=DE+AB+EC=DE+EC+AB=12+20=32．
∴△DE M与△CEN的周长之和为32dm．
【考点】1．四边形综合题；2．折叠对称的性质；3．等腰三角形的判定和性质；4．直角三角形斜边上的中线性质；5．勾股定理；6．矩形的判定和性质； 7．方程思想的应用．
7、提示：将△BMG沿MG翻折
8、提示：过B点作EF的垂线、连结BG
9、提示：沿AC翻折△ABC、沿CE翻折△CDE
10、提示：①沿AC翻折△ADC并连接DD′，②沿AC翻折△ADC并连接DD′，再沿AD翻
折△ADB，连接BB′。