初中几何变换-翻折
几何翻折变换(折叠问题)(答案参考)
专题:几何翻折变换(折叠问题)1、已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.(Ⅰ)如图①,当∠BOP=300时,求点P的坐标;(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).2、如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.(1)求证:△ABG≌△C′DG;(2)求tan∠ABG的值;(3)求EF的长.3、如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线解析式及点D坐标;(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.【答案】1、解:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6。
在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t。
∵OP2=OB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得:t1=23t2=-23(舍去).∴点P的坐标为(23,6)。
(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的,∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP。
∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC。
平移旋转翻折
平移旋转翻折在数学几何中,平移、旋转和翻折是常见且重要的变换方式。
它们不仅被广泛应用于各个领域,如计算机图形学、工程建模以及几何推理,还在日常生活中起到一定的作用。
本文将重点介绍平移、旋转和翻折的概念、特点以及应用。
一、平移平移是指在平面上将一个图形沿着一定方向不改变形状和大小地移动。
在数学中,平移可以用向量来表示。
假设平移向量为[dx, dy],那么图形上任意一点(x, y)经过平移后的坐标为(x+dx, y+dy)。
可以看出,平移只改变了图形的位置,而不会改变图形本身的性质。
平移在几何中有广泛的应用。
比如在地图制图中,将地图上的城市标记进行平移,便可以得到不同的地理分布方案。
此外,在工程制图中,平移也是非常常见的操作,可以通过平移来移动图形的位置,以获得更合理和更美观的设计。
二、旋转旋转是指将一个图形以某个点为中心按一定角度旋转,保持形状和大小不变。
数学中,我们可以使用旋转矩阵来描述一个图形的旋转变换。
设旋转角度为θ,旋转中心为(x0, y0),图形上任意一点(x, y)经过旋转后的坐标计算公式如下:x' = (x - x0) * cosθ - (y - y0) * si nθ + x0y' = (x - x0) * sinθ + (y - y0) * cosθ + y0可以看出,旋转的本质是改变了图形的方向和位置,但不改变图形本身的性质。
旋转在许多领域都有重要的应用。
例如,在航空航天领域中,飞行器的姿态控制需要进行旋转变换来实现平衡和机动性能。
此外,在艺术设计中,通过旋转变换可以创造出丰富多样的视觉效果。
三、翻折翻折是指将一个图形沿着某条直线对称地翻转,即将图形中的点关于对称轴做镜像对称。
在数学中,翻折也可以通过矩阵变换来表示。
设对称轴为直线y=kx+b,图形上任意一点(x, y)经过翻折后的坐标计算公式如下:x' = x - 2 * (k * x + b) / (k^2 + 1)y' = y - 2 * (k * x + b) * k / (k^2 + 1) - 2 * b / (k^2 + 1)翻折改变了图形的方向和位置,同时也改变了图形的性质。
中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)
专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称(折痕)的性质:(1)成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
(3)对应点到对称轴的距离相等。
(4)对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称,对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题(1)求角度大小;(2)求线段长度;(3)求面积;(4)其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法(1)折叠后能够重合的线段相等,能够重合的角相等,能够重合的三角形全等,折叠前后的图形关于折痕对称,对应点到折痕的距离相等。
(2)折叠类问题中,如果翻折的直角,那么可以构造三垂直模型,利用三角形相似解决问题。
(3)折叠类问题中,如果有平行线,那么翻折后就可能有等腰三角形,或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
(4)折叠类问题中,如果有新的直角三角形出现,可以设未知数,利用勾股定理构造方程解决。
(5)折叠类问题中,如果折痕经过某一个定点,往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
(6)折叠后的图形不明确,要分析可能出现的情况,一次分析验证可以利用纸片模型分析。
例题解析与对点练习【例题1】(2020•哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为()A.10°B.20°C.30°D.40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C=40°,由轴对称的性质可得∠AB'B=∠B=50°,由外角性质可求解.∵∠BAC=90°,∠B=50°,∴∠C=40°,∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',∴∠AB'B=∠B=50°,∴∠CAB'=∠AB'B﹣∠C=10°。
圆中的重要模型之翻折(学生版)-初中数学
圆中的重要模型之翻折模型圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折,使得纸片的边缘与直线重合,从而形成新的圆形或圆环。
翻折前后,对应边相等,对应角相等,对应点之间的连线被折痕垂直平分。
这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案,是一种非常有趣的几何模型。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)【知识储备】1、翻折变换的性质:翻折前后,对应边相等,对应角相等,对应点之间的连线被折痕垂直平分;2、圆的性质:在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧、弦相等;同弧或等弧所对的圆周角相等;3、等圆相交:如图,圆O和圆G为两个相等的圆,圆O和圆G相交,相交形成的弦为AB,则弦AB为整个图形的对称轴,圆心O和圆心G关于AB对称,弧ACB和弧ADB为等弧,且关于AB对称;4、弧翻折(即等圆相交):如图,以弦BC为对称轴,将弧BC翻折后交弦AB于点D,那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆,且两个圆关于BC对称,故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)1)条件:如图,以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D,结论:CD=CA2)条件:特别地,弧BC 折叠后过圆心,结论:CD =CA ,∠CAB =60°1)证明:如图,设折叠后的BDC所在的圆心是G ,连接AC ,CD .由题意得(折叠):BC =BDC ,即:BC =BD +DC ,∴∠CAB =∠DCB +∠CBD ,∵∠CDA =∠DCB +∠CBD ,∴∠CAB =∠CDA ,∴CD =CA 。
2)证明:如图,连接AC ,CD ,CO ;由1)中证明知:CO =CA ,∵OA =OC ,∴CO =CA =OA ,∴△OAC 为等边三角形,∴∠CAB =60°。
1.(23-24九年级上·浙江台州·阶段练习)如图,在⊙O 中,AB 为直径,C 为圆上一点,将劣弧AC 沿弦AC 翻折,交AB 于点D (不与点O 重合),连结CD .若∠BAC =24°,则∠ACD 的度数为()A.44°B.46°C.48°D.42°2.(23-24九年级上·安徽合肥·期末)如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,AB =8,CD 为AB 边上的中线,将BC 沿BC 翻折后刚好经过点D ,若已知⊙O 的半径为25,则BC 的长是()A.43B.62C.65D.533.(2023·山西吕梁·模拟预测)如图,AC 是半圆O 的一条弦,以弦AC 为折线将弧AC 折叠后过圆心O ,⊙O 的半径为2,则圆中阴影部分的面积为()A.23B.2π-3C.3D.3+14.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)如图,将⊙O 上的BC �沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ,再将BD �沿BD 翻折交BC 于点E ,连接DE .若AD =2OD ,则DE AB 的值.5.(2024·陕西西安·模拟预测)如图,在⊙O 中,点C 为AB 的中点,将弦AB 下方的部分沿弦AB 翻折,使点C 与圆心O 重合.点D 为优弧AB 上一点连接BD 、CD 、BC .若∠BCD =45°,AB =23,则CD =()A.6+2B.23C.1+23D.326.(2023春·江苏盐城·九年级校考期末)如图,AB 是半径为2的⊙O 的弦,将AB 沿着弦AB 折叠,正好经过圆心O ,点C 是折叠后的AB上一动点,连接并延长BC 交⊙O 于点D ,点E 是CD 的中点,连接AC ,AD,EO.则EO的最小值为.7.(23-24九年级上·浙江金华·期中)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=3,求⊙O的半径r;(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=20°,请求出∠DCA的度数.(3)如图2,如果AD=6,DB=2,求AC的长.8.(2023·安徽淮南·一模)如图,已知,AB是⊙O的直径,点C为圆上一点.(1)如图①,将AC 沿弦AC翻折,交AB于D,若点D与圆心O重合,AC=23,则⊙O的半径为;(2)如图②,将BC 沿弦BC翻折,交AB于D,把BD 沿直径AB翻折,交BC于点E.(Ⅰ)若点E恰好是翻折后的BD 的中点,则∠B的度数为;(Ⅱ)如图③,连接DE,若AB=10,OD=1,求线段DE的长.1.(2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,将劣弧AC沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D .若AC =6,∠C =60°,则⊙O 的半径长为()A.137B.237C.1321 D.23212.(2023·吉林长春·统考模拟预测)如图,在⊙O 中,点C 在优弧AB 上,将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB的中点D ,连接AC ,CD .则下列结论中错误的是()①AC =CD ;②AD =BD ;③AC +BD =BC ;④CD 平分∠ACBA.1B.2C.3D.43.(2022春·福建福州·九年级校考阶段练习)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦,先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ,再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E .若BE =DE ,则∠BCD 的度数是()A.22.5°B.30°C.45°D.60°4.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)若直角三角形中两直角边之比是1:22,则称直角三角形为完美三角形.如图,C是⊙O上半圆上一点,将⊙O沿着BC折叠,与直径AB交于圆心O右侧一点D,若△ABC是完美三角形,则BD:AD为()A.3:1B.22:1C.3:22D.7:25.(2022春·九年级课时练习)如图,已知半圆O的直径AB=8,C是半圆上一点,沿AC折叠半圆得到弧ADC,交直径AB于点D,若DA、DB的长均不小于2,则AC的长可能是()A.7B.6C.5D.46.(2023·河南周口·统考二模)如图①,AB为半圆O的直径,点C在AB 上从点A向点B运动,将BC 沿弦BC,翻折,翻折后BC 的中点为D,设点A,C间的距离为x,点O,D间的距离为y,图②是点C运动时y 随x变化的关系图象,则AB的长为.7.(2023·北京·统考二模)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,将弧AC沿直线AC翻折,若翻折后的图形恰好经过点O,则∠CAB=°.8.(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图,以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后,AB与CB 相交于点D .若CD =13BD ,则∠ACD =.9.(2023·浙江宁波·校考一模)如图,⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折,劣弧恰好经过圆心O .则这条劣弧的弧长为.10.(2023春·广西·九年级专题练习)如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的弦,AB ⊥CD ,垂足为G ,OG :OC =3:5,AB =8,点E 为圆上一点,∠ECD =15°,将CE沿弦CE 翻折,交CD 于点F ,图中阴影部分的面积=.11.(2023秋·四川南充·九年级统考期末)如图,在⊙O 中,将劣弧AB 沿弦AB 折叠得弧AmB ,P 是弧AmB 上一动点,过点P 作弧AmB 的切线与⊙O 交于C ,D 两点,若⊙O 的半径为13,AB =24,则CD 的长度最大值为.12.(2024·浙江杭州·九年级校考阶段练习)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.(1)如图1,若点D与圆心O重合,则∠BAC的度数为;(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=16°,则∠DCA的度数为.13.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图,C是半圆上一点,AB是直径,将弧BC沿BC翻折交AB于点D,再将弧BD沿BD翻折交BC于点E,若E是弧BD的中点,AD=2,则阴影部分面积为.14.(2024·浙江金华·九年级校考期中)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD.(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=3,求⊙O的半径r;(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=20°,请求出∠DCA的度数.(3)如图2,如果AD=6,DB=2,求AC的长.15.(2023·河北张家口·校考模拟预测)如图1,在平行四边形ABCD中,∠BAD=45°,AB=4,BC=a,以AB为直径在AB的上方作半圆O,交AD于点E,P为AB 上一动点(不与点A,B重合),将半圆O沿BP折叠,得到点A的对称点A ,点O的对称点O .(1)当点O 在半圆O 上时,∠ABA 的度数为;(2)如图2,连接BD ,BP 与AE 交于点F .已知P A ∥BD ,且a =22+26.①求BD 的长度及EF BF 的值;②求阴影部分的面积;(3)点P 在AB 上运动过程中,当直线DC 能与A P 所在的圆相切时,直接写出a 的取值范围.16.(2023·河北承德·九年级校考期末)如图,⊙O 的直径AB =4,AC 是弦,沿AC 折叠劣弧AC,记折叠后的劣弧为AmC .(1)如图1,当AmC 与AB 相切于A 时.①为画出AmC 所在圆的圆心P ,请选择你认为正确的答案.甲:在AmC 上找一点E ,连AE 、CE 并分别作它们的中垂线,交点为P ;乙:分别以A 、C 为圆心,以AO 为半径作弧,除O 外两弧另一个交点即为圆心P .A.甲正确B.乙正确C.甲乙都正确D.都不正确②选择合适的方法做出圆心P ,求AC 的长;直接写出此时∠CAO 的度数.(2)如图2,当AmC经过圆心O 时,求AC 的长;(3)如图3,当AmC 覆盖圆心且与直径交于点D ,若∠CAO =25°,直接写出∠ACD 的度数.17.(2023·广东汕头·九年级校考期中)如图,在⊙O中,点C、D在AB 上,将BC 沿BC折叠后,点D的对应点E刚好落在弦AB上,连接AC、EC.(1)证明:AC=EC;(2)连接AD,若CE=5,AD=8,求⊙O的半径.18.(2023·江苏扬州·九年级统考阶段练习)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=3,求⊙O的半径r.(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=26°,请直接写出∠DCA的度数是.(3)如图2,若点D与圆心O不重合,BD=5,AD=7,求AC的长.。
初中数学翻折教案
教案:初中数学——翻折变换一、教学目标:1. 让学生理解翻折变换的定义及基本性质。
2. 培养学生运用翻折变换解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容:1. 翻折变换的定义及基本性质。
2. 翻折变换在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点:1. 翻折变换的定义及基本性质。
2. 如何在实际问题中运用翻折变换。
四、教学过程:1. 导入:利用多媒体展示一些生活中的翻折现象,如打开书本、折叠纸张等,引导学生关注翻折变换。
2. 新课讲解:(1)翻折变换的定义:解释翻折变换的概念,即在平面内,将一个图形沿着某条直线折叠,使得折叠前后的图形重合。
(2)翻折变换的基本性质:① 翻折变换不改变图形的大小和形状。
② 翻折变换的轴线是对称轴,图形关于轴线对称。
③ 翻折变换的对应点、对应线段、对应角相等。
(3)翻折变换在实际问题中的应用:举例说明翻折变换在实际问题中的应用,如制作几何模型、展开平面图等。
3. 课堂练习:让学生动手进行一些翻折变换,观察图形的变化,加深对翻折变换的理解。
4. 拓展提高:引导学生思考如何将翻折变换应用于实际生活中,提高学生的实际应用能力。
5. 课堂小结:总结本节课所学内容,强调翻折变换的定义、基本性质及实际应用。
五、课后作业:1. 完成课后练习题,巩固翻折变换的基本性质。
2. 举例说明翻折变换在实际问题中的应用,如制作几何模型、展开平面图等。
六、教学反思:在课后对教学效果进行反思,了解学生在掌握翻折变换方面的困难,针对性地调整教学方法,提高教学效果。
七、教学评价:通过课堂表现、课后作业和拓展应用等方面,评价学生在翻折变换方面的掌握程度。
专题31 几何变换之翻折模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题31几何变换之翻折模型【理论基础】翻折和折叠问题其实质就是对称问题,翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的,对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础,结合圆的性质,三角形相似,勾股定理设方程思想来考查。
那么碰到这类题型,我们的思路就要以翻折性质为基础,结合题中的条件,或利用三角形相似,或利用勾股定理设方程来解题。
对于翻折和折叠题型分两个题型来讲,一类题型就是直接计算型,另一类是涉及到分类讨论型,由浅入深难度逐步加大,,掌握好分类讨论型的翻折问题,那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。
解决翻折题型的策略1.利用翻折的性质:①翻折前后两个图形全等。
对应边相等,对应角相等②对应点连线被对称轴垂直平分2.结合相关图形的性质(三角形,四边形等)3.运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
翻折折叠题型(一),直接计算型,运用翻折的性质,结合题中的条件,或利用三角形相似,或利用勾股定理设方程来解题。
一般难度小,我们要多做一些这些题型,熟练翻折的性质,以及常见的解题套路。
翻折折叠题型(二),分类讨论型,运用翻的性质,结合题中的条件,或利用三角形相似,或利用勾股定理设方程来解题。
般难度较大,需要综合运用题中的条件,多种情况讨论分析,需要准确的画图,才能准确分析。
【例1】如图,在ABC 中,点D 是线段AB 上的一点,过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ,将BDE 沿DE 翻折,得到B DE ' ,若点C 恰好在线段B D '上,若90BCD ∠=︒,DC :3CB '=:2,AB =CE 的长度为()A.42B 722C.32D522【例2】如图,点E是菱形ABCD的边CD上一点,将ADE沿AE折叠,点D的对应点F恰好在边BC上,设DE k CE=.(1)若点F与点C重合,则k=__________.(2)若点F是边BC的中点,则k=__________.【例3】(1)发现:如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将△AEB沿BE 翻折到△BEF处,延长EF交CD边于G点,求证:△BFG≌△BCG.(2)探究:如图②,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,且AD=8,AB=6.将△AEB 沿BE翻折到△BEF处,延长EF交BC边于G点,延长BF交CD边于点H,且FH=CH,直接写出AE的长.一、单选题1.一张正方形的纸片,如图进行两次对折,折成一个正方形,从右下角的顶点,沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形,再把余下的部分展开,展开后的这个图形的内角和是()度.A .1080︒B .360︒C .180︒D .900︒2.如图,四边形ABCD 为平行四边形,若将△ACB 沿对角线AC 翻折得到△ACE ,连接ED ,则图中与∠CAD 度数一定相等(除∠CAD 外)的角的个数有()A .2个B .4个C .5个D .7个3.如图,点D ,E 是正△ABC 两边上的点,将△BDE 沿直线DE 翻折,点B 的对应点恰好落在边AC 上,当AC =5AF 时,BD BE的值是()A .23B .34C .35D .574.如图,在△ABC 中,AB <AC ,∠C =45°,AB =5,BC =D 在AC 上运动,连接BD ,把△BCD 沿BD 折叠得到BC D '△,BC '交AC 于点E ,C D AB '∥,则图中阴影部分的面积是()A .78B .127C .52D .2075.如图,正方形ABCD 中,AB =4,延长DC 到点F (0<CF <4),在线段CB 上截取点P ,使得CP =CF ,连接BF 、DP ,再将△DCP 沿直线DP 折叠得到△DEP .下列结论:①若延长DP ,则DP ⊥FB ;②若连接CE ,则CE FB ∥;③连接PF ,当E 、P 、F 三点共线时,CF =4;④连接AE 、AF 、EF ,若△AEF 是等腰三角形,则CF =﹣4;其中正确有()A .4个B .3个C .2个D .1个6.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =8,tan ∠ABC =32,点N 是边AC 的中点,点M 是射线BC 上的一动点(不与B ,C 重合),连接MN ,将△CMN 沿MN 翻折得△EMN ,连接BE ,CE ,当线段BE 的长取最大值时,sin ∠NCE 的值为()A B C D 7.如图,ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点E ,15ADE ∠=︒,BD =将ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B 的落点记为B ',恰好BE B E '⊥,若点F 为BC 上一点,则B F '的最短距离是()A .1B 2C 3D 58.如图,将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠,使得点B 落在CD 上的点M 处,折痕为AP ;再将PCM △,ADM △分别沿PM ,AM 折叠,此时点C ,D 落在AP 上的同一点N 处.下列结论不.正确的是()A .M 是CD 的中点B .MN AP⊥C .当四边形APCD 是平行四边形时,3AB MN=D .AD BC∥二、填空题9.如图,在直角坐标系xOy 中,一次函数22y x =-+的图象与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B .将ABO 沿直线AB 翻折得到ABC .若点C 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上,则k =____________.10.如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB 3AC =4,点D 是AB 的中点,点E 是边BC 上一动点,沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′DE 的位置,B ′D 交边BC 于点F ,若△CB ′F 为直角三角形,则CB ′的长为______.11.如图,将ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点B '处,若138∠=︒,231∠=︒,则D ∠=___.12.如图,90POQ ∠=︒,定长为a 的线段端点A ,B 分别在射线OP ,OQ 上运动(点A ,B 不与点O 重合),C 为AB 的中点,作OAC 关于直线OC 对称的OA C '△,A O '交AB 于点D ,当OBD 是等腰三角形时,OBD ∠的度数为______.13.如图,抛物线y =2x ﹣2x ﹣3与x 轴相交于A ,B 两点,点C 在对称轴上,且位于x 轴的上方,将△ABC 沿直线AC 翻折得到△A B 'C ,若点B '恰好落在抛物线的对称轴上,则点C 的坐标为_____.14.四边形ABCD 为平行四边形,己知AB 13,BC =6,AC =5,点E 是BC 边上的动点,现将△ABE 沿AE 折叠,点B ′是点B 的对应点,设CE 长为x ,若点B ′落在△ADE 内(包括边界),则x 的取值范围为____________.15.如图,点A 、B 分别在平面直角坐标系xOy 的y 轴正半轴、x 轴正半轴上,且OA =4,OB =3,将△AOB 沿AB 折叠,O 的落点为P ,若双曲线y =k x过点P ,则k =________.16.如图,过点A 折叠边长为2的正方形ABCD ,使B 落在B ',连接D B ',点F 为D B '的中点,则CF 的最小值为_____.三、解答题17.如图,四边形ABCD 中,AC AD =,90BAC ∠=︒,45BDC ∠=︒.(1)求∠ABC 的度数;(2)把 BCD 沿BC 翻折得到 BCE ,过点A 作AF BE ⊥,垂足为F ,求证:2BE AF =;(3)在(2)的条件下,连接DE ,若四边形ABCD 的面积为45,10BC =,求DE 的长.18.(1)[初步尝试]如图①,在三角形纸片ABC 中,∠ACB =90°,将△ABC 折叠,使点B 与点C 重合,折痕为MN ,则AM 与BM 的数量关系为____18____;(2)[思考说理]如图②,在三角形纸片ABC 中,AC =BC =6,AB =10,将△ABC 折叠,使点B 与点C 重合,折痕为MN ,求AM BM的值;(3)[拓展延伸]如图③,在三角形纸片ABC 中,AB =9,BC =6,∠ACB =2∠A ,将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠,使点B 落在边AC 上的点B '处,折痕为CM .①求线段AC 的长;②若点O 是边AC 的中点,点P 为线段OB '上的一个动点,将△APM 沿PM 折叠得到A PM ' ,点A 的对应点为点A ',A M '与CP 交于点F ,求PF MF 的取值范围.19.综合与实践在数学教学中,教师和学生都学习到了新知识,掌握了许多新技能.例如教材八年级下册的数学活动——折纸,就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中,进一步发展了同学们的空间观念,积累了数学活动经验.实践发现:对折矩形纸片ABCD ,使AD 与BC 重合,折痕为EF ,把纸片展平:再一次折叠纸片,使点A 落在EF 上的点N 处,并使折痕经过点B ,折痕为BM ,把纸片展平,连接AN ,如图①;(1)折痕BM 所在直线是否是线段AN 的垂直平分线?请判断图中ABN 是什么特殊三角形?请写出解答过程.(2)继续折叠纸片,使点A 落在BC 边上的点H 处,并使折痕经过点B ,得到折痕BG ,把纸片展平,如图②,求∠GBN 的度数.(3)拓展延伸:如图③,折叠矩形纸片ABCD ,使点A 落在BC 边上的点A '处,并且折痕交BC 边于点T ,交AD 边于点S ,把纸片展平,连接AA '交ST 于点O ,连接AT ;求证:四边形SATA '是菱形.20.图,一张矩形纸片ABCD ,点E 在边AB 上,将△BCE 沿直线CE 对折,点B 落在对角线AC 上,记为点F .(1)若AB =4,BC =3,求AE 的长.(2)连接DF ,若点D ,F ,E 在同一条直线上,且DF =2,求AE 的长.21.如图1,在△ABC 中,BC =6,P 是BC 边的一点,且不与B ,C 重合,将△APB 沿AP 折叠得'APB △,过点C 作AP 垂线,垂足为D ,连接DB BB B C '',,.(1)AB 和'AB 的数量关系是,AP 与'BB 的位置关系是;(2)如图2,当四边形'BDCB 是平行四边形时,求BP 的长;(3)在(2)的条件下,若BD =CD ,求证:223AB AC AD DP -=⋅.22.矩形ABCD 满足BC =2AB ,E 、F 分别为AD 、BC 边上的动点,连接EF ,沿EF 将四边形DEFC 翻折至四边形GEFH .(1)①如图1,若点G 落在矩形ABCD 内,当∠BFE =57°时,直接写出∠AEG =.②如图2,若点G 落在AB 边上,当G 为AB 中点时,直接写出sin ∠BFH =.(2)如图3,若点G 落在AB 边上,且满足AB =nAG ,①求BH DF 的值(用含n 的代数式表示);②在E 、F 运动的过程中,直接写出DE CF AG+的值(用含n 的代数式表示)23.小红根据学习轴对称的经验,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.如图,在ABCD 中,AN 为BC 边上的高,AD m AN=,点M 在AD 边上,且BA BM =,点E 是线段AM 上任意一点,连接BE ,将ABE △沿BE 翻折得FBE .(1)问题解决:如图①,当60BAD ∠=︒,将ABE △沿BE 翻折后,使点F 与点M 重合,则AM AN =______;(2)问题探究:如图②,当45BAD ∠=︒,将ABE △沿BE 翻折后,使EF BM ∥,求ABE ∠的度数,并求出此时m 的最小值;(3)拓展延伸:当30BAD ∠=︒,将ABE △沿BE 翻折后,若EF AD ⊥,且AE MD =,根据题意在备用图中画出图形,并求出m 的值.24.【问题情境】:数学活动课上,同学们开展了以折叠为主题的探究活动,如图1,已知矩形纸片()ABCD AD AB >,其中宽8AB =.(1)【动手实践】:如图1,威威同学将矩形纸片ABCD 折叠,点A 落在BC 边上的点M 处,折痕为BN ,连接MN ,然后将纸片展平,得到四边形ABMN ,则折痕BN 的长度为______.(2)【探究发现】:如图2,胜胜同学将图1中的四边形ABMN 剪下,取AN 边中点E ,将ABE △沿BE 折叠得到A BE ' ,延长BA '交MN 于点F .点Q 为BM 边的中点,点P 是边MN 上一动点,将MQP △沿PQ 折叠,当点M 的对应点M '落在线段BF 上时,求此时tan PQM ∠的值;(3)【反思提升】:明明同学改变图2中Q 点的位置,即点Q 为BM 边上一动点,点P 仍是边MN 上一动点,按照(2)中方式折叠MQP △,使点M '落在线段BF 上,明明同学不断改变点Q 的位置,发现在某一位置QPM ∠与(2)中的PQM ∠相等,请直接写出此时BQ 的长度.。
2023年中考数学【选择题】讲练必考重点03 几何变换之翻折问题
【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题,是江苏各地中考中常考的题型,难度多为一般或者较难。
几何的翻折问题,本质上考查的是轴对称的性质,常和矩形相结合。
在解题时,首先要明确折叠前后的图形全等,折叠前后的对应边、对应角相等,对称轴垂直平分对应点之间的连线,在结合矩形、菱形、三角形等的性质,运用勾股定理,列出方程,求出相应的线段长度。
【2022·江苏连云港·中考母题】如图,将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折,使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处,且点G 、O 、C 在同一条直线上,同时点E 、O 、F 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论:①GF ∥EC ;②AB ;③GE DF ;④OC ;⑤△COF ∽△CEG .其中正确的是( )A .①②③B .①③④C .①④⑤D .②③④【考点分析】本题主要考查了折叠问题,解题时,我们常常设要求的线段长为x ,然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案. 【思路分析】由折叠的性质知∠FGE =90°,∠GEC =90°,点G 为AD 的中点,点E 为AB 的中点,设AD =BC =2a ,AB =CD =2b ,在Rt △CDG 中,由勾股定理求得b ,然后利用勾股定理再求得DF =FO =【2021·江苏苏州·中考母题】如图,在平行四边形ABCD 中,将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C ',B C '交AD 于点E ,连接B D ',若60B ∠=︒,45ACB ∠=︒,AC =B D '的长是( )A.1BC D 【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC 为等腰直角三角形,根据已知条件可得CE 得长,进而得出ED 的长,再根据勾股定理可得出B D ';1.(2022·江苏苏州·二模)如图把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折,点B 的对应点为B ′,AB ′与DC 相交于点E ,则下列结论一定正确的是( )A .BC =12ACB .AE =CEC .AD =DE D .∠DAE =∠CAB2.(2022·江苏南京·二模)如图,矩形ABCO ,点A 、C 在坐标轴上,点B 的坐标为()2,4-.将△ABC 沿AC 翻折,得到△ADC ,则点D 的坐标是( )A.612,55⎛⎫⎪⎝⎭B.65,52⎛⎫⎪⎝⎭C.312,25⎛⎫⎪⎝⎭D.35,22⎛⎫⎪⎝⎭3.(2022·江苏泰州·一模)如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平后再次折叠,使点A落在EF上的点A′处,得到折痕BM,BM与EF相交于点N.若直线BA′交直线CD于点O,BC=11,EN=2,则FO的长为()A B C D4.(2022·江苏宿迁·三模)已知长方形纸条ABCD,点E、G在AD边上,点F、H在BC边上.将纸条分别沿着EF、GH折叠,如图,当DC恰好落在EA'上时,1∠与2∠的数量关系是()A.12135∠+∠=︒B.2115∠-∠=︒C.1290∠+∠=︒D.22190∠-∠=︒5.(2022·江苏苏州·二模)如图①,②,③,④,两次折叠等腰三角形纸片ABC,先使AB与AC重合,折痕为AD,展平纸片:再使点A与点C重合,折痕为EF,展平纸片,AD、EF交于点G.若5cmAB AC==,6cmBC,则DG的长为()A.3cm4B.7cm8C.1cm D.7cm66.(2022·江苏·苏州中学二模)如图,菱形ABCD中,点E在AD上,将△ABE沿着BE翻折,点A恰好落在CD上的点F处.若∠A=65°,则∠DFE的度数为()A.85︒B.82.5︒C.65︒D.50︒7.(2022·江苏扬州·二模)如图,在矩形ABCD中,2AB=,BC=E是BC的中点,将ABE△沿直线AE翻折,点B落在点F处,连结CF,则tan ECF∠的值为()A B C.23D8.(2022·江苏苏州·模拟)如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC 边上的点F处,若3AB=,5BC=,则tan FEC∠的值为().A.12B.35C.34D.459.(2022·江苏苏州·一模)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,平行四边形ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点.DE与BC交于点F.若y=kx(k≠0)图象经过点C.且S△BEF=1,则k的值为()A.18B.20C.24D.2810.(2022·江苏·江阴市第一初级中学一模)如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE外部时,则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是()A.2∠A=∠1-∠2B.3∠A=2(∠1-∠2)C.3∠A=2∠1-∠2D.∠A=∠1-∠211.(2022·江苏·无锡市天一实验学校二模)已知:如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,tan∠ABC=32,点N是边AC的中点,点M是射线BC上的一动点(不与B,C重合),连接MN,将△CMN沿MN 翻折得△EMN,连接BE,CE,当线段BE的长取最大值时,sin∠NCE的值为()A B C D12.(2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级)如图,在ABC 中,点D 是线段AB 上的一点,过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ,将BDE 沿DE 翻折,得到B DE ',若点C 恰好在线段B D '上,若90BCD ∠=︒,DC :3CB '=:2,AB =CE 的长度为( )A.B C .D 13.(2022·江苏·九年级专题练习)如图,在△ABC 中,90ACB ∠=,点D 是AB 的中点,将△ACD 沿CD 对折得△A ′CD .连接BA ',连接AA ′交CD 于点E ,若14cm AB =,4cm BA '=,则CE 的长为( )A .4cmB .5cmC .6cmD .7cm14.(2022·江苏·宜兴市树人中学九年级)如图,在△ABC 中,点D 是线段AB 上的一点,过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ,将△BDE 沿翻折,得到△B 'DE ,若点C 恰好在线段B 'D 上,若∠BCD =90°,DC :CB '=3:2,AB =CE 的长度为( )A.B .4C .D .615.(2022·江苏·九年级专题练习)如图①,AB =5,射线AM ∥BN ,点C 在射线BN 上,将△ABC 沿AC 所在直线翻折,点B 的对应点D 落在射线BN 上,点P ,Q 分别在射线AM 、BN 上,PQ ∥AB .设AP =x ,QD =y .若y 关于x 的函数图象(如图②)经过点E (9,2),则cos B 的值等于( )A.25B.12C.35D.71016.(2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中)如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连接BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC′,DC'与AB交于点E,连接AC′,若AD=AC′=2,BD=3,则点D到BC的距离为()A B C D17.(2022·江苏南通·九年级)如图,AB为⊙O的一条弦,C为⊙O上一点,OC∥AB.将劣弧AB沿弦AB 翻折,交翻折后的弧AB交AC于点D.若D为翻折后弧AB的中点,则∠ABC=()A.110°B.112.5°C.115°D.117.5°18.(2022·江苏南京·九年级专题练习)如图,在矩形纸片ABCD中,点E、F分别在矩形的边AB、AD 上,将矩形纸片沿CE、CF折叠,点B落在H处,点D落在G处,点C、H、G恰好在同一直线上,若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长是()A .2B .74C D .319.(2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末)如图,四边形ABCD 内接于O ,AB AD =,3BC =.劣弧BC 沿弦BC 翻折,刚好经过圆心O .当对角线BD 最大时,则弦AB 的长为( )A B .C .32D .【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题,是江苏各地中考中常考的题型,难度多为一般或者较难。
平移旋转与翻折
平移旋转与翻折平移、旋转和翻折是几何学中常见的几何变换,它们在数学、工程和计算机图形学中都起到重要的作用。
本文将深入探讨这三种变换的基本概念、特性以及在实际应用中的意义。
一、平移平移是指将一个图形沿着平行于原位置的方向移动一定的距离,从而得到一个新的位置。
在二维平面坐标系中,平移可以用向量的加法来表示。
设原点为O,平行于x轴和y轴的两条直线分别为x=x1和y=y1,将点P(x,y)平移距离为(a,b),则P'的坐标为P'(x+a, y+b)。
可以看出,平移不改变图形的形状和大小,只是改变了图形的位置。
平移在日常生活中随处可见。
比如我们在空间中移动物体、走路、开车等都是进行平移的实例。
在计算机图形学中,平移常用于移动图像或物体,例如在绘图软件中拖动鼠标来平移画布或在游戏中移动角色。
二、旋转旋转是指将一个图形围绕某个点或轴进行转动,从而改变图形的位置和方向。
在二维平面坐标系中,旋转可以使用旋转矩阵来表示。
设原点为O,将点P(x,y)绕原点逆时针旋转角度θ后得到点P'(x',y'),则有下列公式:x' = x*cosθ - y*si nθy' = x*sinθ + y*cosθ在直角坐标系中,旋转后图形的位置和形状发生改变,但是图形的大小保持不变。
旋转是一种常见的刚体变换,常见的应用有机器人角度调整、摄影中的景深控制等。
三、翻折翻折,又称为对称变换,是指将一个图形围绕某个中心轴进行镜像对称,从而改变图形的位置和方向。
在二维平面坐标系中,翻折可以通过矩阵变换来表示。
设点P(x,y)关于直线y=k翻折后得到点P'(x',y'),则有下列公式:x' = xy' = 2k - y翻折前后图形的大小和形状保持不变,只是位置和方向发生了改变。
翻折在几何学和物理学中有广泛的应用,例如反射光线、对称物体的折叠等。
综上所述,平移、旋转和翻折是几何学中经常用到的几何变换。
掌握简单的平移旋转和翻折变换
掌握简单的平移旋转和翻折变换在数学中,平移旋转和翻折变换是几个基本的二维几何变换。
它们在几何形状的位置和方向上起到了重要的作用。
在本文中,我们将介绍这些简单的变换,并给出一些实际应用案例。
一、平移变换平移变换是指将几何图形沿着给定的方向和距离移动。
在二维平面上,平移变换可以通过将每个点的坐标都增加一个常量向量来实现。
例如,将点(x, y)进行平移变换,使其移动到新的位置(x + a, y + b)。
平移变换的实际应用非常广泛。
例如,在计算机图形学中,我们经常需要将图像进行平移,以便在屏幕上获得所需的位置。
此外,在工程测量和建筑设计中,平移变换也用于计算物体的位置和方向。
二、旋转变换旋转变换是指将几何图形绕某个固定点按照一定角度进行旋转。
在二维平面上,旋转变换可以通过对每个点的坐标应用旋转矩阵来实现。
例如,将点(x, y)进行旋转变换,使其绕原点旋转θ角度后得到新的位置(x', y')。
旋转变换的应用也非常广泛。
在计算机图形学和动画制作中,我们经常需要对图像或物体进行旋转,以实现动态效果。
此外,在航空航天领域和机器人技术中,旋转变换用于计算飞行器或机器人的方向和航线。
三、翻折变换翻折变换是指将几何图形沿着一条直线进行对称翻折。
在二维平面上,翻折变换可以通过对每个点的坐标应用翻折矩阵来实现。
例如,将点(x, y)进行翻折变换,使其相对于直线L进行对称翻折后得到新的位置(x', y')。
翻折变换在日常生活中也有很多应用。
例如,我们常常对称折叠地图、书页或者纸张,以方便携带和阅读。
另外,在艺术设计和装饰领域,翻折变换也被用于创作各种有趣和独特的图案。
综上所述,掌握简单的平移旋转和翻折变换对于理解几何形状的位置和方向非常重要。
这些变换不仅在数学和几何学中有应用,而且在计算机图形学、工程测量、建筑设计和艺术创作等领域也发挥着重要的作用。
通过学习和应用这些变换,我们可以更好地理解和操作几何图形,丰富我们的知识和技能。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中,平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。
这些操作不仅在几何题中常常出现,而且在解决实际问题时也起着重要作用。
本文将对平移、旋转和翻折的基本概念,操作规则以及实际应用进行归纳总结。
一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离,同时保持形状和大小不变。
在平移中,可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。
具体操作规则如下:1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。
- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。
2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。
假设平移向量为共点向量〈a,b〉,则平移的规则可以表示为:新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。
二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度,同时保持形状和大小不变。
在旋转中,可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。
具体操作规则如下:1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。
- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。
2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。
设旋转中心为点O,顺时针旋转θ角度,则旋转的规则可以表示为:新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。
三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转,同时保持形状和大小不变。
在翻折中,可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。
具体操作规则如下:1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。
- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。
2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。
设对称轴为线l,则翻折的规则可以表示为:新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。
四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念,也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用初中数学知识归纳:平移、旋转和翻折的计算及应用数学是一门综合性的科学学科,在初中阶段,学生们逐渐接触和学习各种数学知识,其中包括平移、旋转和翻折等几何变换的计算和应用。
本文将对初中数学中平移、旋转和翻折的相关知识进行归纳和探讨。
一、平移的计算和应用平移是指将图形按照指定的方向和距离在平面上等距移动的几何变换。
在计算平移时,首先需要确定平移的向量,然后将图形上的每个点沿着该向量进行移动,最终得到平移后的图形。
平移的计算中,常用的方法是矩阵表示法。
设平移的向量为(t, u),对于坐标为(x, y)的点,平移后的坐标可表示为(x+t, y+u)。
通过这个方法,我们可以方便地计算出平移后的图形。
平移的应用很广泛,常见的有地图标记、图像移动等。
例如,在地图上标记某个地点时,可以通过平移地图将该地点移至视野中心,使得标记更加清晰明了。
二、旋转的计算和应用旋转是指将图形绕着一个点进行转动的几何变换。
在计算旋转时,需要确定旋转的中心和旋转的角度,然后将图形上的每个点绕着中心按照指定的角度进行旋转,最终得到旋转后的图形。
旋转的计算可以通过矩阵表示法来进行。
设旋转的中心为(A, B),旋转的角度为θ,对于坐标为(x, y)的点,旋转后的坐标可表示为:x' = A + (x - A)cosθ - (y - B)sinθy' = B + (x - A)sinθ + (y - B)cosθ通过这个公式,我们可以方便地计算出旋转后的坐标。
旋转也有很多应用场景。
例如,在建筑设计中,可以通过旋转模型来展示不同角度的建筑效果,帮助人们更好地了解建筑物的外观和结构。
三、翻折的计算和应用翻折是指将图形按照一条直线进行折叠的几何变换。
在计算翻折时,需要确定折叠的直线,然后将图形上的每个点沿着该直线进行折叠,最终得到翻折后的图形。
翻折的计算相对简单,只需将每个点关于折叠线进行对称,即可得到翻折后的坐标。
初三复习 数学几何中折叠问题 4大类 分类 含答案
初中数学中的折叠问题折叠问题(对称问题)是近几年来中考出现频率较高的一类题型,学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻,导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析,从中抽象出基本图形的基本规律,找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题,我们要明白:1、折叠问题(翻折变换)实质上就是轴对称变换.2、折叠是一种对称变换,它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形,这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系.4、在矩形(纸片)折叠问题中,重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解.一、矩形中的折叠1.将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC,BD为折痕,折叠后BG和BH在同一条直线上,∠CBD= 度.BC、BD是折痕,所以有∠ABC = ∠GBC,∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2.如图所示,一张矩形纸片沿BC折叠,顶点A落在点A′处,再过点A′折叠使折痕DE∥BC,若AB=4,AC=3,则△ADE的面积是.沿BC折叠,顶点落在点A’处,根据对称的性质得到BC垂直平分AA’,即AF = 12AA’,又DE∥BC,得到△ABC ∽△ADE,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3.如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG ,求AG 的长.由勾股定理可得BD = 5,由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ,由A ’D = AD = 3,AG ’ = AG ,则A ’B = 5 – 3 = 2,在Rt △A ’BG 中根据勾股定理,列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角,再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4.把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠,使得BA 边与BC 重合,然后再沿着BF 折叠,使得折痕BE 也与BC 边重合,展开后如图所示,则∠DFB 等于( )根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ,∠EBF=∠CBF ,据此即可求出∠FBC 的度数,又知道∠C=90°,根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5.如图,沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠,点C 落在点E 的位置,已知BC=8cm ,AB=6cm ,求折叠后重合部分的面积. ∵点C 与点E 关于直线BD 对称,∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ,∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ,则FB = x ,FA = 8 – x在Rt △BAF 中,BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以,阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6.将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1= 度;△EFG 的形状 三角形.∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC321F E D C B A54132G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化,但形状、大小不变,注意一般情况下要画出对折前后的图形,便于寻找对折前后图形之间的关系,注意以折痕为底边的等腰△GEF7.如图,将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠:对折,展平,得折痕EF(如图①);延CG折叠,使点B落在EF上的点B′处,(如图②);展平,得折痕GC(如图③);沿GH折叠,使点C落在DH上的点C′处,(如图④);沿GC′折叠(如图⑤);展平,得折痕GC′,GH(如图⑥).(1)求图②中∠BCB′的大小;(2)图⑥中的△GCC′是正三角形吗?请说明理由.(1)由对称的性质可知:B’C=BC,然后在Rt△B′FC中,求得cos∠B’CF= 12,利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°;(2)首先根据题意得:GC平分∠BCB’,即可求得∠GCC’= 60°,然后由对称的性质知:GH是线段CC’的对称轴,可得GC’= GC,即可得△GCC’是正三角形.理清在每一个折叠过程中的变与不变8.如图,正方形纸片ABCD的边长为8,将其沿EF折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称,则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9.如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,求四边形BCFE的面积设AE = x,则BE = GE = 4 - x,在Rt△AEG中,根据勾股定理有:AE2 + AG2 = GE2即:x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5,BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°,∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP,则1.52=2.5GP,解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4,tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34,FHPH=34,FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变,图形的形状和大小不变,对应边与对应角相等10.如图,将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠,使点B落在边AD上不与A、D 重合.MN为折痕,折叠后B’C’与DN交于P.(1)连接BB’,那么BB’与MN的长度相等吗?为什么?(2)设BM=y,AB’=x,求y与x的函数关系式;(3)猜想当B点落在什么位置上时,折叠起来的梯形MNC’B’面积最小?并验证你的猜想.(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H),证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y,AM = 1 – y,AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称,所以BQ = B’Q,则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’PC'NB CA DMB'QPHC'NB CA DMB'∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知,HM = AB’ = x,BH = BM – HM = y – x,则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为:12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时,即B点落在AD的中点时,梯形MNC’B’的面积有最小值,且最小值是38二、纸片中的折叠11.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于()∵∠α= ∠1,∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°,即2∠α+30°=180°,解得∠α=75°.题考查的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为180度的性质,注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12.如图,将一宽为2cm的纸条,沿BC,使∠CAB=45°,则后重合部分的面积为作CD⊥AB,∵CE∥AB,∴∠1=∠2,根据翻折不变性,∠1=∠BCA,故∠2=∠BCA.∴AB=AC.又∵∠CAB=45°,∴在Rt△ADC中,AC = 2 2 ,AB = 2 2S△ABC=12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完整,对于矩形(纸片)折叠,折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构,即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13.将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状,那么折痕PQ 的长是如图,作QH ⊥PA ,垂足为H ,则QH=2cm , 由平行线的性质,得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质,得∠DPA =∠PAQ , ∴∠APQ=60°,又∵∠PAQ=∠APQ=60°, ∴△APQ 为等边三角形, 在Rt △PQH 中,sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ,则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形(纸片)折叠问题中,会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形,即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14.如图a 是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF 折叠成图b ,再沿BF 折叠成图c ,则图c 中的∠CFE 的度数是( )图c 图b图aCDGFEC GDFEFBCAEBB∵AD ∥BC ,∴∠DEF=∠EFB=20°,在图b 中,GE = GF ,∠GFC=180°-2∠EFG=140°, 在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°,本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°,图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15.将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ,沿对称轴EF 折叠成如图的形状,若折叠后,AB 与CD 间的距离为60cm ,则原纸片的宽AB 是( )设AB=xcm .右图中,AF = CE = 35,EF = x根据轴对称图形的性质,得AE=CF=35-x (cm ). 则有2(35-x )+x=60, x=10.16.一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠(阴影部分表示纸条的反面),为了美观,希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等,则最初折叠时,求MA 的长将折叠这条展开如图,根据折叠的性质可知,两个梯形的上底等于纸条宽,即3cm , 下底等于纸条宽的2倍,即6cm , 两个三角形都为等腰直角三角形, 斜边为纸条宽的2倍,即6cm ,故超出点P 的长度为(30-15)÷2=7.5, AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17.如图,把Rt △ABC (∠C=90°),使A ,B 两点重合,得到折痕ED ,再沿BE 折叠,C 点恰好与D 点重合,则CE :AE=18.在△ABC 中,已知AB=2a ,∠A=30°,CD 是AB 边的中线,若将△ABC 沿CD 对折起来,折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 .(1)当中线CD 等于a 时,重叠部分的面积等于 ;(2)有如下结论(不在“CD 等于a ”的限制条件下):①AC 边的长可以等于a ;②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2;③折叠后,以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等.其中, 结论正确(把你认为正确结论的代号都填上,若认为都不正确填“无”). (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ,BC = a ,∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为:14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ,如右图∵AD = a ,∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ABC的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ,则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH,得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4,AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ,∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图,由对称的性质得,∠3 = ∠4,DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图,折叠前后图形之间的对比,找出相等的对应角和对应边19.在△ABC 中,已知∠A=80°,∠C=30°,现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ,对折叠后产生的夹角进行探究:(1)如图(1)把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内,则求∠1+∠2的和; (2)如图(2)把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ,则求∠1+∠2的和;(3)如图(3)把△CDE 沿DE 斜向上折叠,探求∠1、∠2、∠C 的关系.(1)根据折叠前后的图象全等可知,∠1=180°-2∠CDE ,∠2=180°-2∠CED ,再根据三角形内角和定理比可求出答案;(2)连接DG ,将∠ADG+∠AGD 作为一个整体,根据三角形内角和定理来求;3241EHB 2DABC3412B 3DA BC在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线,则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB,∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2(45°+∠α)= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴,所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
平移旋转与翻折的变换
平移旋转与翻折的变换在几何学中,平移、旋转和翻折是常见的图形变换方式。
它们不仅在数学中有重要的应用,也在日常生活中无处不在。
本文将分别介绍这三种变换方式,探讨它们的特点及其在几何学和实际生活中的应用。
一、平移变换平移是将一个图形沿着一定方向,按照一定距离进行移动的变换方式。
在平移变换中,图形保持形状和大小不变,只是位置发生了改变。
以二维平面为例,我们可以通过向量的加法来表示平移变换。
设平面上的点P(x,y),平移向量为v,那么通过平移变换得到的新点P'的坐标可以表示为P'(x+v_x, y+v_y)。
平移变换在实际生活中有许多应用,比如地图上标注位置、电脑屏幕上的拖动操作等。
此外,在计算机图形学中,平移变换被广泛用于物体的移动和动画效果的实现。
二、旋转变换旋转是将一个图形绕着某个点或某个轴进行转动的变换方式。
在旋转变换中,图形保持大小不变,只是形状和方向发生了改变。
同样以二维平面为例,我们可以通过矩阵乘法或复数运算来表示旋转变换。
设平面上的点P(x,y),绕原点逆时针旋转角度为θ,那么通过旋转变换得到的新点P'的坐标可以表示为P'(x',y'),其中x' = x*cosθ -y*sinθ,y' = x*sinθ + y*cosθ。
旋转变换在实际生活中也有许多应用。
比如地球的自转、机械设备的旋转运动等都属于旋转变换。
此外,在计算机图形学和计算机游戏中,旋转变换被广泛用于物体的旋转、摄像机的视角调整等。
三、翻折变换翻折是将一个图形按照某个轴进行对称的变换方式。
在翻折变换中,图形的所有点都关于某条轴对称。
以二维平面为例,我们可以通过矩阵乘法来表示翻折变换。
设平面上的点P(x,y),关于x轴进行翻折,那么通过翻折变换得到的新点P'的坐标可以表示为P'(x',y'),其中x' = x,y' = -y。
初中的几何变换——翻折
初中数学几何变换之轴对称一、知识梳理1、轴对称基本要素:对称轴。
2、基本性质:(1)对应线段、对应角相等(2)对应点所连线段被对称轴垂直平分 (3)对称轴上的点到对应点的距离相等 (4)对称轴两侧的几何图形全等 3、应用翻折问题、最值问题等二、常考题型类型一:轴对称性质1、如图,在平行四边形ABCD 中,13=AB ,4=AD ,将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后,点B 恰好与点C 重合,则折痕AE 的长为__________.第1题第2题第3题2、如图, 矩形中,AB =8,BC =6,P 为AD 上一点, 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP , PE与CD 相交于点O ,且OE =OD ,则AP 的长为__________.3、如图,在△ABC 中,AB =AC ,BC =24,tanC =2,如果将△ABC 沿直线l 翻折后,点B 落在边AC 的中点E 处,直线l 与边BC 交于点D ,那么BD 的长为。
4、如图,菱形纸片ABCD中,∠A=600,将纸片折叠,点A、D分别落在A’、D’处,且A’的值为。
D’经过B,EF为折痕,当D’F CD时,CFFD5、如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=,则四边形MABN的面积是。
第4题第5题第6题6、如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF 折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且,则CE的长是。
折叠两次:第一次折叠纸片使点A与点E重合,如图2,折痕为MN,连接ME、NE;第二次折叠纸片使点N与点E重合,如图3,点B落在B′处,折痕为HG,连接HE,则tan∠EHG图2 图38、如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长交BC于点G,连接AG.(1)求证:△ABG≌△AFG;(2)求BG的长.类型二:轴对称应用1、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B(2,0),∠DOB=60°,点P是对角线OC上一个动点,E(0,﹣1),当EP+BP最短时,点P的坐标为.2、如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长取最小值时,四边形PMON的面积为.3、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD 和AB上的动点,则BM+MN的最小值为。
图形变换模型之翻折(折叠)模型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
图形变换模型之翻折(折叠)模型几何变换中的翻折(折叠、对称)问题是历年中考的热点问题,试题立意新颖,变幻巧妙,主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
涉及翻折问题,以矩形对称最常见,变化形式多样。
无论如何变化,解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数,从条件出发,找到每种对称下隐藏的结论,往往是解题关键。
本专题以各类几个图形(三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等)为背景进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题,翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的,对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础,结合三角形、四边形、圆的性质,三角形相似,勾股定理设方程思想来考查。
解决翻折题型的策略:1)利用翻折的性质:①翻折前后两个图形全等;②对应点连线被对称轴垂直平分;2)结合相关图形的性质(三角形,四边形等);3)运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
模型1.矩形中的翻折模型【模型解读】1(2023·辽宁鞍山·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的边OB,OA分别在x轴、y轴正半轴上,点D在BC边上,将矩形AOBC沿AD折叠,点C恰好落在边OB上的点E处.若OA=8,OB= 10,则点D的坐标是.2(2023春·江苏泰州·八年级统考期中)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=8,E是BC的中点,将△ABE 沿直线AE翻折,点落B在点F处,连结CF,则CF的长为()A.6B.325C.35 D.2543(2023·湖北·统考中考真题)如图,将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,折痕分别与边AB,CD交于点E, F,连接BM.(1)求证:∠AMB=∠BMP;(2)若DP=1,求MD的长.4(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点O为矩形ABCD的对称中心,点E为边AB上的动点,连接EO并延长交CD于点F.将四边形AEFD沿着EF翻折,得到四边形A EFD ,边A E交边BC于点G,连接OG、OC,则△OGC的面积的最小值为()A.18-3B.92+37 C.12-372D.6+3725(2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E、G分别在BC、AB上,将△DCE、△BEG分别沿DE、EG翻折,翻折后点C与点F重合,点B与点P重合.当A、P、F、E 四点在同一直线上时,线段GP长为()A.832 B.83C.53D.5326(2023·江苏盐城·统考中考真题)综合与实践【问题情境】如图1,小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠,展开后再折叠,使点B落在对角线BD上,点B的对应点记为B ,折痕与边AD,BC分别交于点E,F.【活动猜想】(1)如图2,当点B 与点D重合时,四边形BEDF是哪种特殊的四边形?答:.【问题解决】(2)如图3,当AB=4,AD=8,BF=3时,求证:点A ,B ,C在同一条直线上.【深入探究】(3)如图4,当AB与BC满足什么关系时,始终有A B 与对角线AC平行?请说明理由.(4)在(3)的情形下,设AC与BD,EF分别交于点O,P,试探究三条线段AP,B D,EF之间满足的等量关系,并说明理由.模型2.正方形中的翻折模型【模型解读】7(2023·河南洛阳·统考二模)如图,正方形ABCD的边长为4,点F为CD边的中点,点P是AD边上不与端点重合的一动点,连接BP.将△ABP沿BP翻折,点A的对应点为点E,则线段EF长的最小值为()A.27B.25-4C.34D.37-28(2023·广西玉林·统考模拟预测)如图,在正方形ABCD的边AB上取一点E,连接CE,将△BCE沿CE翻折,点B恰好与对角线AC上的点F重合,连接DF,若BE=2,则△CDF的面积是()A.1+324B.32+4 C.62+8 D.3229(2023·广东九年级课时练习)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,则下列结论:①△ABG≌△AFG;②∠AGB +∠AED=135°③GF=3;④AG⎳CF;其中正确的有(填序号).10(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图,已知正方形ABCD的边长为1,点E、F分别在边AD、BC上,将正方形沿着EF翻折,点B恰好落在CD边上的点B 处,如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5,那么线段FC的长为.11(2023·江苏·统考中考真题)综合与实践定义:将宽与长的比值为22n+1-12n(n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形.(1)概念理解:当n=1时,这个矩形为1阶奇妙矩形,如图(1),这就是我们学习过的黄金矩形,它的宽(AD)与长CD的比值是.(2)操作验证:用正方形纸片ABCD进行如下操作(如图(2)):第一步:对折正方形纸片,展开,折痕为EF,连接CE;第二步:折叠纸片使CD落在CE上,点D的对应点为点H,展开,折痕为CG;第三步:过点G折叠纸片,使得点A、B分别落在边AD、BC上,展开,折痕为GK.试说明:矩形GDCK是1阶奇妙矩形. (3)方法迁移:用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形.要求:在图(3)中画出折叠示意图并作简要标注.(4)探究发现:小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现:如图(4),点E为正方形ABCD边AB上(不与端点重合)任意一点,连接CE,继续(2)中操作的第二步、第三步,四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值.请写出这个定值,并说明理由.模型3.菱形中的翻折模型【模型解读】12(2023·四川成都·模拟预测)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为.13(2023·安徽·统考一模)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连结A'C,则A'C长度的最小值是( ).A.7B.7-1C.3D.214(2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习)如图,在菱形纸片ABCD中,AB=4,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则EF的长为()A.72B.12C.74D.2315(2023春·湖北十堰·八年级校联考期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠ABC=60°,E是CD边的中点,将菱形纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在直线AE上的点G处,折痕为AF,FG与CD交于点H,有如下结论:①∠CFH=30°;②DE=33AE;③CH=GH;④S△ABF:S四边形AFCD=3:5,上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④16(2023·浙江·九年级期末)对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示,点O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B 两点重合,MN是折痕.若B M=1,则CN的长为.17(2023秋·重庆·九年级专题练习)如图,在菱形ABCD中,BC=4,∠B=120°,点E是AD的中点,点F是AB上一点,以EF为对称轴将△EAF折叠得到△EGF,以CE为对称轴将△CDE折叠得到△CHE,使得点H落到EG上,连接AG.下列结论错误的是()A.∠CEF=90°B.CE∥AGC.FG=1.6D.CFAB =145模型4.三角形中的翻折模型【模型解读】18(2023·内江九年级期中)如图,在Rt△ABC的纸片中,∠C=90°,AC=7,AB=25.点D在边BC上,以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB ,AB 与边BC交于点E.若△DEB 为直角三角形,则BD的长是.19(2023年四川省成都市数学中考真题)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,过D作DE∥BC交AC于点E,将△DEC沿DE折叠得到△DEF,DF交AC于点G.若AGGE =73,则tan A=.20(2023·湖北襄阳·统考中考真题)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,将BCD沿BD折叠得到△BED,连接AE.若DE⊥AB于点F,BC=10,则AF的长为.21(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图,DE平分等边△ABC的面积,折叠△BDE得到△FDE,AC分别与DF,EF相交于G,H两点.若DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的长是.模型5.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)如图,以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D,则CD=CA特别的,若将弧BC折叠后过圆心,则CD=CA,∠CAB=60°22(2022秋·浙江宁波·九年级校考期末)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB =BC =4,把弧AB 沿弦AB 向下折叠交BC 于点D ,若点D 为BC 中点,则AC 长为()A.1B.2C.22D.623(2023·广东广州·统考一模)如图,AB 为⊙O 的直径,点C 为圆上一点,∠BAC =20°,将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折,交AB 于点D ,则∠ACD 的度数等于( ).A.40°B.50°C.80°D.100°24(2023·浙江宁波·校考一模)如图,⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折,劣弧恰好经过圆心O .则这条劣弧的弧长为.25(2022春·湖北荆州·九年级专题练习)如图,AB 为⊙O 的直径,将BC沿BC 翻折,翻折后的弧交AB 于D .若BC =45,sin ∠ABC =55,则图中阴影部分的面积为()A.256π-2B.253π-2 C.8 D.1026(2023·河南商丘·统考二模)如图,在扇形OBA 中,∠AOB =120°,点C ,D 分别是AB 和OA 上的点,且CD ∥OB ,将扇形沿CD 翻折,翻折后的A C 恰好经过点O .若OA =2,则图中阴影部分的面积是.27(2023·吉林长春·统考模拟预测)如图,在⊙O 中,点C 在优弧AB 上,将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ,连接AC ,CD .则下列结论中错误的是()①AC =CD ;②AD =BD ;③AC +BD =BC ;④CD 平分∠ACBA.1B.2C.3D.428(2021·湖北武汉·统考中考真题)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦,先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D .再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E .若BE =DE ,设∠ABC =α,则α所在的范围是()A.21.9°<α<22.3°B.22.3°<α<22.7°C.22.7°<α<23.1°D.23.1°<α<23.5°29(2022·江苏扬州·统考一模)如图,将⊙O 沿弦AB 折叠,使折叠后的弧恰好经过圆心O ,点P 是优弧AMB 上的一个动点(与A 、B 两点不重合),若⊙O 的半径是2cm ,则△APB 面积的最大值是cm 2课后专项训练1(2023·浙江·一模)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为DC的中点,点F在BC上,连接AF,将△ABF沿AF翻折,使点B的对应点恰为点E,则AF的长为()A.5B.233C.433D.1032(2023年湖北省黄石市中考数学真题)如图,有一张矩形纸片ABCD.先对折矩形ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平.再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM ﹐同时得到线段BN,MN.观察所得的线段,若AE=1,则MN=()A.32B.1 C.233D.23(2023·黑龙江·统考中考真题)如图,在平面直角坐标中,矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4,将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置,线段OD1恰好经过点B,点C落在y轴的点C1位置,点E的坐标是()A.1,2B.-1,2C.5-1,2D.1-5,2 4(2023·福建莆田·九年级校考期末)如图,在⊙O 中,点C 在优弧AB上,将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D .若⊙O 的半径为5,AB =45,则AC 的长是()A.5π2B.25π4C.10π3D.4π5(2022·浙江宁波·统考一模)如图,AB 是半径为4的⊙O 的弦,且AB =6,将AB 沿着弦AB 折叠,点C 是折叠后的AB 上一动点,连接并延长BC 交⊙O 于点D ,点E 是CD 的中点,连接EO .则EO 的最小值为.6(2023·辽宁盘锦·统考中考真题)如图,四边形ABCD 是矩形,AB =6,BC =6.点E 为边BC 的中点,点F 为边AD 上一点,将四边形ABEF 沿EF 折叠,点A 的对应点为点A ,点B 的对应点为点B ,过点B 作B H ⊥BC 于点H ,若B H =22,则FD 的长是.7(2023·山东济南·统考中考真题)如图,将菱形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠,使点D 落在射线CA 上的点E 处,折痕CP 交AD 于点P .若∠ABC =30°,AP =2,则PE 的长等于.8(2023·山东淄博·统考一模)如图所示,有一块直角三角形纸片,∠C =90°,AC =4cm ,BC =3cm ,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则DE的长是.9(2023秋·四川雅安·八年级统考期末)在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D在边AB上,连接CD,将△ADC沿直线CD翻折,点A恰好落在BC边上的点E处,若AC=6,BE=2,则DE的长是.10(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A EBC的周长为.11(2023·新疆·统考中考真题)如图,在▱ABCD中,AB=6,BC=8,∠ABC=120°,点E是AD上一动点,将△ABE沿BE折叠得到△A BE,当点A 恰好落在EC上时,DE的长为.12(2023春·浙江宁波·八年级统考期末)如图,在矩形ABCD中,AB=7cm,BC=8cm,现将矩形沿EF 折叠,点C翻折后交AB于点G,点D的对应点为点H,当BG=4cm时,线段GI的长为cm.13(2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习)如图,长方形ABCD 沿着对角线BD 翻折,点C 落在点C 处,BC 与AD 相交于点E ,若AB =3,AE =1,则BC 的长为.14(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图(1),在等腰直角三角形纸片ABC 中,∠B =90°,AB =2,点D ,E 分别为AB ,BC 上的动点,将纸片沿DE 翻折,点B 的对应点B 恰好落在边AC 上,如图(2),再将纸片沿B E 翻折,点C 的对应点为C ,如图(3).当△DB E ,△B C E 的重合部分(即阴影部分)为直角三角形时,CE 的长为.15(2022·浙江嘉兴·统考中考真题)如图,在扇形AOB 中,点C ,D 在AB 上,将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ,OB 相切于点E ,F .已知∠AOB =120°,OA =6,则EF 的度数为;折痕CD 的长为.16(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图,⊙O 的半径为2cm ,AB 为⊙O 的弦,点C 为AB 上的一点,将AB 沿弦AB 翻折,使点C 与圆心O 重合,则阴影部分的面积为.(结果保留π与根号)17(2023·湖北·统考中考真题)如图,将边长为3的正方形ABCD 沿直线EF 折叠,使点B 的对应点M 落在边AD 上(点M 不与点A ,D 重合),点C 落在点N 处,MN 与CD 交于点P ,折痕分别与边AB ,CD 交于点E ,F ,连接BM .(1)求证:∠AMB =∠BMP ;(2)若DP =1,求MD 的长.18(2023·宁夏·统考中考真题)综合与实践问题背景:数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.探究发现:如图1,在△ABC 中,∠A =36°,AB =AC .(1)操作发现:将△ABC 折叠,使边BC 落在边BA 上,点C 的对应点是点E ,折痕交AC 于点D ,连接DE ,DB ,则∠BDE =°,设AC =1,BC =x ,那么AE =(用含x 的式子表示);(2)进一步探究发现:底BC 腰AC =5-12,这个比值被称为黄金比.在(1)的条件下试证明:底BC 腰AC=5-12;拓展应用:当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时,这个三角形叫黄金三角形.例如,图1中的△ABC 是黄金三角形.如图2,在菱形ABCD 中,∠BAD =72°,AB =1.求这个菱形较长对角线的长.19(2023秋·山西·九年级专题练习)综合与实践:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在矩形ABCD 中,E 为AB 边上一点,F 为AD 边上一点,连接CE 、CF ,分别将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折,点D 、B 的对应点分别为点G 、H ,且C 、H 、G 三点共线.(1)如图1,若F 为AD 边的中点,AB =BC =6,点G 与点H 重合,则∠ECF = °,BE = ;(2)如图2,若F 为AD 的中点,CG 平分∠ECF ,AB =2+1,BC =2,求∠ECF 的度数及BE 的长;(3)AB =5,AD =3,若F 为AD 的三等分点,请直接写出BE 的长.20(2022·广西南宁·统考三模)综合实践:在数学综合实践课上,第一小组同学展示了如下的操作及问题:如图1,同学们先画出半径为10cm 的⊙O 1,将圆形纸片沿着弦AB 折叠,使对折后劣弧AB 恰好过圆心O 1,同学们用尺子度量折痕AB 的长约为18cm ,并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的.验证如下:如图1,过点O 1作O 1F ⊥AB 于点F ,并延长O 1F 交虚线劣弧AB 于点E ,∴AB =2AF ,由折叠知,EF =O 1F =12O 1E =12×10=5(cm ),连接O 1A ,在Rt △O 1FA 中,O 1A =10,根据勾股定理得,AF =O 1A 2-O 1F 2=102-52=53(cm ),∴AB =2AF =103≈10×1.732≈17.732(cm ),通过计算:17.732≈18,同学们用尺子度量折痕AB 的长约为18cm 是正确的.请同学们进一步研究以下问题:(1)如图2,⊙O 2的半径为10cm ,AB 为⊙O 2的弦,O 2C ⊥AB ,垂足为点C ,劣弧AB 沿弦AB 折叠后经过O 2C 的中点P ,求弦AB 的长(结果保留根号);(2)如图3,在⊙O 3中劣弧AB 沿弦AB 折叠后与直径CB 相交于点Q ,若CQ =8cm ,BQ =12cm ,求弦AB 的长(结果保留根号).。
初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之翻折
第30讲几何三大变换之翻折翻折的性质(轴对称的性质)如图,将△ABC 沿着DE 翻折,使得点A 落在BC 的点F 处结论有:①ADE FDE ∆≅∆(即AD =DF ,AE =EF ,∠A =∠DFE ,∠ADE =∠FDE ,∠AED =∠FED )②DE 垂直平分AF函数的对称变换①一次函数y kx b=+关于x 轴对称后的解析式:y kx b=--关于y 轴对称后的解析式:y kx b=-+②二次函数2y ax bx c=++关于x 轴对称后的解析式:2y ax bx c=---关于y 轴对称后的解析式:2y ax bx c=-+【例题讲解】例题1.如图,ABC ∆中,AB AC =,54BAC ∠=︒,BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将C ∠沿(EF E 在BC 上,F 在AC 上)折叠,点C 与点O 恰好重合,则OEC ∠的度数是______解:如图,连接OB 、OC ,54BAC ∠=︒ ,AO 为BAC ∠的平分线,11542722BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒,又AB AC = ,11(180)(18054)6322ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,DO 是AB 的垂直平分线,OA OB ∴=,27ABO BAO ∴∠=∠=︒,632736OBC ABC ABO ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,AO 为BAC ∠的平分线,AB AC =,()AOB AOC SAS ∴∆≅∆,OB OC ∴=,∴点O 在BC 的垂直平分线上,又DO 是AB 的垂直平分线,∴点O 是ABC ∆的外心,36OCB OBC ∴∠=∠=︒,将C ∠沿(EF E 在BC 上,F 在AC 上)折叠,点C 与点O 恰好重合,OE CE ∴=,36COE OCB ∴∠=∠=︒,在OCE ∆中,1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,故选:B .例题2.如图,将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠,使点D 落在AB 边的中点E 处,折痕为与边AD 、BC 交于点F 、H ,点C 落在Q 处,EQ 与BC 交于点G .(1)尺规作图作出折痕FH ;(2)求折痕FH 的长;(3)求△EBG 的周长;(4)若将题目中的“点E 为AB 中点”改为“点E 为AB 上任意一点”,其它条件不变,则△EBG 的周长是否发生变化,若不变,请求出该值,若发生变化,请说明理由.例题3、如图,矩形ABCD 中,8AB =,6BC =,P 为AD 上一点,将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆,PE 与CD 相交于点O ,且OE OD =,则AP 的长为.解: 四边形ABCD 是矩形,90D A C ∴∠=∠=∠=︒,6AD BC ==,8CD AB ==,由折叠的性质可知ABP EBP ∆≅∆,EP AP ∴=,90E A ∠=∠=︒,8BE AB ==,在ODP ∆和OEG ∆中,DOP EOG OD OE D E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,()ODP OEG ASA ∴∆≅∆,OP OG ∴=,PD GE =,DG EP ∴=,设AP EP x ==,则6PD GE x ==-,DG x =,8CG x ∴=-,8(6)2BG x x =--=+,根据勾股定理得:222BC CG BG +=,即2226(8)(2)x x +-=+,解得: 4.8x =,4.8AP ∴=,故答案为:4.8.例题4.如图1,在矩形纸片ABCD 中,AB =,10AD =,点E 是CD 中点,将这张纸片依次折叠两次;第一次折叠纸片使点A 与点E 重合,如图2,折痕为MN ,连接ME 、NE ;第二次折叠纸片使点N 与点E 重合,如图3,点B 落到B '处,折痕为HG ,连接HE ,则tan EHG ∠=________.解:如图2中,作NF CD ⊥于F .设DM x =,则10AM EM x ==-,DE EC = ,AB CD ==,12DE CD ∴==在RT DEM ∆中,222DM DE EM += ,222(10)x x ∴+=-,解得 2.6x =,2.6DM ∴=,7.4AM EM ==,90DEM NEF ∠+∠=︒ ,90NEF ENF ∠+∠=︒,DEM ENF ∴∠=∠,90D EFN ∠=∠=︒ ,DME FEN ∴∆∆∽,∴DE EM FN EN =,∴7.4EN=,EN ∴=AN EN ∴==tanAN AMN AM ∴∠==如图3中,ME EN ⊥ ,HG EN ⊥,//EM GH ∴,NME NHG ∴∠=∠,NME AMN ∠=∠ ,EHG NHG ∠=∠,AMN EHG ∴∠=∠,tan tanEHG AMN ∴∠=∠=方法二,tan tan EN BC EHG EMN EM DE ∠=∠==.故答案为例5.如图,已知ABCD 的三个顶点(,0)A n 、(,0)B m 、(0D ,2)(0)n m n >>,作ABCD 关于直线AD 的对称图形11AB C D(1)若3m =,试求四边形11CC B B 面积S 的最大值;(2)若点1B 恰好落在y 轴上,试求n m 的值.解:(1)如图1,ABCD 与四边形11AB C D 关于直线AD 对称,∴四边形11AB C D 是平行四边形,1CC EF ⊥,1BB EF ⊥,11////BC AD B C ∴,11//CC BB ,∴四边形BCEF 、11B C EF 是平行四边形,1111BCEF BCDA B C DA B C EF S S S S ∴=== ,112BCC B BCDA S S ∴= .(,0)A n 、(,0)B m 、(0,2)D n 、3m =,3AB m n n ∴=-=-,2OD n =,()()223932232(22BCDA S AB OD n n n n n ∴=⋅=-⋅=--=--+ ,211324(92BCC B BCDA S S n ∴==--+ .40-< ,∴当32n =时,11BCC B S 最大值为9;(2)当点1B 恰好落在y 轴上,如图2,1DF BB ⊥ ,1DB OB ⊥,1190B DF DB F ∴∠+∠=︒,1190B BO OB B ∠+∠=︒,11B DF OBB ∴∠=∠.190DOA BOB ∠=∠=︒ ,AOD ∴∆∽△1B OB ,∴1OB OA OD OB =,∴12OB n n m=,12m OB ∴=.由轴对称的性质可得1AB AB m n ==-.在1Rt AOB ∆中,222(()2m n m n +=-,整理得2380m mn -=.0m > ,380m n ∴-=,∴38n m =.例题6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 、OC 分别在y 轴和x 轴的正半轴上,D 为边AB 的中点,一抛物线22(0)y x mx m m =-++>经过点A 、D(1)求点A 、D 的坐标(用含m 的式子表示);(2)把OAD ∆沿直线OD 折叠后点A 落在点A '处,连接OA '并延长与线段BC 的延长线交于点E ,①若抛物线经过点E ,求抛物线的解析式;②若抛物线与线段CE 相交,直接写出抛物线的顶点P 到达最高位置时的坐标:解:(1)当0x =时,y m =,(0,)A m ∴,当y m =时,0x =或2m(2,)D m m ∴;(2)①如图,设A D '与x 轴交于点Q ,过点A '作A N x '⊥轴于点N .把OAD ∆沿直线OD 折叠后点A 落在点A '处,OAD ∴∆≅△OA D ',OA OA m ='=,2AD A D m ='=,90OAD OA D ∠=∠'=︒,ADO A DO ∠=∠', 矩形OABC 中,//AD OC ,ADO DOQ ∴∠=∠,A DO DOQ ∴∠'=∠,DQ OQ ∴=.设DQ OQ x ==,则2A Q m x '=-,在Rt △OA Q '中,222OA A Q OQ '+'= ,222(2)m m x x ∴+-=,解得54x m =, 1122OA Q S OQ A N OA A Q '='='' ,334554m m A N m m ∴'==,45ON m ∴==,A ∴'点坐标为4(5m ,3)5m -,易求直线OA '的解析式为34y x =-,当4x m =时,3434y m m =-⨯=-,E ∴点坐标为(4,3)m m -.代入22(0)y x mx m m =-++>得0m =(舍),12m =,∴抛物线的解析式为:212y x x =-++.②当4x m =时,2222(4)248x mx m m m m m m m -++=-++=-+ ,即抛物线l 与直线CE 的交点为2(4,8)m m m -+,抛物线l 与线段CE 相交,2380m m m ∴--+,0m > ,3810m ∴--+解得:1182m ,2222()y x mx m x m m m =-++=--++ ,∴当x m =时,y 有最大值2m m +,又2211()24m m m +=+- ,∴当1182m 时,2m m +随m 的增大而增大,∴当12m =时,顶点P 到达最高位置,22113(224m m +=+=,∴抛物线顶点P 到达最高位置时的坐标为1(2,3)4.【巩固练习】1、如图,在矩形ABCD 中,点E 为边CD 上一点,沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的F 点处,若3AB =,5BC =,则tan EFC ∠的值为________.2.如图,先将一平行四边形纸片ABCD 沿AE ,EF 折叠,使点E ,B ',C '在同一直线上,再将折叠的纸片沿EG 折叠,使AE 落在EF 上,则AEG ∠=度.3、点E、F 分别在一张长方形纸条ABCD 的边AD 、BC 上,将这张纸条沿着直线EF 对折后如图,BF 与DE 交于点G ,长方形纸条的宽AB=2cm ,那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的GEF S ∆最小值为_____________。
平移旋转和翻折的变换规律
平移旋转和翻折的变换规律平移、旋转和翻折是几种常见的几何变换规律,它们在数学、物理、工程和计算机图形等领域中都有广泛的应用。
通过对物体进行平移、旋转或翻折,可以改变其位置、形状和方向,从而实现对几何结构的转换和处理。
本文将深入探讨平移、旋转和翻折的变换规律,帮助读者更好地理解和运用这些重要的几何概念。
一、平移变换平移变换是指将一个几何图形沿着某个方向移动一定的距离,而不改变其形状和方向。
平移变换可以通过向量表示,假设有一个向量(a, b),表示平面上的平移向量,那么对于平面上的点P(x, y),经过平移变换后的点P'的坐标可以表示为P' = P + (a, b)。
具体来说,对于二维平面上的图形,其每个点的坐标都分别增加平移向量的分量,从而实现整体平移的效果。
在三维空间中,平移变换同样可以通过向量表示,假设有一个向量(a, b, c),表示三维空间中的平移向量,那么对于空间中的点P(x, y, z),经过平移变换后的点P'的坐标可以表示为P' = P + (a, b, c)。
与二维平移类似,三维空间中的图形的每个点的坐标都分别增加平移向量的分量,实现整体平移的效果。
二、旋转变换旋转变换是指将一个几何图形绕着某个点或轴心旋转一定的角度,而不改变其位置和形状。
旋转变换可以通过矩阵表示,假设有一个旋转矩阵R,对于二维平面上的点P(x, y),经过旋转变换后的点P'的坐标可以表示为P' = R * P。
具体来说,旋转矩阵可以根据旋转角度和旋转中心点的位置进行计算,从而实现对二维平面上的图形进行旋转变换。
在三维空间中,旋转变换同样可以通过矩阵表示,假设有一个旋转矩阵R,对于空间中的点P(x, y, z),经过旋转变换后的点P'的坐标可以表示为P' = R * P。
与二维旋转类似,三维空间中的旋转矩阵可以根据旋转角度和旋转轴心的位置进行计算,实现对空间中的图形进行旋转变换。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折
初中数学知识归纳平移旋转和翻折初中数学知识归纳:平移、旋转和翻折在初中数学学习过程中,平移、旋转和翻折是我们经常接触到的几个概念。
它们是几何变换中的重要内容,不仅能帮助我们更深入地理解空间和图形,还可以应用于解决实际问题。
本文将对平移、旋转和翻折进行归纳总结,以便更好地掌握这些知识。
一、平移平移是将一个图形沿着某个方向移动一段距离,而形状、大小和方向保持不变。
常见的平移有水平平移和垂直平移两种。
水平平移是指固定图形的上下位置,只使图形在水平方向上移动。
具体操作方法是,对于平面坐标系中的点(x, y),进行水平平移时,只需将点的横坐标x加上一个固定的值h,y坐标保持不变。
公式表示为:(x+h, y)。
垂直平移则是将图形固定在水平位置上,只使图形在垂直方向上移动。
对于给定的点(x, y),只需将点的纵坐标y加上一个固定的值k,x坐标保持不变。
公式表示为:(x, y+k)。
在实际应用中,平移可以帮助我们解决很多问题,比如:将某物体从一个位置平移至另一个位置,或者确定两个几何图形是否有平移对称性等等。
二、旋转旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度旋转。
旋转主要有顺时针旋转和逆时针旋转两种。
顺时针旋转是指图形按照顺时针方向旋转一定角度。
对于给定的点(x, y),按照顺时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出:(x' = x*cosθ - y*sinθ, y' = x*sinθ + y*cosθ)。
逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向旋转一定角度。
对于给定的点(x, y),按照逆时针方向旋转角度θ后的新坐标可由以下公式得出:(x' = x*cosθ + y*sinθ, y' = -x*sinθ + y*cosθ)。
旋转是一个很有趣的几何变换,我们可以通过旋转来判断图形的相似性、寻找对称性等等。
三、翻折翻折是指将图形绕一条直线折叠,使得折叠前的一部分与折叠后的另一部分完全重合。
平移旋转和翻折的几何变换
平移旋转和翻折的几何变换几何变换是数学中重要的概念,而平移、旋转和翻折是其中常见的三种变换方式。
在几何学中,这些变换可以改变物体的位置、方向和形状。
本文将详细介绍平移、旋转和翻折的概念、性质及其在实际应用中的意义。
1. 平移变换平移是指将一个物体沿着平行于原位置的直线方向上移动一定的距离。
在平移变换中,保持物体的形状、大小和内部结构不变。
平移可以用一个向量表示,该向量表示了物体在横轴和纵轴方向上的位移。
例如,向量(2,3)表示物体向右平移2个单位长度,向上平移3个单位长度。
平移变换可以应用于二维和三维空间。
平移变换具有以下性质:- 保持物体的形状、大小和内部结构不变;- 平移前后的物体相似,只是位置不同;- 平移变换是可逆的,即可以通过反方向的平移将物体还原回原来的位置。
在实际应用中,平移变换被广泛应用于计算机图形学、机器人导航、地图制作等领域。
在计算机图形学中,平移变换可以用于移动图形对象,实现图像的平移操作。
2. 旋转变换旋转是指将一个物体围绕某一点或某一轴线旋转一定的角度。
在旋转变换中,保持物体的形状和内部结构不变,只改变物体的方向。
旋转可以用一个旋转角度和旋转中心来描述,旋转中心可以是一个点或者是一个轴线。
旋转变换具有以下性质:- 旋转前后的物体相似,只是方向不同;- 旋转变换是可逆的,即可以通过反方向的旋转将物体还原回原来的方向;- 物体的旋转角度可以是正数也可以是负数,正数表示顺时针旋转,负数表示逆时针旋转。
旋转变换在许多领域有广泛应用,如航天器姿态控制、机器人运动控制、计算机动画等。
在计算机动画中,旋转变换可以应用于对象的旋转效果,实现逼真的三维模拟。
3. 翻折变换翻折是指将一个物体沿着某一条线或平面对称,即将物体的一半翻转成和另一半相似但对称的形状。
在翻折变换中,保持物体的形状和内部结构不变,只改变物体的方向。
翻折变换具有以下性质:- 翻折前后的物体相似,只是方向不同;- 翻折变换是可逆的,即可以通过反方向的翻折将物体还原回原来的方向;- 翻折可以沿着线对称或面对称进行,分别称为线对称和面对称。
平移 旋转 翻折 替代关系
平移旋转翻折替代关系
平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本操作,它们之间存在着一定的替代关系。
首先,平移是将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,而不改变其形状和大小。
旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定的角度,同样不改变其形状和大小。
翻折则是将一个图形沿着某条直线对折,使得图形的两个部分完全重合。
在某些情况下,我们可以使用一种操作来替代另一种操作,以达到相同的效果。
例如,对于一个平行四边形,我们可以通过平移其中一条边来得到一个与原来图形相同的平行四边形。
同样地,我们也可以通过旋转这个平行四边形来得到一个与原来图形相同的平行四边形。
另外,翻折操作也可以被其他操作替代。
例如,我们可以将一个矩形沿着其对角线翻折,得到一个与原来图形相同的菱形。
但是,我们也可以通过平移和旋转操作来得到一个与原来矩形相同的菱形。
总之,平移、旋转和翻折操作之间存在着替代关系,我们可以根据具体情况选择合适的操作来达到我们想要的效果。
这种替代关系使得几何变换更加灵活和多样化,为我们解决各种几何问题提供了更多的思路和方法。
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初中数学几何变换之
轴对称
一、知识梳理
1、轴对称基本要素:对称轴。
2、基本性质:
(1)对应线段、对应角相等
(2)对应点所连线段被对称轴垂直平分 (3)对称轴上的点到对应点的距离相等 (4)对称轴两侧的几何图形全等 3、应用
翻折问题、最值问题等
二、常考题型
类型一:轴对称性质
1、如图,在平行四边形ABCD 中,13=AB ,4=AD ,将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后,点B 恰好与点C 重合,则折痕AE 的长为__________.
第1题
第2题
第3题
2、如图,矩形中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE 与CD相交于点O,且OE=OD,则AP的长为__________.
3、如图,在△ABC中,AB=AC,BC=24,tanC=2,如果将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC的中点E处,直线l与边BC交于点D,那么BD的长为。
4、如图,菱形纸片ABCD中,∠A=600,将纸片折叠,点A、D分别落在A’、D’处,且A’D’经过B,EF为折痕,当D’F CD时,CF
的值为。
FD
5、如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=23,则四边形MABN的面积是。
第4题第5题第6题
6、如图,已知边长为5的等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿着EF 折叠,使点A落在BC边上的点D的位置,且,则CE的长是。
7、如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=83,AD=10,点E是CD的中点.将这张纸片依次折叠两次:第一次折叠纸片使点A与点E重合,如图2,折痕为MN,连接ME、NE;第二次折叠纸片使点N与点E重合,如图3,点B落在B′处,折痕为HG,连接HE,则tan∠EHG = .
图2 图3
8、如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长交BC于点G,连接AG.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长.
类型二:轴对称应用
1、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B(2,0),∠DOB=60°,点P是对角线OC上一个动点,E(0,﹣1),当EP+BP最短时,点P的坐标为.
2、如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长取最小值时,四边形PMON的面积为.
3、如图,在锐角△ABC 中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC 的平分线交BC 于点D,点M,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM+MN
的最小值为 。
4、如图,在等边△ABC 中,AB =4,点P 是BC 边上的动点,点P 关于直线AB ,AC 的对称点分别为M ,N ,则线段MN 长的取值范围是 .
类型三:动点与轴对称
1、如图,在矩形ABCD 中,AB=32, 点E 是边BC 的一个三等分点(CE<BE ),F 是AD 边
上一动点,将图形以EF 为折痕翻折后,当D 、C 的对应点、
、、
C D 与B 在一条直线上时,∆EFG 的周长是 。
G D'
E
D
B
C
A
第1题
第2题
2、如图,在矩形ABCD 中,AB=5, AD=13, E 、F 分别是AB 、AD 边上的动点,将∆ABE 向下翻折,点A 落在BC 边上A 、
处,则A 、
B 的最小值是 。
3、如图,正方形ABCD 的边长为6,EF 是正方形ABCD 的一条对称轴,G 、H 分别在AB 、CD 上,将图形沿GH 对折后,点C 落在E 处,求tan ANE = 。
第3题第4题
4、如图,在Rt∆ABC中AC=4,BC=3, D是AB边上一动点,点E与点A关于直线CD对称,当DE//BC时,AD= 。
5、如图,在Rt∆ABC中,AB=4, BC=3, D是AB边上一动点,DE//BC,A、A、关于DE对称,当∆A、EC为直角三角形是AD= 。
C
类型四:综合应用
1、如图,在矩形ABCD中,E是AB边的中点,沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,折痕为EC,连结AP并延长AP交CD于F点,
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若△AEP是等边三角形,连结BP,求证:△APB≌△EPC;
(3)若矩形ABCD的边AB=6,BC=4,求△CPF的面积.
2、如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D分别落在对角线BC上的点
E、F处,折痕分别为CM、AN.
(1)求证:△AND≌△CBM.
(2)请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形,四边形MFNE是菱形吗?请说明理由?(3)P、Q是矩形的边CD、AB上的两点,连结PQ、CQ、MN,如图(2)所示,若PQ=CQ,PQ ∥MN。
且AB=4,BC=3,求PC的长度.
3、已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B
′和折痕OP.设BP=t.
(Ⅰ)如图①,当∠BOP=300时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
4、如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿EF折叠,使点D落在D′处,点D′恰好与点A重合.
(1)求证:△ABG≌△C′DG;
(2)求tan∠ABG的值;
(3)求EF的长.
5、问题提出
(1)如图①,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
(2)如图
②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,EF=FG=米,∠EHG=45°,经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件,试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;若不能,请说明理由.
三、课后作业
1、如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.
2、如图1,在锐角三角形ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N 分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为.
第1题第2题第3题
3、如图,已知点C(1,0),直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是AB,OA上的动点,则△CDE周长的最小值是______.
4、如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N,则tan∠ANE=_____.
5、如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是__________.
6、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,在边AB上取一点D,作DE⊥AB 交BC于点E,先将△BDE沿DE折叠,使点B落在线段DA上,对应点记为B1;BD 的中点F的对应点记为F1.若△EFB∽△AF1E,则B1D=
7、如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△A EB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C.
探究一:猜想:四边形ABCD是何种特殊的四边形?请证明自己的猜想.
探究二:连接BD分别交AE、AF于点M、N,将
△ABM 绕点A 逆时针旋转,使AB 与AD 重合,得到△ADH ,试判断线段 MN 2
、ND
2
、DH 2
之间的数量关系,并说明理由.
探究三:若EG=4,GF=6,BM=3,你能求出AG 、MN 的长吗?
8、数学课上,老师出了一道题,如图①,Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2
1
AB , 求证:∠B=30°,请你完成证明过程.
(2)如图②,四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片,E 、F 分别为AB 、CD 的中点,沿过点D 的抓痕将纸片翻折,使点A 落在EF 上的点A ′处,折痕交AE 于点G ,请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长.
(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠,B 、D 两点恰好重合于一点O (如图
. ④),当AB=6,求EF的长.
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精品。