暨南大学2005—2007年真题(高等代数)

暨南大学2005——2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（高等代数） 2005年

1、 （20’）设m 是大于1的整数，1

2()...1m m f x x

x --=+++，

证明：()f x 整除()m

f x c +的充要条件是c=-m

2、 (20’)设n 阶行列式2cos 10001

2cos 100012cos 000002cos 10

2cos n D βββββ

=

1

，

（1） 当2k βπ=时，k 为整数，计算n D （2） 当k βπ≠时，k 为整数，证明sin(1)sin n n D β

β

+=

3、 (15’)下列线性方程组的系数行列式0D =，D 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠，

1111221211222211220

0(1)0

n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪++

+=

⎩

证明：这个方程组的解都可以写成12(,,

,)i i in kA kA kA 的形式，k 为任意数.

4、(20’)设A ，B 是两个n 级方阵，证明：AB 与BA 有相同的特征多项式

5、(20’)将下列二次型化为标准形，并写出所用的满秩的线性替换.

222123123121323(,,)235448f x x x x x x x x x x x x =+++--.

6、(15’)设123(,,)L ααα表示向量1(1,0,2,0)α=,2(0,2,0,3)α=,3(2,6,4,9)α=生成的实向量空间4

R 的子

空间，把123(,,)L ααα的一个基底扩充成4

R 的一个基.

7、(20’)设σ是实向量空间3

R 的线性变换，对任意向量(,,)x y z α=,

()(,,)(2,23,3)x y z y z x z x y σασ==+-+--.求σ的特征根与特征向量.

8、(20’)设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ的值域与σ的核重合，证明： （1）n 是偶数；

（2）如何选取V 的基，才能使σ在这个基下的矩阵是若尔当（Jordon ）标准形，并写出这个标准形.

2006年

一、 选择题(每小题5分)

1、用多项式2

()31g x x x =-+除多项式4

2

()2456f x x x x =+-+所得的余式()r x =（ ）

2.4914

.4914

.14.491

.a x b x c x d x e ----前面的答案均不对

2、如果()g x 是一个非零多项式，且'

(1)(1)0g g ==,'

(2)(2)0g g ==,则()g x 一定有因子：（ ）

22

.7..16

.(1)(2).a x b x c x d x x e ----前面的答案均不对

3、如果行列式011

2

013

a

D x

-=-的第一行第一列元素a 的代数余子式114A =，则x =（ ）.

.7

.3

.2

.6

.a b c d e 前面的答案均不对

4、由行列式定义的x 的多项式212111()32

11

11

x

x x f x x

x

-=

的最高项系数是（ ）.

.7.2.8.6.a b c d e 前面的答案均不对

5、如果齐次线性方程组

111213141212223242313233343414243

4440000a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦只有零解，则（ ）. 1112131412122

2324231323334341424344413.57a a a a x a a

a a x a a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦线性方程组无解； 1112131412122

2324231323334341424344410.90a a a a x a a

a a x

b a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦线性方程组有无穷解； 1112131412122232423132333434142

43

44413.88a a a a x a a a a x c a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦线性方程组

有唯一一组解；

1112131412122232423132333434142

43

44401.01a a a a x a a a a x d a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦线性方程组

有两组不同的解； .e 前面的答案均不对

6、如果向量组{}123,,ααα是线性无关组，则（ ）也是线性无关组.

{}{}{}

1223311221122331.,,.,,.,,a b c αααααααααααααααα+++-++-

{}

122331.,,.d e αααααα---前面的答案均不对

7、一个矩阵的对角线上方元素全为零，称为下三角矩阵，则（ ）. .a 任意两个同阶下三角方阵的乘积不再是下三角矩阵； .b 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定是对角矩阵； .c 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定不可逆； .d 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定可逆； .e 前面的答案均不对. 8、设{}12,,

,n ααα和{}12,,,n βββ均是实数域R 上的同一个向量空间V 的基，从基{}12,,,n ααα到

{}12,,

,n βββ的过渡矩阵为A ，即112

2n n A βαβαβα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，向量空间V 中的向量γ关于基{}12,,

,n βββ的坐标

为

12,,,n y y y （），即[]1212,,,n n y y y ββγβ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，则向量γ关于基{}12,,

,n ααα的坐标为（ ）

1

'

'

12121212.,,,.,,,.,,

,.,,

,n n n n a y y y A b y y y A c y y y A d A y y y -（）（）（）（）

.e 前面的答案均不对

9、三元二次型222

123111222333121213132323(,,)222f x x x a x a x a x a x x a x x a x x =+++++可能的规范型是：（ ）

{}{}{}

222222222222222222123123123123123123..,.,,a y y y b y y y y y y c y y y y y y y y y +++++-+++---

{}222222222123123121.,,0.d y y y y y y y y y e +±±--±±±，，前面的答案均不对

10、当（ ）时，二次型222

123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+正定.

44

4

44.(,0).(,0)

(0,1).(,0)

(0,).(,0)(1,2)55

555

a t

b t

c t

d t ∈-∈-∈-∈-