系统性能的分析

（1）K*取多大时，系统的阻尼比大于0.62？ （2）选择ζ=0.62的一对共轭复数极点，它们对应的 典型二阶系统的动态指标能否近似原系统的动态指标?
Imaginary Axis
10 0.46
8 0.62
6
4 0.8S4ystem: g Gain: 3.52 Pole: -5.87
2 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 5.87
Imaginary Axis
Root Locus 8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Real Axis
K* G(s)H(s)
s(s 2)(s 4)
由以上对比可以看 Root Locus 8
出，引入开环极点 6 4
Imaginary Axis
2
后可使根轨迹向右 0
-2
移动或弯曲，开环 -4 -6
根轨迹在系统动态分析和设计时的作用
❖ 由MATLAB绘制的根轨迹图很容易得到非主导 极点的位置．根据它们与主导极点的距离以及闭 环零点与主导极点的距离来判断二阶近似指标的 准确性。
❖ 如果改变系统参数不能得到希望的闭环极点，可 给系统增加零、极点(改变系统的结构)，来改变 根轨迹的走向，从而得到希望的闭环极点。
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
G(s)H (s) K*(s 0.5) s2 (s 2)
Imaginary Axis
Root Locus 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
由以上对比可 以看出，引入 开环零点后可 使根轨迹向左 移动或弯曲， 开环零点越接 近原点，系统 稳定性能变得 越好。
极点越接近原点，
-8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Real Axis
系统性能变得越差。G(s)H
(s)
s2
K* (s
2)
如果引入一个0极 4
Root Locus
3
点，系统将一直处 2
1
Imaginary Axis
于不稳定状态。
0
-1
-2
-3
-4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Real Axis
一、系统稳定性分类
❖ 结构稳定系统：根轨迹全部位于虚轴的左边。
❖ 条件稳定系统：系统没有一支根轨迹全部位于右
半平面。但是，至少有一支根轨迹穿越虚轴 。
❖ 结构不稳定系统：至少有一支根轨迹全部位于s右
半平面。 对于结构不稳定系统，只能靠人为增加开环零、
极点(改变系统结构)改变系统稳定性。
二、增加开环零极点对系统稳定性的影响
G(s)H
(s)
K* s2(s
2)
K*(s 3) G(s)H (s) s2 (s 2)
G(s)H (s) K*(s 0.5) s2 (s 2)
G(s)H (s)
K*s s2 (s 2)
G(s)H (s) K* s2 (s 2)
Imaginary Axis
Root Locus 4
❖ 根据开环增益或系统动态指标的要求，在根 轨迹上确定闭环主导极点。
❖ 在根轨迹上找到其它非主导极点，并考虑闭 环零点，来判断主导极点是否满足二阶近似 条件，并确定主导极点对应的典型二阶系统 的动态性能指标。
例1 单位反馈系统的开环传递函数如下
G(s) K *(s 5) s(s 2)(s 6)
2 System: sys
Gain: 6.23
4
Pole: -0.651 - 2.24i
Damping: 0.28 Overshoot (%): 40.1
6
Frequency (rad/sec): 2.33 8
10
12
0.19
0.135
0.095
0.06
0.03 14
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
System: g2 System: untitled1
1.2
Peak amplitude: 1.08 Peak amplitude: 1.08
Overshoot (%): 8.35 Overshoot (%): 8.4
At time (sec): 2.33 At time (sec): 2.28
1 System: g2 System: untitled1
j 1
zi ) pj)
K*
(
i 1
zi
)
n
(
j 1
p
j
)
K在阶跃输入下定义：
Kp
limG(s)H (s)
s0
ess
1 1 Kp
K在速度输入下定义：
1
Kv
lim sG(s)H (s)
s0
ess Kv
K在加速度输入下定义：
Ka
lim s2 s0
G(s)H (s)
ess
1 Ka
注：把开环传函化为尾1形式也可以得到系统的开环增益K。
Settling Time (sec): 3.47 Settling Time (sec): 3.46
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
原系统和近似后的二阶系统的阶跃响应的对比(blue为原系统)
例2 单位反馈系统的开环传递函数为
K *s G(s)H (s)
第四章 线性系统的根轨迹法
第四节 系统性能的分析
4-4 系统性能的分析
项目
内容
教学目的
掌握由根轨迹分析闭环系统三大性能的方法。
教学重点
由根轨迹分析系统的动态性能。
教学难点
讲授技巧及注 意事项
由根轨迹分析系统的动态性能。 举例进行说明。
根轨迹图的最大特点 是参数的可视化。这正是 时域法的不足。
根轨迹与系统的稳定性
根轨迹与系统的动态特性
根轨迹与系统动态特性的关系不大直观 。
由于系统的动态特性不仅与系统的闭环极点有关， 还与系统的闭环零点有关，而根轨迹显现不出闭环零 点。
根轨迹的研究对象一般是高阶系统，高阶系统的 动态特性本来就很复杂，只有当主导极点满足二阶近 似条件时，才能进行二阶近似分析 。
通过根轨迹分析系统的动态性能，主要 体现在：
s(s 1)(s 4) 20
（1）确定参数K*，使主导极点对应的ζ=0.28。 （2）改变K*的值，能否使ζ>0.5？
Imaginary Axis
15 0.28
0.4 10
5 0.7
0
-5 0.7
-10 0.4
-15 -5
0.28
-4.5
-4
Root Locus 0.19
0.135
System: sys Gain: 67.8
-1
-0.5
0
Real Axis
ζ=0.28对应的极点有两种选择，K*=67.8时不符合 主导极点的条件， K*=6.23时符合主导极点的条件。
Imaginary Axis
15 0.28
0.4 10
5 0.7
Root Locus 0.19
0.135
0.095
0.06
0.03 14
12
10
System: sys
G(s)H (s)
K*(s 3) s2 (s 2)
Root Locus 4
3
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-3
-4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
K*s G(s)H (s) s2 (s 2)
Imaginary Axis
Root Locus 4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
Pole: -2.35 + 8.06i Damping: 0.28
Overshoot (%): 39.9 Frequency (rad/sec): 8.39
0.095
0.06
0.03 14
12
10
8
6
4
2
System: sys Gain: 6.24 Pole: -3.69 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 3.69
8
Gain: 13.4
Pole: -1.65 + 3.01i
6
Damping: 0.481
Overshoot (%): 17.9
4
Frequency (rad/sec): 3.44
2
0
-5 0.7
-10 0.4
2
System: sys Gain: 13.4
4
Pole: -1.65 - 3.01i
Damping: 0.481
2
4
6
8
0.11
0.05
-1
10 0
ζ=0.62 时，K*=3.48。所以K*小于3.48时，系统的阻尼比大于0.62。
K*=3.48时，对应的极点还有-5.87，满足系统二阶近似条件。零点不大满足 近似条件，但和极点-5.87的位置较近，从偶极子效应来看，作用可以抵消。
Step Response 1.4
注意
❖ 不要企图增加位于右半平面的开环零点或极 点，因为开环零点和极点是根轨迹的终点和 起点，它们将根轨迹引向右半平面，使系统 稳定性变差。
❖ 左侧负实轴上新增加的零点和极点，距原点 近的影响较大。
根轨迹与系统的稳态性能
m
m
K
lim s G(s)H (s)
s0
lim
s0
K*
(s
i 1
n
(s
小结
由根轨迹分析系统的三大性能：
m
K
K*
(
i 1
zi
)
n
(
j 1
p
j
)
❖ 稳定性：由与K*相对应的闭环极点在复平面的分布情 况确定，可以通过增加零极点改变系统的稳定性；
❖ 稳态性能：通过从根轨迹得到的系统型别ν、开环增 益K(由K*、开环零极点确定)求系统的稳态误差ess。
❖ 动态性能：讨论高阶系统的二阶近似以及近似后系统 的动态指标问题。
根轨迹在系统动态分析和设计时的作用
❖ 由根轨迹可判断改变某系统参数能否得到满足要 求的闭环主导极点以及参数变化时闭环主导极点 的变化趋势。
❖ 由根轨迹与满足要求的等阻尼线的交点可确定系 统的闭环主导极点。
❖ MATLAB绘图给出了所选主导极点对应典型二 阶系统的动态指标，如果其它闭环零极点满足二 阶近似的条件。这些指标可用来近似估计高阶系 统的指标。
由于根轨迹是由开环零极点决定的，因 此在系统中增加或改变零极点在s平面的位 置，可以改变根轨迹的形状，影响系统的性 能。
1、增加开环零点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入零点，可以使根轨迹 向左半s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的 倾角，减少渐近线的条数。
设原始开环传函 增加零点z＝-3 增加零点z＝-0.5 增加零点z＝0
0
-2 -4 0.84
-6
0.62 -8
0.46
-10
-6
-5
Root Locus
0.34
0.24
0.17
0.34
0.24
0.17
-4
-3
-2
Real Axis
10
0.11
0.05
8
6
System: g
Gain: 3.48
4
Pole: -1.07 + 1.35i
Damping: 0.62
Overshoot (%): 82.37 Frequency (rad/sec): 1.72
6
Overshoot (%): 17.9
Frequency (rad/sec): 3.44
8
10
12
0.28
0.19
0.135
0.095
0.06
0.03 14
-15
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Real Axis
K*变化时，ζ的最大值是0.481，所以不能通过改变 K*的值，使ζ>0.5。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
2、增加开环极点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入极点，可以使根轨迹 向右半s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的 倾角，增加渐近线的条数。
设原始开环传函 增加极点p＝-4 增加极点p＝-1 增加极点p＝0
G(s)H(s) K * s(s 2)
G(s)H(s)
K*
s(s 2)(s 4)
G(s)H(s)
K*
s(s 2)(s 1)
G(s)H
(s)
源自文库
K* s2 (s 2)
G(s)H(s) K * s(s 2)
Imaginary Axis
Root Locus 8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Real Axis
G(s)H(s) K * s(s 2)(s 1)