初一数学培优专题讲义--线段和角

初一数学培优专题讲义四---几何图形初步

典型问题：（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？

问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

拓展：1、 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？

类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？

类比联想：如图，可以得到多少三角形？

（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：

文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

图形语言：M

几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 1

2

AM BM AB ==

，22AM BM AB == 典型例题：1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）

（A ）AP=

21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2

1

AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 2

1

=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．

其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=

1

2

AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．

5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）

A 2（a-b ）

B 2a-b

C a+b

D a-b （三）与角有关的问题

A

D

B

M

C

N

1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，

则∠A OC =________度（分类讨论）

2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，试证明你的结论．

3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF ∠，

求BOD ∠的度数．

4．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A = 60°，求∠O ；

（2）若∠A =100°，∠O 是多少？若∠A =120°，∠O 又是多少？ （3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？

5．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线,则图中互补的角共有（ ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

6．互为余角的两个角 （ ）

（A ）只和位置有关 （B ）只和数量有关

（C ）和位置、数量都有关 （D ）和位置、数量都无关

7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ C ）

A.12（∠1＋∠2）

B.12∠1

C.12（∠1－∠2）

D.1

2

∠2 典型练习1.如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm/s 、2 cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）

（1）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD ＝2AC ，请说明P 点在线段AB 上的位置：

（2）在（1）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ －BQ=PQ ，求

AB

PQ

的值。

A B C

N

M

（3）在（1）的条件下，若C 、D 运动5秒后，恰好有AB CD 2

1

=

，此时C 点停止运动，D 点继续运动（D 点在线段PB 上），M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM －PN 的值不变；②AB

MN

的值不变，可以说明，只有一个

结论是正确的，请你找出正确的结论并求值。

2.O 是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 。 （1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数；

（2）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示） （3）将图1中的∠COD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置。

①探究∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：)(2

1

2AOF AOC BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系。

3.如图，已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为—20，B 点对应的数为100。

⑴求AB 中点M 对应的数；

⑵现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；

⑶若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数。