2017-2018北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

2017-2018北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准2018.4 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。

解答题应写出解答步骤。

15. （本题满分13分）（Ⅰ）2()cos 2cos 16666f ππππ=+-2121222⎛⎫=⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭2= ··································· 3分（Ⅱ）()2cos 2f x x x=+ 2sin(2)6x π=+因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），令222262k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得 36k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），故()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+（k ∈Z ） 13分16. （本题满分13分）（Ⅰ）设事件A ：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用iA 表示事件抽取的月份为第i 月，则123456789101112{,,,,,,,,,,,}A A A A A A A A A A A A Ω=共12个基本事件，26891011{,,,,,}A A A A A A A =共6个基本事件，所以，61()122P A ==. ·························· 4分（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X 所有可能的取值为0，1，2.242662(0)155C P X C ====，1124268(1)15C C P X C ===，22261(2)15C P X C ===随机变量X 的分布列为（Ⅲ）M 的最大值为58%，最小值为54%. ······ 13分17.（本题满分14分） （Ⅰ）方法1：OPCAB设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以PO AC⊥，因为 在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以 PO OB⊥因为 AC OB O=，,AC OB ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ··························· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法2：OPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以 PO AC⊥，因为 PA PB PC==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA∆≌POB ∆≌POC ∆所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以PO OB⊥因为AC OB O =，,AC OB⊂平面ABC所以PO⊥平面ABC因为PO⊂平面PAC···························4分所以平面PAC⊥平面ABC方法3：O PCA BQ设AC的中点为O，连接PO，因为在PAC∆中，PA PC=，所以PO AC⊥设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB.因为在OAB∆中，OA OB=，Q为AB的中点所以OQ AB⊥.因为在PAB∆中，PA PB=，Q为AB的中点所以PQ AB⊥.因为PQ OQ Q=，,PQ OQ⊂平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为 OP ⊂平面OPQ 所以 OP AB⊥因为 AB AC A=，,AB AC ⊂平面ABC所以 PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ··························· 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB = 由(1,1,0)BC =-，(1,0,1)PC =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则 由BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =cos ,||||3n OB n OB n OB ⋅<>===⋅由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B-- ········ 9分（Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数，当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈， 所以12[,]45BN BP ∈ ·································· 14分18.（本题满分13分）（Ⅰ）当0a =时，ln ()xf x x=故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ··········· 4分（Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a ax xx x f x x a x a +-+-==++令()1ln ag x x x=+-则221'()0a x ag x x x x +=--=-<由()0a g =>e e，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e +++=+-+=⋅-<e故存在10(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故02()f x =e 故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e················· 13分故a 的值为2e . （Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e且存在0(0,)x ∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x≥-e且存在0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x=-e的最大值为a.2'()1g x x=-e ，令'()0g x =，得2x =e .故()g x 的最大值为22222()ln g =-=e e e e e ，即2a =e .13分（19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意22222411a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =b =c = 故椭圆C 的标准方程为22182x y += ········· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440xx -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=--故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠） 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当∆>时，122x x t+=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+--1212224()111122x x x t x t --=-++-+-121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++- 22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+-4= ······················· 14分方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当∆>时，122x x t+=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+--121211112222x t x t x x +-+-=+--121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=-- 21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=--=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零 故TMN TNM ∠=∠故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2 故||||4OM ON += ······························ 14分20. （本题满分13分）（Ⅰ）A 是“N -数表 ”，其“N -值”为3，B 不是“N -数表”. ······················································· 3分 （Ⅱ）假设,i ja 和','i j a 均是数表A 的“N -值”，① 若'i i =，则,,1,2,',1',2',','max{,,...,}max{,,...,}i ji i i n i i i n i j aa a a a a a a ===； ② 若'j j =，则,1,2,,1,'2,','','min{,,...,}min{,,...,}i jj j n j j j n j i j aa a a a a a a === ；③ 若'i i ≠，'j j ≠，则一方面,,1,2,,'1,'2,','','max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i j a a a a a a a a a =>>=，另一方面','',1',2',',1,2,,,max{,,...,}min{,,...,}i j i i i n i j j j n j i ja a a a a a a a a =>>=；矛盾. 即若数表A 是“N -数表”，则其“N -值”是唯一的. ···················································· 8分 （Ⅲ）方法1：对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯=.定义数表,1919()j i B b⨯=如下，将数表A 的第i 行，第j 列的元素写在数表B 的第j 行，第i 列，即,,j i i jb a =（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有：① 数表B 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表② 数表B 的第j 行的元素，即为数表A 的第j 列的元素 ③ 数表B 的第i 列的元素，即为数表A 的第i 行的元素 ④ 若数表A 中，,i ja 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表B 中，,j ib 是第i 列中的最大值，也是第j 行中的最小值. 定义数表,1919()j i C c ⨯=如下，其与数表B 对应位置的元素的和为362，即,,362j i j ic b =-（其中119i ≤≤，119j ≤≤）显然有① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表② 若数表B 中，,j ib 是第i 列中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，,j ic 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表,1919()i j A a ⨯=① 数表C 是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表② 若数表A 中，,i ja 是第i 行中的最大值，也是第j 列中的最小值则数表C 中，,j ic 是第i 列中的最小值，也是第j 列中的最大值即对任意的19A ∈Ω，其“N -值”为,i ja （其中119i ≤≤，119j ≤≤），则19C ∈Ω，且其“N -值”为,,,362362j ij i i jcb a =-=-.记()C T A =，则()T C A =，即数表A 与数表()C T A =的“N -值”之和为362，故可按照上述方式对19Ω中的数表两两配对，使得每对数表的 “N -值”之和为362，故X 的数学期望()181E X =. ···················· 13分 方法2：X 所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.记19Ω中使得X k=的数表A的个数记作kn ，19,20,21,...,341,342,343k =，则218182136119[(18)!]k k k n C C --=⨯⨯⨯.则218182362361119[(18)!]k k k kn C C n ---=⨯⨯⨯=，则343343343362191919343343343191919(362)()kkkk k k kkkk k k nk nk nk E X nnn-======⋅⋅⋅-===∑∑∑∑∑∑，故34334319193433431919(362)2()362kkk k kkk k nknk E X nn====⋅⋅-=+=∑∑∑∑，()181E X =. ··· 13分。