2021年中考数学二轮复习代数几何综合题

2021年中考数学二轮复习代数几何综合题

Ⅰ、综合问题精讲：

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1

2 BC·CE；

⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB

⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)

∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1

2 BC ，

∵∠C AE ＝900，∴AC 2

＝CH·CE＝12 BC·CE

⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2

① ∵AC 2

＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②

①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2

＝17 ∵EC 2

＝AC 2

＋AE 2

，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝co t∠AEC＝AE AC ＝13

2

点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，

将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键.

【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○

。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足．

（1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 解：（1）在y=2x+2中 分别令x=0，y=0．

得 A （l ，0），B （0，2）． 易得△ACD ≌△BAO ，因此 AD=OB=2．

（2）因为A(1，0），B （0，2），且由（1），得C （3,l ）． 设过过B 、A 、C 三点的抛物线为2y ax bx c =++

因此560172 69312

a a

b

c c b a b c c ⎧=⎪++=⎧⎪

⎪⎪==-⎨

⎨⎪⎪

++=⎩=⎪⎪⎩

，解得 因此2517

266

y x x =

-+ 点拨：此题的关键是证明△ACD ≌△BAO ．

【例3】（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时刻为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524

个平方单位？

解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b

由题意，得

b=6

80

k b

⎧

⎨

+=

⎩

解得

3

4

6

k

b

⎧

=-

⎪

⎨

⎪=

⎩

因此，直线AB

的解析式为

y＝－

4

3

x＋6．

（2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10

因此AP＝t，AQ＝10－2t

1°当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

因此

6

t＝

10

2

10t

-

解得t＝

11

30

(秒)

2°当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．

因此

10

t＝

6

2

10t

-解得t＝

13

50(秒)

（3）过点Q作QE垂直AO于点E．

在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝

AB

BO＝

5

4

在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·

5

4＝8 －

5

8t因此，S

△APQ＝

2

1AP·QE＝2

1t·(8－

5

8t)

＝－2

5

4

t＋4t＝

5

24解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）

点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，因此应分情形：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．如此，就得到了两个时刻限制．同时第（3）问也能够过P作 PE⊥AB．

【例4】（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，

BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设