勾股定理1.1(3)

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北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)

北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识  课件(共23张PPT)

探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的
三条边,看看三边长的平方之间有怎么样的关系?
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方,这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c,那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾,较长的直角
求 的长.
解:因为 ⊥ ,
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中, 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ,
所以 = 6 .
设 = = ,则 = − 6 .
在 Rt △ 中, 2 = 2 + 2 ,
所以 △ =
1

2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图,直线 上有三个正方形 , , .若 , 的面积分别
为 5 和 11 ,则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图,在 △ 中, = , = 10 , ⊥ ,垂足为 , = 8 .
(2) 已知 = 12 , = 16 ,求 .
【解】在 Rt △ 中, ∠ = 90∘ , = 12 , = 16 ,
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图,在 △ 中, ⊥ 于点 ,且 + = 32 ,
因为 ∠ = 90∘ ,所以 2 + 2 = 2 .

探索勾股定理(3)

探索勾股定理(3)

课题:1.1探索勾股定理 (3)
教学目标:1、用拼图的方法验证勾股定理;
2、掌握勾股定理,并能运用它解决一些实际问题;
教学重点:掌握勾股定理,会运用它进行简单的计算及解决一些实际问题; 教学难点:用拼图的方法验证勾股定理;
导入方式:复习引入
一、课前练习:
1、 在Rt ΔABC 中,∠C=900,a=8,b=15,求c 。

2、 如图:Rt ΔABC 中,∠C=900,AC=10,BC=24,求AB 的长。

3、 完成书本P11知识技能#1。

二、知识点一:
1、课外阅读P12~13页, 从“朱青出入图”的拼图方法理解勾股定理的验证。

2、完成书本P26页#7题,动手验证勾股定理。

3、 试与同学交流一下你的体会。

4、 完成书本P14页议一议,
A C B
三、知识二:
1、完成书本P15随堂练习#1
2、求图中直角三角形的未知边长。

3、要修建一个育苗棚,棚高h =1.8 m,棚宽a =2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?
5、 完成书本:P15页问题解决#1
4 3。

关于“勾股定理”的60种证法

关于“勾股定理”的60种证法

关于“勾股定理”的60种证法1.(面积法证明)1 证法1.1:证明:在直角三角形ABC 中,分别作以AB 、AC 、BC 为边的正方形ABED,正方形ACJI 和正方形BCHG ,连接线段IB 、CD 、AG 、CE 。

过点C 作DE 的垂线CK ,交DE 于点K ,交AB 于点L 。

90,,CAI BAD CAB CADCAB CAD AC AI AD AB ACD AIB∠=∠=∴∠=∠∠=∠==∴∆≅∆线段AI 平行于线段BJ ∴AIB ∆的面积等于AIC ∆ACD AIB ∆≅∆AIC ∴∆的面积等于ACD ∆ 线段AD 平行于线段CK∴矩形ADKL 的面积等于ACD ∆面积的两倍正方形ACJI 的面积等于AIC ∆的两倍,AIC ∆的面积等于ACD ∆ ∴矩形ADKL 的面积等于正方形ACJI 的面积同理,有:矩形BEKL 的面积等于正方形BCHG 的面积。

正方形ABED 的面积等于矩形ADKL 的面积加上矩形BEKL 的面积∴正方形ABED 的面积等于正方形ACJI 的面积与正方形BCHG 的面积之和即222AC BC AB +=.Remark :此为欧几里得(Euclid,约公元前330年-公元前275年)在几何原本中的证明方法。

2 证法1.2:证明:在上图中,整个正方形的面积为2()a b +,又等于四个直角三角形的面积加上里面的小正方形的面积,等于22ab c +。

因此,22()2a b ab c +=+,此即:222a b c +=。

Remark :此证法据Bretschneider 和Hankel 的推测,为毕达哥拉斯(Pythagoras ,约公元前580~约前500)的证法。

3 证法1.3(总统证明法)如图,三角形ABC 与三角形BDE 完全相等,易证三角形ABE 为等腰直角三角形。

整个直角梯形ACDE 的面积为21()2a b +,又等于两个直角三角形的面积加上等腰直角三角形ABE 的面积,等于212ab c +,故2211()22a b ab c +=+。

1.1探索勾股定理(教案)

1.1探索勾股定理(教案)
五、教学反思
今天在教授《1.1探索勾股定理》这一章节时,我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出很大的兴趣。在导入新课环节,通过提出与日常生活相关的问题,成功激发了学生的好奇心。然而,我也注意到在讲授过程中,部分学生对代数证明部分的理解存在困难。
在理论介绍环节,我尽量用简单明了的语言解释勾股定理,并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。不过,我意识到在讲解难点时,需要更多具体的例子和图形演示来帮助学生理解。今后,我可以在这一部分增加一些互动环节,如让学生自己动手画图,加深对定理的理解。
2.教学难点
(1)理解勾股定理的证明过程,尤其是代数证明部分。
(2)将勾股定理应用于解决实际问题,特别是需要将实际问题转化为数学模型的能力。
举例:
-在代数证明部分,学生可能对平方的概念理解不深,教师需要通过具体例子和图形演示,帮助学生理解平方的含义。
-在解决实际问题时,学生可能不知道如何将问题转化为直角三角形的模型。教师可以通过案例分析和示范,引导学生学会提取关键信息,建立数学模型。
3.培养学生的数学应用意识,将勾股定理应用于解决实际问题,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作意识和探究精神,鼓励学生在小组讨论、合作探究中发展团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
(1)理解并掌握勾股定理的表达式:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“勾股定理在实组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

勾股定理知识点总结(经典、实用)

勾股定理知识点总结(经典、实用)

勾股定理知识点总结(经典、实用) Chapter 3: Pythagorean Theorem1.Key Points:1.1 Pythagorean TheoremThe Pythagorean Theorem states that in a right triangle。

the square of the hypotenuse (the longest side) is equal to the sum of the squares of the other two sides。

In other words。

if the two legs of a right triangle are a and b。

and the hypotenuse is c。

then a^2 + b^2 = c^2.The formula can also be rearranged to solve for a or b: a^2 = c^2 - b^2 or b^2 = c^2 - a^2.Note: This theorem only applies to right triangles。

where one angle is 90 degrees.1.2 Proof of Pythagorean TheoremThere are many ways to prove the Pythagorean Theorem。

but one common method is to use the concept of area。

By showing that two different shapes have the same area。

we can derive the formula for the theorem。

Another method is to use a puzzle-like diagram to rearrange the squares of the sides.Two common methods are shown below:Method 1: 4 SquaresIn the diagram。

北师大版八年级数学上册《勾股定理3》课件

北师大版八年级数学上册《勾股定理3》课件

1
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•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始,手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得,或由他们重新发现,至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气,自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理,而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式,注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领,而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪ 1876年4月1日,伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的 这一证法。
▪ 1881年,伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来, 人们为了纪念他对勾股定 理直观、简捷、易懂、明 了的证明,就把这一证法 称为“总统”证法。
青九

朱章 出算

入术

无字证明

bc

③aຫໍສະໝຸດ ①②青无朱字出证入明图
▪ 赵爽:东汉末至三国时 代吴国人
▪ 为《周髀算经》作注, 并著有《勾股圆方图 说》。
▪ 赵爽的这个证明可谓别 具匠心,极富创新意识。 他用几何图形的截、割、 拼、补来证明代数式之 间的恒等关系。
毕达哥拉斯
在国外,相传勾股 定理是公元前500多年 时古希腊数学家毕达哥 拉斯首先发现的。因此 又称此定理为“毕达哥 拉斯定理”。法国和比 利时称它为“驴桥定 理”,埃及称它为“埃 及三角形”等。但他们 发现的时间都比我国要 迟得多。
青出
青方
青 出
青 入

朱方 出
朱入 青入
青出
五巧板的制作 A

E

G
b
Hc

1.1探索勾股定理3

1.1探索勾股定理3

第一节探索勾股定理教学目标:1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推力意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

重点难点:重点:了结勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题。

难点:勾股定理的发现 教学过程掌握勾股定理的内容,能利用勾股定理进行计算与证明。

勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即:c 2=a 2+b 2(c 为斜边)。

它反映了直角三角形三边之间的数量关系,是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。

一、问题的提出:小明放学回家要经过一块长方形的麦地。

如图: 1、 小明本来应走大路从A 经B 到C 可是他却直接从A 到C ,为什么? 2、 为什么近、近多少? 3、用数学知识如何解答?二、量一量,算一算:1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝,4㎝和5㎝,12㎝请你量出斜边的长度。

2、进行有关的计算。

3、得出结论: 三、证明结论:利用拼合三角形的方法,如下:(1)b a a bca c cb a a a b a bc b c b b c aa b a b (1) (2)由(1)S ab c ab c 正=⨯+=+412222 A B C D由(2)S a b ab 正=++222 ∴+=++22222ab c a b ab ∴+=a b c 222(2)如图:S c S S S a b b a a b b a a b a b c a b 正正小正==+=⨯+-=++-=+∴=+222222222441222∆() 练习: 1、判断:(1)已知a 、b 、c 是三角形的三边,则∴+=a b c 222( ) (2)在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。

( ) (3)在Rt ABC ∆90=∠B ∴+=a b c 222( ) 2、填空:在Rt ABC ∆中,∠=C 90(1)如果a=3,b=4,则c= (2)如果a=6,b=8,则c= (3)如果a=5,b=12,则c= (4) 如果a=15,b=20,则c=3、 解决新课开始提出的问题c ab ac b b c ba ac。

北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)

北师大版八年级数学上册《1.1.1勾股定理》教学课件(共19张PPT)

例1 高为2.5 m的木梯,架在高为2.4 m的墙上(如图),
这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,得:
BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49,
所以BC=0.7.
即梯脚与墙的距离是0.7 m.
C
B
例2 求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三 角形的另一边长.
正方形C的面积应该怎么计算呢?
C A
B
图①
➢ 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC=12×2×3×4+1×1=13;
➢ 把C“补”成边长为5的正方形 SC=5×5-12×2×3×4=13.
观察:
C A
B
图①
正方形A中含有__4__个小正方形,即A的 面积是___4__. 正方形B中含有__9__个小正方形,即B的 面积是___9__. 正方形C中含有_1_3__个小正方形,即C的 面积是__1_3__.
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
学习目标
1.经历探索勾股定理的过程,了解勾股定理的探 究方法;
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些简 单问题.
新知引入
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4,你 知道它的第三边长吗?
实际上,利用勾股定理我们可以很容易地解决这个问题. 勾股定理是一个古老的定理,人类很早就发现了这个定理.
观察:
A'
C'
B'
图②
正方形A'中含有__1_6_个小正方形,即 A'的面积是__1_6__.
正方形B'中含有__9__个小正方形,即 B'的面积是__9___.
正方形C'中含有__2_5_个小正方形,即 C'的面积是__2_5__.

1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册

1.1 探索勾股定理  课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
第一章 勾股定理
1
第1课时
探索勾股定理
探索勾股定理(一)
知识导航
勾股定理
文字语言:直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边
的 平方 .
符号语言:
在Rt△ ABC 中,∵∠ ACB =90°,
∴ BC2+ AC2= AB2.
拓展:因为用“∵”表示,所以用“∴”表示.


知识导航
如图,如果用 a , b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边
有一卡车在公路 MN 上以5 m/s的速度沿 PN 方向行驶,
卡车行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响,请你
算出该学校受影响的时间为 24 s.

图3
典例导思
3. 如图所示,为了测得小水坑两边点 A 和点 B 之间的距
离,一个观测者在点 C 设桩,使∠ ABC =90°,并测得
AC =20 m, BC =16 m,则点 A 和点 B 之间的距离
正方形,所有三角形都是直角三角形.正方形 A , B ,
C , D 的边长分别是4,9,1,4,则最大正方形 E 的面
积是( B )
A. 18
B. 114
C. 194
D. 324
图3
典例导思
(4)如图4,在Rt△ ABC 中,∠ C =90°,分别以各边
为直径作半圆,当 AC =3, BC =4时,阴影部分的面积
和斜边,那么 a2+ b2= c2 或 c2- b2= a2 , c2-
a2= b2 .

知识导航
注意:(1)勾股定理体现了数形结合的思想,即把各
边之间“形”的关系,转化为“数”的关系.
(2)在应用勾股定理时, a2+ b2= c2只是边 c 所对的角

八年级数学上册 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理(第1课时)课件

八年级数学上册 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理(第1课时)课件
平方
(píngfāng)

a2+b2=c2 .
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长的平方为(
A.2 B.24 C.74 D.12

第四页,共九页。
.如果(rúguǒ)
)
B
1.若直角三角形的三边(sān biān)长分别为6,8,m,则m2的值为( D
A.10
C.28
)
B.100
2
即阴影部分(bùfen)的面积为72π cm2.
第八页,共九页。
内容(nèiróng)总结
第一章 勾股定理。A.2 B.24
C.74
D.12。1.若直角三角形的三边长分别为
6,8,m,则m2的值为(
)。2.如图,在边长为1个单位(dānwèi)长度的小正方形组成的网格中,点
A,B都是格点,则线段AB的长度为(
C.76
D.80
C
第六页,共九页。
4.在△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20,求△ABC的周长(zhōu chánɡ).
解:∵AB2=AC2+BC2,
∴BC2=AB2-AC2=252-202=152.
∴BC=15.
∴△ABC的周长(zhōu chánɡ)是25+20+15=60.
第七页,共九页。
5.求下列图中阴影(yīnyǐng)部分的面积:
(1)
(2)
解:(1)由题图,得132-122=25(cm2),则阴影部分的面积为25 cm2.
(2)设半圆的直径(zhíjìng)为d cm,由勾股定理,得d2=252-72=576,则d=24,
S
1
2
半圆= π

1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册



[答案] B
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
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方 ■方法:利用勾股定理解决面积问题

如图,由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边

巧 三角形,则有 S =S +S (S ,S ,S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3

拨 面积,其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积).
1.1 探索勾股定理
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例 如图,正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
[解题思路]设 AC=b,BC=a,AB=c,易得 AB⊥DE,所




清 以四边形 ACBE 的面积=S△ACB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG=





2
读 AB·(DG+EG)= AB·DE= c , 四边形 ACBE 的面积
=S
梯形 ACFE
)b+
+S△EFB=
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[答案] 解:如图,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D,
所以∠ADB=∠ADC=90°.
设 BD=x,则 CD=21-x,
在 Rt△ABD 中,AD2=102-x2,
在 Rt△ADC 中,AD2=172-(21-x)2,
解得 x=6,所以 AD2=102-62=64,
所以 AD=8,即 BC 边上的高为 8.
(1)已知∠C=90°,a=6,b=8,求 c;
(2)已知∠B=90°,a=15,b=25,求 c.
1.1 探索勾股定理


【初二】第三章勾股定理讲义

【初二】第三章勾股定理讲义

勾股定理1.1 勾股定理的内容:如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ,斜边为c ,那么222a b c +=.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

1.2勾股定理的证明:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

1.4勾股数:满足222a b c +=的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

【例1】 下列说法正确的是( )A. 若a b c ,,是ABC ∆的三边,则222a b c +=B. 若a b c ,,是Rt ABC ∆的三边,则222a b c +=C. 若 a b c ,,是Rt ABC ∆的三边,90A ∠=︒,则222a b c +=D. 若 a b c ,,是Rt ABC ∆的三边,90C ∠=︒,则222a b c +=【例2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为( )CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 .在直角三角形中,一条直角边为11cm ,另两边是两个连续自然数,则此直角三角形的周长为______.【例4】 直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( )A .121B .120C .90D .不能确定【例5】 三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】 在Rt ABC ∆中, 90C ∠=︒,(1)如果34a b ==,,则c =_______; (2)如果68a b ==,,则c =_______; (3)如果512a b ==,,则c =________; (4)如果1520a b ==,,则c =________.(5)若c =41,a =40,则b =______; (6)若∠A =30°,a =1,则c =______;(7)若∠A =45°,a =1,则b =______.【例8】 如图所示,在ABC ∆中,三边a b c ,,的大小关系是( )A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】 如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草. 【例10】已知,如图所示,折叠长方形的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,•如果8cm AB =,10cm BC =,EC 的长为 . 【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ,宽为7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 . 【例12】如图,将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中,求细木棒露在盒外面的最短长度是多少?CBA“路”4m3m【例13】 将一根长为24cm 的筷子,置于底面直径为5cm ,高为12cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外边的长度为cm h ,则h 的取值范围为( ) 【例14】如图,以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形,如果两个较大正方形的面积分别是576和676,那么最小的正方形的面积为( ) 【例15】在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .(1)若a ∶b =3∶4,c =75cm ,求a 、b ; (2)若a ∶c =15∶17,b =24,求△ABC 的面积; (3)若c -a =4,b =16,求a 、c ; (4)若a 、b 、c 为连续整数,求a +b +c .2 勾股定理的逆定理【例1】 分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)6、8、10;(2)5、12、13;(3)8、15、17; (4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有____________.(填序号)【例2】 下列线段不能组成直角三角形的是( ).A .a =6,b =8,c =10B .3,2,1===c b aC .43,1,45===c b a D .6,3,2===c b a【例3】 已知ABC △的三边长分别为5,13,12,则ABC △的面积为( )A .30B .60C .78D .不能确定【例4】 在ABC △中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,①若a 2+b 2>c 2,则∠c 为____________; ②若a 2+b 2=c 2,则∠c 为____________; ③若a 2+b 2<c 2,则∠c 为____________.【例5】 若ABC △中,()()2b a b a c -+=,则B ∠=____________; 【例6】 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ABC△是______三角形.【例7】 下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比,其中不是直角三角形的是( ).A .1∶1∶2B .1∶3∶4C .9∶25∶26D .25∶144∶169【例8】 已知三角形的三边长为n 、n +1、m (其中m 2=2n +1),则此三角形( ).A .一定是等边三角B .一定是等腰三角形C .一定是直角三角D .形状无法确定【例9】 若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数),则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______.【例10】 ABC △的两边a b ,分别为512,,另一边c 为奇数,且a b c ++是3的倍数,则c 应为______,此三角形为______.【例11】 如图,ABC △中,90C ∠=︒,330AC B =∠=︒,,点P 是BC 边上的动点,则AP 长不可能是( )A .B .C .D .7【例12】 如图,在△ABC 中,已知AB =AC =2a ,∠ABC =15°,CD 是腰AB 上的高,求CD 的长.DCBA【例13】 如图所示,已知∠1=∠2,AD =BD =4,CE ⊥AD ,2CE =AC ,那么CD 的长是( )【例14】 如图,在△ABC 中,D 为BC 边上的一点,已知AB =13,AD =12,AC =15,BD =5,求CD 的长.【例15】 如图,在ABC △中,CD AB ⊥于D ,9435AC BC DB ===,,.(1)求CD AD ,的值;(2)判断ABC △的形状,并说明理由.【例16】 已知:如图,四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =2,AD =3,求四边形ABCD 的面积.【例17】 如图所示,在四边形ABCD 中,已知:AB :BC :CD :DA =2:2:3:1,且∠B =90°,求∠DAB 的度数.【例18】 如图,已知CA ⊥AB ,DB ⊥AB ,AC =BE ,AE =BD .(1)试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系,并说明你的结论; (2)若AC =5,BD =12,求CE 的长.【例19】 阅读理解题:(1)如图所示,在ABC △中,AD 是BC 边上的中线,且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =.求证:90BAC ∠=︒(2)此题实际上是直角三角形的另一个判定定理,请你用文字语言叙述出来.(3)直接运用这个结论解答下列题目:一个三角形一边长为5,这边上的中线长为,另两边之和为7,求这个三角形的面积.【例20】 已知:如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为CB 的四等分点且CE =CB 41,求证:AF ⊥FE .【例21】 已知∠MAN ,AC 平分∠MAN .(1)在图1中,若∠MAN =120°,∠ABC =∠ADC =90°,求证:AB +AD =AC ;(2)在图2中,若∠MAN =120°,∠ABC +∠ADC =180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;BCDN AM MAND CB【例22】 在B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M 岛,乙船到P 岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?. 1.等腰直角三角形的斜边为10,则腰长为______,斜边上的高为______.2.如图,一根高8米的旗杆被风吹断倒地,旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米,则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图,△ABC 中,AB =AC =10,BD 是AC 边上的高线,DC =2,则BD 等于 .4. Rt △ABC 中,斜边BC =2,则222AB AC BC ++的值为( ).5.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,BD 是∠ABC 的平分线,AD =20,则CD 的长为 .6.在△ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,则该三角形为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 7.如图,已知正方形ABED 与正方形BCFE ,现从A ,B ,C ,D ,E ,F 六个点中任取三个点,使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点,则这样的直角三角形共有( )A .10B .12C .14D .168.如图,在Rt ABC △中,已知,90ACB ∠=︒,15B ∠=︒,AB 边的垂直平分线交AB 于E ,交BC 于D ,且13BD =,则AC 的长是 .9. 如图所示,在ABC △中,::3:4:5AB BC CA =,且周长为36,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,BPQ △的面积为( )2cm .10. 如图所示的一块地,已知AD =4m ,CD =3m ,AD ⊥DC ,AB =13m ,BC =12m ,求这块地的面积.DCBAFECBDAE DBC AQCA。

第一章《勾股定理》(全章)

第一章《勾股定理》(全章)

第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(一)学习目标:1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。

学习重点:勾股定理的内容及证明。

学习难点:勾股定理的证明。

学习过程:一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。

(勾3,股4,弦5)。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42_____52,52+122_____132,那么就有_____2+_____2=_____2。

(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗?勾股定理内容文字表述:几何表述:二、交流展示例1、已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证:a2+b2=c2。

分析:⑴准备多个三角形模型,利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S△+S小正=S大正即4×21×+﹝﹞2=c2,化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。

⑷勾股定理的证明方法,达300余种。

这个古老而精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证:a2+b2=c2。

分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。

左边S=_____________右边S=_____________左边和右边面积相等,即_________________________化简可得_______________________三、合作探究bbbccccaabbbaaccaabcc1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则⑴c= 。

勾股定理 相关概念难点及答案解析

勾股定理 相关概念难点及答案解析
勾股定理
1. 勾股定理
1.1 勾股定理的概念
直角三角形两直角边 a、b 的
等于斜边 c 的
。(即:2
2
【答案】
平方和;平方
1.2 勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是
的方法;
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
① 图形进过
后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
② 根据同一种图形的
不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
方法三:S
梯形
2




梯形
2∆

2
1
2

1 2
,化简
2
A
.
得证
a
c
【答案】
S
正方形 EFGH
S
正方形 ABCD
a2
b2
B
c2 ;2
D
b
E
a
c
拼图;割补拼接;面积;4S∆
B
b
2
C
2
2. 勾股定理的逆定理
2.1 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长:a,b,c,则有关系
,那么这个三角形是

【答案】
2
2
2 ;直角三角形;
2.2 互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的
个命题叫做
。如果把其中一个叫做
【答案】
结论;题设;互逆命题;原命题;逆命题。

,这样的两
,那么另一个叫做它的

2.3 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为
a,b,c 为
常见的勾股数有
,即2

勾股定理

勾股定理

勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。

(3,4,5)就是勾股数。

也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2。

中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述:在任何一个的直角三角形中,两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等)。

数学表达:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。

[1]推广定理:勾股定理的逆定理。

如果 (a,b,c) 是勾股数,它们的正整数倍数,也是勾股数,即∀n∈Z*,(na,nb,nc) 也是勾股数。

若a,b,c三者互质(它们的最大公约数是 1),它们就称为素勾股数。

2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。

埃及称为埃及三角形。

早在毕达哥拉斯之前,许多民族已经发现了这个事实,而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据,有案可查。

相反,毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来,关于他的种种传说都是后人辗转传播的。

可以说真伪难辨。

这个现象的确不太公平,之所以这样,是因为现代的数学和科学来源于西方,而西方的数学及科学又来源于古希腊,古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》,而其中许多定理再往前追溯,自然就落在毕达哥拉斯的头上。

八年级下册数学勾股定理

八年级下册数学勾股定理

八年级下册数学勾股定理勾股定理:一、介绍1.1 什么是勾股定理勾股定理是著名的几何定理,指三角形三边长数据满足勾股数组中的关系式。

它曾是古希腊数学大师达摩陀的名作,最早出现在《几何》一书中。

1.2 勾股定理的历史几何学钟爱者达摩陀(Diodorus Cronus,约公元前3世纪)可以说是勾股定理的发明者,他把这个定理称为“青蛙定理”。

在他后来的《几何》一书中,达摩陀把法老的儿子奥古斯都(c. 420−367)的工作进行了进一步的发展,最终完善了勾股定理。

1.3 勾股定理应用勾股定理可用来计算边长未知的三角形中任意一边,可以用来求三角形的角,或者确定两个给定的长度是否可以构成三角形;它还可以用来求平面图形的总面积、斜棱柱的体积等。

二、公式勾股定理用公式表达为:a2+b2=c2其中,a和b分别代表直角三角形的两个直角边长,c代表直角三角形的斜边长。

三、实际应用3.1 利用勾股定理求三角形的三边长勾股定理可以用来求三角形的三边长,只需满足一定条件就可以求出三边长。

例如,给定两边长a=3,b=4,则求c:根据勾股定理c2=a2+b2,所以c = √(32+42) = √25 = 5即 c=5。

3.2 利用勾股定理判断两边长是否构成三角形通过判断两边长的关系,我们可以利用勾股定理判断两边长是否可以构成三角形。

以 a=5,b=5 为例,由勾股定理可知,一个三角形的斜边长 c 必须大于它的两条直角边的长度的和,也就是 c>a+b,由题知 a=b=5,则 c不满足 c>a+b,因此边长 a=b=5 不能构成三角形。

四、实际案例来看一个案例,有一个三角形,它的底边是6厘米,高为4厘米。

要知道它的斜边长度是多少?把这个案例写成勾股定理的标准形式,即求 c,则有:a=6,b=4,即原三角形的底边、高分别是6厘米和4厘米,由勾股定理可知,c2=a2+b2,所以c = √(62+42) = √100 = 10即 c=10。

1.1勾股定理_1PPT课件(沪科版)

1.1勾股定理_1PPT课件(沪科版)

2.勾股定理的适用条件: 直角三角形,它反应了直角三角形三边的关系,
即已知直角三角形两边长可求第三边长.对于非直 角三角形问题,可根据图形特征构造直角三角形.
3.由勾股定理的基本关系式: a2+b2=c2可得到一些变形关系式: c2=a2+b2=(a+b)2-2ab= (a-b)2 + 2ab ; a2=c2-b2=(c+b)(c-b)等.
3和4,则第三边长为( D )
A.5
B. 7 C. 5 D.5或 7
知识点 2 勾股定理与图形面积
知2-讲
1.命题:如果直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
2.常用证法:利用拼图法,通过求面积来验证;这 种方法以数形转换为指点思想、图形拼补为手段, 以各部分面积之间的关系为根据而到达目的.
知2-讲
(1)如图①,△DEF为直角三角形,正方形 P的
面积为9,正方形Q的面积为15,则正方形
M的面积为________;
知2-讲
(2)如图②,分别以直角三角形ABC的三边长为直径 向三角形外作三个半圆,则这三个半圆形的面积 之间的关系式是________; (用图中字母表示)
知2-讲
(3)如图③,如果直角三角形两直角边的长分别为3 和4,分别以直角三角形的三边长为直径作半圆, 请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积.
知1-导
探究 在行距、列
距都是1的方格网
中,任意作出几
个 以格点为顶点
的直角三角形,
分别以三角形的各边为正方形的一边,向形外作正方形,
如图.并以 S1, S2与S3分别表示几个正方形的面积.
视察图(1),并填写:
视察图(2),并填写:
知1-导
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课堂小结: 1、G

A
D

F E
3、自学P14的议一议,完成问题并思考: 勾股定理是否仅仅存在于直角三角形中?锐角三 角形、钝角三角形的三边是否满足这种关系?
B
A C A B C
当△ABC为锐角三角形 时:a2+b2>c2 当△ABC为钝角三角形 时:a2+b2<c2
1.如图所示,△ABC中,AB=3,AD⊥BC,且DB=2, DC=1,则AC2=_________. 6
1.了解勾股定理的“无字证明法”: 青朱出入图. 2.进一步巩固勾股定理的有关应用.
1、 自学课本P12-P13,了解“青出朱入图” 的含义,然后试完成P13的做一做。 (体会勾股定理的证明方法的多样性,并了解 青出朱入图中图形的变化。)
2、了解几位科学家几种证明勾股定理的方 法。(无字证明法)
A
A
O
D
B
D
C
B
C
2.如图,∠A=∠D=90°,AC与BD相交于O, 8 AB=CD=4,AO=3,则BD=_______. 3.在△ABC中∠C=90°,若a:b:c=3:4:5,c=20,则 12 16 a=_______,b=_______.
4.在△ABC中,∠C=90, AC=2.1 cm, BC=2.8 cm (1)求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的 长. (2)求斜边被分成的两部分AD和BD的长.
A
D B
C
5.某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召, 决定在公路相距10km的A,B两站之间的E点修建一 个土特产加工地,如图,DA⊥AB与A,CB⊥AB与 B,已知DA=8km,CB=2km,要使C,D两村到基 地E点的距离相等,那么基地E点应建在距A站多远的 地方?
A E B
C
D
6.如图3,已知长方形ABCD中AB=8 cm, BC=10 cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰 好落在BC边上的点F,求CE的长.
青出
青 入 朱 出
青 出 朱 入


刘徽注文:「勾自乘为 朱方,股自乘为青方, 令出入相补,各从其类, 因就其余不动也,合成 弦方之幂。」
青入
梅文鼎证法
c
a
2
2
b
2
梅文鼎证法
2 2 2 a +b =c
达文西证法
大野真一证法
刘徽-九章算术
刘徽-九章算术
刘徽-九章算术
B
c
a
C

I
② ①
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