拱桥的计算

3、抛物线（三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴线为抛物线）
在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于恒载 集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混凝土拱桥，或 钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往可以采用抛物线拱。其 拱轴线方程为：
y1

4f l2
x2
1、拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 M d=0 剪力Q d=0 恒载推力为Hg
第三章 拱桥的设计
第二节 简单体系的计算
一、拱轴线的选择与确定
拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选择拱轴线的 原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理想的拱轴线是与拱上各 种荷载作用下的压力线相吻合，使拱圈截面只受压力，而无弯矩及剪 力的作用，截面应力均匀，能充分利用圬工材料的抗压性能。
定后，拱轴线各点的坐标取确d于j 拱 轴拱 拱系圈 脚数厚 处m度 拱。轴可线查的表水得平到倾。角
2、拱轴系数m值的确定
（1）实腹式拱m值的确定
m gj gd
•拱顶恒载分布集度 g d
gd 1hd d （4-3-13）
•拱脚恒载分布集度 g j
gj
1hd
2h
d
cos j
M
2 1
ds

M p ds
sI ds
Hg
y ds
sI ds
s EI
sI
sI
X 2
2p 22

M 2M pds
s EI
M
2 2
ds
Hg
yy ds sI
y2ds
s EI
sI
M2 y
任意截面的弯矩为：
M X1 X 2 y M p
第三章 拱桥的设计
第二节 拱轴系数的选择和拱上建筑的布置
一、概述
拱轴线的选择与确定
恒载内力 活载内力
拱
温度、收缩徐变
桥 成桥状态的内力分析和强度、刚度、稳定验算 拱脚变位
的 计
内力调整
算
拱上建筑的计算
施工阶段的内力分析和定验算
y1/ 4
1
f 2(m 1) 2
（4-3-19）
空腹拱的m值，仍需采用逐次渐近法计算。
空腹式拱桥的m值，仍按逐次渐近法确定。即先假定一个m值，定出拱
轴线，作图布置拱上建筑，然后计算拱圈和拱上建筑的结构自重对l／4和拱
脚截面的力矩 M1/4和
M j ，根据式
y1/4 求出 f
（4-3-17）
H g y1/ 4 M1/ 4 0
H g
M 1/ 4 y1/ 4
代上式到式（4-3-17），可得：
y1/4
M1/ 4
f Mj
（4-3-18）
M1/4 自拱顶至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力矩。
求得 y1/4 后，即可求得m值：
f
m 1 ( f 2)2 1 2 y1/ 4
1
1 tg2 12sh2k
ds l 12sh2k
2
这样：
ys
s y1ds f ds m 1
1
(chk 1)
1 2sh2k d
0
1 1 2sh2k d
1 f
s
0
查表
（4）空腹式无铰拱压力线与拱轴线偏离产生的附加内力 对于静定三铰拱，各截面的偏离弯矩 值Mp可以按下式计算：

1 Hg

d 2M dx2

gx Hg
（4-3-3）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道 恒载的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示：
gx gd y1
g d 拱顶处恒载强度；
（4-3-4）
拱上材料的容重。
由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度 g j 为：
（4-3-14）
h
f

d 2
d
2 cos j
（4-3-15）
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用逐次逼近法，具体做法如下：
a) 先假设m值
b) 查表得拱脚处的 cos j ；
c)根据计算出的 cos j
，代入（4-3-14）g j
1hd
抬高，随m减小而增大（拱轴线 降底）。
（2）空腹式拱拱轴系数的确定
空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载 由两部分组成，即主拱圈承受由实腹段 自重的分布力和空腹部分通过腹孔墩传 下的集中力（如左图）。由于集中力的 存在，拱的压力线为在集中力作用点处 有转折的曲线。但实际设计拱桥时，由 于悬链线的受力情况较好，故多用悬链 线作为拱轴线。
注：其中：y以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴坐标。
拱顶、拱脚处：Mp=0
拱顶： M d X1 X 2 ys 0 拱脚： M j X1 X 2 ( f ys ) 0
其中，y s弹性中心至拱顶的距离。
（5）拱轴系数初值的选定
m gj gd
坦拱：m值选用较小 陡拱：m值选用较大
M p H g y
其中：y为三铰拱压力线在该截面
的偏离值
对于无铰拱，由于其是超静定结构， 偏离弯矩将引起次内力，其计算过程 如下：
取左图所示的基本结构，赘余力X1， X2作用在弹性中心，则有：
M1 1
M p H g y
X1


1 p 11

M1M pds
s EI
k ch1m ln(m m2 1)
（4-3-12）
反双曲余弦函数对数表示
•当m=1时 g x=gd，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次
抛物线，其方程变为：
y1 f 2
•由悬链线方程
y1

mf1,1(,chh2kd
拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重 1)拱可顶以填看料出厚，度当拱的跨度和失高确
我们把在巳知荷载作用下拱截面上只有轴向压力的拱轴线称为合 理拱轴线。
实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、收缩等因素的作用， 实际上得不到理想的拱轴线。一般以恒载压力线作为设计拱轴线。
1、圆弧线（三铰拱在径向均布荷载作用下的合理拱轴线为圆弧线）
圆弧线拱，线形最简单，施工最方便，易为群众掌握。但圆弧拱轴线 一般与恒载压力线偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。常用于15~20m 以下的小跨径拱桥。
作用于弹性中心的三个多余未知力以单位力分别作用时引起的 内力为：
M1 1, FS1 0, FN1 0
M 2 y, FS2 sin, FN 2 cos M3 x, FS3 cos, FN3 sin
y1ds
可以证明当
ys
s
EI ds
时，
s EI
第三章 拱桥的设计
第一节 概述
➢ 联合作用与横向分布：
活载作用于桥跨结构时，拱上建筑参与主拱圈共同承受活载的作用，称 为“拱上建筑与主拱的联合作用”或简称“联合作用”。 在横桥方向，活载引起桥梁横断面上不均匀应力分布的出现，称为“活 载的横向分布”。
➢ 联合作用：偏于安全可不考虑。 ➢ 横向分布：板、双曲、箱可不考虑，刚架拱、桁架拱要考虑。
1
2
时， y1
y1/ 4
；代

1 2
到悬链线方程
y1

f (chk m 1
1)
半元公式
chk m
y1/4 1 (ch k 1) f m 1 2
ch k chk 1 m 1
2
2
2
y1/ 4
m 1 1
2

1
f
m 1
2(m 1) 2
y1/ 4 随m的增大而减小（拱轴线
31 X1
32 X 2
33 X 3
3p

0

余力X1（弯矩），X2 （轴 力）为对称，而X3（剪力）是 反对称的，故有副系数
13 31 0 23 32 0
但仍有 12 21 0 为了使 12 21＝0 ，可以按下图引用“ 刚臂 ”的办法 达到。
实腹式悬链线拱轴计算图示
对拱脚截面取矩，有:
Hg

M
f
M 半拱恒载对拱脚的弯矩。
（4-3-1）
对任意截面取矩，有：
y1

Mx Hg
(4-3-2）
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标； M 任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。
对式（3-3-2）两边对x取两次导数，可得：
恒载集度
d 2 y1 dx2
12 21＝0
设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI就代表此图的面积，而上 式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为弹性中心。
对于悬链线无铰拱有：
y1

f (chk
m 1
1)
x

l1

l
2
ds dx l 1 d cos 2 cos
其中： 则：
cos 1
g j gd f mg d
（4-3-5）
其中：
m gj gd
称为拱轴系数。 （4-3-6）
(m 1)gd / f
这样gx可变换为：g x

gd
y1

gd
1
(m
1)
y1 f

（4-3-8）
将上式代入式（4-3-3）
d 2 y1 dx2

1 Hg

为了使悬链线与其恒载压力线重和， 一般采用“ 五点重和法”确定悬链线的 m值。即要求拱轴线在全拱（拱顶、两 1/4l点和两拱脚）与其三铰拱的压力线重 和。其相应的拱轴系数确定如下
拱顶处弯矩M d=0；剪力Q d=0。
•对拱脚取矩，由 MA 0 有：
Hg
Mj f
•对l/4截面取矩，由 MB 0 有：
d 2M dx2

gx Hg
，并引参数:
可得： 令
x l1 则： dx l1d
d 2 y1
d 2

l12 Hg gd
1 (m 1)
y1 f

k 2 l12 gd (m 1) Hg f
（4-3-9）
则
d 2 y1
d 2

l12 gd Hg
k 2 y1
（4-3-10）
2、悬链线
实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬链 线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线。
2、悬链线
空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其恒 载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最普遍的还 是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、跨径的四分之一 点和拱脚与压力线重合。
M1/ 4 Mj
y1/4 f ，然后
利用式 m 1 ( f 2)2 1 算出m值，如与假定的m值不符，则应以求得的m值
2 y1/ 4
作为新假定值，重新计算，直至两者接近为止。
（3）悬链线无铰拱的弹性中心
无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱若从拱定切开取基本结构
11X1 12 X 2 13 X 3 1p 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 p 0
2h
d cos j
计算出g j，连同（4-3-13） gd 1hd d 由
m gj gd
计算出m值。
d)比较假设值m，如两者相符，即假定的m为真实值；如两者相 差较大， 则以计算出的m作为假设值，重新计算，直到两者相 等。
拱轴线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：
当
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为：
y1

f m 1
(chk
1)
为悬链线方程。
双曲余弦函数
（4-3-11）
chk ek ek
2
•对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（4-3-11）
y1
来自百度文库
f (chk
m 1
1)
得：
chk m
通常m为已知，则可以用下式计算k值：