八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题

反比例函数知识点归纳和典型例题

知识点归纳

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

这一限制条件；

2．

（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解

析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数

的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数的图象时，应

注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关

于原点对称）．

（三）反比例函数及其图象的性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；

在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；

在每个象限内，y随x的增大而增大．

（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，

则（，）在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，

则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

图1 图2

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

当时，两图象没有交点；

当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数

1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

（五）充分利用数形结合的思想解决问题．

例题分析

1．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

A．y=3x B．C．3xy=1 D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

A ．

B ．

C ．

D ．

2．图象和性质

（1）已知函数是反比例函数，

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y 随x 的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图

象位于第________象限．

（3）若反比例函数

经过点（，2），则一次函数的图象一定不

经过第_____象限．

（4）已知a·b＜0，点P （a ，b ）在反比例函数的图象上，

则直线不经过的象限是（ ）．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

（5）若P （2，2）和Q （m ，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．

A ．第一、二、三象限

B ．第一、二、四象限

C ．第一、三、四象限

D ．第二、三、四象限

（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

7、已知1

20k k <<，则函数1y k x =和2k y x

=

的图象大致是（ ）

y x

O y

x

O y x

O y

x

O （A ）

（D ）

3．函数的增减性

（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则

的值为（ ）．

A ．正数

B ．负数

C ．非正数

D ．非负数

（2）在函数（a 为常数）的图象上有三个点

，，，则函数

值

、

、的大小关系是（ ）． A ．＜

＜

B ．

＜

＜

C ．

＜

＜

D ．＜＜

（3）下列四个函数中：①；②；③；④

．

y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）． 5、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）．

A ．x ＜－1

B ．x ＞2

C ．－1＜x ＜0，或x ＞2

D ．x ＜－1，或0＜x ＜2

（1）若与

成反比例，与

4．解析式的确定

成正比例，则y 是z 的（ ）．

A ．正比例函数

B ．反比例函数

C ．一次函数

D ．不能确定

（6）若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，

它们的另一个交点为________．

（7）已知反比例函数

的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求

的值．

A B

O

x

y

第4题

2 1 2

3 －3 －1 －2 1

3

－3

－1

－2