全国卷高考数学复习——双曲线及其性质

全国卷高考数学复习专题——双曲线及其性质考点一双曲线的标准方程

1.(2014天津,5,5分)已知双曲线x 2

a -y

2

b

=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线

l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )

A.x 2

5-y

2

20

=1 B.x

2

20

-y

2

5

=1 C.3x

2

25

-3y

2

100

=1 D.3x

2

100

-3y

2

25

=1

答案 A

考点二双曲线的几何性质

2.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A.3

B.3

C.3m

D.3m

答案 A

3.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C

1的方程为x

2

a

+y

2

b

=1,双曲线C

2

的方程为

x2 a -y

2

b

=1,C

1

与C

2

的离心率之积为3

2

,则C

2

的渐近线方程为( )

A.x±x±y=0

C.x±2y=0

D.2x±y=0答案 A

4.(2014广东,4,5分)若实数k满足0

25-y

2

9-k

=1与曲线x

2

25-k

-y

2

9

=1的

( )

A.焦距相等

B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等

D.离心率相等答案 A

5.(2014重庆,8,5分)设F

1、F

2

分别为双曲线x

2

a

-y

2

b

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双

曲线上存在一点P使得|PF

1|+|PF

2

|=3b,|PF

1

|·|PF

2

|=9

4

ab,则该双曲线的离心率

为( )

A.4

3 B.5

3

C.9

4

D.3

答案 B

6.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F

1、F

2

,点A在C

上.若|F

1A|=2|F

2

A|,则cos∠AF

2

F

1

=( )

A.1

4 B.1

3

C.2

4

D.2

3

答案 A

7.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与y 2

4

-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.

答案x 2

3-y

2

12

=1;y=±2x

8.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x 2

a -y

2

b

=1(a>0,b>0)的两条

渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.

答案5

2

9.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:x 2

a2-y

2

b2

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为

l 1:y=2x,l

2

:y=-2x.

(1)求双曲线E的离心率;

(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l

1,l

2

于A,B两点(A,B分别在第一、

四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.

解析解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以b

a

=2,

所以c2-a2

a

=2,

故c=5a,

从而双曲线E的离心率e=c

a

=5.

(2)由(1)知,双曲线E的方程为x 2

a -y

2

4a

=1.

设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a,

又因为△OAB的面积为8,

所以1

2

|OC|·|AB|=8,

因此1

2

a·4a=8,解得a=2,

此时双曲线E的方程为x 2

4-y

2

16

=1.

若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x 2

4-y

2

16

=1.

以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:x 2

4-y

2

16

=1也满足条件.

设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,

则C-m

k ,0.记A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

).

由y=kx+m,

y=2x得y1=

2m

2-k

,同理得y

2

=2m

2+k

.

由S

△OAB =1

2

|OC|·|y

1

-y

2

|得,

1 2-m

k

·2m

2-k

-2m

2+k

=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

由y=kx+m,

x2

4

-y

2

16

=1得(4-k

2)x2-2kmx-m2-16=0.

因为4-k2<0,

所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16), 又因为m2=4(k2-4),

所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x 2

4-y

2

16

=1.

解法二:(1)同解法一.