实验定积分的近似计算

b
n
n
f(x)dx
a
f(xi-1) xih f(xi 1)
i 1
i 1
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左点法
b
n
n
f(x)dx
a
f(xi) xih f(xi)
i 1
i 1
右点法
a bf(x )d x i n 1f(x i 1 2 x i) x i h i n 1f(x i 1 2 x i)
2020/6/1
中点法
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定积分的近似计算
问题背景和实验目的
定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要 利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数 甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一 组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。
本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相 关函数。
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/4
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抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得 h 1b2 n a,xiih 1,i0,1,K ,2n
计算每个节点上的函数值：
y if(x i), i 0 ,1 ,K ,2 n
在区间 [x0, x2] 上，用过以下三点
P 0 (x 0 ,y 0 ) , P 1 (x 1 ,y 1 ) , P 2 (x 2 ,y 2 )
6
矩形法举例
例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )，
并比较这三种方法的相对误差。
解
I
1 dx 0 1 x2
： a=0, b=1, n=100
h =1/n=0.01, xi = i*h,
(i = 0, 1, 2, ..., 100)
左点法：
1 dx 0 1x2
n
h
i1
f(xi1)
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主要内容
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad 符号积分函数：int
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定积分的近似
定积分的定义
b f ( x)dx
a
n
lim
n
f (i )xi , i [xi1,xi]
x2x0
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6
(y04y1y2)
ba
6n
(y04y1y2)
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抛物线法
同理可得：
：
y if(x i), i 1 ,2 ,K ,n
b
S a f (x)dx
n
Si
i1
n y y i 1 2 x 2020/6/1 i 1
i i
Si
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梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令：
x1 x2L xn h b a
n
则
S
b a
f (x)dxi n 1S ii n 1yi 1 2 yi xihi n 1yi 1 2 yi
==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi)
==> 0 11 dx x2h y 2 0y1Lyn1y 2 n
0 .7 8 5 3 9 3 9 9 6 7 3 0 7 8
相对误差：0 .7 8 5 3 9 3 9 9 6 7 3 0 7 8/45 .3 0 51 0-6
0 .7 8 7 8 9 3 9 9 6 7 3 0 7 8
右点法：
1 dx 0 1x2
n
h
i1
f (xi )
0 .7 8 2 8 9 3 9 9 6 7 3 0 7 8
中点法： 1
dx
n
h
f(xi1xi) 0 .7 8 5 4 0 0 2 4 6 7 3 0 7 8
1x 0
2
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： x i1
xi
(xi1 xi )/2
左端点 , 右端点 和中点
。
左点法 右点法
中点法
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x1 x2
矩形法
LL xi
b
n
f(x)dx
a
f(i)xi
i1
LL
xn
x0 步长
x1
L L x 2
x i1
xi
L L x n1
xi
h
ba n
xiaih , i1,2,K n
xn 节点
的抛物线来近似原函数 f (x) 。
用抛物线代替该直线， 计算精度是否会更好？
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抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为：
y = x2 + x + = p1(x)
则在区间 [x0, x2] 上，有
x2 x0
f(x)dx
x2 x0
p1(x)dx
x2(x2x)dx
x0
x 2 3x 6 3 x 0 ( 2xx 20 2 x x0 xx 02 3 ) ( x ( ( 2 3 x x 2 2 2 x 0 3 x ) 0 ) x 2 2 2 (2 x 2 2 )( x 2 x 0 2)x 0 ) ( x 4 2 x 0)
==>
a bf(x)dxh y 2 0y1Lyn 1y 2 n
梯形公式
梯形公式与中点公式有什么区别 ?
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梯形法举例
例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差
解
I 1 dx
0 1 x2
： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 )
x 0 i 1
x1 x2 LL xi
LL
xn
x0
x1
L L x 2
x i1
xi
L L x n1
xn
xi xi xi1 xmai xxi
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矩形法
定积分的近似：
b
n
f(x)dx
a
f(i)xi
n 充分大，x 充分小
i1
通常我们取 x1 x2L xn
h ba n
点i [xi1,xi] 可以任意选取，常见的取法有
不同的算法有不同的计算精度
有没有更好的近似计算定积分的方法 ?
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定积分几何意义
b
S a f (x)dx
y
f (x)
S1 S2
Si
Sn
oa
x i1 x i
b
b
n
S f(x)dx a
Si
i1
x
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梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似
整个曲边Si梯形y的i12面积yi xi
i1
2
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矩形法举例
相对误差分析
理论值：
1 dx 01x2
arctanx1 0π 4
左点法相对误0 差.7 ：8789399673078/40.003178 /4
右点法相对误0 差.7 ：8289399673078/40.003188 /4
中点法相对误差0 .7 ：8 5 4 0 0 2 4 6 7 3 0 7 8/42 .6 5 3 1 0-6 /4