定积分的近似计算

数学实验报告

实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日

实验名称定积分的近似计算

问题背景描述：

利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．

实验目的：

本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。

实验原理与数学模型：

1．矩形法

根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即

在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．

针对不同的取法，计算结果会有不同。

（1）左点法：对等分区间

，

在区间上取左端点，即取。

（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。

（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2．梯形法

等分区间

，

相应函数值为（）．

曲线上相应的点为（）

将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个

上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为

，．

于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，

，

即，

称此式为梯形公式。

3．抛物线法

将积分区间作等分，分点依次为

，，

对应函数值为

（），

曲线上相应点为

（）．

现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线

来近似代替，然后求函数从到的定积分：

由于，代入上式整理后得

同样也有

……

将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：

，即

这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．

实验所用软件及版本：

Matlab 7.0

主要内容（要点）：

1．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．

2．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）

3．学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环。

实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：1：

○1梯形法

format long

n=120;a=1;b=2;

syms x fx

fx=1/x;

i=1:n;

xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %所有左点的数组

xi=a+i*(b-a)/n; %所有右点的数组

fxj=subs(fx,'x',xj); %所有左点值

fxi=subs(fx,'x',xi); %所有右点值

f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n; %梯形面积

inum=sum(f) %加和梯形面积求解

integrate=int(fx,1,2);

integrate=double(integrate)

fprintf('The relative error between inum and real-value is about:%g/n/n',...

abs((inum-integrate)/integrate))

【调试结果】

inum =

0.69315152080005

integrate =

0.69314718055995

The relative error between inum and real-value is about:6.26164e-006/n/n

○2抛物线法：

%抛物线法

format long

n=120;a=1;b=2;

inum=0;

syms x fx

fx=1/x;

for i=1:n

xj=a+(i-1)*(b-a)/n; %左点

xi=a+i*(b-a)/n; %右点

xk=(xi+xj)/2; %中点

fxj=subs(fx,'x',xj);

fxi=subs(fx,'x',xi);

fxk=subs(fx,'x',xk);

inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);

end

inum

integrate=int(fx,1,2);

integrate=double(integrate);

fprintf('The relative error between inum and real-value is about:%g/n/n',...

abs((inum-integrate)/integrate))

【调试结果】

inum =

0.69314718056936

The relative error between inum and real-value is about:1.35886e-011/n/n>>

○3使用函数trapz()

x=1:1/120:2;

y=1./x;

trapz(x,y)

【调试结果】

ans =

0.69315152080005

○4使用函数quad()

quad('1./x',1,2)

【调试结果】

ans =

0.69314719986297

2:

○1使用函数trapz()

x=1:1/120:inf;

y=sin(x)./x;

trapz(x,y)

【调试结果】

??? Error using ==> colon

Maximum variable size allowed by the program is exceeded.