线性代数 向量组线性相关性的判别定理

定理4 定理4 向量组A： 1,α2 ,L,αm 线性相关 ⇔r( A) < m, α
向量组A：α1,α2 ,L,αm 线性无关⇔r( A) = m
推论1： 推论 ： n个 n 维向量组成的向量组A线性相关 ⇔ A = 0 .
其中A = (α1,α2 ,L,αm )
(n个 n 维向量组成的向量组A线性无关 ⇔ A ≠ 0 .)
Q p1L p n 是自然数1， L n的某个排列， 2， ∴齐次方程组（）与齐次方程组（ ）同解， 1 2 则向量组A与向量组B相同的线性相关性
定理3向量组A : α j = ( a1 j a2 j L arj ) ,即α j添上一个分量得β j 定理3
T
向量组B : β j = ( a1 j
a2 j L arj
当 数 量 数 , 推论2： 推论 ： m 个 n 维向量组成的向量组， 维 n<向 个 m时
则向量组必线性相关 .
例1
讨论下列向量组的线性相关性： 讨论下列向量组的线性相关性：
T T
1.α1 = (1,2) , α 2 = ( 3,5) T T T T 2.α1 = (1,0,0) , α 2 = ( 0,1,0) , α 3 = ( 0,0,1) , α 4 = (1,2,4) 4.α1 = (1,0,0,2) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4) 1 3 ∴ ≠ 0， α1 , α 2线性无关 解： 1.α1 , α 2构成矩阵A, A = 2 5 2.α1 , α 2 , α 3 , α 4构成 4个3维向量组， α1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关 ∴
向量组B : β1 L β m线性相关 ⇔
齐次方程组x1β1 + L + xm β m = 0有非零解
a p11 a p1m a p 21 a p 2m 即（2）齐次方程组x1 + L + xm M = 0, M ap 1 ap m n n
T T T
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
ar +1, j ) , ( j = 1,2,L , m),
T
若向量组 A： 1 , α 2 , L, α m线性无关, 则向量组B： 1 , β 2 , L , β m也线性无关 . α β
（逆否命题，若向量组 B线性相关, 则向量组A也线性相关 .）
推论： r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组 推论： 维向量组的每个向量添 分量，成为n 若r维向量组线性无关， 维向量组线性无关， 线性无关 则n维向量组也线性无关。 维向量组也线性无关。 线性无关
证明 向量组α1 Lα m线性相关 ⇔
齐次方程组 x1α1 + L + xmα m = 0有非零解
a11 a1 m a 21 a2m 即（ 1）齐次方程组 x1 + L + xm M = 0, M a a n1 nm
定理2 定理2
向量组A : α j = ( a1 j , a2 j L, anj ) ,
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量组 B : β j = a p1 j , a p 2 j L , a p n j
(
),
T
( j = 1, 2, L , m ),
p1L p n 是自然数1L n某个排列， 则向量组 A与B有相同的线性相关性
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
(2) 用 证 反 法
假设 a4 能由 a1 , a2 , a3 表示 ， 这与 a2 , a3 , a4 线性无关矛盾 .
而由 (1) 知 a1 能由 a2 , a3 表示 ， 因此 a4 能由 a2 , a3 线性表示 ，
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
设向量组 a1 ，a2 ，a3 线性相关 ，向量组 例2 a2 ，a3 ，a4 线性无关 ，证明 (1) a1 能由 a2 ，a3 线性表示 ； ( 2) a4 不能由 a1 ，a2 ，a3 线性表示 .
证 (1) 因 a2 ，a3 ，a4 线性无关 ，由定理1 知a2 ，a3线性无关 ，
而a1 ，a2 ，a3线性相关，由上节定理 2 知 a1 能由 a2 ，a3 线性表示 .