§1 常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念
齐次方程化为可分离变量的方程去求解.
x
例1.4 求微分方程 y' y 1 的通解. x
解 令 y ux
则有 整理得 两边积分得 得
u x du u 1 dx
du dx x
u ln x ln C ln C x
y x ln C x
例1.5 求微分方程 x y ydx x2dy 0 的通解.
高等数学
常微分方程的基本概念
1.1 定义
定义1.1 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.
如果微分方程中的未知函数是一元函数,则称这种方程为常微分方程.
如果微分方程中的未知函数是多元函数,则称方程为偏微分方程.
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.n 阶微分方程
的一般形式是
1.2 可分离变量的微分方程
定义1.3 如果一阶微分方程 经整理后能写成如下形式
F x, y, y' 0
g( y)dy f (x)dx 则称式(6-7)为可分离变量的微分方程.
(6-7) (6-8)
可分离变量方程解法是,对变量分离方程式(6 - 8),两边取
不定积分,即
g( y)dy f (x)dx
1.3 一阶齐次微分方程
定义1.4 如果一阶微分方程能化为
dy dx
f
y x
的形式,就称为一阶齐次微分方程,简称为齐次方程.
(6-10)
对于齐次方程,解法是令u y y xu 得
x
dy u x du f u
dx
dx
分离变量得
f
du
u u
dx x
这就是可分离变量的方程,也就是说,通过代换 u y , 可以把
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
本文将对常微分方程的基本概念进行讨论，并介绍其解法和应用。
一、概述常微分方程是关于未知函数及其导数的方程，通常用x表示自变量，y表示因变量，y'表示y关于x的导数。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程，一阶常微分方程中只涉及一阶导数，而二阶常微分方程则涉及二阶导数。
一阶常微分方程可以写成如下形式： F(x, y, y') = 0二、解法常微分方程的解法可以分为解析解和数值解两种方法。
1. 解析解解析解是指能够用解析函数表示的常微分方程的解。
解析解的求解需要运用数学分析方法，常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法等。
一些简单的常微分方程，如y'=x，y''+y=0等，可以直接得到解析解。
2. 数值解数值解是指使用数值计算方法求解常微分方程的近似解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将连续的微分方程转化为离散的差分方程，并通过迭代求解逼近真实解。
数值解适用于无法得到解析解或解析解过于复杂的情况。
三、应用常微分方程在各个学科中都有广泛的应用，下面介绍几个典型的应用领域。
1. 物理学常微分方程在物理学中有重要应用，可以描述运动学、动力学、场论等。
例如，牛顿第二定律F=ma可以转化为二阶常微分方程。
常微分方程在天体力学、电动力学、流体力学等领域起着关键作用。
2. 工程学常微分方程在工程学中的应用十分广泛，例如弹簧振子的自由振动、电路中的RLC系统等都可以用常微分方程进行建模和求解。
工程学中的常微分方程解法通常需要结合实际问题进行求解和分析。
3. 生物学生物学中许多现象都可以用常微分方程进行建模和解释。
如生物种群的增长与衰减、化学反应动力学等都与常微分方程密切相关。
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结1.常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个未知函数的导数或高阶导数与该函数本身之间的关系的方程。
2.函数的导数和微分的概念导数描述了函数在其中一点上的变化率，基本导数法则包括常数规则、幂规则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数等；微分描述了函数在其中一点上的变化量。
3.一阶常微分方程一阶常微分方程是指导数的最高阶数为一的微分方程。
常见的一阶微分方程形式包括可分离变量的方程、线性方程、齐次方程、恰当方程和一阶常系数线性齐次方程等。
4.可分离变量的方程可分离变量的方程是指方程中变量可分离为两个集合的乘积形式。
通过将变量分离，再进行积分求解得到方程的解。
5.线性方程线性方程是指方程中的未知函数和其导数只出现线性的形式。
线性方程的解可以通过积分因子法或变量代换法来求解。
6.齐次方程齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的次数相同的方程。
齐次方程可以通过变量代换法将其转化为可分离变量的方程来求解。
7.恰当方程恰当方程是指方程的左右两边可以写成一些函数的全微分形式。
通过判断方程是否恰当，并找到方程的积分因子，可以求解恰当方程。
8.一阶常系数线性齐次方程一阶常系数线性齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的系数是常数的方程。
一阶常系数线性齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
9.二阶常微分方程二阶常微分方程是指导数的最高阶数为二的微分方程。
常见的二阶微分方程形式包括线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和欧拉方程等。
10.线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的齐次方程。
线性常系数齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
11.线性常系数非齐次方程线性常系数非齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的非齐次方程。
通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到线性常系数非齐次方程的通解。
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念什么是常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是描述自变量只有一个的函数的微分方程。
通常表示为形如dy/dx = f(x, y)的方程，其中y是未知函数，x是自变量，dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程主要用于描述变量之间的关系和变化规律。
常微分方程的分类常微分方程可以根据其阶数、线性性质和特殊形式进行分类。
阶数根据常微分方程中导数的阶数，可以将其分为一阶常微分方程、二阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程一阶常微分方程具有形式dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解包含一个任意常数。
二阶常微分方程二阶常微分方程具有形式d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中f(x, y, dy/dx)是已知函数。
二阶常微分方程的解包含两个任意常数。
线性和非线性根据常微分方程中的未知函数和导数之间的线性关系，常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程。
线性常微分方程线性常微分方程具有形式aₙ(x) * dⁿy/dxⁿ + aₙ₋₁(x) * dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + … + a₁(x) * dy/dx + a₀(x) * y = f(x)，其中aₙ(x)到a₀(x)是已知函数，f(x)是已知函数。
非线性常微分方程非线性常微分方程中的未知函数和导数之间的关系是非线性的，不能表示为线性的组合。
特殊形式常微分方程可以根据其特殊形式进行分类，包括可分离变量形式、齐次形式、恰当形式等。
常微分方程的解法常微分方程的解法包括解析解和数值解。
解析解解析解是指可以用一种或多种已知的函数表达式表示出来的解。
常微分方程的解析解的求解过程可以使用分离变量法、线性常系数齐次方程解法、变量替换法等。
数值解数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
常微分方程的基本概念ppt课件
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2
m
d
dt
g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
gt C1,
再积一次分得：S
1 2
gt2
C1t
C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
常微分方程(zeng) (1)
2
(x
7
1) 2
C(x
1) 2
3
3
§2.4 可化为一阶线性方程---伯努利方程
n阶伯努利方程： dy P(x) y Q(x) yn (n 0,1) dx
方程两边除以y n：
1 yn
dy dx
P(x)
1 y n1
Q(x)
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn dy , 代入上式得
常微分方程： dy 3x2, dx
d2y dt 2 g
偏微分方程：
2u( x, t ) t 2
v2
2u( x, t ) x 2
定义： 微分方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。
§1 微分方程的基本概念
定义： 如果将某函数及其导数代入微分方程中，能使该方程为恒等式， 则称该函数为微分方程的解。
§1 微分方程的基本概念
性质： 微分方程通解中任意常数由初始条件确定。一阶微分方程的初始 条件为初始位置，二阶微分方程的初始条件包含初位置和初速度。
求微分方程满足相应初始条件的特解，这一问题称为微分方程的初值问题或柯西 问题。
一阶微分方程的初值问题可表示为
y' f (x, y)
y
| x x0
y0
二阶微分方程的初值问题可表示为
y'' f (x, y, y')
y |xx0 y0
y'|xx0 y1
§1 微分方程的基本概念
例3.
说明函数x
C1ekt
C
2ekt是微分方程
d2x dt 2
k
2x
0的通解。
证：
dx dt
kC1ekx
kC2ekt
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。
在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。
本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。
一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。
一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。
常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。
显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。
常微分方程的解集通常具有唯一性。
其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。
在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。
二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。
具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。
1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。
首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。
2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。
特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。
特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。
3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。
特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
常微分方程-基本概念
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
(3) mv(t) = mg - kv(t)；
2019/11/21
3
(4) y 1 1 y2 ; a
(5)
d2q
dt 2
g sinq
l
0
(g, l 为常数).
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
1 dy f ( x)dx g( y)
的形式，使方程各边都只含有一个变量.
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15
(2) 两边积分
两边同时积分，得
左边
1 dy, g( y)
故方程通解为
右边 f (x)dx.
1 dy g( y)
f
( x)dx
C.
我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示 被积函数的一个原函数， 而把积分所带来的任意常 数明确地写上.
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10
例 4 已知直角坐标系中的一条曲线通过点
(1, 2)，且在该曲线上任一点 P(x, y) 处的切线斜率
等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.
解 设所求曲线的方程为 y = y(x)，根据导数的
几何意义及本题所给出的条件， 得
y = y2，
即
dx dy
1 y2
,
积分得
x 1 C.
即 ( 1 1 )dy kadx. ya y
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22
两边积分，得 ln y a kax lnC. y
经整理，得方程的通解为
常微分方程
阶 微 程 初 条 为 一 常 方 的 始 件 y(x0 ) = y0 ,其 x0 ， 中
y0 是 个 知 . 两 已 数
y + xln x 的通解. 例1 的通解. x 1 解 原方程变形为 y′ − y = ln x x 此方程为一阶线性非齐次方程. 此方程为一阶线性非齐次方程.
求方程 y′ =
(1)
首先对(1)式所对应的齐次方程求解 首先对(1)式所对应的齐次方程求解 (1) 1 y′ − y = 0 x dy dx = 方程(2) (2)分离变量得 方程(2)分离变量得 y x
（3）计算上述不定积分，得通解. 计算上述不定积分，得通解. 不定积分
2 通 ． 例 求y'+xy = 0的 解
dy 解 方 变 为 程 形 = −xy, dx
分 变 得 离 量
dy = −xdx ( y ≠ 0 ) , y dy ∫ y = −∫ xdx,
边 分 两 积 得 积 得 求 分
1 2 ln | y |= − x +C , 1 2
第八章 常微分方程
第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法 第二节 一阶线性微分方程与可降 阶的高阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程
第一节 常微分方程的基本概念与 分离变量法
一、微分方程的基本概念 二、分离变量法
第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法
一、微分方程的基本概念
分 程 含 未 函 的 数 或 分 的 程 为 微 方 ： 有 知 数 导 （ 微 ） 方 称 微 分 程 特 当 分 程 所 的 知 数 一 函 时 这 方 ． 别 微 方 中 含 未 函 是 元 数 ， 时 微 方 就 为常微分方程． 的 分 程 称 常微分方程．
常微分方程课件
常微分方程课件常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在物理、生物、经济等领域中，常微分方程都有着广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程只涉及到一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到高阶导数。
二、解的存在唯一性对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，解的存在唯一性定理告诉我们，在一定条件下，该方程存在唯一的解。
这一定理的证明通常基于柯西-利普希茨定理，该定理表明如果f(x, y)在某个区域内连续且满足利普希茨条件，那么解是存在且唯一的。
三、常见的解法方法1. 可分离变量法：当方程可以写成dy/dx = g(x)h(y)的形式时，我们可以通过分离变量的方式将方程化简成两个可积分的方程，然后分别对x和y进行积分得到解。
2. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程可以通过积分因子法求解。
通过找到一个合适的积分因子，将方程变换为(d(xy)/dx) = r(x)，然后对两边进行积分得到解。
3. 齐次方程：对于形如dy/dx = f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量替换y =vx将方程转化为可分离变量的形式，然后进行积分得到解。
4. 变量代换法：当方程形式复杂或者无法直接求解时，我们可以通过适当的变量代换将方程化简为更简单的形式，然后再进行求解。
四、应用举例常微分方程在各个领域都有着广泛的应用。
以生物学为例，常微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减规律，从而帮助我们研究生物种群的动态变化。
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济模型中的供需关系、市场价格等因素的变化规律，从而帮助我们预测和分析经济现象。
第一节常微分方程的基本概念
思考题
函数 y 3e2x 是微分方程y 4 y 0
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2x , y 4 y 12e2x 4 3e2x 0, y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
练习题
一、填空题:
1、 xy 2 y x 2 y 0是______阶微分方程；
四、已知函数 y ae x be x x 1,其中a , b 为任意常 数,试求函数所满足的微分方程 .
练习题答案
一、1、3； 2、2；二、C11, Nhomakorabea22
.
三、 yy 2x 0.
四、 y y 1 x .
3、1；
4、2.
例 y y, 通解 y ce x; y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0;
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3
y
2z,
dz
2
y
z,
dx
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数, F( x,( x),( x),,(n)( x)) 0. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独 立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
常微分方程的基本概念
常微分方程的基本概念
一、 常微分方程的概念
① 微分方程的概念：凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。
② 常微分方程的概念：未知函数是一元函数的，
叫做常微分方程。
③ 微分方程阶的概念：微分方程中多出现的未知函数的最高阶导数即是微分方程的阶。
一般地，n 阶微分方程的形式是:
()(...)0n F x y y y y ′′′⋅⋅⋅=
其中F 是n+2个变量的函数，且是必须出现的，而小于n 阶导数的变量不一定要出现。
()n y
④ 微分方程的解：在解决实际问题中，往往建立的微分方程，然后找出满足微分方程的函数（解微分方程），找出的这样的函数带入微分方程，使该微分方程成为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。
⑤ 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与方程的阶数相同，则这样的解叫做微分方程的通解。
⑥ 微分方程的初始条件：设微分方程中的未知函数为()y y x =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：
00
y y x x == 00y y x x ′
′== 其中，，都是给定的值，上述这种条件称为微分方程的初始条件。
0x 0y 0
y ′⑦ 微分方程的特解：确定了通解中的任意常数后，得到微分方程
的特解。
二、 线性的概念：
未知函数和各阶导数只出现一次·。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理常微分方程是微分方程的一种，是研究一个独立变量和一个或多个其导数（常见的是一阶或二阶导数）之间关系的方程。
常微分方程在物理、工程、生物学等领域起着重要作用，广泛应用于实际问题的建模和求解过程中。
1.常微分方程的基本定义常微分方程是指未知函数及其导数之间的一个或多个方程。
它可以是一个方程或一组方程，通常描述了函数值与其导数之间的关系，而不涉及到偏导数。
常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程等多种类型。
2.常微分方程的阶数常微分方程的阶数是指方程中导数的最高阶数。
常见的常微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。
一阶常微分方程形式为dy/dx = f(x, y)，二阶常微分方程形式为d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)。
3.常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定一定条件下求解微分方程的解的过程。
它通常通过确定未知函数在其中一点的值以及其导数在该点的值来确定微分方程的解。
求解初值问题需要借助于初值条件和积分常数等概念。
4.常微分方程的解法常微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、特征方程法、变量代换法等。
这些方法能够将微分方程转化为容易求解的形式，从而得到微分方程的解析解。
5.常微分方程的数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，通过数值逼近的方式得到微分方程的近似解。
6.常微分方程的应用常微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和分析过程中。
例如，牛顿第二定律、振动系统、生物种群动力学等问题都可以用常微分方程来描述和求解。
7.常见的常微分方程问题常见的常微分方程问题包括一阶线性微分方程、二阶线性微分方程、常系数微分方程、非齐次微分方程等。
这些问题在实际应用中经常遇到，求解这些问题需要掌握基本的微分方程理论和方法。
总的来说，常微分方程是微分方程理论中的一个重要分支，它研究了函数与导数之间的关系，并在实际问题的建模和求解中发挥着关键作用。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)。
2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。
3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。
4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。
二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。
- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。
- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。
- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。
2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。
- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。
三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。
2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。
3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。
4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。
5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。
常微分方程基本概念
目录
• 常微分方程的定义与分类 • 常微分方程的解法 • 常微分方程的应用 • 常微分方程的数值解法 • 常微分方程的稳定性 • 常微分方程的近似解法
01 常微分方程的定义与分类
定义
定义1
常微分方程是包含一个或多个未知函数的导 数的方程。
定义2
常微分方程是描述一个或多个未知函数随时间变化 的数学模型。
非线性系统的稳定性
01
非线性系统的稳定性是指系统在受到扰动后，能否 保持在一定的平衡状态。
02
非线性系统的稳定性可以通过分析系统的动态行为 来判断。
03
非线性系统的稳定性判据包括：局部稳定性和全局 稳定性。
稳定性判据
劳斯-霍尔维茨判据
用于判断线性时不变系统的稳定性，通过 计算系统的极点和零点来确定系统的稳定
参数法适用于一些难以直接求解的常微分 方程，通过引入参数，对方程进行变形， 使其转化为可求解的形式。这种方法在求 解某些特殊类型的常微分方程时非常有效 。
积分因子法
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常微分方程的方法。
详细描述
积分因子法适用于具有特定形式的常微分方程，通过引入积分因子，将原方程转化为易于求解的形式。这种方法 在求解某些特殊类型的常微分方程时非常有效。
牛顿第二定律
01
描述物体运动规律时，常使用常微分方程来表达加速度与力和
质量的关系。
波动方程
02
在研究波动现象，如声波、光波和水波时，常微分方程用来描
述波的传播规律。
热传导方程
03
在研究热量传递和扩散时，热传导方程用来描述温度随时间和
空间的变化规律。
生物问题
种群动态
常微分方程基础概念
常微分方程基础概念常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中研究函数和它的导数之间关系的重要分支。
常微分方程具有广泛的应用，可以用于描述动力学系统、物理问题、生物学过程等领域。
本文将介绍常微分方程的基础概念，帮助读者了解其基本定义、分类和解的求解方法。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述一个未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
在这个方程中，y的导数dy/dx 是未知函数y的变化率，f(x, y)则给出了此变化率的具体表达。
二、常微分方程的分类常微分方程可以根据方程中未知函数、自变量和导数的阶数进行分类。
常见的分类如下：1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数为一阶导数的方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数大于一阶导数的方程。
高阶常微分方程的一般形式为：d^n y / dx^n = f(x, y, dy/dx, d^2y/dx^2, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))其中，d^n y / dx^n 表示y的n阶导数。
三、常微分方程的解的求解方法常微分方程的求解是指找到满足方程的未知函数y的表达式。
常微分方程的求解方法有多种，常见的几种方法如下：1. 分离变量法分离变量法是指将常微分方程的变量分离到等式两侧，并分别积分求解。
常用于求解可以写成dy/dx = g(x)h(y)的一阶常微分方程。
2. 变量代换法变量代换法是指通过引入新的变量或通过代换将原方程转化为更简单的形式，然后进行求解。
常用于求解一些特殊形式的方程。
3. 齐次方程法齐次方程法是指通过引入新的变量将非齐次方程转化为齐次方程，然后进行求解。
常用于求解一阶线性常微分方程。
常微分方程概念
常微分方程§1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.一、引例例1 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上任一点(x,y)M 处的切线斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为(x)y y =. 根据导数的几何意义, 可知未知函数(x)y y =应满足关系式(称为微分方程)d 2d yx x=. (1) 此外, 曲线(x)y y =过点(1,2), 即满足: 12x y==. (2)把(1)式分离为d 2d y x x =, 两端积分, 得(称为微分方程的通解)2d y x x =⎰, 即2y x C =+, (3)其中C 是任意常数. 由于曲线过点(1,2), 把条件(2)代入(3)式, 得1C =. 因此, 所求曲线方程(称为微分方程满足条件12x y==的解):21y x =+. (4) 例2 设本金(出初始货币额)为0A , 连续复利率为r , 试求t 年后的本利和. 解 设()A t 表示在时间t 的本利和, 则当时间从t 变化到t t +∆(t ∆为微小改变量)时, 本利和的改变量为()()()A A t t A t r A t t ∆=+∆-≈⋅⋅∆将上式两边都除以(0)t t ∆∆≠, 并令0t ∆→, 取极限(若()A t 可导), 就得到关系式d ()()d A t r A t t=⋅ (5) 且()A t 满足条件0()t A t A == (6)把(5)式分离为d d Ar t A=, 得 1ln A rt C =+, 即 11()rt c C rt rt A t e e e Ce +=== (7)把(6)式代入(7)式, 得0C A =. 于是, 本金0A 在连续复利t 年后的本利和为0()rt A t A e =. (8)二、微分方程的一般概念定义 1.1 凡是表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变量之间关系的方程, 称为微分方程. 若未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 若未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.注意 在一个微分方程中, 自变量和未知函数可以不出现, 但未知函数的导数(或微分)必须出现, 否则, 就不是微分方程. 本章我们主要讨论常微分方程.上述两个例题中的关系式(1)与(5), 均是常微分方程. 而22u ut x ∂∂=∂∂与2222102v v v s rs rv t s sσ∂∂∂++-=∂∂∂都是偏微分方程. 定义 1.2 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶.例如(1)式与(5)式是一阶微分方程, 又如0y y x ''++=是二阶微分方程;(4)410125sin2y y y y y x ''''-+-+=是四阶微分方程. 一般地, n 阶微分方程可表示为:(n)(,,,,,)0F x y y y y '''= . (9)在(9)式中一定要含有()n y , 其中y 是关于x 的函数()y y x =. y (n)=f(x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .定义 1.3 设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数, (9)式为微分方程, 若在区间I 上有,()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ'≡ ,则称函数()y x ϕ=是微分方程(9)在区间I 上的解. 例如, (3)式、(4)式都是方程(1)的解定义 1.4 若微分方程的解中含有任意常数, 且所含独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 责成此解为微分方程的通解. 例如, (3)式、(7)式分别是微分方程(1)、(5)的通解.由于微分方程通解中含有任意常数, 要完全确定地反映某一事物客观变化规律, 就必须确定这些常数. 为此要根据问题的实际情况, 给出确定这些常数的条件, 这种用于确定通解中任意常数的条件, 称为微分方程的初始条件. 如(6)式就是方程(5)的初始条件.通常, 一阶微分方程用来确定任意常数的条件是:00y y x x ==,二阶微分方程用来确定任意常数的条件是:00y y x x ==, 00y y x x '='=. n 阶微分方程用来确定任意常数的条件是:(1)(1)000,,,n n x x x x x x yy y y y y --===''=== .微分方程满足一定条件, 相应的初始条件问题称为处置问题. 一般形式为:00()(1)(1)000(,,,,,)0,,,n n n x x x x x x F x y y y y y y y y y y --==='''⎧=⎪⎨''===⎪⎩ 定义 1.5 确定了通解中的任意常数以后得到的解称为微分方程的特解. 即不含任意常数的解.微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线, 微分方程的通解是以任意常数为参数的一簇积分曲线, 称为积分曲线簇.例3 验证函数12cos sin x C kt C kt =+是微分方程0222=+x k dtxd 的解. 其中1C ,2C 是任意常数.解 求所给函数的导数, 得ktkC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )s i n c o s (s i n c o s 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dtx d +-=--=. 将22dtxd 及x 的表达式代入所给方程, 得 221212(cos sin )(cos sin )0k C kt C kt k C kt C kt -+++≡.这表明函数12cos sin x C kt C kt =+满足方程0222=+x k dtxd , 因此所给函数是所给方程的解.例4 已知函数12cos sin (0)x C kt C kt k =+≠是微分方程0222=+x k dtxd 的通解,求满足初始条件0,0t t x A x =='==的特解.解 由条件0t x A ==及12cos sin x C kt C kt =+, 得1C A =,再由条件00t x ='=及12()cos sin x t kC kt kC kt '=-+, 得20C =.把1C ,2C 的值代入12cos sin x C kt C kt =+中, 得=. x A ktcos。
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第十三章 常微分方程简介本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。
微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。
因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。
由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。
那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。
本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。
§1 常微分方程的基本概念像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。
1.1 两个实例例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。
解 平面上的曲线可由一元函数来表示设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dxdy2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。
另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。
从而得到 12(1.1)|2(1.2)xdyx dxy ，。
为了解出)(x f y =，我们只要将(1.1)的两端积分，得⎰+=+==C x C x xdx y 22222，我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程(1.1)。
再由条件(1.2)，将2|1==x y 代入C x y +=2，即C +=2121=⇒C 。
故所求曲线的方程为12+=x y 。
再看一个例子：例1.2 设质点以匀加速度a 作直线运动，且0=t 时0,0v v s ==。
求质点运 动的位移与时间t 的关系。
解 这是一个物理上的运动问题。
设质点运动的位移与时间的关系为)(t s s =。
则由二阶导数的物理意义，知a td s d =22，这是一个含有二阶导数的方程。
再由题意00|0|t ts vv ，因此，)(t S S =应满足问题22000 (1.3)|0|(1.4)t t d s a dt s v v ，，。
要解这个问题，我们可以将(1.3)两边连续积分两次，即1C at dtds+=， (1.5) ⎰⎰++=21C dt C tdt a s ，即 2122C t C t a s ++=， (1.6) 其中21,C C 为任意常数。
由条件(1.4)，因为0|0==t s ，代入(1.6)，得02=C ；再由00|v v t ==，代入(1.5)，得01v C =。
故得 t v t a s 022+= 为所求。
下面我们将通过分析这两个具体的例子，给出微分方程的一些基本概念。
1.2 微分方程的基本概念总结所给出的两个具体的例子，我们看到：(1) 例1.1的)1(式和例1.2 的)1(式都是含有未知函数的导数的等式（例1含一阶导数，例2含二阶导数）；(2) 通过积分可以解出满足这等式的函数；(3) 所求函数除满足等式外，还满足约束条件（例1中的)2(式和例2 中的)2(式）（初始条件：例1有一个初始条件，例2有两个初始条件）。
由此，我们得到如下的概念。
1 微分方程的概念定义1.1 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。
注 (1) 方程中强调含有未知函数的导数。
因此，它是反映未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程在微分方程中未知函数几自变量可以不单独出现，但必须出现未知函数的导数。
(2) 微分方程中的自变量由问题而定。
如x dx dy 2=的自变量是x ，2at dtds=的自变量是t ，y x dydx+=的自变量是y 。
(3) 微分方程中只含一个自变量的叫常微分方程。
例如，2233x y x y x y x ='+''+'''是常微分方程；x xe y =不是微分方程；022222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u 是偏微分方程（本章不研究）。
2 微分方程的阶定义1.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。
例如，x dxdy2=是一阶微分方程； a dt sd =22是二阶微分方程； 2233x y x y x y x ='+''+'''是三阶微分方程； n x y ='是一阶微分方程；一般地，0),,(='y y x F 是一阶微分方程的一般形式是0),,,,()(='n y y y x F ， (1.7)其中F 是个2+n 变量的函数。
这里必须指出，在方程(1.7)中，)(n y 是必须出现的，而)1(,,,,-'n y y y x 等变量则可以不出现。
例如n 阶微分方程01)(=+n y中，除)(n y 外，其他变量都没有出现。
如果能从方程(1.7)中解出最高阶导数，得微分方程()(1)(,,,,)n n y f x y y y 。
(1.8)以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且(1.8)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续。
3 微分方程的解定义1.3 如果把某函数)(x y ϕ=代入微分方程，能使方程成为恒等式，那么称此函数为微分方程的解。
确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，[,(),(),,()]0nF x x x x ，那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程(1.7)在区间I 上的解。
例如 ① C x y +=2是x dx dy2=的解； ② 12+=x y 也是x dxdy2=的解；③ 2122C t C t a s ++=是2at dt ds=的解；④ t v at s 022+=也是2at dtds=的解。
定义1.4(通解、特解) 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
确定了通解中任意常数，就得到了微分方程的特解。
如 ①，③是通解。
②，④是特解。
注 (1) 微分方程的解有三种形式：显式解 )(x f y =或)(y g x =；隐式解由方程0),(=y x ϕ确定的函数关系（通积分）；参数方程形式的解()()xt y t 。
(2) 微分方程的通解：是指含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同的解。
(3) 微分方程的通解也不一定能包含它的一切解。
如0122=-+'y y 的通解为)sin(C x y +=，但1±=y 也是微分方程的解，但它不包含在通解中，因为无论C 取何值都得不到1±=y 。
4 微分方程的初始条件在例1.1中，当1=x 时2=y ，通常记为2|1==x y 或2)1(=f ； 在例1.2中，当0=t 时0=s 即0|0==t s ，当0=t 时0v dtds=即00|v s t ='= 这些用来确定任意常数的条件为初始条件。
一般来说，一阶微分方程0),,(='y y x F 有一个初始条件00|y y x x ==； 二阶微分方程0),,,(='''y y y x F 有两个初始条件00|y y x x ==与10|y y x x ='=； …………n 二阶微分方程0),,,,()(='n y y y x F 有n 个初始条件。
5 初值问题求微分方程满足初始条件的特解，称为初值问题。
如例1.1中的⑴、⑵；例1.2中的⑴、⑵。
一般一阶微分方程的初值问题记作00(,,)0|x x F x y y y y ； (1.9)二阶微分方程的初值问题记作0001(,,,)0||x x xx F x y y y y y yy 。
(1.10)6 微分方程解的几何意义常微分方程的特解的图形为一条曲线，叫做微分方程的积分曲线； 微分方程的通解的图形是以C 为参数的曲线族，且同一自变量x 对应的曲线上的点处处切线的斜率相同。
初值问题(1.9)的解的几何意义是微分方程通过点),(00y x 的那条积分曲线。
初值问题(1.10)的解的几何意义是微分方程通过点),(00y x 且在该点的斜率为1y 的那条积分曲线。
例1.3 验证：函数kt C kt C x sin cos 21+= (1.11)是微分方程0222=+x k dtxd (1.12) 的解。
解 求出所给函数(1.10)的导数,cos sin 21kt kC kt kC dtdx+-= (1.13))sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dtx d +-=--= 把 22dtxd 及 x 的表达式代入方程(1.11)得)sin cos (212kt C kt C k +-+)sin cos (212kt C kt C k +0≡函数(1.10)及其导数代入方程(1.11)后成为一个恒等式，因此函数(1.10)是微分方程(1.11)的解。
例1.4 已知函数(1.10)当 0k ≠ 时是微分方程(1.11)的通解，求满足初始条件00|,0t t dxx A dt ==== 的特解。
解 将条件“0t = 时，x A =”代入(1.10)式得1C A =。
将条件“0t = 时，0dxdt=”代入(1.12)式，得 20C =。
把12,C C 的值代入(1.10)式，就得所求的特解为cos x A kt =。
练习13.11．选择题：（1）微分方程222e x d y dyy dx dx++=是____________。
（A ）齐次的； （B ）线性的； （C ）常系数的； （D ）二阶的。
（2）微分方程220d yy dx+=的通解是______________。
（A ）sin y A x =； （B ）cos y B x =； （C ）sin cos y x B x =+； （D ）sin cos y A x B x =+。
（3）下列方程中是一阶微分方程的有___________。
（A ）2()20x y yy x ''-+=； （B ）2457()5()0y y y x '''+-+= （C ）2222()()0x y dx x y dy -++=； （D ）0xy y y '''++=。
（4）下列等式中是微分方程的有___________。
（A ）()u v uv uv '''+=； （B ）e sin x y x '=+；（C ）(e )e x xdy d y dx dx++=； （D ）340y y y '''++=。