波动率模型在中国股市中的应用研究

的评价 为比较两种模型对我国股市波动性预测的优劣 ， 结合上
证指数序列预留的 50 个数据 ， 运用递推估计法得到多个一 步 预 测 结 果 ， 我 们 采 用 MAE (Mean Absolute Error), RMSE
(Root Mean Squared Error) 以及 R2LN (对数损失函数误差 )
动 聚 类 的 特 点 ，即 大 的 波 动 后 面 跟 着 大 的 波 动 ，小 的 波 动 后
以及杠杆效应 ， 通过比较不同的模型发现非对称模型的拟合 效 果 最 为 理 想 ； 另 外 通 过 采 用 三 种 不 同 的损失函数评价各类模型的预测效果 ， 结果表明 ， 非对称模型样本外预测的能力也是最强的 。 关键词 ：GARCH; 波动率 ； 杠杆效应 ； 预测 中图分类号 ：F830.91 文献标识码 ：A 文章编号 ：1002－6487 （2010 ）12－0168-03 确 ，存 在 较 大 误 差 ；二 是 对 参 数 的 约 束 ，当 参 数 过 多 时 ，用 实 际 数 据 计 算 出 的 模 型 往 往 不 能 满 足 这 一 要 求 。 Bollerslev 于
MAE= 1 m
t = 1
赞 -σ | Σ| σ
t m 2 t
2
RMSE=( 1 m R2LN=( 1 n
t = 1 m
赞 -σ ) ) Σ(σ
t 2 t 2 t
2
2 1/2
t = 1
赞 -σ ) ) Σ1n(σ
2 1/2
从以上估计结果可以看出 ， 虽然各种模型的差别并不明 显 ， 但非对称模 型 的 估 计 效 果 略 优 于 普 通 的 GARCH 模 型 ， 因为非对称模型能反映信息不对称的杠杆效应 ， 而沪深指数 收益序列确实存在杠杆效应 ， 所以预测结果相对理想 。
上证 深证 表1
3
结论
两收益率序列的描述统计结果
均值
标准差
偏度
0.0382 0.0381
1.36 1.47
0.611 0.594
J-B 统计量 2083.928 (0.00000） 7.701 1647.884 (0.00000） 8.314
峰度
Q(10) 7.465 (0.681） 10.15 (0.427)
DOI:10.13546/ki.tjyjc.2010.12.056
知 识 丛 林
波动率模型在中国股市中的应用研究
徐立霞
( 南京财经大学 经济学院 ， 南京 210046)
摘 要 ： 文章对上证综合指数收益率和深证成分指数收益率进行统计分析 ， 运用 GARCH,E-
GARCH,TARCH 模 型 对 其 进 行 建 模 ， 发 现 股 票 收 益 率 序 列 所 存 在 的 尖 峰 厚 尾 现 象 、 波 动 聚 类 特 性
中的条件方差被设定为 :
q 2 2 p 2 r 2 -
0 的根在单位圆之外 。 若 α0>0,αi≥0 ，i=1,2, …，q 成立 ， 以上条
n
件等价于
Σ.α <1。
i i = 1
ARCH 模型一经提出就由 于 它 突 破 了 传
σt =α0+Σαiεt-i +Σβjσt-i +Σγkεt-k It-i
知 识 丛 林
型虽然可以刻画信息的非对称性 ， 但参数仍然需要进行非负 性的约束 。
1.4
EGARCH 模型 EAGRCH 模型 ， 即指 数 GARCH 模 型 是 由 Nelson(1991)
提出 ， 其中的条件方差被定义为 ：
2 2 1n(σt )=α0+α1| εt-1 |+β1nσt-i +γ εt-1 σt-1 σt-1
Å Æ Å Æ Â Â Ã Ã Ä Ä Á Á Ç È Ä Å Æ Ç Ç È Å Ä Ç
(a) 上证指数收益序列 (b) 深证指数收益序列
图1 两股指收益序列
击所带来的影响 , 冲击曲线见图 3 。
三个模型 Q 统计量所对应的 p 值表明标准化后的残差
序列没有相关性 。 比较这三个模型的 AIC, SC, 残差 平 方 和 以 及 对 数 似 然 函 数 都 说 明 EGARCH 模 型 和 TARCH 模 型 要 有优越性， 即应该选择这类模型用于描述金融序列的波动 性。
波动性是金融市场最重要的特性。 它与市场的不确定 性 ，即 风 险 直 接 相 关 ，是 体 现 金 融 市 场 质 量 和 效 率 的 最 有 效 的 指 标 之 一 ；波 动 性 对 企 业 的 投 资 与 财 务 杠 杆 决 策 、消 费 者 的消费行为和模式 、 经济周期及相关宏观经济变量等都有重 要影响 。 此外波动性还是衍生证券定价中的一个关键参数 ， 很好的刻画和理解波动性具有重要的实际意义 。 因此 ， 波动 性的估计和预测一直是金融经济学研究的热点 。
i = 1 i = 1 k = 1
(3)
统模型并更好的与实践相结合 ， 而显示出强大的生命力 ， 并 成为计量经济学研究方差的主要手段 。 此模型不仅很好的刻 画了金融序列所呈现的 “ 聚类性 ”， 即大的波动之后是大的波 动 ，小 的 波 动 后 面 是 小 的 波 动 ；而 且 还 对 金 融 数 据 分 布 呈 现 的厚尾特点进行了刻画 。 作为一种 方 法 ，ARCH 模 型 存 在 一 些 缺 陷 ：一 是 当 条 件 方 差 与 较 早 时 期 的 方 差 关 系 较 大 ，即 q 较 大 时 ，参 数 估 计 不 再 准 确 ，因 此 计 算 出 的 条 件 方 差 也 不 精
多项式 ， 一般系数需满足如下 “ 非负 约 束 ”：α0>0 ；αi≥0,i=1,2 ， …，q 同时为保证 εt 为二阶平稳的 ， 要求算子多项式 1-α(L)=
2
1.3
TARCH 模型 TARCH 或者门限 ARCH （Threshold ARCH ） 模型是 Za-
koian （1994 ） 和 Glosten,Jagannathan,Runkle(1993) 提出的 ， 模型
为 2000 年 1 月 3 日到 2007 年 1 月 1 日共 1683 个数据 。 数 据来源于 “wind 系统 ”， 其 中 两 个 股 市 均 采 用 前 N－50 个 数 据 用于参数估计和模型拟合 ， 后 50 个数据用于模型预测能力 的比较 ， 其中 N 表示样本容量 。 两种股票价格指数都以连续 复利的形式转换为收益率序列 rt=100*1n (pt/pt-1)，pt 表示 t 时 刻的收盘价 。 两 股 市 的 收 益 率 序 列 见 图 1 ， 统 计 特 性 分 析 及 收益率序列和其平方的自相关结果见表 1 。 从 表 1 可 以 看 出 ，无 论 上 证 指 数 还 是 深 证 指 数 ，其 收 益 率 序 列 的 偏 度 显 著 异 于 零 ， 而 其 峰 度 系 数 也 远 大 于 3， 根 据
εt=ztσt zt~i.i.d.N(0,1)
n
σt =α0+Σαi<1.0εt-i =α0+α(L)εt
i = 1
2
2
2
(1)
ing ） 现象 ， 不能反映信息的非对称性 ， 即相同程度的正负冲击
所产生的波动效果不同 。
zt 是 服 从 标 准 正 态 的 独 立 同 分 布 扰 动 ，α (L) 是 滞 后 算 子
Q(25) 27.581 (0.327) 27.668 (0.323)
Q2(10) 69.996 (0.000) 91.609 (0.000)
Q2(25) 96.653 (0.000) 145.2 (0.000)
统计与决策 2010 年第 12 期 （ 总第 312 期 ）
169
知 识 丛 林
表2 上海股市日收益率的建模估计结果
q 2 2 p 2 2 2
1 1.1
模型与方法 ARCH 模型
即 自 回 归 条 件 异 方 差 模 型 ， 最 早 由 Engle 于 1982 年 提
σt =α0+Σαiεt-i +Σβjσt-i =α0+α(L)εt +β(L)σt
i = 1 i = 1 q p i j
(2)
其中 ：α0>0 ，αi≥0 ，βj≥0,
r 是门限个数 ， 实际中常采用 1 个门限的情形 ， 即模型常
见形式为
2 2 2 2 -
σt =α0+α1εt-i +β1σt-i +γkεt-k It-i
-
(4)
其中 It-1 是一个虚拟变量 ， 当 εt-1 <0 时 ，It-1 =1 ， 否 则 ，It-1 =
0 ， 当 γ≠0 时 ， 信 息 时 不 对 称 的 ； 当 γ>0 时 ， 相 同 程 度 的 负 的
ARCH 族模型对序列进行拟合 。 2.2
模型估计结果 对上证指数收益率序列的波动方程分别建立具有高斯 误差的 GARCH ，TARCH, EGARCH 三个模型 ， 测算所得 的结果见表 2 ， 估 计 结 果 表 明 ， 所 有 模 型 的 系 数 都 是 显 著 的 ， 并且 ， 对 于 非 对 称 模 型 TARCH, EGARCH 模 型 来 说 ， 其非对称项的系数 0.0698(>0), -0.047656(<0) 都说明正负 冲击所带来的不对称 。 这意味着我国股票市场存在杠杆 效应 ， 即负的冲击产生的影响要大于同等大小的正的冲
1986 年对 ARCH 模型进行推广 ， 提出 了 广 义 自 回 归 条 件 异
方差模型 ， 简称 GARCH 模型 。
1.2
GARCH 模型 GARCH 模型是 在 条 件 方 差 的 方 程 加 上 了 滞 后 项 , 能 体
现更为 灵 活 的 滞 后 结 构 ，GARCH （p ，q ） 模 型 的 方 差 方 程 定 义 为：