2016年湖南省中考数学压轴题汇编

1．【2016•长沙市中考压轴题（第25题）】若抛物线L ：2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且0abc ≠）与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与抛物线L 具有“一带一路”关系，此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线” ．

（1）若直线1y mx =+与抛物线22y x x n =-+具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；

（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数6y x

=的图象上，它的“带线” l 的解析式为24y x =-，求此“路线”L 的解析式；

（3）当常数k 满足122

k ≤≤时，求抛物线22(321)y ax k k x k =+-++的“带线” l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．

2．【2016•长沙市中考压轴题（第26题）】如图，直线:1l y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ=135°．

（1）求△AOQ 的周长；

（2）设AQ 0t =>，试用含t 的式子表示点P 的坐标；

（3）当动点PQ 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记tan ∠AOQ=m ．若过点A 的二次函数2y ax bx c =++同时满足以下两个条件：

①6320a b c ++=②当2m x m ≤≤+时，函数的最大值等于

2m

．求二次项系数a 的值．

3．【2016•株洲市中考压轴题（第25题）】已知AB 是半径为1的圆O 的直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形．

（1）求证：△DFB 是等腰三角形；

（2）若7AF ，求证：CF ⊥AB ．

4．【2016•株洲市中考压轴题（第26题）】如图，已知二次函数22(21)(0)y x k x k k k =-+++>．

（1）当12

k =时，求这个二次函数的顶点坐标； （2）求证：关于x 的二次方程22(21)0(0)x k x k k k -+++=>有两个不相等的实数根；

（3）如图，该二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：

222111QA AB AQ

+=．

5．【2016•湘潭市中考压轴题（第25题）】如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交BC，CD于点E，F．

（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

（2）知识探究：

①如图乙，当顶点G运动到AC中点，探究线段

EC，CF与BC的数量关系；

②在顶点G运动的过程中，AC

t

CG

=，请直接写

出线段EC，CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：

如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=5

6

，当2

t>时，求EC的长度．

图甲图乙图丙

6．【2016•湘潭市中考压轴题（第26题）】如图，抛物线214

y x mx n =-++的图象经过点A(2，3)，对称轴为1x =，一次函数y kx b =+的图象经过点A ，交x 轴于点P ，交抛物线于另一点B ，点AB 位于点P 的同侧．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PA ：PB=3：1，求一次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，当0k >时，抛物线的对称轴上是否存在点C 使得☉C 同时与x 轴和直线AP 都相切，如果存在，请求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由．

7．【2016•常德市中考压轴题（第25题）】已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，

过点作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．（1）如图（1），当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BE=EF；

（2）如图（2），当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．

8．【2016•常德市中考压轴题（第26题）】如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y轴交于C(0，2)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；

（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E 的坐标．

9．【2016•益阳市中考压轴题（第21题）】如图，顶点为A31）的抛物线经过坐标

原点，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点C，求证：△OCD≌△OAB；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

10．【2016•益阳市中考压轴题（第22题）】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（举行的四个顶点均在的边上）．

（1）计算矩形EFGH的面积；

（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动，在平移过程中，当矩形

与△CBD重叠部分的面积为

3

16

时，求矩形平移的距离；

（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕点G1按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．