三角形的周长和面积平分线
三角形的面积公式怎么算
三角形的面积公式：S=ah/2。
公式描述：公式中a为三角形的底，h为底所对应的高。
各图形面积公式
1、长方形的周长=（长+宽）×2；C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4；C=4a
3、长方形的面积=长×宽；S=ab
4、正方形的面积=边长×边长；S=a.a=；a
5、三角形的面积=底×高÷2；S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高；S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2；s=（a＋b）h÷2
三角形四线
中线
连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线。
高
从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
角平分线
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
中位线
三角形的三边中任意两边中点的连线叫中位线。
它平行于第三边且等于第三边的一半。
1。
专题1.2 三角形的周长与面积(压轴题专项讲练)(浙教版)(原卷版)
专题1.2 三角形的周长与面积【典例1】课题学习：三角形的中线在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己作的图形“△ABC边BC边上的中线AD…”时，发现：线段AD不仅平分△ABC的边BC，还平分△ABC的面积．（一）探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作BC边上的高AE，则：S△ADB=12DB⋅AE…所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积．请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整．（二）运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题：（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，△ABC的面积为40，BD＝5，求△ABE的面积和点E到BC的距离．（2）如图3，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案．（一）如图1中，过点A作AE⊥BC于E．利用三角形面积公式证明即可．（二）（1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用（一）中结论解决问题即可．（2）利用三角形中线的性质画出图形即可（答案不唯一）．解：（一）探究与发现：如图1中，过点A作AE⊥BC于E．∵AD是△ABC边BC边上的中线∴DB=12BC，∴S △ABD =12•BD •AE =12•12•BC •AE =12•S △ABC ．（二）运用与实践：（1）如图2中，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABD =12S △ABC ；同理，S △BDE ＝S △ABE =12S △ABD ，∴S △BDE ＝S △ABE =14S △ABC =14×40＝10．∵S △BDE =12BD •EF ，所以12BD •EF =14S △ABC ．又△ABC 的面积为40，BD ＝5，∴EF ＝4，即E 到BC 的距离是4．（2）如图所示（取各边中点或中线的中点）．1．（2020秋•蠡县期中）在△ABC 中，AB ＝AC ，DB 为△ABC 的中线，且BD 将△ABC 周长分为12cm 与15cm 两部分，求三角形各边长．AC．2．（2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB=32（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？3．（2020秋•重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB 上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．（1）求线段AE的长．DE的值．（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+124．（2021春•麦积区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，点E是BC上一个动点（点E与B，C不重合），连AE，（1）若AE平分△ABC的周长，求BE的长；（2）是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分，若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．5．（2021秋•嘉祥县月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，（1）求CD的长；（2）若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积．6．（2021春•天心区期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．7．（2021春•重庆期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．8．（2020秋•魏县期中）如图（1），AD，AE分别是△ABC中BC边上的高和中线，已知AD＝5cm，EC＝2cm．（1）求△ABE和△AEC的面积；（2）通过做题，你能发现什么结论？请说明理由．（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：如图（2），CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，求△ABC的面积．9．（2021秋•赵县月考）在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．（1）如图1，若S△ABC＝1cm2，求△BEF的面积．（2）如图2，若S△BFC＝1cm2，则S△ABC＝ ．10．（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．（1）当t＝ 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？11．（2020•渝中区校级开学）如图，△ABC的面积为21平方厘米，DC＝3DB，AE＝ED，求阴影部分面积．12．如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积．（单位：厘米）13．（2020春•张家港市期末）如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．14．（2020春•丽水期末）如图，线段AB的长为5，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝2，DB＝1，点P为线段AB上的一个动点，连接CP，DP．（1）若AP＝a，请用含a的代数式表示BP；（2）当AP＝1时，求△ACP与△BPD的面积之比；（3）若C，D是同一平面内的两点，连接CD，若点P以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PCD的面积等于3．15．（2020春•汝阳县期末）如图，长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD的中点，动点P 从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x 为何值时，△APE的面积等于32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）16．（2021•西城区校级开学）如图所示，设四边形ABCD的面积为S1，四边形EFGH的面积为S2，其中E、F分别为AB边上的两个三等分点，G、H分别为CD边上的两个三等分点，请直接写出S1与S2的等量关系，并说明理由．17．（2020•浙江自主招生）如图，已知P是△ABC内任意一点，连接AP，BP，CP并延长交BC，CA，AB于D，E，F三点，令T=PDAD +PEBE+PFCF，猜测T的值，并证明．18．（2020春•姑苏区期中）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝ （用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，CDAC =14，CECB=13，求△ABC的面积．【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM=13AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为 ．19．（2020秋•婺城区校级期末）操作与探究探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA、若△ACD的面积为S1，则S1＝ （用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE、若△DEC的面积为S2，则S2＝ （用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的面积为S3，则S3＝ （用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．20．（2021•安徽模拟）S△OAB、S△OAD、S△OBC、S△OCD分别表示△OAB、△OAD、△OBC、△OCD的面积．（1）如图1，O为四边形ABCD对角线上任一点，请写出S△OAB、S△OAD、S△OBC、S△OCD之间存在的一种等时，S△OCD的值．式，并根据此等式关系，求出当S△OAB＝3，S△OAD＝6，S△OBC=32（2）如图2，O为BD上任一点，S△OAB、S△OAD、S△OBC、S△OCD是否还存在（1）中的等式关系？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．。
相似三角形的周长与面积4
求BC、AC、A`B` 、 A`C`的长。
A
A`
B
C
B`
C`
3、如图,在△ABC中,D是AB的中点，
DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
1:4 1:3
A
D
E
B
C
* 4、如图,在△ABC中,D、F是AB的三 等分点， DE∥FG ∥ BC，则: (1)S △ADE: S △AFG : S △ABC = 1:4:9 1:3:5 (2)S △ADE: S 梯形DFGE: S 梯形FBCG =
A D F B E G C
你会解决引入ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的问题了吗?
如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它 切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且 要使切割出的三角形与梯形的面积之比为 4：5，那么该怎么切割呢？
A
D
E C
B
导学阶段 1、启发设疑
A
C
〔教学过程〕导学阶段 2、研究讨论 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
AB BC CA k A`B` B`C ` C `A` AB BC CA k A`B` B`C ` C `A` AB k A`B`
A/
A
B C BC k B`C ` B/ CA k C `A` lABC AB BA CA kA`B`kB`C `kC`A` k lA`B`C ` A`B` B`C `C `A` A`B` B`C `C `A`
〔教学过程〕
准备阶段 2、明确目标
〔教学目标〕 1、知识技能： 理解并掌握相似三角形周长的比等于相 似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的 问题。 2、过程与方法：探索相似多边形周长的比等于相似比、 面积比等于相似比的平方，体验化归思想 3、情感态度与价值观：经历探索相似三角形性质的过 程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值 观，体验解决问题策略的多样性。
27.2.3 相似三角形的周长与面积(2)
5、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上， NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于 E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y 与x的关系式。
D B
E
C
*6、如图，△ABC,DE// FG// BC ，且△ADE的面积, 梯形FBCG的面积,梯形DFGE的面积均相等，则 △ADE与△ABC的 A
Байду номын сангаас
1: 3 相似比是_______；
△AFG与△ABC的
2: 3 相似比是_______.
F B
D
E G
C
7、△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE和△EFC的面积分别为4和9，求 △ABC的面积。
相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
5、如图,在△ABC中,D是AB的中点，
DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC = (2)S △ADE: S 梯形DBCE =
.
D C
F A B E
• 如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个 点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意 图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地 面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上 阴影部分的面积为多少？
三角形的面积公式与垂直平分线的关系
三角形的面积公式与垂直平分线的关系三角形是几何中最基础的形状之一，它的面积计算方式是我们学习数学时所熟悉的内容。
而垂直平分线是指从三角形的一个顶点向对边的中点引垂直线。
本文将探讨三角形的面积公式与垂直平分线的关系，并着重介绍该关系在实际应用中的运用。
一、三角形的面积公式三角形的面积公式是一个重要的数学定理，在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
三角形的面积公式可以使用不同的方法进行推导，最常见的两种方法是利用底边和高以及三个边长来计算。
1.1 底边和高对于任意三角形，其面积等于底边乘以高再除以2。
这个公式被称为“底边乘高除以2”的公式，可以简写为S = 0.5 * b * h，其中S表示三角形的面积，b表示底边的长度，h表示从底边到顶点的垂直高度。
1.2 三个边长另一种计算三角形面积的方法是使用三个边长来进行计算。
根据海伦公式，已知三角形的三个边长a、b、c，可以计算出半周长s（s = (a + b + c) / 2）。
然后，利用海伦公式，三角形的面积可以表示为S= √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
二、垂直平分线与三角形面积的关系垂直平分线是指从三角形的一个顶点向对边的中点引垂直线。
这条垂直线将三角形分成两个面积相等的三角形。
因此，根据垂直平分线的性质，我们可以得出以下结论。
2.1 相等高度如果从一个顶点向对边的中点引垂直线，那么这条垂直线与底边的长度相等。
这是因为垂直平分线将底边分为两段长度相等的线段，从而形成了两个等高的三角形。
2.2 相等面积根据三角形面积公式的推导过程，我们可以看出，三角形的面积与底边和高的乘积成正比。
因此，在三角形的底边相等的情况下，如果垂直平分线的长度相等，那么两个底边相等的三角形的面积也会相等。
2.3 实际应用垂直平分线与三角形的面积关系在实际应用中常常被使用。
例如，在建筑设计中，如果需要将一个大三角形划分为两个小三角形，可以通过引垂直平分线来确保两个小三角形的面积相等，从而达到平衡和美观的效果。
13.3.2：等边三角形(教案)
此外，关于等边三角形的周长和面积计算，大部分学生能够熟练运用公式进行计算，但在解决实际问题时，他们往往不知道如何将问题转化为等边三角形的计算模型。这说明学生们在数学建模方面还需要加强训练。在以后的教学中，我将更多地引入实际案例，让学生们学会将现实问题抽象为数学模型。
-等边三角形面积计算的灵活运用：学生对海伦公式以及内切圆与外接圆半径关系在面积计算中的应用可能存在困难。教师应通过具体例题和变式训练，让学生深入理解并熟练运用这些方法。
-解决实际问题时等边三角形的运用：将等边三角形应用于现实生活中的问题时，学生可能不知道如何入手。教师可以通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生学会将实际问题抽象为等边三角形的数学模型，并解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等边三角形的定义、性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，比如三条中线、高线、角平分线重合的性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等边三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用尺子和圆规绘制等边三角形，演示其基本原理。
-周长：三边长度之和
-面积：海伦公式、底乘高除以二、内切圆半径与外接圆半径的关系
4.等边三角形的应用实例
-几何图形拼接
-建筑设计
-艺术作品中的等边三角形元素
角平分线与面积的关系
角平分线与面积的关系一、角平分线的定义和性质角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的直线，也就是将一个角的两边平分的直线。
角平分线有以下性质：1. 角平分线将一个角分成两个大小相等的角。
2. 角平分线上的点到该角两边距离相等。
3. 角平分线上的点到该角顶点距离最短。
4. 以一条边为底，另一条边为斜边所成三角形中，以该边为底的高和斜边所在直线交点就是该三角形所对应的顶点所在直线（即该三角形内心所在直线）。
二、面积公式设三角形ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，则它的面积S可以用海伦公式求得：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p为半周长，即p = (a+b+c)/2。
三、证明假设在三角形ABC中，AD是BC上的高，AE是AB上的高，则有：S(△ABC) = 1/2 × BC × ADS(△ABC) = 1/2 × AB × AE由于AD=AE（因为D、E都在以B为圆心、BC为半径画圆得到圆弧DE），所以有：BC × AD = AB × AE即：BC/AB = AE/AD因为AE和AD都是角A的平分线，所以∠BAE=∠CAD，∠BAD=∠CAE，因此△ABE和△ACD是相似三角形。
所以有：AE/AB = CD/BC将上式代入BC/AB = AE/AD中，得到：CD/AD = BC/AD即CD=BC。
所以在三角形ABC中，角A的平分线通过顶点A将底边BC平分，即S(△ABC) = 1/2 × BC × AD = 1/2 × AB × AE。
因此，在一个三角形中，它的面积等于底边与顶点到底边距离的乘积除以2。
四、结论综上所述，在一个三角形中，它的面积等于底边与顶点到底边距离的乘积除以2。
而在一个三角形中，如果一条直线通过顶点将底边平分，则该直线就是该角的平分线。
因此，在一个三角形中，如果一条直线通过顶点将底边平分，则该直线同时也是这个三角形内心所在直线。
解三角形中线和角平分线处理方法
解三角形中线和角平分线处理方法三角形是初中数学中的重要内容，而其中线和角平分线则是解三角形的重要工具。
本文将介绍三角形中线和角平分线的定义、性质以及处理方法。
一、中线的定义和性质中线是三角形中连接一个角的顶点和对边中点的线段，它把三角形分成两个面积相等的小三角形，并且中线的交点称为三角形的重心。
中线的性质有：1. 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 重心到三角形三个顶点的距离相等，也就是说，重心到三角形三边的距离相等。
3. 重心到三角形三边的距离的平均值等于重心到三角形内心的距离。
4. 三角形的重心是三角形内接圆的圆心。
利用中线可以解决一些三角形的问题，比如求三角形面积、周长和角度等。
二、角平分线的定义和性质角平分线是一个角的两边上的一条线段，它将该角平分成两个大小相等的角。
有时也称为角的平分线。
角平分线的性质有：1. 角平分线分割的两个角大小相等。
2. 角平分线上的点到角的两边距离相等。
3. 角平分线上的点到角的顶点的距离等于角平分线长度的一半。
4. 点在角平分线上的条件是该点到角的两边距离相等。
利用角平分线可以解决一些三角形的问题，比如求三角形面积、周长和角度等。
三、解三角形中线和角平分线处理方法1. 利用中线求三角形面积当已知三角形的三边中线时，可以利用海伦公式求出三角形的面积。
海伦公式是指：设三角形的三边长分别为a、b、c，它们的半周长为s，则三角形的面积S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
2. 利用角平分线求三角形面积当已知三角形的一个角的两条角平分线和该角对应的另外两条边时，可以利用正弦定理求出三角形的面积。
正弦定理是指：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形三边的长度，A、B、C分别为三角形三个角的大小，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
3. 利用中线和角平分线求三角形周长当已知三角形的一个角的两条角平分线和该角对应的另外一条边的长度时，可以利用中线长度公式求出三角形的周长。
人教版数学九下27.2.3《相似三角形的周长与面积》课件(共33张PPT)
教材P57 . 13. 14.
形的
的周
周长
长和
和面
面积
积︼
︼
︻ 运用新知
︻相 思考题2 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、
相似
BC的中点，且S △DEC=3，则S △ABC的值是多少？
似三
三角
A
角形
形的
的周 周长
D
E
长和
和面 面积
B
C
积︼ ︼
︻ 运用新知
︻相 思考题1
相似 如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,ΔABC的周长
和面 比又有何关系呢？
面积
④若是任意的一对相似四边形，其周长与相似
积︼ 比又有何关系呢？
︼
︻ 探究新知
︻相
相似 似三
⑤若是任意的一对相似多边形，其周长与相 似比又有何关系呢？
三角 角形
A1
An A6
A1'
An'
A6’
形的
的周
A2
A5 A2’
A5’
周长
长和 和面
A3
A4
A3’
A4’
面积
积︼
︼
探究新知
三角 30米缩短成18米.
角形
现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它
形的 的周长是多少？
的周
周长
长和
和面
面积
积︼
︼
︻ ︻相
相似 似三
引入新知
4.在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁
边原有一个面积为300平方米，周长为120米的三
角形绿草地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，
变成了一个梯形，原绿草地一边AB的长由原来的
三角形面积与周长关系
三角形面积与周长关系三角形是初中数学中比较基础的一个概念，也是几何学中最基本的图形之一。
在三角形的学习中，我们不仅需要了解它的定义、性质等基础知识，还需要深入了解它的面积、周长等相关内容。
本文将重点介绍三角形面积与周长的关系，希望对初学者有所帮助。
一、三角形的面积三角形的面积是指由三角形内部的点所围成的平面图形的大小。
三角形的面积公式为：S = 1/2 * b * h其中，S表示三角形的面积，b表示底边长，h表示高。
在实际应用中，我们也可以利用海伦公式计算三角形的面积。
海伦公式是指：设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S等于：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]这个公式的推导过程较为复杂，初学者可以通过练习来熟练掌握。
二、三角形的周长三角形的周长是指三角形三条边的长度之和，即：L = a + b + c其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。
三、三角形面积与周长的关系三角形面积与周长之间存在一定的关系。
一般来说，三角形的面积越大，周长越大；面积越小，周长越小。
具体来说，我们可以通过以下两个定理来深入了解三角形面积与周长的关系。
1. 三角形面积定理三角形面积定理是指：在三角形内，底边长相等的两个三角形，其面积相等；在三角形内，高相等的两个三角形，其面积相等。
这个定理的意义在于，当我们知道了三角形的底边长或高，就可以通过面积定理来确定另一个三角形的面积，从而更好地了解三角形的形态和大小。
2. 海伦公式海伦公式可以用来计算任意三角形的面积，是三角形面积与周长之间的重要关系。
具体来说，我们可以将海伦公式改写为：S = 1/4 √[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]这个公式中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。
通过这个公式，我们可以更加方便地计算三角形的面积，从而更好地理解三角形的形态和大小。
总之，三角形面积与周长之间存在一定的关系，我们可以通过面积定理和海伦公式来深入了解这一关系。
三角形的面积与周长的关系
三角形的面积与周长的关系三角形是几何形状中最基本的形式之一，其具有三条边和三个内角。
本文将探讨三角形的面积与周长之间的关系，并通过数学推导和实例分析来加深我们对这一关系的理解。
一、三角形的面积公式要计算三角形的面积，我们可以使用海伦公式或基础的高底乘一半的公式。
其中，海伦公式适用于已知三边长的情况下，而基础的高底乘一半公式适用于已知底边和高的情况下。
1.1 海伦公式三角形的海伦公式可以表示为：s = (a + b + c) / 2其中，s代表半周长，a、b、c分别代表三角形的三条边长。
根据海伦公式，我们可以计算出三角形的半周长。
然后，我们可以使用以下面积公式计算三角形的面积：面积= √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))1.2 基础的高底乘一半公式如果我们已知三角形的底边长和高，可以使用基础的高底乘一半公式计算面积。
该公式可以表示为：面积 = 底边长度 * 高 / 2以上是计算三角形面积的两个基本公式，接下来我们将探讨三角形的面积与周长的关系。
二、面积与周长的关系在同等底边情况下，三角形的面积与其高成正比。
换言之，面积增大时，周长也会增大。
这是因为面积与高的乘积决定了三角形的大小，而不同大小的三角形自然周长也会有所不同。
另外，在同等面积情况下，三角形的周长与其形状有关。
举例来说，对于固定的面积，等腰三角形的周长要小于一般的三角形，而等边三角形的周长则最小。
三、实例分析现在我们通过两个具体的实例来进一步说明三角形的面积与周长的关系。
例一：等腰直角三角形我们考虑一个等腰直角三角形，其两条等长的边长为a，斜边长为c。
根据勾股定理，我们可以得到：c^2 = a^2 + a^2化简后可得：c = √2 * a根据海伦公式，三角形的面积为：面积= (a + a + √2 * a) / 2 = (2 + √2) * a所以，在等腰直角三角形中，面积与周长的关系为：面积= (2 + √2) * a例二：等边三角形我们考虑一个等边三角形，其三条边长均为a。
三角函数与三角形的关系与运用
正切函数的应用
工程和城市 规划
应用正切函数解 决建筑物倾斜度
等问题
电子技术和 通信
正切函数在信号 处理中的实际应
用
三角形角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 和边长比例
利用正切函数求 解实际三角形问
题
正切函数的变换
平移
改变正切函数的水平位置
伸缩
调整正切函数的振幅和周 期
反转
对正切函数图像进行上下 反转
旋转关系
正切函数与三角形旋转的 数学联系
02 增减性和最值
余弦函数在0到π上是递减的，在π到2π上是 递增的
03 与三角形内角的关系
余弦函数与三角形内角的关系密切，可以用 来求解三角形的内角大小
余弦函数的应用
测量和建模中的应 用
余弦函数可以用来测量角 度和模拟周期性现象
求解不定形三角形 中的边长和角度
通过余弦定理可以求解不 定形三角形内部的边长和 角度关系
三角函数的基本定义
正弦
定义为对边比斜 边
正切
定义为对边比邻 边
周期性
周期性为2π
余弦
定义为邻边比斜 边
三角形的特性与性质
锐角三角形
三个内角都小于 90°
三角形的周 长公式
周长等于三边之 和
三角形的面 积公式
面积等于底边乘 以高再除以2
内角和定理
三角形的内角和 为180°
三角函数与三角 形的关系
正弦函数的综合应用
正弦函数在数学和实际生活中都有着广泛的应用， 从测量角度到分析波动，正弦函数都发挥着重要 作用。通过对正弦函数的理解和运用，我们可以 更好地解决各种复杂的问题，探索事物背后的规 律。
● 03
第三章 余弦函数
三角形周长与面积计算
三角形周长与面积计算计算三角形的周长和面积是数学中常见的问题，本文将介绍如何准确计算三角形的周长和面积。
首先我们来了解一下三角形的定义和特点，再根据定义和公式进行计算。
一、三角形的定义和特点三角形是一个由三条边和三个角组成的图形。
根据三角形的边长，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形等不同类型。
根据三角形的角度，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
不同类型的三角形具有不同的计算公式。
二、三角形周长的计算三角形的周长是三个边长的和。
根据三角形的类型，周长计算公式有所不同。
下面是几个常见的三角形周长计算公式：1. 一般三角形的周长：周长 = 边长1 + 边长2 + 边长32. 等腰三角形的周长：周长 = 边长1 + 边长2 + 边长23. 等边三角形的周长：周长 = 3 * 边长三、三角形面积的计算三角形的面积可以通过海伦公式或面积公式来计算。
下面是几个常见的三角形面积计算公式：1. 海伦公式：面积= √[s(s-边长1)(s-边长2)(s-边长3)]其中，s = (边长1 + 边长2 + 边长3) / 22. 高度公式：面积 = 底边长度 * 高 / 2注意：海伦公式适用于任意三角形，而高度公式只适用于知道底边长度和高度的三角形。
四、示例计算下面通过一个示例来演示如何计算三角形的周长和面积。
例：已知三角形的边长分别为5cm、6cm、7cm，求三角形的周长和面积。
解：1. 计算周长：周长 = 5cm + 6cm + 7cm= 18cm2. 计算面积（使用海伦公式）：s = (5cm + 6cm + 7cm) / 2= 9cm面积 = √[9cm(9cm-5cm)(9cm-6cm)(9cm-7cm)]= √[9cm * 4cm * 3cm * 2cm]= √(216cm²)≈ 14.696cm²所以，该三角形的周长约为18cm，面积约为14.696cm²。
三角形的面积计算公式
三角形的面积计算公式
三角形的面积=底高÷2。
相似三角形是初中几何中比较重要的一个内容，这部分内容经常在中考的基础题和大题中都会出现，并且失分率比较高，难度也比较大。
所以在学习相似三角形的时候一定要全面透彻的掌握
知识点，把这个内容彻底攻破。
学好相似三角形的方法是什么？
第一，相似三角形放大或者缩小一定比例后，要保证两个图形能够重合，看起来相似的本质很简单，但在做题的时候却感觉很难。
在题目当中，相似三角形可能不止一对儿，有时会有很多对，而且它们的位置关系变化
多端，这需要我们去找出它们的这种关系。
如果两个三角形相似，它对应
的高、中线、角平分线周长和面积都和它的边有一定的比例关系。
第二，判定定理需要掌握的有五条，一个是预备定理，还有SAS、
SSS以及AA。
AA就是只要有两个角相等的两个三角形就是相似的，这个
是最重要的判定定理。
最后还有一个和全等三角形相似的HL定理，这是
用在直角三角形相似里面的。
我们再记这五个定理的时候，要类比全等三
角形。
第三，相似三角形变化非常灵活。
我们还要掌握三角形相似模型。
大
家可以从网上搜出很多相似三角形模型的总结，大家可以自己整理画一下，这些模型只有自己画过，在做题的时候才能真正用起来。
掌握了这些模型，我们做题速度就快多了。
三角形的面积和周长的性质
三角形的面积和周长的性质三角形是几何学中的一个基本概念，它由三条边和三个顶点构成。
面积和周长是描述三角形的两个重要性质。
一、三角形的面积三角形的面积是指平面上由三条边所围成的区域的大小。
我们可以通过不同的方法来计算三角形的面积，以下是常用的两种方法：1. 海伦公式当已知三角形的三条边长时，可以使用海伦公式来计算面积。
根据海伦公式，设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中s = (a+b+c)/2。
海伦公式的优点是适用范围广，无需知道三个角的大小，只需要知道三个边的长度即可。
但是对于边长较长的三角形，计算过程可能较为繁琐。
2. 高度法在平面上，一条直线可被视为一个面积为零的三角形。
如果我们将三角形的一边作为基边，从另外一个顶点引一条垂直于基边的线段，则这条垂线就可以看作是三角形的高。
通过测量基边和垂线的长度，可以使用以下公式计算三角形的面积：面积 = 1/2 * 基边长度 * 垂线长度高度法的优点是计算简单，但前提是需要知道三角形的高的长度。
二、三角形的周长三角形的周长是指三条边的总长度。
通过求解三个边长的和，可以得到三角形的周长，即：周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度三、面积和周长的关系三角形的面积和周长具有一定的关系。
根据数学知识，我们可以得出以下结论：1. 面积与周长的关系如果三角形的周长固定，那么三角形的面积是最大的时候，是等边三角形。
等边三角形的三边相等，也就是周长固定的情况下，它的面积最大。
2. 面积与边的关系其他条件不变的情况下，面积越大的三角形，至少有两边相等或者是一边固定，另外两边趋近于无穷大。
3. 面积与高的关系对于固定底边的三角形，底边长度越大，相应的高也越大，面积也越大。
总结：通过以上分析，我们可以得出三角形的面积和周长性质。
三角形的面积可使用海伦公式或高度法计算，而周长则是三条边的长度之和。
27.2.3相似三角形的周长和面积
5.如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形的大楼DEFG，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少
3.∆ABC∽∆A1B1C1、且AB：A1B1=1：2，则∆ABC与∆A1B1C1的面积比为
4.判断：
1）如果把一个2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍（）
5.如图，在∆ABC和∆DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，∆ABC的周长是24，面积是48，求∆DEF的周长和面积。
改错
当堂测评：
1.如图，□ABCD中，E为AD的中点，若S□ABCD=1，则图中阴影部分的面积为（）
A B C D
2.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2,
求S△CDF？
3.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
27.2.3相似三角形的周长和面积
释疑
自学目标
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
自学提纲：
1.复习回顾相似三角形的定义与性质
2.自学P51页了解相似三角形（多边形）的周长间的关系
3.通过对P51页的探究，弄清相似三角形对应边上的高，中线，角平分线的特征
4.在了解相似三角形对应边上的高的比等于相似比的基础上推出相似三角形（多边形）的面积间的关系
自学测评：
1.相似三角形（多边形）的对应边的比，对应角；
三角形的周长和面积的计算公式
三角形的周长和面积的计算公式在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
计算三角形的周长和面积是几何学中最常见的问题之一。
有多种方法可以用来计算三角形的周长和面积，下面将介绍其中两种常用的方法。
一、利用边长计算三角形的周长和面积假设三角形的三个边的长度分别为a、b、c，我们可以根据这些边长来计算三角形的周长和面积。
1. 计算周长：三角形的周长等于三个边长的和，即P = a + b + c。
2. 计算面积：我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积，公式为：S = √(s(s - a)(s - b)(s - c))其中，s为三角形的半周长，计算公式为s = (a + b + c)/2。
二、利用坐标计算三角形的周长和面积除了使用边长计算三角形的周长和面积外，我们还可以使用三角形的顶点坐标来进行计算。
假设三角形的三个顶点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，我们可以根据这些顶点坐标来计算三角形的周长和面积。
1. 计算周长：我们可以使用两点之间的距离公式来计算三角形的周长。
首先计算出三个边的长度：a = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)，b = √((x3 -x2)² + (y3 - y2)²)，c = √((x1 - x3)² + (y1 - y3)²)。
然后将三个边长相加即可得到三角形的周长P。
2. 计算面积：我们可以使用行列式的方法来计算三角形的面积，公式为：S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|其中，|x|表示取x的绝对值。
三、总结通过上述两种方法，我们可以准确地计算出任意三角形的周长和面积。
在实际应用中，对于已知边长的三角形，使用第一种方法计算较为简便；而对于已知顶点坐标的三角形，使用第二种方法则更为方便。
无论采用哪种方法，掌握计算三角形的周长和面积的公式对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。
三角形的周长和面积平分线
积平分线， 最多有三条周积平分线 （ 如等边三 角 形） 这些周积平分线必过此三角形 的内心． ． 下文将侧重展示过三 角形 内心平分三角形 面积和过三角形 内心平分三角形 的周 长的周积 平分线的尺规作图法． 若三角形是等腰三角形， 那么它的一条周积
平分线过 它的顶角顶点和底边 中点． 下面笔者把研 究的重心放在三边互不相等 的三角形上： １ 过 内心Ｐ作一直线， ． 使该直线将 Ａ Ｃ Ｂ
＝
ＳＡＡＧ ＝ ＳＡＡＢＣ Ｈ
去ｓ Ｐ Ｇ ￣ Ａ ＋Ｓ Ｐ Ｂ （△ Ｂ ＋Ｓ Ｐ Ｃ Ａ Ａ ）
也就必然平分面积； 同样可以证 明过 内心的一条 直线平分面积也必然平分周长， 它们互为充要条
件 先看下面一道例题
＝
１１＋ 丢） （ｒ ＋ Ｑ
吾 吾 ＋） × ａ ｃ＝Ｐ ｒ
角Ｚ Ｇ Ｐ Ｅ＝￣ｐ ￣＝去 Ｂ ＝ Ｐ Ｃ ｚｏ ＺＡ ＝
ＰＡＢ，所 以 Ｐ日 ＝ ＡＧＰ ＋ ＰＡＢ ＝
ＥＦ，所 以 △ＥＤＧ △ＥＦ日，这 样 就 得 到
ＤＧ ＝ ＦＨ ， 样 Ｇ ＋ Ｈ ： ＡＤ ＋ ＡＦ ＝ 这
Ａ ＋ ＧＥ＝ ＧＥ， ＧＰ Ｐ Ａ 很容 易证明 △Ａ ＧＥ ｃ △ＡＰ 由此可得 Ｇ・ ＝Ａ Ａ 结合 ， ， 日， Ｈ Ｐ・ Ｅ．
（ 内心；（ ） Ａ） Ｂ 外心；（） ｃ 重心；（ 垂心． Ｄ）
分析： 当该直线过三 角形 的顶点时， 角形 三 是等腰三角形， 这条 直线 （ 称具有这样特征的直 线为三角形 的周积平分线） 底边的中垂线， 是 显
然它过内心、 外心、 重心和垂 心．
． Ｇ、 日三点共线， Ｇ 经过点 Ｐ． ． ． Ｐ、 即 日 可见， 任意一个三角形， 它至少存在一条周
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三角形的周长和面积平分线
例（1996年全国初中数学联赛试题）如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的…………………()
(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心
分析：当该直线过三角形的顶点时，三角形是等腰三角形，这条直线（下文笔者称具有这样特征的直线为三角形的周积平分线）是底边的中垂线，显然它过内心、外心、重心和垂心。
当该直线不过三角形的顶点时，结论:三角形的周积平分线，一定经过此三角形的内心．
证明：如图1，设GH为△ABC的一条周积平分线，P为△ABC 的内心，令△ABC的内切圆半径为r．
不失一般性，设△ABC的三边长为，，，三边两两互不相等，记，令G、H两点分别在边AB、AC上．∵AG+AH=
连接PA、PB、PC、PG、PH，则
===
==
又∵=+=+=
∴=
∴G，P，H三点共线，即GH经过点P．
可见，任意一个三角形，它至少存在一条周积平分线，最多有三条周积平分线(如等边三角形)．这些周积平分线必过此三角形的内心．
而且，可以证明过内心的一条直线只要平分了周长也就必然平分面积；同样可以证明过内心的一条直线平分面积也必然平分周长，它们互为充要条件。
下文笔者将侧重于展示过三角形的内心平分三角形的面积和过三角形的内心平分三角形的周长的周积平分线的尺规作图法。
若三角形是等腰三角形，那么它的一条周积平分线过它的顶角顶点和底边中点。
所以，下面笔者把研究的重心放在三边互不相等的三角形上：
1、过内心P作一直线，使该直线将△ABC的面积平分为两等份（如图2）
作法：①取AC的中点D，作△ABE∽△APD(两个三角形所处的位置犹如绕点A发生了位似旋转变换)，A、P、E三点在一条直线上；
②再作PE的垂直平分线并且在该垂直平分线上取一点O，使∠POE=∠BAC；
③以O为圆心，OP为半径作圆，该圆与AB相交于点G（取与A 点较远的交点），则由P、G两点所确定的直线平分△ABC的面积。
注意：①作△APD时，要让AP>AD；②以O为圆心，OP为半径作圆，该圆在边AB上要有交点(与A点较远的交点G必须在线段AB上)，如果不能满足这两点，就换另外两个顶点或中点试试.
证明：由△ABE∽△APD可得：AD·AB = AP·AE ……（1），∠PAB=∠PAD，设直线GP与AC的交点为H，因P、E、G三点共圆，所以⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠POE=∠BAC=∠PAC=∠PAB，所以∠APH=∠AGP+∠PAB=∠AGP+∠PGE=∠AGE，很容易证明△AGE∽△APH，由此可得AG·AH = AP·AE，结合（1）式可知道AD·AB = AG·AH，从而有AD·ABsin∠BAC =AG·AHsin∠BAC，由于点D是AC的中
点，所以有：AD·ABsin∠BAC = 即AG×AHsin∠BAC =，
故直线GH平分△ABC的面积。
也可由AD·AB = AG·AH变形成比例式：AD:AH = AG:AB，所以连结GD、BH(图略)，则GD∥BH，再连结BD得中线(图略)，利用两平行线之间同底等高的三角形面积相等的原理，易证：
，这样就可以回避用正弦定理扩展出的三角形面积公式来理解：直线GH平分△ABC的面积了。
那么，GH平分△ABC的周长吗？
因为P为△ABC的内心，所以令△ABC的内切圆半径为r（即P
点到△ABC的三边的距离），可得：=+，
=++，又因，所以有：AG+AH= (AB+BC+AC），故直线GH也平分△ABC的周长。
2.过内心P作一直线，使该直线将△ABC的周长平分为两等份（如图3）
①分别在边AB、AC或其延长线上截取AD、AF，使
AD=AF=（可以把AB，AC的长度转化到直线BC上，再取AB、BC、AC三条线段之和的四等分）；
②分别过点D作直线AB的垂线与∠BAC的平分线AP相交于点E，连结EF，易证EF⊥AC，ED=EF；
③过点P、E作圆（作圆方法略，见图2）与AB相交于点G （取与A点较远的交点），使⌒ PE对的圆周角∠PGE=∠PAC=∠PAB；
④由P、G两点所确定的直线与AC的交点为H，GH平分△ABC 的周长。
证明：连结EG、EH，因为∠PGE=∠PAC，所以点A、G、E、H四点共圆(可假设点A在G、E、H三点共圆的圆内或圆外两种情况,得证)，于是∠DGE=∠FHE(因为同一条弦AE所对异侧的两个圆周角互补)。
又
因为∠EDG=∠EFH=，ED=EF，所以≌，这样就得到
DG=FH，这样AG+AH=AD+AF=，因此直线GH平分△ABC的周长。
那么，GH平分△ABC的面积吗？
因为P为△ABC的内心，所以令△ABC的内切圆半径为r（即P
点到△ABC的三边的距离），可得：=+，
=++，又因AG+AH=，所以有：
，故直线GH也平分△ABC的面积。
综上所述，三角形的周积平分线必过它的内心；过三角形内心的一条直线平分周长也必然平分面积；过三角形内心的一条直线平分面积也必然平分周长。
另外，本文所阐述的过三角形内心平分周长的方法，可以推广到：过三角形内任意一点作平分周长的直线（提示：如图4，P是△ABC
内任意一点，AE是∠BAC的平分线，∠PGE=∠EAC），这个问题留给读者验证。
个人简介：男，38岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。
特别鸣谢：彭洁老师在本文的几何画板画图中给予了极大的帮助。