三角形求周长和面积完整的解决方案

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三角形的周长与面积计算应用

三角形的周长与面积计算应用

三角形的周长与面积计算应用在数学中,三角形是一种经常出现的形状。

计算三角形的周长和面积是数学中的基础知识,也是解决三角形相关问题的必要步骤。

本文将介绍三角形周长和面积计算的应用场景,以及相应的计算公式和步骤。

一、计算三角形的周长计算三角形的周长是指计算三角形边长之和。

对于任意三角形,可以使用以下公式来计算其周长:周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3对于已知三角形三边长度的问题,直接将各边长相加即可得到三角形的周长。

下面以一个实际应用场景为例,展示如何计算三角形的周长。

例子:某个园艺师需要绕一块三角形的花坛修剪边缘草坪,他需要事先计算出三角形的周长来购买足够长度的修剪线。

已知三角形的三边分别为5m、8m和4m,现在计算其周长。

解答:根据前面提到的公式,周长 = 5m + 8m + 4m = 17m。

所以这个园艺师应该购买至少17米的修剪线才能完成修剪。

二、计算三角形的面积计算三角形的面积是指计算三角形所占的平面区域大小。

对于任意三角形,可以使用以下公式来计算其面积:面积 = 0.5 * 底边长度 * 高其中,高是指从三角形的底边垂直向上或向下的线段长度。

底边是任意一个边,可以根据具体情况选择。

下面以一个实际应用场景为例,展示如何计算三角形的面积。

例子:某个建筑公司需要购买足够的油漆来涂刷一片三角形形状的墙壁。

他们需要知道三角形的面积来计算所需油漆的数量。

已知三角形的底边长为6m,高为4m,现在计算其面积。

解答:根据前面提到的公式,面积 = 0.5 * 6m * 4m = 12平方米。

所以这个建筑公司需要购买至少12平方米的油漆来涂刷该墙壁。

三、应用场景举例除了上述的园艺师和建筑公司的例子,三角形的周长和面积计算在日常生活和各种领域中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景:1. 建筑设计:在建筑设计中,计算三角形的周长和面积可以帮助建筑师确定墙壁、屋顶等结构的尺寸和面积,从而进行准确的设计和施工。

专题11 解三角形中的面积和周长计算问题(解析版)

专题11 解三角形中的面积和周长计算问题(解析版)

专题11 解三角形中的面积和周长计算问题一、重点题型目录【题型】一、正余弦定理判断三角形的形状 【题型】二、证明三角形中的恒等式或不等式 【题型】三、几何图形中的计算【题型】四、求三角形中的边长最值或范围 【题型】五、求三角形中的周长最值或范围 【题型】六、求三角形面积的最值或范围 二、题型讲解总结【题型】一、正余弦定理判断三角形的形状 例1.(2023·全国·高三专题练习)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,下列结论正确的是( )A .若2220b c a +->,则ABC 为锐角三角形B .若ABC 为钝角三角形,则2220b c a +-< C .若cos cos a A b B =,则ABC 为等腰直角三角形D .若8a =,10c =,60B =︒,则符合条件的ABC 只有一个 【答案】D【分析】A 选项,只能证明A 为锐角,不能说明B 和C 的大小,故不能得到ABC 是锐角三角形;B 选项,不确定哪个角是钝角,所以222b c a +-可能大于0,也可能小于0;C 选项,由正弦定理得到A B =或π2A B +=,得到ABC 为等腰三角形或直角三角形,故C 错误;由余弦定理求出b =1个.【详解】2220b c a +->,则222cos 02b c a A bc+-=>,只能说明A 为锐角, 不能说明B 和C 的大小,故不能得到ABC 是锐角三角形,A 错误;若ABC 为钝角三角形,但不确定哪个角是钝角,若角A 为锐角,则2220b c a +->, 若角A 为钝角,则2220b c a +-<,B 错误;cos cos a A b B =,由正弦定理得:sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =,所以22A B =或22πA B +=,故A B =或π2A B +=,则ABC 为等腰三角形或直角三角形,故C 错误;由余弦定理得:2222cos 641008084b a c ac B =+-=+-=,因为0b >,所以b =ABC 只有1个,D 正确. 故选:D例2.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,“222sin sin sin A B C +>”是“△ABC 是锐角三角形”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形,但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>,根据必要不充分条件的定义,即可求解.【详解】由正弦定理可知,222222sin sin sin cos 0A B C a b c C +>⇔+>⇔>, 222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形,但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>.故“222sin sin sin A B C +>”是“ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件, 故选:B .例3.(2023·全国·高三专题练习)已知ABC 中,三内角,,A B C 满足2=B A C +,三边,,a b c 满足2b ac =,则ABC 是( ) A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等边三角形 D .钝角三角形【答案】C【分析】由三角形内角和定理及2=A B C +可得3B π=,余弦定理及2b ac =可得a c =,即可得ABC ∆为等边三角形.【详解】ABC 中,△2B A C =+且A B C π++=,△3B π=,将2b ac =,3B π=代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得22122ac a c ac =+-⨯,化简可得()20a c -=,即a c =,又△3B π=,由等边三角形判定定理可知ABC ∆为等边三角形.故选:C.例4.(2023·全国·高三专题练习)设ABC 的三个内角, , A B C 满足2B A C =+,又2sin sin sin B A C =,则这个三角形的形状是( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形【答案】B【分析】根据给定条件可得3B π=,再利用正弦定理角化边,借助余弦定理计算判断作答.【详解】因ABC 的三个内角++ =A B C π,而2B A C =+,则3B π=,又2sin sin sin B A C =,由正弦定理得:2b ac =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得:22ac a c ac =+-,整理得2()0a c -=,即a c =,ABC 是等腰三角形,所以ABC 是等边三角形. 故选:B【题型】二、证明三角形中的恒等式或不等式 例5.(2021·全国·高三专题练习(理))下列命题中,不正确的是( ) A .线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y B .若平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,则平面//α平面β C .若“11a b <,则a b >”的逆命题为假命题D .若ABC 为锐角三角形,则sin cos A B >. 【答案】B【分析】根据回归方程的特征可判定A 正确;根据线面位置关系的判定与性质,可判断B 不正确;根据不等式的性质,可判断C 正确;根据三角形的性质和正弦函数的单调性,可判定D 正确.【详解】对于A 中,由回归直线的概念知线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ,所以A 正确;对于B 中,若平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,则平面//α平面β或平面α与平面β相交,所以B 不正确; 对于C 中,命题“11a b <,则a b >”逆命题为“a b >,则11a b<” 因为11b aa b ab--=,其中ab 的符号不确定,所以为假命题,所以C 正确;对于D 中,若ABC 为锐角三角形,可得2A B π+>,即2A B π>-, 又由sin y x =在区间(0,)2π上为增函数,所以sin sin()cos 2A B B π>-=,所以D 正确.故选:B.例6.(2021·湖南·长郡中学高三阶段练习)下列说法正确的是( )A .函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为(512π-,0)B .在△ABC 中,AB =1,AC =3,D 是BC 的中点,则4AD BC ⋅= C .在△ABC 中,A B <是cos2A >cos2B 的充分不必要条件D .定义{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩,已知(){}min sin ,cos f x x x =,则()f x【答案】ABD【分析】代入法验证对称中心判断A ;将AD BC ⋅转化为()()12AB AC AC AB +⋅-求值判断B ;利用三角形内角的性质、正弦定理,从充分性、必要性两方面判断C ;根据新函数定义,结合正余弦函数的周期性及图象求函数最大值判断D.【详解】A :521232πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭,所以5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心,正确;B :()1,2AD AB AC BC AC AB =+=-,则()()()2211422AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=,正确; C :充分性:A B <,则a b <,由正弦定理可知,sin sin A B <,又sin ,sin 0A B >有22sin sin A B <,则2212sin 1sin A B ->-,即cos2cos2A B >,充分性成立,必要性:由cos2cos2A B >,可知:sin sin A B <,则A B <,必要性成立,不正确; D :sin ,cos y x y x ==是周期为2π的函数,{}3sin ,2244min sin ,cos 5cos ,2244x k x k y x x x k x k ππππππππ⎧-+≤≤+⎪⎪==⎨⎪+≤≤+⎪⎩,Z k ∈且周期为2π的函数,当[]0,2x π∈时,由图象知,()f x的最大值是944f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:ABD.例7.(2021·辽宁沈阳·高三阶段练习)在ABC 中,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )A .若AB <,则sin sin A B < B .若sin sin A B <,则A B <C .若A B >,则11tan 2tan 2A B> D .若A B >,则22cos cos A B >【答案】AB【分析】对ABD ,利用正弦定理,同角三角函数的基本关系来判断,对D 变形112sin()cos()tan 2tan 2sin 2sin 2B A B A A B A B---=,逐一判断每个因式的正负. 【详解】解:对于A :在ABC 中,2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B <⇔<⇔<⇔<, 所以若A <B ,则sin A <sin B 正确; 若sin A <sin B ,则A <B ,所以B 正确; 对于C :11cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2tan 2tan 2sin 2sin 2sin 2sin 2A B A B B A A B A B A B --=-= sin 2()2sin()cos()sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A A B A B---==A B >0A B π∴<-<sin()sin()0B A A B ∴-=--<当0,022A B ππ<≤<≤时,0<2A ≤π,0<2B ≤π,0≤2A B π-≤,sin2A >0,sin2B >0,cos (B −A )>0 △则11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B -<∴<; 当,022A B πππ<<<≤时(A 和B 不可能同时在第二象限),π<2A <2π,0<2B ≤π,△sin2A <0,sin2B >0 当0≤A −B ≤2π时,cos (B −A )>0, △则11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B->∴>, 当2A B ππ<-≤时,cos (B −A )<0,11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B∴-<∴<;故C 错误; 对于D :222222sin sin 0sin sin 1co 1cos cos s s co A A B B A B A B A B >⇔>>⇔>⇔⇔<>--,故D 错误; 故选:AB .【题型】三、几何图形中的计算 例8.(2023·全国·高三专题练习)已知ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且60C =︒,3a =,ABC S =△,则AB 边上的中线长为( )A .49B .7C .494D .72【答案】D【分析】根据面积公式结合已知数据,即可求得b ,根据余弦定理即可求得c ,结合中线的向量表达即可求得中线长度.【详解】因为ABCS11sin 322ab C b ==⨯⨯=5b =,根据余弦定理可得2222cos 19c a b ab C =+-=,故c = 不妨取AB 中点为M ,故()12CM CA CB =+,故22172cos 22CM CA CB CA CB C =++=. 即AB 边上的中线长为72.故选:D .例9.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a =4,b =3,c =2,则中线AD 的长为( )A B CD 【答案】D【分析】利用余弦定理即得.【详解】如图,由余弦定理得AB 2=DA 2+DB 2-2DA ·DB cos△ADB , AC 2=DA 2+DC 2-2DA ·DC cos△ADC ,又cos△ADB =-cos△ADC两式相加得AB 2+AC 2=2DA 2+DB 2+DC 2, 即22+32=2DA 2+22+22, △2DA 2=5,△DA 故选:D例10.(2023·全国·高三专题练习)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ,从D 沿着DC 走到C 用了3 min .若此人步行的速度为每分钟50 m ,则该扇形的半径为________m .A .B .C .D .【答案】C【分析】由题意,可得,OD CD 长度,△CDO =60°,在△OCD 中,利用余弦定理可得解【详解】连结OC ,在△OCD 中,OD =250⨯=100,CD =350⨯=150,△CDO =60°, 由余弦定理可得OC 2=1002+1502-2×100×150×12=17 500,解得OC =(m). 故选:C【题型】四、求三角形中的边长最值或范围 例11.(2022·上海·高三专题练习)在锐角ABC 中,2A B ∠=∠,B C ∠∠、的对边长分别是b 、c ,则+bb c的取值范围是( ) A .1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C .11,43⎛⎫⎪⎝⎭D .11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】确定B 的范围,利用正弦定理化简表达式,求出范围即可. 【详解】在锐角ABC 中,20,0,2264A B A C B ππππ⎛⎫∠=∠<<<<∴∠∈ ⎪⎝⎭,,cos B ∈⎝⎭,213cos ,24B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 而()()sin sin sin 3sin3C A B B B ππ=--=-=,()sin3sin +2sin cos2+cos sin 2B B B B B B B ==,()22sin 2cos 1+2sin cos B B B B =-所以()223sin34cos sin sin 41sin sin sin 3sin 4sin B B B B B B B B B =-=--=-,所以由正弦定理可知:32sin sin sin 111,sin sin sin sin(3)sin 3sin 4sin 4cos 32b B B B b c B C B B B B B B π⎛⎫====∈ ⎪+++-+-⎝⎭, 故选:D例12.(2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习)在ABC 中,角,,A B C 所对边长为,,a b c ,3A π=,角A 的平分线AD 交BC 于D ,且2AD =,则下列说法正确的是( )A .若2c =,则BD =B .若2c =,则ABCCb c =+ D .163bc ≥【答案】ABD【分析】在ABD △中,利用余弦定理可直接求得BD ,知A 正确;根据长度关系可求得512B π=,由此可得4C π=,由正弦定理即可求得B 正确;利用ABCABDADCSSS=+可整理得到C 错误;()2b c =+,利用基本不等式可构造不等式求得结果,知D 正确.【详解】对于A ,在ABD △中,由余弦定理得:2222cos 88cos 26A BD AB AD AB AD π=+-⋅=-28=-=,BD ∴=A 正确;对于B ,当2c =时,ABD △为等腰三角形,则52212AB ππ-==,()4C A B ππ∴=-+=; 设ABC 外接圆半径为R,则2sin c R C ===R ∴B 正确; 对于C ,ABCABDADCS SS=+,111sin sin sin 22222A A bc A c AD b AD ∴=⋅+⋅,1122c b =+,()2b c =+,C 错误;对于D ()2b c =+()2b c =+≥b c =时取等号),163bc ∴≥,D 正确.故选:ABD.例13.(2023·全国·高三专题练习)在ABC 中,三边长分别为a ,b ,c ,且2abc =,则下列结论正确的是( )A .222<+a b abB .++>ab a bC .224++≥a b cD .++≤a b c 【答案】ABC【分析】根据题意得()2ab a b abc -<=,结合边的关系即可判断A ;根据边的关系及基本不等式即可判断BC ;用边长为D【详解】对于A ,222<+a b ab ,即222-<a b ab ,也就是()2ab a b abc -<=, 另一方面,在ABC 中,0,>-<ab a b c ,则()-<ab a b abc 成立,故A 正确;对于B ,++>+≥=ab a b ab c B 正确;对于C ,2224++≥+≥=a b c a bc ,当且仅当222a b c ===时取等号,故C 正确;对于D ,边长为2abc =,但1++=+a b c D 错误. 故选:ABC .例14.(2022·江苏·高三专题练习)已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边长a ,b ,c 成等比数列,1cos()cos 2A CB -=+,延长BA 至D .则下面结论正确的是( ) A .6A π= B .3B π=C .若3CD =,则ACD 周长的最大值为3 D .若4BD =,则ACD【答案】BCD【解析】根据题中条件,利用三角恒等变换,以及正弦定理,求得1cos cos 4A C =,2sin sin sin B A C =,两式作差求出角B ,进而可求出3A C π==,判定A 错B 正确;再利用基本不等式,分别判断CD 两选项即可.【详解】因为在ABC 中,A B C π++=,则()A C B π-+=, 由1cos()cos 2A C B -=+可得()1cos()cos 2A C A C -=-++,即1cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +=-++,所以1cos cos 4A C =△,又a ,b ,c 成等比数列,所以2b ac =,由正弦定理可得:2sin sin sin B A C =△, 由△△可得:21cos cos sin sin sin 4A C A CB -=-,则()21cos sin 4AC B +=-,所以()21cos sin 4B B π-=-,则23cos cos 4B B -=-+,即()()2cos 32cos 10B B +-=, 所以1cos 2B =, 因为角B 为三角形内角,所以()0,B π∈,则3B π=;又1cos()cos 2A CB -=+,所以cos()1A C -=; 角A ,C 为三角形内角,所以()0,A π∈,()0,C π∈,则(),A C ππ-∈-, 所以0A C -=,即3A C π==;即ABC 为等边三角形;故A 错,B 正确;延长BA 至D ,连接CD ,则23CAD π∠=, 若3CD =,在ACD 中,由余弦定理可得:2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅∠, 即()2229AD AC AC AD AD AC AC AD =++⋅=+-⋅()()()222344AD AC AD AC AD AC ++≥+-=,所以AD AC +≤当且仅当AD AC ==此时ACD 周长的最大值为3AD AC CD ++=;故C 正确;若4BD =,设2AB x =,则ABC 的高为h ==,所以ACD 的面积为 ())2112422222ACDx x SAD h x x x -+⎫=⋅=⋅-=-⋅≤=⎪⎭当且仅当2x x -=,即1x =时,等号成立;即ACD 故D 正确.故选:BCD. 【点睛】方法点睛:求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时,常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式,建立a b +,ab ,22a b +之间的等量关系与不等关系,然后利用函数或基本不等式求解.【题型】五、求三角形中的周长最值或范围例15.(2022·全国·高三专题练习)在ABC 中,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,23ABC π∠=,4BD =,则ABC 周长的最小值为( )A.8+B .8+C .16+D .16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=,进而结合基本不等式得16a c +≥,64ac ≥,当且仅当8a c ==时等号成立,再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立,进而得周长最小值. 【详解】根据题意,设,,AB c BC a AC b ===, 因为ABCABDCBDS SS=+,243ABC BD π∠==,,ABD CBD ∠=∠,所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠,=, 所以4aca c +=,因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,a c +≥所以16a c +≥,64ac ≥,当且仅当8a c ==时等号成立, 由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立,所以16a b c ++≥+,当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选:C例16.(2022·全国·高三专题练习)在锐角三角形ABCcos 2B B +=,且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=,则ABC 的周长最大值为( ) AB.C.D.【答案】D【分析】cos 2B B +=,推导出3B π=,由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=,推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =,24sin 4sin()3c C A π==-,由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=,∴112cos B B +=,sin()16B π∴+=,262B k πππ∴+=+,2B π<,3Bπ∴=,cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=,∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=,∴a bc,b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===, 4sin a A ∴=,24sin 4sin()3c C A π==-,214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+, 三角形ABC 为锐角三角形,∴62A ππ<<,∴2363A πππ<+<,∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =△a b c ++≤△ABC的周长最大值为 故选:D例17.(2022·全国·高三专题练习)在锐角ABC 中,角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+,且)222ABCSa b c =+-,则2c a b+的取值范围是( ) A.(B.(6,C.12⎡⎢⎣⎭D.)2【答案】D【分析】根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C 及边c ,再求出a b +的范围即可计算作答.【详解】在锐角ABC中,由余弦定理及三角形面积定理得:222)cos ABCSa b c C +-=1sin 2ab C =,即有tan C =(0,)2C π∈,则π3C =,又sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+,由正弦定理、余弦定理得,2222222223b c a a b c b bc ab a a c+-+-=+,化简得:c =,由正弦定理有:4sin sin sin a b c A B C ====,即4sin a A =,4sin b B =, ABC 是锐角三角形且π3C =,有π(0,)2A ∈,2ππ(0,)32B A =-∈,解得ππ(,)62A ∈, 因此2π4(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A +=+=+-1π4(sin sin ))26A A A A =+=+, 由ππ(,)62A ∈得:π2(,)633A ππ+∈,sin()6A π+∈,所以2122))6c a b A π=∈++. 故选:D【点睛】思路点睛:涉及求三角形周长范围问题,时常利用三角形正弦定理,转化为关于某个角的函数,再借助三角函数的性质求解.例18.(2022·全国·高三专题练习)在ABC 中,已知60C =︒,4AB =,则ABC 周长的最大值为( ) A .8 B .10C .12D .14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+,再利用基本不等式即可得8a b +,从而可得到ABC 周长的最大值.【详解】解:在ABC 中,60C =︒,4AB c ==, ∴由余弦定理,得2222cos c a b ab C =+-,即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-,由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++,∴8a b +(当且仅当4a b ==时等号成立),ABC ∴周长8412a b c +++=(当且仅当4a b ==时等号成立),即当且仅当4a b ==时,ABC 周长的最大值为12, 故选:C .【点睛】关键点点睛:先用余弦定理得216()3a b ab =+-,再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值,从而得ABC 周长的最大值.例19.(2022·江苏·高三专题练习)已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边长a ,b ,c 成等比数列,1cos()cos 2A CB -=+,延长BA 至D .则下面结论正确的是( ) A .6A π= B .3B π=C .若3CD =,则ACD 周长的最大值为3 D .若4BD =,则ACD【答案】BCD【解析】根据题中条件,利用三角恒等变换,以及正弦定理,求得1cos cos 4A C =,2sin sin sin B A C =,两式作差求出角B ,进而可求出3A C π==,判定A 错B 正确;再利用基本不等式,分别判断CD 两选项即可.【详解】因为在ABC 中,A B C π++=,则()A C B π-+=, 由1cos()cos 2A C B -=+可得()1cos()cos 2A C A C -=-++, 即1cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +=-++,所以1cos cos 4A C =△,又a ,b ,c 成等比数列,所以2b ac =,由正弦定理可得:2sin sin sin B A C =△, 由△△可得:21cos cos sin sin sin 4A C A CB -=-,则()21cos sin 4AC B +=-,所以()21cos sin 4B B π-=-,则23cos cos 4B B -=-+,即()()2cos 32cos 10B B +-=, 所以1cos 2B =, 因为角B 为三角形内角,所以()0,B π∈,则3B π=;又1cos()cos 2A CB -=+,所以cos()1A C -=; 角A ,C 为三角形内角,所以()0,A π∈,()0,C π∈,则(),A C ππ-∈-, 所以0A C -=,即3A C π==;即ABC 为等边三角形;故A 错,B 正确;延长BA 至D ,连接CD ,则23CAD π∠=, 若3CD =,在ACD 中,由余弦定理可得:2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅∠, 即()2229AD AC AC AD AD AC AC AD =++⋅=+-⋅()()()222344AD AC AD AC AD AC ++≥+-=,所以AD AC +≤当且仅当AD AC ==此时ACD 周长的最大值为3AD AC CD ++=;故C 正确;若4BD =,设2AB x =,则ABC 的高为h ==,所以ACD 的面积为 ())2112422222ACDx x SAD h x x x -+⎫=⋅=⋅-=-⋅≤=⎪⎭当且仅当2x x -=,即1x =时,等号成立;即ACD故D 正确.故选:BCD. 【点睛】方法点睛:求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时,常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式,建立a b +,ab ,22a b +之间的等量关系与不等关系,然后利用函数或基本不等式求解.例20.(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sinsin2B Cb a B +=,a =△ABC 周长的最大值为________.【答案】【分析】根据正弦定理,结合三角恒等变换可得3A π=,再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理,sinsin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又sin 0B ≠,故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即cos sin 2A A =.由二倍角公式有cos 2sin cos 222A A A =,因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 02A ≠,所以1sin 22A =,所以26A π=,即3A π=.222cos3b c bc π=+-,结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭,即()2124b c +≤,()28b c +≤,故b c +≤仅当b c =.故△ABC 周长的最大值为a b c ++故答案为:【题型】六、求三角形面积的最值或范围例21.(2023·全国·高三专题练习)已知圆锥的高为1,则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为( )A .2B .52C D .3【答案】D【分析】先根据圆锥的高和母线,求出顶角范围,结合面积公式可得最大值. 【详解】如图ABC 是圆锥的轴截面,由题意母线=BC 1CO =, 则1sin2CBO ∠=<,CBO ∠是锐角, 所以30CBO ∠<,于是得轴截面顶角12090ACB ∠>>,设截面三角形的顶角为θ,则过此圆锥顶点的截面面积21sin 2S θ=⨯,当两条母线夹角为90θ=时,截面面积为2132S =⨯=为所求面积最大值,故选:D.例22.(2023·全国·高三专题练习)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2a =,2cos 2cos 24sin C A B =+,则ABC 面积的最大值是( ) A .23B .1C .43D .2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=;利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ,进而得到sin A ;利用三角形面积公式,将ABCS 表示为以2b 为自变量的二次函数的形式,利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得:22212sin 12sin 4sin C A B -=-+, 即222sin sin 2sin A C B =+,由正弦定理得:22224a c b =+=;由余弦定理得:2222cos 4a b c bc A =+-=,222222cos c b b c bc A ∴+=+-,即cos 2bA c =,()0,A π∈,sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=,2242c b ∴=-,ABCS∴=则当289b =时,42max996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭,()max142233ABC S∴=⨯=. 故选:A.例23.(2023·全国·高三专题练习)ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=,则ABC 的面积的最大值( )A .1B C .2D .【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=,利用正弦定理化角为边,结合余弦定理求得角A ,再根据cos cos 2b C c B +=,利用余弦定理化角为边求得边a ,再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值,再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解:因为()sin sin sin b c B c C a A -+=, 所以222b bc c a -+=, 所以1cos 2A =, 又()0,A π∈,所以3A π=,因为cos cos 2b C c B +=,所以222222222a b c a c b b c ab ac+-+-+=,所以2a =,由2222cos a b c bc A =+-,得224b c bc bc =+-≥, 所以4bc ≤,当且仅当2b c ==时,取等号,则1sin 2ABC S bc A ==≤△,所以ABC 故选:B.例24.(2022·江西·芦溪中学高三阶段练习(理))在锐角ABC 中,a b c ,,分别为角A B C ,,的对边,已知2222b c a bc b +=+=,,则ABC 的面积S 的取值范围是( )A .⎣B .⎝C .⎝D .⎝ 【答案】C【分析】根据条件求出π3A =,利用三角形面积公式得到1sin 2ABCSbc A ==,采用极端值方法求出c 的最值,进而得到c 的范围,求出面积的取值范围. 【详解】2221cos 22b c a A bc +-==,因为ABC 为锐角三角形,故π3A =,1sin 2ABCSbc A ==,当BC △AB 时,cos 1c b A ==,当CB △AC 时,4cos b c A ==,故()1,4c ∈,所以ABCS∈⎝=. 故选:C例25.(2022·全国·信阳高中高三阶段练习(理))我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式,即ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则ABC 的面积S =已知在ABC 中,cos 8ac B =,b =ABC 面积的最大值为( )A B .C .2D 【答案】A【分析】根据题意,结合余弦定理得22282a c b +-=,2228a c +=,22142a c ac +≤=,再根据公式求解即可.【详解】解:△222222cos 822a cb ac b ac B ac ac +-+-=⋅==,又△b =△2228a c +=.△22142a c ac +≤=(当且仅当a c ==.△ABCS ==△△ABC 故选:A.例26.(2022·全国·高三专题练习)在ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=+,则下列叙述正确的有( ) A .3A π=B .若2a =,则ABC C .若2AB =,3AC =,且2CE EB =,则23AE CB ⋅=D.若b =ABC 不存在,则边a 的取值范围是a >【答案】BC【分析】利用正弦定理以及余弦定理可判断A 选项的正误;利用余弦定理、基本不等式结合三角形的面积公式可判断B 选项的正误;利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项的正误;利用ABC 不存在结合已知条件求出a 的取值范围,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由正弦定理可得()()()a b a b b c c +-=+,可得222b c a bc +-=-, 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==-,因为()0,A π∈,故23A π=,A 选项错误; 对于B 选项,因为222423a b c bc bc bc bc ==++≥+=,则43bc ≤,当且仅当b c ==21sin 2ABC S bc A =≤=⎝⎭△ B 选项正确;对于C 选项,2cos33AB AC AB AC π⋅=⋅=-,2CE EB =,即()2AE AC AB AE -=-,所以,()123AE AB AC =+, 所以,()()()22112233AE CB AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅-=-⋅- ()2212223333=⨯+-=,C 选项正确;对于D 选项,因为23A π=,b =且满足条件的ABC 不存在,则a b ≤=D 选项错误. 故选:BC.例27.(2022·全国·高三专题练习)如图,△ABC 的三个内角A ,B ,C 对应的三条边长分别是a ,b ,c ,△ABC 为钝角,BD △AB ,7225cos ABC ∠=-,c =2,b =则下列结论正确的有( )A .sin A =B .BD =2C .53CD DA = D .△CBD 的面积为45【答案】AC【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos ABC ∠的值,利用余弦定理求得c 的值,再计算sin A ,由同角的三角函数关系求出cos A ,根据直角三角形边角关系求出AD ,BD ,CD 的值,再计算BCD ∆的面积从而得解.【详解】解:由7cos 225ABC ∠=-,得:272cos 125ABC ∠-=-, 又角ABC ∠为钝角, 解得:3cos 5ABC ∠=-,由余弦定理2222cos c a c ac ABC =+-∠,得:264344()55a a =+--, 解得2a =,可知ABC ∆为等腰三角形,即A C =, 所以()23cos cos 212sin 5ABC A A ∠=-=--=-,解得sin A =,故A 正确,可得cos A ==在Rt ABD ∆中,cos c A AD=,得AD =1BD ,故B 错误,CD b AD =-==,可得353555CD DA ==,可得53CD DA =,故C 正确,所以BCD ∆的面积为113sin 2225BCD S a CD C ∆=⨯=⨯=,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】利用正弦、余弦定理解三角形,利用1sin 2BCD S a CD C ∆=⨯⨯求三角形的面积.。

三角形的周长与面积计算应用计算方法解决实际问题

三角形的周长与面积计算应用计算方法解决实际问题

三角形的周长与面积计算应用计算方法解决实际问题三角形是几何学中最基本的图形之一,它的周长和面积是我们求解实际问题时经常需要计算的重要指标。

本文将介绍三角形的周长和面积的计算方法,并结合实际问题进行应用。

一、三角形的周长计算方法三角形的周长指的是三个边的长度之和,下面将介绍三种不同类型三角形的周长计算方法。

1. 一般三角形的周长计算方法一般三角形是指三边长度各不相等的三角形,其周长可以通过将三个边的长度相加得到。

例如,已知一个一般三角形的三边分别为a、b、c,则该三角形的周长P可以表示为:P = a + b + c2. 等腰三角形的周长计算方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形,其周长可以通过将底边长度乘以2再加上两边的长度得到。

例如,已知一个等腰三角形的底边长度为b,两边长度为a,则该三角形的周长P可以表示为:P = 2a + b3. 等边三角形的周长计算方法等边三角形是指三边长度均相等的三角形,其周长可以直接通过将任意一条边的长度乘以3得到。

例如,已知一个等边三角形的边长为a,则该三角形的周长P可以表示为:P = 3a二、三角形的面积计算方法三角形的面积是指由三边构成的区域的大小,下面将介绍三种不同类型三角形的面积计算方法。

1. 一般三角形的面积计算方法一般三角形的面积可以通过海伦公式或三角形的高和底边的长度进行计算。

海伦公式是指通过三条边的长度计算三角形面积的公式,公式如下:S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))其中,p表示三边长度之和的一半,即p = (a + b + c) / 2。

另外,如果已知三角形的高h和底边长度b,面积S可以表示为:S = (1/2) × h × b2. 等腰三角形的面积计算方法等腰三角形的面积可以通过将底边长度b和高h相乘再除以2得到。

例如,已知一个等腰三角形的底边长度为b,高为h,则该三角形的面积S可以表示为:S = (1/2) × b × h3. 等边三角形的面积计算方法等边三角形的面积可以通过将边长a的平方乘以根号3再除以4得到。

初中数学 如何计算三角形的周长和面积

初中数学 如何计算三角形的周长和面积

初中数学如何计算三角形的周长和面积计算三角形的周长和面积是数学中常见的问题,下面将分别介绍这两种计算方法。

一、计算三角形的周长:三角形的周长是指三条边的长度之和。

计算三角形的周长的步骤如下:1. 确定三角形的三个顶点:首先,需要知道三角形的三个顶点的坐标。

2. 计算三个边的长度:通过使用两点之间的距离公式,可以计算出三角形的三个边的长度。

具体的公式为:d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²),其中(x1, y1)和(x2, y2)为两个顶点的坐标,d为两点之间的距离。

3. 求解周长:将三个边的长度相加即可得到三角形的周长。

二、计算三角形的面积:三角形的面积可以通过不同的公式计算,具体的公式取决于所给的信息。

下面介绍三种常见的计算方法:1. 根据边长计算面积:如果已知三角形的三个边的长度,可以使用海伦公式来计算三角形的面积。

具体的公式为:面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c)),其中s为三角形的半周长,计算公式为:s = (a+b+c)/2,a、b、c分别为三角形的三个边的长度。

2. 根据底边和高计算面积:如果已知三角形的底边长度和对应的高,可以使用底边乘以高再除以2的方式计算三角形的面积。

具体的公式为:面积= (底边× 高) / 2。

3. 根据两边夹角和边长计算面积:如果已知两边夹角的度数和两边的长度,可以使用正弦函数计算三角形的面积。

具体的公式为:面积= (边1 × 边2 × sin(夹角)) / 2,其中边1和边2为两边的长度,夹角为两边之间的夹角的度数。

需要注意的是,对于非直角三角形,可以使用任意一种方法计算面积;而对于直角三角形,可以使用两条直角边的乘积再除以2的方式计算面积。

总结起来,计算三角形的周长可以通过计算三个边的长度之和得到。

计算三角形的面积可以根据所给的信息使用海伦公式、底边乘以高再除以2的方式或正弦函数计算。

三角形求周长和面积完整的解决方案

三角形求周长和面积完整的解决方案
this.angle3 = Math.PI - this.side1 - this.side2;
this.perimeter = this.side1 + this.side2 + this.side3;
this.area = this.side1 * this.side2 * Math.cos(this.angle3);
this.side1 = side1;
this.side2 = this.side1 * Math.sin(this.angle2)
/ Math.sin(this.angle1); //正弦定理
this.side3 = this.side1 * Math.sin(this.angle3)
public Triangle(double side1, float angle2, float angle3) {
this.angle1 = Math.PI - angle2 -angle3;
this.angle2 = angle2;
this.angle3 = angle3;
*/
public Triangle(double side1, double side2, double side3) {
this.side1 = side1;
this.side2 = side2;
this.side3 = side3;
return side3;
}
public double getAngle1() {
return angle1;
}
public double getAngle2() {
return angle2;

三角形的周长与面积的计算与推理方法

三角形的周长与面积的计算与推理方法

三角形的周长与面积的计算与推理方法三角形是几何学中常见的图形,它由三条线段组成,每两条线段的交点称为顶点。

计算三角形的周长和面积是解决许多几何问题的基本方法。

本文将介绍三角形的周长和面积的计算方法,并探讨一些相关的推理方法。

一、周长的计算方法三角形的周长是指其三条边的长度之和。

计算三角形周长的方法取决于已知的信息:1. 已知三边的长度:如果知道三个边的长度a、b和c,只需将它们相加即可得到周长,即周长= a + b + c。

2. 已知顶点坐标:如果知道三个顶点A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3,y3)的坐标,可以使用距离公式来计算两点之间的距离,然后将三个边长相加得到周长。

假设AB边的长度为d1,BC边的长度为d2,AC边的长度为d3,则周长P = d1 + d2 + d3。

距离公式为:d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。

3. 已知边长和角度:如果已知一个角和两个边的长度,则可以使用余弦定理计算三角形的周长。

假设已知一个角A和两边的长度a和b,另一边的长度为c,则周长P = a + b + c。

余弦定理为:c² = a² + b² - 2abcos(A)。

二、面积的计算方法三角形的面积是指其内部所围成的平面空间的大小。

计算三角形面积的方法有以下几种:1. 已知底边和高:如果已知三角形的底边长度为b,且垂直于底边的高为h,可以使用面积公式计算三角形的面积。

面积A = 0.5 * b * h。

2. 已知边长:如果已知三角形的三边长度分别为a、b和c,可以使用海伦公式计算三角形的面积。

海伦公式利用了三角形的周长和半周长的概念。

假设三角形的半周长为s,即s = (a + b + c) / 2,则面积A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))。

3. 已知顶点坐标:如果已知三个顶点A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)的坐标,可以使用行列式的方法计算三角形的面积。

求三角形周长(面积)范围类问题解法探究

求三角形周长(面积)范围类问题解法探究

求三角形周长(面积)范围类问题解法探究楚雄第一中学赵泽民解三角形是高考的常考题型,主要出现在高考试卷 的解答题中,以解答题第17题的位置较为常见,偶尔也会 出现在选择题和填空题中.其考法主要围绕着正、余弦定 理,结合三角恒等变换,重点考査正、余弦定理的边角互 化及三角恒等变换公式的灵活应用,往往要求考生计算 边长、周长和面积的大小或范围.这类试题以中档题为主, 是考生志在必得却又容易卡壳的题目之一.本文主要以三 角形周长范围的求解为例,探讨此类题的解法,总结解题 规律,帮助考生摆脱“会而不对,对而不全”的苦恼.解决这类问题的方法主要有两种:一是利用“正弦定 理结合三角函数的值域”来求得最终范围;二是利用“余 弦定理结合基本不等式”来构造不等式使问题得到很好 的解决.在遇到此类问题时,学生往往偏向于计算量相对 较少的“余弦定理结合基本不等式”的解题思路来解决问题,但随着解题的深人,往往会遇到诸如范围被放大或缩 小的困境;另外一部分学生会考虑用“正弦定理结合三角 函数值域”的求解策略,但随着解决问题的深人往往会受 正弦定理转化的影响使问题变得“无从下手”,最终使自 己的心态从“满满的期待”转变为“满心的无奈与紧张那 么,当我们遇到这样的问题时,应该采取什么样的解题策 略呢?原题呈现:在锐角A /1SC 中,角的对边分别为 a ,6 ,c ,已知6=3,sin /l +asinfi =2(1) 求角4的大小;(2) 求周长的取值范围.对于A 4S C 周长的取值范围问题,我们驾轻就熟的往 往是“已知三角形的一个内角和其对边求周长的大小或 周长的最值”这一类问题.而本题的第(2)问却巧妙地避开① 当a 矣1时,由1矣*矣3得g U )矣0,/,U )«0,.../U ) 在[1,3]上单调递减,此时/(x K 1 )=-a -l =-2,解得a =l ;② 当时,由 1以《3得g U )>0,/,(*)>0, .•./0«:)在[1,3]上单调递增,此时/U )_=/(3)=U -l )ln 3-f -3=-2,解得a =」^±L <3,舍去;ln 3-—3③ 当l <a <3时,由 l <Cc <a 得g (;c )>0,/彳*)>0,由a <x <3得 g U )<0,/' U )<0,此时/U )在[1, a ]上单调递增,在[a , 3]上单 调递减,从而〇 )=( a_ 1) l na_ 1 _a =_2,解得a =e .综上所述,a =l 或a =e .【点拨】在例4中,/'U )的函数值符号由函数g U )z -U +D U -a )的函数值符号决定,/'U )的零点即的 零点为-1和a ,其中a 与定义域[1,3]的关系不确定,应分为 三类,即①a 矣1,②a >3,③l <a <3.总之,在解函数导数综合题的过程中,当导函数含函数g U )=ax +6,且导函数的符号由)函数值符号决定,要根据一次项系数的符号进行分类.当导函数含函数g U )z a ^+h +c ,且导函数的符号由g U )函数值符号决定,要把 握好分类讨论的层次.一般按下面次序进行讨论:首先,根 据二次项系数的符号进行分类;其次,根据方程g U )=0的 判别式A 的符号进行分类;最后,在根存在时,根据根的 大小进行分类.◊责任编辑邱艳〇Journal of Yunnan Education 65了平时复习中“练熟练透”的解题方法,把已知条件由常 规的“已知三角形的一个内角和其对边”变为“已知三角 形的一边和与这条边不相对的角”,还加上了一条限制一“A/l f i C为锐角三角形”,最终要求考生求“周长的 取值范围”,成功地把一道毫无新意的“陈题”装满了“新 酒解决该题的第(2)问时无论考生选择“余弦定理结合 基本不等式”,还是选择“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略都会不同程度受挫,造成一定的心理负担.一、一波三折,尝试解答在解决第(2)问时,如果采用“余弦定理结合基本不 等式”的解题策略,能顺利地解决问题吗?我们又会遇到 哪些困惑呢?第一种境遇,由第(1)问很容易求得/1= |,结合已知条件6=3,我们容易想到P d+c^a cco sB或^(a+c)2 -l a c d+c o s S),但苦于B角未知导致解题受阻,进而尝试 a^/^+^-Sfcccos/l或 +c)2-26c(l+cos/4),也因没有任何解题进展而放弃,最终无奈地写下“a+c>3”这一常见结 论,出现虽“惺惺相惜,但不得不罢手”的遗憾,因为这个 题由不得考生花太多的时间尝试.第二种境遇,尝试用“正弦定理结合三角函数值域”求解,考生受制于定式思维的影响,往往第一时间想到 a=2/?sin/4, 6=2/?siaB ,c=2/?sinC ,进一步得到a+ c= 2/f (sia4+S inC),结合/I+S+C=i7,快速地达到统一角的目 标,欣喜之余,发现2/?成了解下去的拦路虎,解题受挫,产 生“放弃与坚持”的纠结.第三种境遇,考生静下心来认真审视正弦定理+sirvi=2f t的结构和已知条件“6=3,4 =,找到解sin B sinC决问题的突破口,通过尝试发现,虽然“边不是角的对边,角也不是边的对角”,但只要搭配得当,也一样可以达到2V J统一角的目标.由-sin5-可知,csin;4 sinB3sinC-可知,0sinB,进一步得到a+c=2s\n B3V T;再由csinC3sinC合三角形内角和定理可知a+c:3V T2s\nB2sinB sin B3sin(^--B)sin/?,结,化简得a+c=3V T21+cosB 3 _ 3\^3~sin B 2 21+w寻-i..B Bzsin—cos—22•一1到此,本题基本上可以算是考生2 2 B2tan—2的囊中之物了,但部分欣喜若狂的考生可能会忘记题设对“三角形为锐角三角形”这一条件的限制而出现“大意失荆州”的苦恼与失落.由A/1S C为锐角三角形可知2(I,I),进一步求得tan!£(2-\A T,l),从而求得12 4 2-^E(1,2+\A T),q+c E( 3-^?—,3V T+6),又因B 2tan—2为6=3,所以周长的取值范围为a+6+C e(i V^,3V T+9).通过上述分析与解答,我们不难发现该题虽属中档题,每一个学生都是有思路的,但在解答的过程中却总是遇到或这样或那样的解题挫折,从心理上给学生造成相当大的压力,致使学生出现求之不得、弃之可惜的犹豫,导致宝贵的作答时间白白浪费.本题命题者设置了较多的“陷阱”,稍不留神,就会出现“会而不对,对而不全”的遗憾.另外,本题解题过程看似很新,实则还是利用了常规的“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略,只是方法和以往解题常规略有差异导致考生解题时“困难重重二、遇见真题,强化巩固变式:(2019年全国卷nUZUBC的内角的对边分别为a,6,c,已知o sin l^"=fesinA.2(1) 求 S;(2) 若A/IBC为锐角三角形,且c=l,求厶/1BC面积的取值范围.分析:(1)已知边角等式asin^^=6Sin A.结合三角形2内角和定理得到sin土1^"=cos呈,进一步可求得s in Z■,最222终求出角5.(2)由(1)求得角S,结合三角形面积公式、正弦定理,以及三角形内角和定理得到关于面积的表达式,从66 4左焱1 •中学教师202 U、2方法与策略A XB C为锐角三角形出发,可求得面积的范围.有前面的解题实践,我们很快就可以将解题策略放在“正弦定理结合三角函数求值域”这一路径上.解答:⑵由(1)可知又因为c=l,所以S A,sc=V T 4由正弦定理可知〇=csin/1sinC sinC2tanCj.因为A薦为锐角三角形,所如(+’2),S导,苧点评:在本题第(2)问的解答过程中,准确地用好正 弦定理是关键,其易错点是忽视“S C为锐角三角形”这 一题设条件,导致角4 ,C的取值偏大,从而影响最终结果.三、反思人教A版《数学》(必修五)第一章“解三角形”重点讲 了正弦定理及其变形、余弦定理及其变形和三角形面积 公式,而这些内容往往结合三角恒等变换成为高考的热 点,深受命题者青睐.近几年,这一题型的命题方式呈现考 点被细化、方法更灵活、解题“陷阱”更隐秘的特点.表面上 考生人手是容易的,但要做对、做全却并非易事.在平时的 教学中,无论是教师,还是学生都认为这道题往往是考卷 中解答题的第一题,其难度中档,是平时训练力度较大、解题方法较全的题型.在大多数学生心中这类题是志在必 得的题目,是后进生突破90分,中等生突破120分的关键 题型之一,也是考生愉悦地解决后续大题的心理基础,对 提升应考状态也至关重要.解决这类问题,定理的选择很 重要,有效的边角互化是解题的关键,方法一旦出错,便 容易在这个问题上绕弯,甚至出现“无法自拔”的解题投 人,最终是“求之不得,弃之不舍”的无奈.所以,教师在平 时讲解训练时,一定要注重对方法的总结,鼓励学生大胆 尝试,重视对一题多解和多题一解的强化.总之,所有解题 时的从容应对,都是平时解题方法的日积月累,静下心 来,用心投人,所有的问题都经不起琢磨.解三角形中的面积与周长的相关问题其难度一般属 于中档题,解题关键是灵活应用正(余)弦定理及其变形,有效地结合三角函数值域或基本不等式来找到解题的突 破口,但在解题时需破除解题定式干扰,勇于尝试.一般情况是若已知当中给定的边是角的对边(或角是边的对 角),则选择“余弦定理结合基本不等式”或“正弦定理结 合三角函数值域”都可以解决问题;但如果题设条件中限 制三角形为锐角三角形(或钝角三角形)则宜选择“正弦 定理结合三角函数值域”来解决问题;若已知三角形的边 不是已知角的对边(或已知三角形的角不是已知边的对 角),则优先选择“正弦定理结合三角函数值域”来解决问 题.在使用正弦定理时,应规避三角形外接圆半径对解题 的影响,直接使用正弦定理解决问题即可.解题时,必须注 意三角形形状对解题结果的影响,注意角的取值范围.从近几年高考题来看,命题者往往选择比较熟悉的 命题背景,在题目中布下隐秘的陷阱.如在求周长或面积 的范围时,考生往往比较熟悉最值,而命题者在考生熟悉 的解题题型上,稍加改进,就可能困住考生.譬如在已知条 件中限制三角形形状或所给的边与角并不对应等.这提醒 我们在平时的教学训练中,应有针对性地进行一题多解 和多题一解的训练.这样可有效地提髙学生V I别问题和解 决问题的效率,可有效增强学生的解题自信.在教学中,教师强化学生的解后反思意识是非常有 必要的.引导学生写好解题反思有助于学生发现解题亮 点,关注解题过程中遇到的困难,优化解题过程和解题思 路.通过对解题过程的回顾与探讨、分析与研究,领悟解题 的主要思想,关键因素,掌握数学中的基本思想和通性通 法,并能灵活地应用其去解决不同的问题.◊责任编辑邱艳〇Journal of Yunnan Education 67。

三角形的周长和面积计算

三角形的周长和面积计算

三角形的周长和面积计算一、三角形的周长计算1.1 概念:三角形周长是指三角形三条边的总长度。

1.2 计算方法:已知三角形的三边长a、b、c,周长P=a+b+c。

1.3 单位:周长的单位通常为米、厘米、千米等长度单位。

二、三角形的面积计算2.1 概念:三角形面积是指三角形所占平面区域的面积大小。

2.2 计算方法:(1)已知三角形的三边长a、b、c,高h,面积S=(a×h)/2 或 S=(b×h)/2。

(2)已知三角形的两边长a、b和它们夹角C,面积S=(a×b×sinC)/2。

2.3 单位:面积的单位通常为平方米、平方厘米、平方千米等面积单位。

三、三角形分类3.1 按边长分类:(1)不等边三角形:三边长都不相等。

(2)等腰三角形:有两条边相等,底边不等于腰。

(3)等边三角形:三条边都相等。

3.2 按角度分类:(1)锐角三角形:三个内角都小于90°。

(2)直角三角形:有一个内角为90°。

(3)钝角三角形:有一个内角大于90°。

四、三角形性质4.1 内角和:三角形的三个内角和等于180°。

4.2 外角和:三角形的三个外角和等于360°。

4.3 对边相等:三角形中,相对的两边相等。

4.4 对角相等:三角形中,相对的两个角相等。

4.5 中线定理:三角形的中线等于对应边的一半。

五、实际应用5.1 计算三角形周长和面积,解决生活中的实际问题,如测量土地、计算物体表面积等。

5.2 利用三角形的性质和计算方法,解决几何问题,如证明三角形全等、相似等。

5.3 了解三角形分类,便于对三角形进行更深入的研究和应用。

六、学习建议6.1 掌握三角形周长和面积的计算方法,熟练运用公式。

6.2 理解三角形分类,掌握各类三角形的特点。

6.3 熟练运用三角形性质,解决几何问题。

6.4 结合实际应用,提高解决实际问题的能力。

6.5 注重练习,提高计算速度和准确性。

三角形的面积和周长

三角形的面积和周长

三角形的面积和周长在几何学中,三角形是最基本的形状之一,它由三条边和三个角组成。

计算三角形的面积和周长是我们常见的几何问题之一。

本文将介绍如何求解三角形的面积和周长,并提供相关的计算公式和例题。

一、三角形的面积计算三角形的面积计算是通过底长和高(或两边夹角)进行计算的。

以下是常见的三角形面积计算公式:1. 通过底长和高计算当我们已知三角形的底长和高时,可以用以下公式计算面积:面积 = 底长 ×高 ÷ 2例如,假设三角形的底长为5cm,高为8cm,那么它的面积可以计算为:面积 = 5cm × 8cm ÷ 2 = 40cm²2. 通过两边夹角和边长计算当我们已知两边夹角和两边的长度时,可以用以下公式计算面积:面积 = 1/2 ×边1 ×边2 × sin(夹角)其中,sin表示正弦函数。

例如,假设我们已知三角形两边的长度分别为5cm和8cm,夹角为60度,那么它的面积可以计算为:面积= 1/2 × 5cm × 8cm × sin(60°) ≈ 17.32cm²二、三角形的周长计算三角形的周长计算是通过三边的长度进行计算的。

周长 = 边1 + 边2 + 边3例如,假设三角形的三边长度分别为3cm、4cm和5cm,那么它的周长可以计算为:周长 = 3cm + 4cm + 5cm = 12cm三、案例分析接下来,我们通过几个实例来进一步说明如何计算三角形的面积和周长。

案例一:已知三角形的底长为6cm,高为9cm,求其面积和周长。

解析:根据底长和高的公式计算面积:面积 = 6cm × 9cm ÷ 2 = 27cm²由于题目未给出两边的长度,无法计算周长。

案例二:已知三角形的边1长度为7cm,边2长度为9cm,夹角为45度,求其面积和周长。

解析:根据两边夹角和边长的公式计算面积:面积= 1/2 × 7cm × 9cm × sin(45°) ≈ 22.57cm²根据三边长度计算周长:周长 = 7cm + 9cm + 边3由于题目未给出边3的长度,无法计算周长。

习题范例如何解决三角形面积和周长的问题

习题范例如何解决三角形面积和周长的问题

习题范例如何解决三角形面积和周长的问题在数学学习中,解决三角形面积和周长的问题是一个基础而重要的内容。

通过解题练习,我们可以巩固并应用所学的三角形相关知识,提高数学解题能力。

以下是解决三角形面积和周长问题的习题范例,通过这些例题的解析,我们可以更好地理解和掌握这一知识点。

习题1:已知三角形ABC的底边AB为6 cm,高CD为4 cm,求其面积和周长。

解析:首先,我们可以根据已知条件画出三角形ABC,并标记已知边和高。

A/ \/ \/ \/ \/_________\B C D根据题意,已知三角形的底边AB为6 cm,高CD为4 cm。

利用面积公式S=底边×高/2,可以计算出面积为S=6×4/2=12 cm²。

接下来,我们需要计算三角形的周长。

由于已知底边AB为6 cm,我们只需要确定其他两个边的长度即可。

根据勾股定理,可以得到斜边AC的长度,即AC=√(AB²+BC²)。

但是由于没有给出边BC的具体长度,所以无法求得AC的确切值。

因此,题目只能给出AC的表达式形式:√(36+BC²)。

根据题目的描述,我们无法得知边BC的具体数值,所以无法精确计算三角形的周长。

因此,在这个例子中,我们只能得出三角形的面积为12 cm²,无法确定三角形的周长。

习题2:已知三角形DEF的边长依次为EF=5 cm、DF=7 cm、DE=8 cm,求其面积和周长。

解析:根据题目给出的三边长度,我们可以画出三角形DEF。

D/ \/ \/ \/_______\E F为了计算三角形的面积,我们可以使用海伦公式:s = (EF + DF + DE) / 2面积S = √(s(s-EF)(s-DF)(s-DE))首先,计算半周长s,将EF、DF和DE代入海伦公式得到:s = (5 + 7 + 8) / 2 = 10然后,将EF、DF、DE和s代入面积公式,可以计算出三角形DEF 的面积为:S = √(10(10-5)(10-7)(10-8)) = √(10 * 5 * 3 * 2) = √300 ≈ 17.32 cm²接下来,我们计算三角形的周长。

如何计算三角形的周长和面积

如何计算三角形的周长和面积

如何计算三角形的周长和面积三角形是几何学中最基本的形状之一,计算三角形的周长和面积是数学中常见的问题。

本文将介绍如何计算三角形的周长和面积,并提供具体的计算方法。

一、计算三角形的周长三角形的周长是指三条边的长度之和。

要计算三角形的周长,首先需要获得三条边的长度。

方法一:已知三条边的长度如果已知三条边的长度分别为a、b、c,只需将这三条边的长度相加即可得到三角形的周长。

周长 = a + b + c方法二:已知三个顶点的坐标如果已知三个顶点的坐标,可以使用距离公式来计算三条边的长度,然后将它们相加得到周长。

设三个顶点分别为A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3),则三角形的周长为:周长 = AB + BC + AC其中,AB的长度可以通过以下公式计算:AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)BC和AC的长度同理。

二、计算三角形的面积计算三角形的面积可以使用不同的方法,具体计算方法取决于已知的条件。

方法一:已知底和高如果已知三角形的底和高的长度,可以使用以下公式计算面积:面积 = 1/2 * 底 * 高方法二:海伦公式如果已知三角形的三条边的长度,可以使用海伦公式计算面积。

海伦公式如下:面积= √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中,s为半周长,计算公式为:s = (a + b + c)/2其中,a、b、c为三角形的三条边的长度。

方法三:已知两边和夹角如果已知三角形的两条边和它们之间的夹角,可以使用以下公式计算面积:面积 = 1/2 * a * b * sin(c)其中,a和b为两条边的长度,c为它们之间的夹角。

总结:计算三角形的周长只需要将三条边的长度相加即可。

而计算三角形的面积则需要根据已知的条件选择合适的计算方法,可以通过底和高、海伦公式或已知两边和夹角来求解。

本文介绍了计算三角形周长和面积的常用方法,希望能对读者有所帮助。

数学教案解决三角形的面积和周长

数学教案解决三角形的面积和周长

数学教案解决三角形的面积和周长数学教案:解决三角形的面积和周长引言:数学中的三角形是一个基础而重要的概念,研究三角形的面积和周长具有实际应用和理论意义。

通过本教案,学生将学习如何准确计算三角形的面积和周长,以及掌握相关的解题技巧。

教学目标:1. 理解三角形的面积和周长的概念。

2. 掌握计算各种类型三角形的面积和周长的方法。

3. 运用所学知识解决实际问题。

教学重点:1. 掌握计算任意三角形的面积的公式和步骤。

2. 理解三角形周长的定义和计算方法。

教学准备:1. 教师准备教学教材、黑板、白板笔等。

2. 学生准备教材、笔、笔记本,尺子等。

教学过程:Step 1:导入教师可以通过问一些问题来引导学生进入三角形的话题,比如:“谁能告诉我三角形是什么?它有哪些特点?”Step 2:介绍三角形面积的计算方法教师可以在黑板上绘制一个任意三角形,并介绍面积的定义。

然后,教师引入基本公式“面积 = 底边长 ×高/2”,并解释每个变量的含义。

接下来,教师可以通过实例演示如何使用这个公式计算三角形的面积,并鼓励学生一起参与计算。

Step 3:解决面积计算问题教师可以提供一些练习题,让学生自行计算三角形的面积。

随后,教师可以选择几个学生进行解答,并给出反馈。

通过练习,学生将进一步巩固所学知识。

Step 4:介绍三角形周长的计算方法教师可以在黑板上绘制一个任意三角形,并介绍周长的定义。

然后,教师引入三角形周长的计算方法:“周长 = 边1 + 边2 + 边3”,并解释每个变量的含义。

接下来,教师可以通过实例演示如何使用这个公式计算三角形的周长,并邀请学生参与其中。

Step 5:解决周长计算问题教师可以提供一些练习题,让学生自行计算三角形的周长。

随后,教师可以从中选择几个学生进行解答,并给出反馈。

通过反复练习,学生将掌握计算三角形周长的技巧。

Step 6:综合应用教师可以提供一些实际问题,要求学生运用所学知识解决。

例如:“某个园子的形状是等腰三角形,高度为6米,底边长为8米,请计算园子的面积和周长。

三角形的周长和面积计算方法

三角形的周长和面积计算方法

三角形的周长和面积计算方法介绍三角形的周长和面积计算方法时,我们需要先了解什么是三角形。

三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。

根据三条边的长度,我们可以计算出三角形的周长和面积。

下面将详细介绍三角形的计算方法。

一、周长计算方法三角形的周长是指三条边的长度之和,计算方法如下:1. 如果已知三角形的三边长度分别为a、b、c,那么三角形的周长C等于a+b+c。

2. 如果已知三角形的两个边长a和b,以及它们之间的夹角θ,可以使用余弦定理计算第三边c,然后再计算周长C。

余弦定理的公式为:c² = a² + b² - 2abcosθ周长C = a + b + c二、面积计算方法三角形的面积是指三角形所覆盖的平面区域的大小,计算方法如下:1. 如果已知三角形的底边长b和高h,那么三角形的面积S等于底边长乘以高的一半。

面积S = (b * h) / 22. 如果已知三角形的两个边长a和b,以及它们之间的夹角θ,可以使用正弦定理计算面积S。

正弦定理的公式为:S = (1/2) * a * b * sinθ三、实例演算现在我们来通过实例演算来进一步理解周长和面积的计算方法。

假设已知一个三角形的边长分别为a=5、b=7、c=8,我们首先计算周长C:C = a + b + c = 5 + 7 + 8 = 20接下来,我们计算三角形的面积S。

由于没有给出底边长和高,我们采用正弦定理来计算面积。

假设夹角θ为30度,根据正弦定理:S = (1/2) * a * b * sinθ = (1/2) * 5 * 7 * sin30° = 8.75所以,这个三角形的周长C为20,面积S为8.75。

结论通过以上介绍和实例演算,我们了解了三角形的周长和面积计算方法。

根据不同的已知条件,我们可以灵活运用周长和面积的公式来计算三角形的大小。

在实际应用中,这些计算方法也被广泛运用于物理、建筑设计、航海导航等领域。

教你如何简单计算三角形的面积与周长

教你如何简单计算三角形的面积与周长

教你如何简单计算三角形的面积与周长三角形是几何中常见的形状之一,计算三角形的面积与周长是解决与三角形相关问题的基础。

本文将教您如何简单计算三角形的面积与周长。

一、三角形的面积计算公式三角形的面积计算公式为:面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。

其中,底边长度是三角形底边的长度,高是从底边垂直上方到顶点的距离。

具体计算步骤如下:1. 确定底边长度(记为a)和高(记为h)。

2. 将底边长度和高代入面积计算公式。

3. 计算结果即为三角形的面积。

举例来说,假设底边长度为5cm,高为8cm,则该三角形的面积计算步骤如下:面积 = 5cm × 8cm ÷ 2 = 40cm²。

二、三角形的周长计算公式三角形的周长计算公式为:周长= 边长1 + 边长2 + 边长3。

其中,边长1、边长2和边长3分别是三角形的三条边的长度。

具体计算步骤如下:1. 确定三角形的三条边的长度(记为a、b、c)。

2. 将三条边的长度相加,得到三角形的周长。

举例来说,假设三角形的三条边长度分别为3cm、4cm、5cm,则该三角形的周长计算步骤如下:周长 = 3cm + 4cm + 5cm = 12cm。

三、实际计算中的注意事项在进行三角形的面积与周长计算时,需要注意以下几点:1. 底边长度和高的单位要保持一致,如都为cm或都为m。

2. 边长的单位也要保持一致。

3. 在计算周长时,需要确保边长的长度大于其他两边之差,否则无法构成三角形。

总结:通过本文简单的介绍,我们学习到了如何计算三角形的面积与周长。

在实际计算中,只需要记住相应的计算公式,并按照步骤进行计算,即可得到准确的结果。

希望本文能够对您理解三角形的面积与周长的计算方法有所帮助。

三角形的面积与周长计算

三角形的面积与周长计算

三角形的面积与周长计算三角形是几何学中最基本的图形之一,其面积和周长的计算方法对于解决实际问题和进行几何推理都具有重要意义。

本文将介绍如何计算三角形的面积和周长,并通过实例进行说明。

一、三角形的面积计算方法1. 根据底和高计算面积三角形的面积可以通过底的长度和对应的高来计算。

公式为:面积= 底 ×高 ÷ 2。

其中,底是三角形任意一边的长度,高是从底到与底垂直的另一边的距离。

例如,已知一个底长为12cm,对应的高为8cm的三角形,可以使用该公式计算面积:面积 = 12cm × 8cm ÷ 2 = 48cm²2. 根据三边长度计算面积若已知三角形的三条边的长度,可以通过海伦公式来计算三角形的面积。

海伦公式为:面积= √[s(s - a)(s - b)(s - c)],其中 s 为半周长,a、b、c 分别为三角形的三边长度。

半周长 s 的计算公式为 s = (a + b + c) ÷ 2。

举例来说,若已知一个三角形的三边长度分别为5cm、6cm和7cm,可以使用上述公式计算面积:s = (5cm + 6cm + 7cm) ÷ 2 = 9cm面积= √[9cm(9cm - 5cm)(9cm - 6cm)(9cm - 7cm)] = √[9cm × 4cm ×3cm × 2cm] = 6√6 cm²二、三角形的周长计算方法三角形的周长是三条边的长度之和。

已知三边长度的情况下,可以直接相加计算。

例如,已知一个三角形的三边长度分别为5cm、6cm和7cm,可以计算出周长为:周长 = 5cm + 6cm + 7cm = 18cm三、实例演示现给定一个底长为10m,高为6m的三角形,我们先来计算其面积。

根据公式面积 = 底 ×高 ÷ 2,代入数值计算:面积 = 10m × 6m ÷ 2 = 30m²接下来,我们已知一个三角形的三边长度分别为9cm、12cm和15cm,计算它的面积和周长。

高中数学如何求解三角形的面积和周长

高中数学如何求解三角形的面积和周长

高中数学如何求解三角形的面积和周长在高中数学中,求解三角形的面积和周长是基础且重要的知识点。

掌握了这些求解方法,不仅可以帮助我们更好地理解几何学的概念,还可以在实际生活中应用到测量和计算等方面。

本文将从不同类型的三角形入手,介绍一些常见的求解面积和周长的方法,并通过具体题目进行讲解和分析。

一、普通三角形的面积和周长求解普通三角形是指三边长度各不相等的三角形。

对于普通三角形,我们可以利用海伦公式来求解其面积。

海伦公式的表达式为:面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中,a、b、c分别为三角形的三边长度,s为半周长,即s = (a+b+c)/2。

例如,假设有一个普通三角形,已知其三边长度分别为a=3cm,b=4cm,c=5cm,我们可以利用海伦公式来求解其面积。

首先计算半周长s = (3+4+5)/2 =6cm,然后带入公式进行计算,得到面积= √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6*3*2*1] = √[36] = 6cm²。

除了利用海伦公式求解面积外,我们还可以利用三角形的高来求解面积。

对于任意三角形,其面积可以表示为底边长乘以高的一半,即面积 = (底边长度 * 高) / 2。

因此,如果我们已知三角形的底边长度和高,就可以直接求解面积。

二、等边三角形的面积和周长求解等边三角形是指三边长度均相等的三角形。

对于等边三角形,我们可以利用特殊的性质来求解其面积和周长。

首先,等边三角形的周长可以直接计算,即周长 = 3 * 边长。

其次,对于等边三角形的面积,我们可以利用正弦定理来求解。

正弦定理的表达式为:面积 = (边长² * √3) / 4例如,假设有一个边长为5cm的等边三角形,我们可以利用正弦定理来求解其面积。

带入公式进行计算,得到面积= (5² * √3) / 4 = (25 * √3) / 4 ≈ 10.83cm²。

三、直角三角形的面积和周长求解直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

三角形的面积与周长计算

三角形的面积与周长计算

三角形的面积与周长计算三角形作为几何形状中最基本的形式之一,在数学中占据着重要的地位。

准确计算三角形的面积和周长是解决各种相关问题的关键。

本文将详细介绍如何计算三角形的面积和周长,以及相关的数学公式和计算步骤。

一、三角形的面积计算计算三角形的面积是了解三角形大小的重要手段之一。

下面介绍两种常见的计算三角形面积的方法。

1. 高度法高度法是最简单和直观的计算三角形面积的方法之一。

对于任意三角形,我们可以通过以下步骤计算其面积:步骤一:确定三角形的底边和对应的高。

步骤二:使用公式:面积 = 底边 ×高 ÷ 2 计算三角形的面积。

例如,给定一个底边长为6米,高为4米的三角形,可以通过以下计算得到其面积:面积 = 6米 × 4米 ÷ 2 = 12平方米因此,该三角形的面积为12平方米。

2. 海伦公式当我们知道三角形的三边长度时,可以使用海伦公式来计算三角形的面积。

海伦公式如下:面积= √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))其中,a、b、c 分别表示三角形的三边长度,s 表示半周长(即 s = (a + b + c) ÷ 2)。

例如,给定一个三角形的三边长度分别为3米、4米和5米,可以通过以下计算得到其面积:s = (3米 + 4米 + 5米) ÷ 2 = 6米面积= √(6米 × (6米 - 3米) × (6米 - 4米) × (6米 - 5米)) = √36 = 6平方米因此,该三角形的面积为6平方米。

二、三角形的周长计算计算三角形的周长可以帮助我们了解三角形的边界长度。

下面介绍两种常见的计算三角形周长的方法。

1. 边长相加法对于任意三角形,我们只需要将三个边长相加即可得到三角形的周长。

例如,给定一个三角形的三边长度分别为3米、4米和5米,可以通过以下计算得到其周长:周长 = 3米 + 4米 + 5米 = 12米因此,该三角形的周长为12米。

三角形的面积与周长计算

三角形的面积与周长计算

三角形的面积与周长计算三角形是几何学中最基础的图形之一,它由三条线段组成。

在计算三角形的面积和周长时,我们需要了解一些基本公式和方法。

本文将为您详细介绍如何计算三角形的面积和周长。

一、三角形的面积计算计算三角形的面积通常可以使用两种方法:海伦公式和高度与底边的乘积一半。

1. 使用海伦公式计算海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算面积的方法。

假设三角形的边长分别为a、b、c,其中s为半周长(即三边长之和的一半),面积(A)可以通过以下公式来计算:A = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))其中,√表示开根号。

利用海伦公式,我们可以通过已知的三边长来计算三角形的面积。

2. 使用高度与底边的乘积一半计算如果我们知道三角形的底边长和对应的高度,我们可以使用以下公式来计算面积:A = (底边 ×高度) / 2在这种情况下,我们只需要知道三角形的底边和对应的高度即可计算出面积。

不管使用哪种方法计算,记得用适当的单位(如平方单位)表示面积。

二、三角形的周长计算计算三角形的周长非常简单,只需要将三条边长相加即可得到。

周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3在计算时,需要确保边长的单位保持一致。

三、示例展示让我们通过一个实际的例子来展示如何计算三角形的面积和周长。

假设有一个三角形,其边长分别为5 cm、6 cm和8 cm。

我们首先使用海伦公式计算面积:s = (5 cm + 6 cm + 8 cm) / 2 = 9.5 cmA = √(9.5 cm × (9.5 cm - 5 cm) × (9.5 cm - 6 cm) × (9.5 cm - 8 cm))≈ √(9.5 cm × 4.5 cm × 3.5 cm × 1.5 cm)≈ √267.75 cm²≈ 16.36 cm²然后,我们计算周长:周长 = 5 cm + 6 cm + 8 cm= 19 cm因此,该三角形的面积约为16.36平方厘米,周长为19厘米。

三角形的周长与面积的计算

三角形的周长与面积的计算

三角形的周长与面积的计算三角形是几何学中最基本的形状之一,具有广泛的应用。

在几何学中,我们经常需要计算三角形的周长和面积。

本文将介绍如何计算三角形的周长和面积,帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、三角形的周长的计算三角形的周长是指所有边长之和。

对于任意一个三角形,我们可以通过以下公式来计算其周长:周长 = 边长1 + 边长2 + 边长3其中,边长1、边长2和边长3是三角形的三条边的长度。

三角形中的边可以用不同的单位来度量,如厘米、米等,根据具体情况采用相应的单位。

下面通过一个实例来演示如何计算三角形的周长。

实例1:已知一个三角形的三边分别为5厘米、8厘米和4厘米,求其周长。

解:根据周长的计算公式,将三条边的长度相加即可得到周长。

周长 = 5厘米 + 8厘米 + 4厘米 = 17厘米所以,该三角形的周长为17厘米。

二、三角形的面积的计算三角形的面积是指三角形内部所围成的区域的大小。

对于任意一个三角形,我们可以通过以下公式来计算其面积:面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2其中,底边长度是指三角形的一条边的长度,高是指从底边到与之平行的另一边的垂直距离。

下面通过几个实例来演示如何计算三角形的面积。

实例2:已知一个三角形的底边长度为6厘米,高为4厘米,求其面积。

解:根据面积的计算公式,将已知的底边长度和高代入公式中即可计算出面积。

面积 = 6厘米 × 4厘米 ÷ 2 = 12平方厘米所以,该三角形的面积为12平方厘米。

实例3:已知一个三角形的三边分别为7厘米、9厘米和12厘米,求其面积。

解:对于已知三边长度的情况,我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。

首先,计算半周长s,公式如下:s = (边长1 + 边长2 + 边长3)÷ 2 = (7厘米 + 9厘米 + 12厘米)÷ 2 = 14厘米然后,使用以下公式计算面积:面积= √(s × (s - 边长1) × (s - 边长2) × (s - 边长3))面积= √(14厘米 × (14厘米 - 7厘米) × (14厘米 - 9厘米) × (14厘米 - 12厘米)) = √(14厘米 × 7厘米 × 5厘米 × 2厘米) ≈ √(980) ≈ 31.3平方厘米所以,该三角形的面积约为31.3平方厘米。

三角形的周长与面积计算

三角形的周长与面积计算

三角形的周长与面积计算三角形是几何学中最基础且最重要的图形之一。

计算三角形的周长与面积对于解决实际生活或学术问题至关重要。

本文将介绍如何准确计算三角形的周长与面积,并提供一些实例来说明计算方法。

一、三角形周长的计算三角形的周长即是三条边的长度之和。

根据三角形的特性,假设三角形的边长分别为a、b、c,则三角形的周长P等于a + b + c。

现假设有一个三角形,其中边长分别为a = 5 cm,b= 6 cm,c = 8 cm。

我们可以通过将边长相加计算出这个三角形的周长。

根据公式,将a、b、c相加得到P = 5 + 6 + 8 = 19。

因此,该三角形的周长为19 cm。

二、三角形面积的计算三角形的面积是根据三角形的底边和高计算得出。

基本公式是S = (1/2) ×底边 ×高。

当我们知道了三角形的底边和高时,可以通过代入公式进行计算。

例如,假设一个三角形的底边长为8 cm,高为5 cm。

将底边和高代入公式,可计算出该三角形的面积S = (1/2) × 8 × 5 = 20 cm²。

因此,该三角形的面积为20平方厘米。

当我们无法直接获得三角形的底边和高时,我们可以利用海伦公式或其他相关公式来计算三角形的面积。

这些计算方法超出本文的范围,但你可以通过查阅相关资料来了解更多。

三、实例分析下面将通过两个实例来说明如何准确计算三角形的周长与面积。

实例一:已知三角形两边长求周长与面积假设一个三角形已知两边长分别为a = 4 cm,b = 5 cm,同时已知夹角为60°。

我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度c,并根据前面的方法计算出三角形的周长和面积。

根据余弦定理,有c² = a² + b² - 2abcosC,其中C为夹角。

代入已知数据,计算c:c² = 4² + 5² - 2 × 4 × 5 × cos 60° = 16 + 25 - 40 × 1/2 = 9。

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  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
* 三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍
*/
public Triangle(double side1, double side2, double side3) {
this.side1 = side1;
this.side2 = side2;
this.side3 = side3;
this.angle2 = angle2;
this.angle3 = angle3;
this.side1 = side1;
this.side2 = this.side1 * Math.sin(this.angle2)
/ Math.sin(this.angle1); //正弦定理
this.side3 = this.side1 * Math.sin(this.angle3)
super();
this.point1 = point1;
this.point2 = point2;
this.point3 = point3;
}
public Point getPoint1() {
return point1;
}
public void setPoint1(Point point1) {
} /] 丢个板砖[0] 引用 举报 管理 TOP 回复次数:105
breezes2008
(sala)
等 级:
#1楼 得分:1回复于:2009-05-05 19:42:08缺等腰三角形
对我有用[0] 丢个板砖[0] 引用 举报 管理 TOP
+ this.side3 + this.side3 - this.side2 * this.side1)
/ 2* this.side1 * this.side3); //余弦定理
this.angle3 = Math.PI - this.side1 - this.side2;
this.perimeter = this.side1 + this.side2 + this.side3;
return angle1;
}
public double getAngle2() {
return angle2;
}
public double getAngle3() {
return angle3;
}
public double getPerimeter() {
return perimeter;
this.angle3 = Math.PI / 2;
this.perimeter = this.side1 + this.side2 + this.side3;
this.area = this.side1 * this.side2;
}
/* 已知三边的任意三角形
* 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC
this.area = Math.pow(side1, 2) * Math.sin(Math.PI / 3); //s = a*a*sin(π/3)
}
// 已知两直角边的直角三角形
public Triangle(double side1, double side2) {
this.side1 = side1;
5.已知两角及其夹边, 构造参数2个角和1个夹边;
问题是:
1.构造方法3,4,5的参数都为3个,我采用把角的参数为float, 不知有什么缺陷。
2.有没有其他构造方法没写?
3.如果要写set方法, 如 setSides, 那么其他变量,角度、周长、面积也会跟着变,那该怎么处理呢?
4.是不是我的这个类根本的思路就不对?
/ Math.sin(this.angle1); //正弦定理
this.perimeter = this.side1 + this.side2 + this.side3;
this.area = this.side1 * this.side2 * Math.cos(this.angle3);
}
this.point1 = point1;
}
public Point getPoint2() {
return point2;
}
public void setPoint2(Point point2) {
this.point2 = point2;
}
public Point getPoint3() {
}
public double getArea() {
return area;
}
private double side1;
private double side2;
private double side3;
private double angle1; //side1对应角
dang_chao_fan
(7stars)
等 级:
#2楼 得分:5回复于:2009-05-05 19:52:32如果这个类是final的,我觉得整体思路上没什么问题.有几个细节再把握下
1.将度数也设为double,设想你new时传递参数是写90度方便,还是写90f度方便.
2.构造函数太独立了,各个构造函数没有联系性。比如说任意三边如果能判定是正三角就可以直接调用正三角的构造函数...
this.side1 = side;
this.side2 = side;
this.side3 = side;
this.angle1 = Math.PI / 3;
this.angle2 = Math.PI / 3;
this.angle3 = Math.PI / 3;
this.perimeter = 3 * side; // L = 3*a
Java code
/*
* Triangle.java
* @author Wenzee Yann, wenzee@
* @version 0.1000
* @since 2009.05.04
*/
public class Triangle {
// 正三角形
public Triangle(double side) {
public double getSide1() {
return side1;
}
public double getSide2() {
return side2;
}
public double getSide3() {
return side3;
}
public double getAngle1() {
*/
public Triangle(double side1, double side2, flo
at angle3) {
this.side1 = side1;
this.side2 = side2;
private double angle2; //side2对应角
private double angle3; //side3对应角
private double perimeter; // 周长
private double area; // 面积
对我有用[0] 丢个板砖[0] 引用 举报 管理 TOP
wanghailong0115
(wanghailong0115)
等 级:
#3楼 得分:10回复于:2009-05-05 20:02:33这是我以前做的求三角形的面积 Point类是一个点的坐标类
可以不用判断是什么三角形,直接求面积和周长
this.side3 = Math.sqrt(this.side1 * this.side1
+ this.side2 * this.side2
- 2 * side1 * side2 * Math.cos(angle3)); //余弦定理
this.angle3 = angle3;
this.angle1 = Math.asin(this.side1 * Math.sin(this.angle3)
super();
}
/**
* 构造方法
* @param point1 Point型
* @param point2 Point型
* @param point3 Point型
*/
public Triangle(Point point1, Point point2, Point point3) {
}
/* 已知两角及其夹边
* 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R, 其中R是三角形外接圆半径。
*/
public Triangle(double side1, float angle2, float angle3) {
this.angle1 = Math.PI - angle2 -angle3;
package shape;
public class Triangle {
/**
* point1,point2,point3为三角形的三点
*/
private Point point1;
private Point point2;
private Point point3;
public Triangle() {
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