2020-2021学年高考数学理科一模试题及答案解析九

最新高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．如果复数z=，则（）

A．|z|=2 B．z的实部为1

C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i

2．若集合A={1，m2}，B={2，9}，则“m=3”是“A∩B={9}”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．某商场在今年元宵节的促销活动中，对该天9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时到10时的销售额为5万元，则11时到13时的销售额为（）

A．20万元B．32.5万元C．35万元D．40万元

4．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为（）

A．24 B．26 C．27 D．28

5．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）

A．0 B．5 C．45 D．90

6．有关以下命题：

①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；

②已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；

③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5，16，27，38，49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；

其中正确的命题的个数为（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

7．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大

值等于（）

A．B．C．D．

8．已知直线y=2（x﹣1）与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，点M（﹣1，m），若•=0，则m=（）

A．B．C．D．0

9．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，

其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则

是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）

A．B．C．D．

10．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）

A．4 B．3 C．2﹣2 D．

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A．48 B．32 C．16 D．

12．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）

根的个数是（）

A．8 B．6 C．4 D．2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置.）13．（x+1）（x﹣2）5的展开式中含x3项的系数为______．

14．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则

的最小值为______．

15．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______．

16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点

的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是______．

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．

（1）求角B的大小；

（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．

18．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°．（Ⅰ）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；

（Ⅱ）若BD=D=2，求平面A1BD与平面B1BD所成角的大小．

19．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（如图）及相应的消耗能量数据表（如表）．

健步走步数（千卡）16 17 18 19

消耗能量（卡路里）400 440 480 520

（Ⅰ）求小王这8天“健步走”步数的平均数；

（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．

20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C

有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．

21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣﹣1．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＜﹣成立．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．

（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；

（Ⅱ）若GC=1，求AB．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；

（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．