人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

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高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析(非常详细)

第一部分必修五数列知识点整理第二章数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

(完整版)数学必修五数列知识总结

数列知识总结一.知识网络:二. 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数. 数列是定义在正整数集或其有限子集｛1，2，3，…，n ｝上的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值．2.数列的通项公式和前n 项和:对于任意数列,其通项是a n 和它的前n 项{}n a 和之间的关系是:,.n S ⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a *),2()1(N n n n ∈≥= 3.求数列通项公式的方法:①观察法:找项与项数的关系,然后猜想检验,即得通项公式a n ,注意利用前几项得出的通项公式不一定唯一.②利用通项a n 和它的前n 项和之间的关系是:,n S ③公式法:利用等差数列,等比数列的通项公式求解.④其它方法:迭加,迭乘,待定系数等.4.证明一个数列是等差数列或等比数列,常用的两种基本方法:一是利用定义;二是利用等差中项（或等比中项）来进行证明.(注意:通项的特点与前n 项和的特点只用于判断)5.等差数列的性质:(1)数列为等差数列，则a m = a n ＋（m －n ）d ,或{}n a m n a a d mn--=(2)数列为等差数列的充要条件是:其通项公式可以写成a n = an ＋b (a,b {}n a 为实常数).(3)数列为等差数列的充要条件,推广{}n a 112+-+=n n n a a a(n>k.>0)k n k n n a a a +-+=2(4)数列为等差数列:若,则.{}n a q p n m +=+q p n m a a a a +=+(5)数列为等差数列,去掉前m 项,剩下的项构成等差数列.{}n a 推广：数列为等差数列,则每隔k 项取m 项的和仍构成等差数列. {}n a (6)数列是公差为d 的等差数列,则奇(偶)数项构成公差为2d 的等差数列.{}n a 推广①:数列为公差为d 等差数列:则在数列中每隔项取一项构成的数{}n a k 列是公差为的等差数列.项数成等差数列的项成等差数列.d k )1(+ 推广②:数列是公差为d 的等差数列,则项下标成等差数列的项也成等差{}n a 数列.(7)数列,项数相同的等差数列:则,,为常{}n a {}n b {}n ka {}n n qb pa +{}q p q pa n ,(+数)仍为等差数列.(8)数列为等差数列,其前n 项和可以写成为常数).{}n a n S b a bn an S n ,(,2+=(9)数列为等差数列:则数列中依次每连续项之和构成的数列也是等差数{}n a k 列.(10)数列为等差数列:表示奇数项的和,表示偶数项的和,{}n a 奇S 偶S 若项数为项时, 则有－= nd , /= a n / a n+1;n 2奇S 偶S 奇S 偶S 若项数为－1项时,则有－= a n ,/= n / (n －1),n 2奇S 偶S 奇S 偶S .n n a n S )12(12-=- 6.等比数列的性质:(1)数列为等比数列:.{}n a m n m n n n m n m n n a a a q a a q a a +---⋅===211,,(2)数列为等比数列: ,推广(n>m >0){}n a 112+-⋅=n n n a a a m n m n n a a a +-⋅=2(3)数列为等比数列:,则.{}n a k p n m +=+k p n m a a a a ⋅=⋅(4)数列为等比数列,取掉前若干项,剩余的项也构成等比数列.{}n a 推广：数列为等比数列,则每隔k 项取m 项的和(积)仍构成等比数列.{}n a (5)数列为等比数列,则奇(偶)数项构成等比数列.{}n a 推广①:数列为公比为 q 等比数列:则在数列中每隔项取一项构成的{}n a k 数列是公比为的等比数列.1+k q 推广②:数列为等比数列,则项数成等差数列的项成等比数列.{}n a (6)数列,为项数相同的等比数列:则,,,,{}n a {}n b }1{n a }{nn b a {}n ka {}n n b a ⋅为常数)等仍为等比数列.{}k a k n((7)数列为公比为q (q ≠±1)的等比数列:则数列中连续项之和(积)构成{}n a k 的数列是等比数列.(8)数列为等比数列: (表示奇数项的和,表示偶数项的和){}n a 奇S 偶S 若项数为项时,则有/=q ;若项数为－1项时,则有(－)/n 2偶S 奇S n 2奇S 1a = q.偶S (9)递推公式为的递推数列,都可以转化为)1(1≠+=+p q pa a n n }{n a 从而构造等比数列.111n n qq a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭7.等差数列与等比数列比较:8.等差数列与等比数列的关系:(1)各项为正的等比数列,其对数数列为等差数列.{}n a )1,0}({log ≠>a a a n a (2)数列为等差数列,则数列为正常数)为等比数列.{}n a C C n a }({9.数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解): ①倒序求和法:(等差数列的求和);②错位相减法:(等比数列和差比数列);例1:求和:.*)(432432N n na a a a a n ∈+++++ ③裂项相消法:(数列中的各项可以拆成几项,然后进行消项);例2:求和:.)12()12(1751531311+⋅-++⨯+⨯+⨯n n 例3:求数列的前n 项和.}11{++n n ④通项化归法:(化出通项,由通项确定求和方法);例4:求数列:的前n 项和. ,3211,,3211,211,1n+++++++n S ⑤分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用求和公式来求解);例5:求数列的前n 项之和.,21,,814,413,212,21-+n n ⑥公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解).⑦.累差迭加法例6:已知数列6,9,14,21,30,…,其中相邻两项之差成等差数列,求它的通项.名称等差数列等比数列定义a n+1―a n =d 为等差数⇔{}n a 列为等比数列⇔≠=+)0(1q q a a nn {}n a 通项公式a n = a 1＋(n －1)d =a m ＋(n －m )da n = a 1q n －1= a m q n －m前n 项和公式()21n n a a n S +=()d n n na 211-+=()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==.1111,1111q q qa a q q a q na S n n n 中项a ，A ，b 成等差数列，或2 ⇔2ba A +=A =a ＋b ．a ，G ，b ，成等比数列，或 G 2=ab⇔ab G ±=⑨∑求和记法用= 。

数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

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数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比。

最新人教版高中数学必修5第二章《数列》本章小结

知识建构一、知识网络二、基本知识、方法归纳整理 1.数列的概念及表示法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数.(2)表示法：列表法、图象法、解析法(通项公式法和递推公式法).(3)分类：按项数分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列. 判断数列单调性的方法：①判断当n ∈N *时都有a n+1>a n ,则数列{a n }为递增数列； ②判断当n ∈N *时都有a n+1<a n ,则数列{a n }为递减数列. (4)S n 与a n 的关系. a n =⎩⎨⎧≥-=-,2,,1,11n S S n S n n 若n=1时，a 1符合a n =S n -S n-1(n ≥2),则数列的通项公式可以写成一个函数的形式：a n =f(n),n ∈N *;若n=1时，a 1不符合a n =S n -S n-1(n ≥2),则数列的通项公式只能写成分段函数的形式a n =⎩⎨⎧≥=.2),(,1,1n n f n S2.等差数列(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列； (2)递推公式：等差数列中a 1=a,a n+1-a n =d ； (3)通项公式：a n =a 1+(n-1)d,a n =a m +(n-m)d. (4)前n 项和公式：S n =2)(1n a a n +①或S n =na 1+2)1(dn n -②,对于公式①常结合等差数列的性质变形运用. 如：S n =2)(1n a a n +=2)(12-+n a a n = (2)(1+-+m n m a a n ,若a 1、a n 有等差中项21+n a ,则S n =2)(1n a a n +=n ·21+n a ,这一公式体现了等差数列前n 项和公式与某一项的关系. 对于公式②常写成二次函数的形式S n =2d n 2+(a 1-2d)n,用于研究等差数列前n 项和的最值问题.(5)等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，且有A=2ba +. (6)性质：①当d>0时为递增数列；当d<0时为递减数列；当d=0时为常数列. ②若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .③在等差数列{a n }中，若k 1,k 2,…,k n ,…成等差数列，则a k1,a k2,…,a kn ,…也成等差数列. ④S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列.⑤若{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，则{a n ±b n }、{ka n +b n }也是等差数列. (7)判断一个数列是否是等差数列的方法：①递推式法：即证a n+1-a n =d(d 是常数)对n ∈N *都成立，或证：2a n+1=a n +a n+2对n ∈N *都成立. ②{a n }成等差数列⇔a n =a 1+(n-1)d.③{a n }成等差数列⇔S n =an 2+bn(a 、b 是常数). 3.等比数列(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的商等于同一常数的数列叫等比数列. (2)递推公式：a 1=a 1,nn a a 1+=q(q 是不等于零的常数). (3)通项公式：a n =a 1q n-1,a n =a m q n-m .(4)前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=.1,11)1(,1,111q q qa a q q a q na n n(5)等比中项：若a 、G 、b 成等比数列，则G 叫做a 、b 的等比中项，且有G 2=a ·b 或G=±ab .(6)等比数列的性质：①当⎩⎨⎧>>1,01q a 或⎩⎨⎧<<<10,01q a 时为递增数列；当⎩⎨⎧<<>10,01q a 或⎩⎨⎧><1,01q a 时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q=1时为常数列.②若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q .③在等比数列{a n }中，若k 1,k 2,…,k n ,…成等差数列，则a k1,a k2,…,a kn ,…成等比数列. ④S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等比数列.⑤若{a n }是等比数列，则{λa n }(λ为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列；{na 1}是公比为q1的等比数列；{|a n |}是公比为|q|的等比数列；若{b n }是公比为q ′的等比数列，则{a n ·b n }是公比为q ·q ′的等比数列.(7)判断一个数列是否是等比数列的方法： ①递推法(定义法)：即证nn a a 1+=q(q 是不为零的常数)对n ∈N *都成立，或a n+12=a n ·a n+2对n ∈N *都成立.②通项公式法：{a n }成等比数列⇔a n =a 1q n-1.③{a n }成等比数列⇔S n =A-Aq n (其中A 是不为零的常数). 4.思想方法(1)数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想.(2)等差(等比)数列中，a 1,a n ,n,d(q),S n “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法.(3)求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想.(4)数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化法. 三、专题总结 (一)求通项公式1.观察归纳法求通项公式【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…; (2)7,77,777,7 777,…; (3)32,154,356,638,9910,…; (4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;(5)53,21,115,73,…; (6)41,83,165,327,…; (7)1,0,31,0,51,0,71,0,…;(8)11,102,1 003,10 004,….思路分析：本题给出了数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式.通项公式就是寻找一列数的排列规则，也即找每一个数与它的序号间的对应法则.解：(1)应解决两个问题，一是符号问题，可考虑用(-1)n 或(-1)n+1表示；二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大 6.故通项公式a n =(-1)n (6n-5).(2)先联想数列1,11,111,1 111,…的通项，它又与数列9,99,999,9 999,…的通项有关，而9999个n ⋅⋅⋅⋅=10n-1,于是a n =97(10n -1). (3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.经过组合，则所求数列的通项公式a n =)12)(12(2+-n n n.(4)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0,-1,0,…,则a n =5sin 2πn . (5)数列可以写成53,84,115,146,…,于是分子依次为3,4,5,6,…,其规律是后项等于前项加1，又首项为3=1+2，故分子的通项公式为n+2;分母依次为5,8,11,14,其规律是后项等于前项加3,又首项为5=3×1+2,故分母的通项公式为3n+2. ∴数列的通项公式为a n =232++n n . (6)分子为1,3,5,7,…,其通项公式为2n-1;分母为4,8,16,32,即22,23,24,25,…,其通项公式为2n+1.∴数列的通项公式为a n =1212+-n n . (7)所给数列可等价变形为11,20,31,40,51,60,71,8,…,分子是1,0重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，其通项公式为2)1(11+-+n ,分母的通项公式为n ，所以数列的通项公式为nn 2)1(11+-+.(8)所给数列可等价变形为10+1,102+2,103+3,104+4,…,所以其通项公式为a n =10n +n.思维启示：已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)符号用(-1)n 或(-1)n+1或(-1)n-1来调解，这是因为n 和n+1奇偶交错.(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系. (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.(4)此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法.(5)应注意：①并非所有的数列都能写出通项公式；②同一数列的通项公式未必唯一；③数列是一个特殊的函数，其通项公式可用分段函数来表示. 2.由前n 项和S n 求通项公式a n【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式. (1)S n =2n 2-3n; (2)S n =(-1)n+1·n; (3)S n =n 2-1. 思路分析：直接根据公式a n =⎩⎨⎧≥-=-2,,1,11n S S n S n n解：(1)a 1=S 1=-1, 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(2n 2-3n)-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5,由于a 1也适合此等式，因此a n =4n-5(n ∈N *).(2)当n=1时，a 1=S 1=(-1)2·1=1.当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(-1)n+1·n-(-1)n ·(n-1)=(-1)n+1(2n-1),由于a 1也适合此等式，∴a n =(-1)n+1·(2n-1)(n ∈N *).(3)当n=1时，a 1=S 1=0;当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(n 2-1)-［(n-1)2-1］=2n-1.由于a 1不适合此等式，∴a n =⎩⎨⎧≥-=.2,12,1,0n n n 思维启示：(1)给出S n 求a n 时，一定要分n ≥2和n=1两种情况分别求解；(2)如果当n=1时，a 1的表达式符合当n ≥2时的表达式，那么可将这两个式子合并.否则，就只能用分段函数形式表示.【例3】已知数列{a n }中，a 1=1,且S n =1211+--n n S S (n ≥2),求a n .思路分析：已知条件是一个关于S n 的递推式，可以先求出S n ，然后求a n . 解：由S n =1211+--n n S S 两边取倒数，得n S 1=2+11-n S ,即n S 1-11-n S =2.∴{n S 1}是首项为11S =11a =1,公差为2的等差数列.∴nS 1=1+(n-1)×2=2n-1. 从而由a n =⎩⎨⎧≥-=-,2,,1,11n S S n n n 得a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=.2,)32)(12(2,1,1n n n n3.给出数列的递推式求通项公式a n (1)累差法【例4】已知a 1=1,a n+1-a n =2n -n,求a n .思路分析：本题给出数列{a n }连续两项的差，故可用累加法得a n 的表达式. 解：∵a n+1-a n =2n -n, ∴a 2-a 1=21-1, a 3-a 2=22-2, a 4-a 3=23-3, ……n ≥2时，a n -a n-1=2n-1-(n-1).∴n ≥2时，有a n -a 1=(2+22+…+2n-1)-［1+2+3+…+(n-1)］. ∴a n =(1+2+22+…+2n-1)-2)1(-n n =2n -2)1(-n n -1.而a 1=1也适合上式. ∴{a n }的通项公式a n =2n -2)1(-n n -1. 思维启示：运用“累加法”求通项公式，此法是将递推式变形为a n -a n-1=f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相加得，a n -a 1=f(2)+f(3)+…+f(n),∴a n =a 1+f(2)+f(3)+…+f(n)({f(n)}是可求和数列). (2)累积法【例5】设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n+12-na n 2+a n+1a n =0(n=1,2,3,…),求{a n }的通项公式.思路分析：将已知的递推关系适当变形，可得递推式nn a a 1+=1+n n.用累积法可求通项公式.解：∵数列{a n }是首项为1的正项数列，∴a n ·a n+1≠0.∴n n a a n 1)1(++-1+n na na +1=0.令nn a a 1+=t,∴(n+1)t 2+t-n=0. 分解因式得［(n+1)t-n ］(t+1)=0,∴t=1+n n ,t=-1(舍去),即n n a a 1+=1+n n. ∴12a a ·23a a ·34a a ·45a a ·…·1-n n a a =21·32·43·54·…·n n 1-.∴a n =n 1.思维启示：运用“累积法”求通项公式，此法是将递推式变为1-n na a =f(n),令n=2,3,4,…,n,再将这n-1个式子相乘得1a a n=f(2)·f(3)·f(4)·…·f(n),∴a n =a 1·f(2)·f(3)·f(4)·…·f(n). (3)特殊数列法【例6】已知a 1=2,a n+1=2a n +3,求数列{a n }的通项公式.思路分析：将已知递推公式适当变形，可得到如下递推式：a n+1+3=2(a n +3),于是数列{a n +3}构成公比为2，首项为a 1+3的等比数列，问题可解. 解：∵a n+1=2a n +3,即a n+1+3=2(a n +3),∴331+++n n a a =2.于是{a n +3}是首项为5,公比为2的等比数列. ∴a n +3=(a 1+3)·2n-1=5×2n-1.∴a n =5×2n-1-3.思维启示：一般地，数列{a n }满足a n =ca n-1+d(c 、d 为常数，c ≠0),a 1=b,求a n 时，常将其转化为等比数列求解.【例7】已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n-1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式.思路分析：利用a n 和S n 之间的关系，首先将a n 换成S n -S n-1,这样便得到2(S n -S n-1)=S n ·S n-1,经变形可得11-n S -n S 1=21,即n S 1-11-n S =-21.这样{nS 1}构成等差数列，通过求出S n ，可求出a n .解：由于a n =S n -S n-1(n ≥2),∴2(S n -S n-1)=S n ·S n-1(n ≥2).∴n S 1-11-n S =-21.∴数列{n S 1}是以11a 为首项，以-21为公差的等差数列.于是n S 1=31-21(n-1)=635n -,∴S n =n 356-.当n ≥2时，a n =S n -S n-1=)83)(53(18--n n .当n=1时，a 1=3不适合上式.∴a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--=.2,)83)(53(18,1,3n n n n思维启示：本题解题的关键是将原数列转化为等差数列{nS 1}作为突破口，使问题获解. 【例8】已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n +2(n=1,2,…),a 1=1. (1)设b n =a n+1-2a n ,求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n =nna 2，求证：数列{c n }是等差数列. 证明：(1)由已知，得S n+1=4a n +2,S n+2=4a n+1+2. 两式相减，得S n+2-S n+1=4(a n+1-a n ), 即a n+2=4a n+1-4a n ,a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n ), 即b n+1=2b n .∴数列{b n }是公比为2的等比数列.(2)在S n+1=4a n +2中，令n=1，得S 2=4a 1+2=6.而S 2=a 1+a 2,∴a 2=5.∴b n =b 1·2n-1=(a 2-2a 1)·2n-1=3·2n-1,即a n+1-2a n =3·2n-1.∴112++n n a -nn a 2=43,即c n+1-c n =43. ∴数列{c n }是公差为43的等差数列.思维启示：着眼于数列间的联系，着手于公式的转换，将非等差数列、非等比数列转化为等差数列或等比数列，以求得问题的解决. (二)数列求和数列求和可分为特殊数列与一般数列求和，所谓特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称之为一般数列.对于特殊数列的求和，要恰当地选择、准确地应用求和公式，采用直接求和的方法. 对于一般数列的求和，可采用下面介绍的几种化归策略. 1.并项求和法在数列求和过程中，如果将某些项分组合并后转化为特殊数列再求和，这种方法称为并项求和法.【例9】求数列-1,4,-7,10,…,(-1)n (3n-2),…的前n 项和.思路分析：(1){(-1)n-1(3n-2)}不是等差数列，但数列{3n-2}却是等差数列，因此数列{(-1)n-1(3n-2)}的奇数项与偶数项分别是等差数列，可将问题转化为等差数列求和问题. (2)根据等差数列的定义，数列{(-1)n-1(3n-2)}从第一项(或第二项)起，每两项的差是一个常数，因此在求和时，可以将数列{(-1)n-1(3n-2)}的相邻两项合并.解法一：当n 为偶数时，S n = 32)2353()107()41(个共nn n -++-+⋅⋅⋅++-++-=2n×3=23n;当n 为奇数时，S n =321)107()41(个共-⋅⋅⋅++-++-n +［-(3n-2)］=21-n ×3-(3n-2)=213+-n .综上，S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-.,231,,23为奇数为偶数n n n n解法二：当n 是偶数时,奇数项与偶数项各有2n 项，S 奇=2n ×(-1)+2)12(2-nn ×(-6)=-43n 2+n,S 偶=2n ×4+2)12(2-n n ×6=43n 2+2n ,∴S n =S 偶+S 奇=23n.当n 是奇数时,奇数项共有21+n 项，偶数项共有21-n 项.S 奇=21+n ×(-1)+2)121(21-++n n ×(-6)=-43(n+1)2+(n+1), S 偶=21-n ×4+2)121(21---n n ×6=43(n-1)2+2)1(-n , ∴S n =S 奇+S 偶=213+-n .思维启示：应用并项转化法要注意对项数的奇偶进行讨论，若为偶数项，按两项合并后总项数为2n项；若为奇数项，按两项合并，则剩余一项. 2.分组求和法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称之为分组化归法.【例10】求数列241,481,6161,2n+121+n ,…的前n 项和S n . 思路分析：此数列的通项公式是a n =2n+121+n ,而数列{2n}是一个等差数列，数列{121+n }是一个等比数列，故采用分组求和法求和.解：S n =241+481+6161+…+(2n+121+n ) =(2+4+6+…+2n)+(221+321+421+…+121+n )=2)22(+n n +21])21(1[212--n=n(n+1)+21-121+n .思维启示：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们可用分组求和法求出它的前n 项和. 3.裂项相消法裂项相消法求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的.【例11】求1212-+1312-+1412-+…+112-n (n ≥2)的和. 思路分析：认真观察，可以发现数列的每一项112-n 均可分解成两项的差，于是可以用裂项相消法求和. 解：∵a n-1=112-n =)1)(1(1+-n n =21(11-n -11+n ), ∴1212-+1312-+1412-+…+112-n =21［(1-31)+(21-41)+(31-51)+…+(11-n -11+n )］ =21(1+21-n 1-11+n )=43-)1(212++n n n (n ≥2).思维启示：裂项相消法的关键是将数列的通项分解成两项的差，这两项一定要是数列的相邻(相间)两项，即这两项的结构应一致. 4.错位相减法【例12】求和S n =x+2x 2+3x 3+…+nx n .思路分析：由于{n}是等差数列，而当x ≠0时，{x n }是等比数列，故可采用错位相减法. 解：当x=0,S n =0;当x=1时，S 1=2)1(+n n ; 当x ≠1且x ≠0时，∵S n =x+2x 2+3x 3+…+nx n , ① ∴xS n =x 2+2x 3+3x 4+…+(n-1)x n +nx n+1. ②①-②，得(1-x)S n =x+x 2+x 3+…+x n-nx n+1=x xx n --1)1(-nx n+1.∴S n =2)1(x x-·［nx n+1-(n+1)x n +1］. ∴S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++--=+-.1],1)1([)1(,1,2)1(12x x n nx x x x n n nn思维启示：(1)一般地，对于数列{c n }，如果c n =a n b n ,且{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么可以用错位相减法求数列{c n }的前n 项和.(2)错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{b n }的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和. 5.分类讨论法有些数列的求和需要经过分类讨论处理后才能进行求和，如等比数列的公比含参变数，则需在1点展开讨论，又如每一项均取绝对值的数列，则需在0点展开讨论. 【例13】数列{a n }的前n 项和为S n =10n-n 2,求数列{|a n |}的前n 项和. 思路分析：首先通过S n 求出a n ，然后求和.解：当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(10n-n 2)-［10(n-1)-(n-1)2］=-2n+11. 当n=1时，a 1=S 1=9，适合上式. ∴a n =-2n+11(n ∈N *).又a n -a n-1=(-2n+11)-［-2(n-1)+11］=-2,∴数列{a n }是以9为首项，-2为公差的等差数列. 由-2n+11≥0,得n ≤211,a 5>0,a 6<0. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+|a 6|+…+|a n |=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5-a 6-a 7-…-a n . 当n ≤5时，T n =9n+2)1(-n n (-2)=-n 2+10n. 当n ≥6时，T n =2S 5-S n =50+n 2-10n=n 2-10n+50.综上，T n =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-.6,5010,5,1022n n n n n n实践探究1.数列{a n }中，a 1=1，前n 项的乘积T n =n2.问225256是{a n }中的项吗？若是，是第几项？解：由已知a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,得a n =12121-∙⋅⋅⋅∙∙∙⋅⋅⋅∙∙n n a a a a a a =22)1(-n n (n ≥2).令22)1(-n n =225256,解方程得n=16.∵n=16∈N *,∴225256是数列{a n }的第16项.2.李明每月节省出100元，想以零存整取的方式存入银行，攒足2 625元购买冰箱.如果月利率为P=0.007 5，问存几个月能攒够购买冰箱的钱？解：设存x 个月能攒够购买冰箱的钱.当A=100,P=0.007 5时，第一个月月初存入的100元到第x 月月末可得到本利和为B 1=100+100×0.007 5x,第n 个月月初存入的100元到第x 月月末可得本利和为B n =100+100×0.007 5(x-n+1). 依题意得B 1+B 2+…+B n +…+B x =2 625. 因∑=xn 1=1(x-n+1)=1+2+3+…+x,故100［x+0.007 5(1+2+3+…+x)］=2 625,100［x+0.007 5×2)1(+x x ］=2 625. 整理得0.007 5x 2+(2+0.007 5)x-52.5=0. 解方程得x 1=015.0375.4-(舍去).x 2=015.035.0=370>23.3.因x ∈N *,所以x=24,即存够24个月便可攒足2 625元.3.(2004年全国高考题)数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3,…), 求证:(1)数列{nS n }是等比数列；(2)S n+1=4a n . 思路分析：解答本题的关键在于利用公式a n =⎩⎨⎧≥-=-.2,,1,11n S S n S n n证明：(1)∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ,∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ). 整理得nS n+1=2(n+1)S n . 所以11++n S n =2nS n . 故{nS n }是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11++n S n =4·11--n S n (n ≥2),于是S n+1=4(n+1)·11--n S n =4a n (n ≥2). 又a 2=3S 1=3,故S 2=a 1+a 2=4.因此对于任意正整数n ≥1,都有S n+1=4a n .。

高中数学必修五数列知识点总结归纳

高中数学必修五数列知识点总结归纳数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

下面肖博老师给大家分享高中数学必修五数列知识点总结。

一、数列的概念和简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．二、等差数列1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．三、等比数列1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．四．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类(3)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．五．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.1．辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集N*或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．。

高一必修五数学数列全章知识点(完整版)

高一数学数列知识总结知识网络二、知识梳理①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n（；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：① q pa a n n +=+1；②nn n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式：⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=nn S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”；迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令pqx x a a n n -=⇒==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .例4已知数列{}n a 中，nn n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“nn n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为： “q pa a n n +=+1”或“nn n n f a a )(1+=+求解.例5已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，通过适当变形转化为可求和的数列. 强化巩固练习1、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，求数列{}n a 的通项公式.2、已知数列{}n a 中，)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ，求数列{}n a 的通项公式. 小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）构造等差、等比数列求通项：①q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.3、数列{}n a 中，)(,111n n n a a n a a -==+，则数列{}n a 的通项=n a 。

人教版高一数学必修5--第二章数列总结

人教版高一数学必修5--第二章数列总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)．（3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m .S n ＝⎩⎨⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－qn 1－qq ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一数列的通项公式的求法1．观察法根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{a n}的通项公式．3．前n项和法(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项a n；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n.4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n.5．累乘法已知数列{a n}，a1＝13，前n项和S n与a n的关系是S n＝n(2n－1)a n，求通项a n.6．辅助数列法已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)．求数列{a n}的通项公式．7．倒数法已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a na n＋1(n∈N*)．求通项a n.专题二数列的前n项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n＋k＝1k·(1n－1n＋k)；(2)若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；(3)1n＋1＋n＝n＋1－n等．3．错位相减法若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以等比数列{b n}的公比q，然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n}中，a1＝3，点(a n，a n＋1)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n·3n，求数列{b n}的前n项和T n.4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4.1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

人教版高一年级数学必修五数列知识点

【一】1.數列的函數理解：①數列是一種特殊的函數。

其特殊性主要表現在其定義域和值域上。

數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。

圖像法;c.解析法。

其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。

③函數不一定有解析式，同樣數列也並非都有通項公式。

2.通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式(注：通項公式不)。

數列通項公式的特點：(1)有些數列的通項公式可以有不同形式，即不。

(2)有些數列沒有通項公式(如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

3.遞推公式：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。

數列遞推公式特點：(1)有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不。

(2)有些數列沒有遞推公式。

有遞推公式不一定有通項公式。

注：數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是複數。

【二】1.等差數列通項公式an=a1+(n-1)dn=1時a1=S1n≥2時an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b為常數)推導過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b2.等差中項由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。

這時，A叫做a與b的等差中項(arithmeticmean)。

有關系：A=(a+b)÷23.前n項和倒序相加法推導前n項和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n個)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差數列性質一、任意兩項am，an的關係為：an=am+(n-m)d它可以看作等差數列廣義的通項公式。

高中数列数学知识点

高中数列数学知识点一、知识概述《高中数列数学知识点》①基本定义：数列呢，简单说就是按照一定次序排列的一列数。

就好比你们班同学按学号排好队，每个同学就像数列里的一个数。

②重要程度：数列在高中数学里那可相当重要。

它可是函数关系的离散体现，在高考中是必考内容，而且是很多数学思想方法的载体，像归纳推理啥的。

③前置知识：你得对函数有一定了解，因为数列可以看作是定义域为正整数集的函数。

还有数的运算需要很熟练，毕竟数列中涉及不少数与数之间的运算。

④应用价值：在实际生活中，像银行算利息这种按一定周期计算收益的就涉及数列知识。

再比如说，计算一些有规律的资源分配或者物体堆积层数等问题也能用得上。

二、知识体系①知识图谱：数列在高中数学知识体系里处于代数部分一个很关键的位置。

它和函数、方程等知识点都有所关联。

②关联知识：数列和函数密切相关，我们可以用函数的观点去研究数列的性质。

和不等式的联系也很紧密，经常会遇到求数列中的最值问题。

③重难点分析：- 重点是数列的通项公式和求和公式。

通项公式就像数列这个队伍里每个成员的编号规则，能根据规则找到对应的成员。

求和公式呢，就是把这个队伍里的数加起来的方法。

- 难点我觉得是根据数列的规律求出通项公式和一些特殊数列求和的方法。

④考点分析：数列在考试中那肯定是重点中的重点。

从小题到解答题都有可能出现。

考查方式有求数列通项公式、求和，或者是结合函数、不等式考察数列的性质等。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 数列分为有穷数列和无穷数列。

有穷数列就是这个队伍人数是有限的，无穷数列就是人数无限。

- 等差数列就是后一个数减去前一个数差都相等，这个相等的差叫公差。

打个比方，就像我们上楼梯，每个台阶高度一样，那这个高度就相当于公差。

调和数列和等比数列也类似。

等比数列是后一个数除以前一个数比值都相等，这个比值为这个等比数列的公比。

②特征分析：- 等差数列特点就是相邻两项差固定。

比如数列1，3，5，7，9，相邻两项差都是2。

高中数列知识点总结

高中数列知识点总结数列作为高中数学的重要内容之一，无论在中学学习还是高中阶段，都是数学的重点和难点之一。

掌握好数列的知识，对于理解数学的思维方式和培养数学思维能力具有重要意义。

本文将对高中数列知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握数列的相关概念和性质。

一、数列的定义和性质1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一系列数，每一个数称为数列的项，用字母an表示。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

2. 数列的分类数列可以按照增长规律或者变化规律进行分类，常见的数列包括等差数列、等比数列、递推数列等。

3. 数列的通项公式对于某个数列，如果能够找到一种规律，使得能够通过该规律算出数列的任意一项，那么这个规律就被称为数列的通项公式。

通项公式对于解题和研究数列的性质非常重要。

二、等差数列1. 等差数列的定义和性质等差数列是指数列中任意两项之差相等的数列。

等差数列的性质包括公差、通项公式、前n项和等等。

2. 等差数列的通项公式和求和公式对于等差数列，我们可以通过找到首项和公差，来求得数列的通项公式和求和公式。

通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

求和公式为：Sn = (n/2) * (a1 + an)。

3. 等差数列的应用等差数列在实际生活中有广泛应用。

例如，用来描述日常生活中时间的变化、估算财务增长的规律、计算物理运动中的位置和速度等。

三、等比数列1. 等比数列的定义和性质等比数列是指数列中任意两项之比相等的数列。

等比数列的性质包括公比、通项公式、前n项和等等。

2. 等比数列的通项公式和求和公式对于等比数列，我们可以通过找到首项和公比，来求得数列的通项公式和求和公式。

通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。

3. 等比数列的应用等比数列在实际生活中也有广泛应用。

例如，在金融领域中，可以用来计算利息的变化规律，或者计算复利的增长；在生物学中，可以用来描述细胞分裂的进程，或者生物群体的数量变化等。

必修五第二章数列归纳总结

必修五第二章数列归纳总结一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．一、数列1. 数列的定义数列是按一定次序排成的一列数, 从函数观点看, 数列是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数f(n), 当自变量n 从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1), f(2), …, f(n), ….通常用an 代替f(n)．于是数列的一般形式为a1, a2, …, an, …, 简记为{an}．3. an 与Sn 的关系设Sn ＝a1＋a2＋a3＋…＋an,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2). 二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这样的数列叫做等差数列．2. 等差中项如果三数a 、A.b 成等差数列, 则A 叫做a 和b 的等差中项, ∴A ＝ .3. (1)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .推导方法: 累加法an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2)前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 推导方法: 倒序相加法.4. 用函数观点认识等差数列(1)an ＝nd ＋(a1－d)是n 的一次函数.(2)Sn ＝ n2＋(a1－ )n, 是关于n 的常数项为零的二次函数．5. 等差数列的判定方法(1)定义法: an ＋1－an ＝d(常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)中项公式法: 2an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式法: an ＝kn ＋b(k, b 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列；(4)前n 项和公式法：Sn ＝An2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N*)⇔{an}是等差数列.(5){a n }是等差数列⇔{S n n}是等差数列 6. 等差数列的性质(1)下标和与项的和的关系在等差数列中, 若p ＋q ＝m ＋n, 则有ap ＋aq ＝am ＋an ；若2m ＝p ＋q, 则有2am ＝ap ＋aq, (p, q, m, n ∈N*).(2)任意两项的关系在等差数列{an}中, m 、n ∈N*, 则am －an ＝(m －n)d 或am ＝an ＋(m －n)d 或＝d.(3)在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an, an ＋m, an ＋2m, …为等差数列, 公差为md.等差数列的依次n项的和也构成一个等差数列, 即Sn, S2n－Sn, S3n－S2n, ……为等差数列, 公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列, 下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列.(4)设等差数列{an}的公差为d, 那么d>0⇔{an}是递增数列；d<0⇔{an}是递减数列；d＝0⇔{an}是常数数列.(5)①数列{λan＋b}仍为等差数列, 公差为λd.若{bn}, {an}都是等差数列, 则{an±bn}仍为等差数列, {λ1an＋λ2bn}(λ1, λ2为常数)也是等差数列.②项数为n的等差数列中, n为奇数时, 设m＝ , 则S奇－S偶＝am, ＝ , Sn＝na 中＝nam.n为偶数时, S偶－S奇＝ d.③若{an}与{bn}为等差数列, 且前n项和分别为Sn与S′n, 则＝ .④等差数列{an}中, 若an＝m, am＝n(m≠n), 则am＋n＝0.⑤若数列{an}的前p项和为Sp＝q, 前q项和为Sq＝p(p≠q), 则Sp＋q＝－(p＋q).⑥若数列{an}的前n项和为Sn, Sp＝Sq(p≠q), 则Sp＋q＝0.三、等比数列1. 等比数列的定义一般地, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列．2. 等比中项如果三个数a、G、b成等比数列, 那么G叫做a和b的等比中项, 即G2＝ab.3. 等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(n∈N*).推导方法: 累乘法: ·……·＝qn－1.4. 等比数列的前n项和当q＝1时, Sn＝na1,当q≠1时. Sn＝＝.推导方法: 乘公比、错位相减法.5. 等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(q是不为0的常数, n∈N*, an≠0)⇔{an}是等比数列.(2)an＝cqn－1(c, q均是不为0的常数, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)an＋12＝an·an＋2(an≠0, n∈N*)⇔{an}是等比数列.(4)Sn＝A·qn－A(A.q为常数且A≠0, q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．6. 等比数列的主要性质(1)下标和与项的积的关系在等比数列{an}中, 若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q, 则am·an＝ap·aq.特别地, 若2m＝p＋q, 则ap·aq＝am2；a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)任意两项的关系若{an}为等比数列, 则＝qm－n或am＝an·qm－n(m、n∈N*).(3)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列.例如: {an}是等比数列, 则①a1, a3, a5, …, a2n－1；②a1＋a2, a2＋a3, a3＋a4, …；③a1a2, a2a3, a3a4, …；④a1＋a2, a3＋a4, a5＋a6……均成等比数列．(4)等比数列{a n}的单调性当, 或时, {an}为递增数列；当或时, {an}为递减数列.(5)①{an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0).②{an}、{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{ }仍是等比数列.③若{an}是等比数列, 则{an2}、{ }(an>0)、{ }、{|an|}均为等比数列.④非零常数列既是等差数列, 也是等比数列.⑤若{an}是等差数列, 则{ban}是等比数列.若{an}是正项等比数列, 则{lgan}是等差数列．误区警示1. 数列与数集应予区别, 数列中的数排列有序, 数集中的元素无序；数列中的数可重复出现, 数集中的元素互异.2. 并不是每一个数列都有通项公式, 给出前n项时, 写出的通项公式可以不止一个.3．已知{an}的前n项和Sn求an时,用an＝求解应注意分类讨论.an＝Sn－Sn－1是在n≥2条件下求出的, 应检验a1是否适合. 如果适合, 则合写在一块, 如果不适合, 则分段表示. 千万注意用an＝Sn－Sn－1判断数列{an}是否为等差(或等比)数列时, 不要忘记验证a1是否满足.如: Sn＝n2＋n时, {an}是等差数列.Sn＝n2＋n＋1时, {an}不是等差数列.Sn＝2n－1时, {an}是等比数列.Sn＝2n＋1时, {an}不是等比数列.4. 在讨论等差数列{an}的前n项和Sn的最值时, 不要忽视n是整数的条件及含0项的情形.如: 在等差数列{an}中, 已知a1＝20, 前n项和为Sn, 且如S10＝S15, 求当n取何值时, Sn有最大值, 并求出它的最大值．取最大值的应为S12和S13.5. G是a、b的等比中项 G＝.6. 在应用等比数列的前n项和公式时, 一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论.7．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零, 项与公比的符号有着密切的联系, 解题时应特别注意．。

数学必修五数列知识点总结归纳

数学必修五数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

在必修五的数学课程中，数列是一个重要的知识点，学好数列的相关知识对于理解高中数学以及以后的数学学习都是至关重要的。

本文将对数学必修五中的数列知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握数列的概念和性质。

一、基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，这些数之间存在一种特定的关系。

2. 通项公式：数列中的每一项可以由一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。

3. 等差数列：如果一个数列中的任意两项之差都是一个常数，那么这个数列就是等差数列。

4. 等比数列：如果一个数列中的任意两项之比都是一个常数，那么这个数列就是等比数列。

5. 递推公式：等差数列、等比数列中的每一项可以通过前一项来计算的公式，称为递推公式。

二、等差数列1. 基本性质：等差数列的基本性质包括公差、首项、末项和项数等。

2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。

三、等比数列1. 基本性质：等比数列的基本性质包括公比、首项、末项和项数等。

2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来计算数列中的任意一项。

3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。

四、数列的应用1. 数列在初等数学中的应用：数列的应用不仅限于数学学科本身，在初等数学中，数列还有很多实际应用，例如求和、求平均数等。

2. 数列在自然科学中的应用：数列在自然科学中也有着广泛的应用，例如物理学中的运动学问题、化学中的化学反应速率等都可以通过数列来描述和求解。

五、数列知识点的拓展1. 等差数列和等比数列的推广：除了等差数列和等比数列之外，还存在其他形式的数列，例如等差递推数列和等比递推数列。

2. 数列的收敛性：数列的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它与数列中项的趋势和极限有关。

高中数学数列知识点总结(优秀3篇)

高中数学数列知识点总结（优秀3篇）科学是一种以实证为基础，追求真理和解决问题的方法论，它致力于揭示客观规律和产生创新。

哲学是一种以思辨为基础，追求人类意义和价值的方法论，它致力于探究人类的本质和存在。

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高中数学数列知识点总结篇一数列的相关概念1.数列概念①数列是一种特殊的函数。

其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。

图像法；c.解析法。

其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。

高中数学：《数列》知识要点梳理

《数列》知识梳理一、数列及其有关概念1．数列的概念按一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，．注意：数列与数集是两个不同的概念，数集中的元素具有无序性和互异性，而数列中的数是按一定顺序排列的，并且可以重复．2．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．注意：（1）有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；（2）将12n =，，代入通项公式，可以求出这个数列的每一项．3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在它的定义域是正整数集*N （或它的有限子集{12}n ，，，）．这也决定了数列的图象是一群孤立的点，这些点可以有有限多个，也可以有无限多个．4．数列的分类（1）按数列的项数，可以将数列分为有穷数列和无穷数列．（2）按数列的项与项之间的大小关系，可以分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，第一项与它们的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差列的公差，通常用d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则它的通项公式为1(1)n a a n d =+-．由此可知，已知等差数列的首项和公差，就可以求出这个数列的任何一项，这个等差数列也就完全被确定了．通常称首项和公差是等差数列的两个基本量．3．等差数列与函数的关系（1）等差数列的通项公式与函数的关系由等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-可知：当0d ≠时，n a 可以看成是关于n 的一次函数；当0d =时，1n a a =，可知n a 是常数函数．不论d 是否为0n a ，的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点．（2）等差数列的前n 项和公式与函数的关系由等差数列的前n 项和公式2111(1)222n d d S na n n d n a n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭可知：当0d ≠时，n S 可以看成是关于n 的二次函数（不含常数项，所以图象所在的抛物线过原点）；当0d =时，1n n S a n S =，可以看成是关于n 的一次函数（当10a ≠时），或为常数函数（当10a =时）．注意：解有关等数列的题时，要注意引用函数的性质．4．等差数列的充要条件数列{}n a 是等差数列1n n a a d +⇔-=（d 为常数，n *∈N ）n a pn q ⇔=+（p q ，为常数，n *∈N ）2122()n n n n a a a n S An Bn *++⇔=+∈⇔=+N （A B ，为常数n *∈N ，）． 5．等差数列的常用性质已知{}n a 是等差数列，公差为d ，则：（1）()n m n m a a a a n m d d n m --=-=-，；（2）若()m n p q m n p q *+=+∈Ν，，，，则m n p q a a a a +=+；（3）下标成等差数列的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等差数列，公差为md ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，仍为等差数列；（5）数列{}n a b λ+（b λ，为常数）仍为等差数列，公差为d λ．三、等比数列1．等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q 表示．需要特别注意的是，等比数列的每一项及公比都不为0．2．等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式为11n n a a q -=．由此可知，已知等比数列的首项和公比，就可以求出这个数列的任何一项，这个等比数列也就是完全被确定了．通常称首项和公比是等比数列的两个基本量．3．等比数列的充要条件数列{}n a 是等比数列1n na q a +⇔=（q 为常数，n *∈N ）212n n n a a a ++⇔=，且0()n a n *≠∈N ．4．等比数列的常用性质已知{}n a 是等比数列，公比为q ，则：（1）n m n m n n m ma a a q q a --==，；（2）若()m n p q m n p q *+=+∈N ，，，，则m n p q a a a a =；（3）下标成等差数理的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等比数列，公比为m q ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，（当各项均不为0时）为等比数列．四、几种重要的题型1．“知三求二”型在等差数列{}n a 中，若已知1n n a d a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，可以求出其余的两个量．同样地，在等比数列{}n a 中，若已知1n n a q a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，也可以求出其余的两个量．这所用的其实就是方程思想．2．求数列的通项公式（1）给出数列的前几项，写出该数列的一个通项公式解这个类题主要从以下几个方面考虑：①负号用(1)n -或1(1)n +-来调节．②公式形式的数列，分子、分母要分别找通项，要充分借助分子、分母的关系． ③对于比较复杂的数列，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．④有些数列，其构成规律较难发现，若我们能从给出的前面若干项，逐次求出它的差数列（后项减去它的前项所得之差构成的数列），最后得到一个等差或等比数列，则由此倒推回去，就能找到原数列的通项公式，这种方法称为逐差法．此类问题虽无固定模式，但也有章可循，主要靠观察（观察规律）、比较（与已知数列比较）、归纳、转化（转化为等差数列或等比数列）等方法．例1 求1361015，，，，，的一个通项公式．解：设此数列为{}n a ，其差数列为{}n b ，则{}n b 为：2345，，，，…，即1n b n =+．又1n n n b a a +=-，所以11n n a a n +-=+．令n 取1231n -，，，…，，得1n -不等式，将它们相加，得1(1)(2)2342n n n a a n -+-=++++=，而11a =，所以(1)(2)(1)122n n n n n a -++=+=．（2）已知n S ，求n a这类问题主要是利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥求通项公式．特别需注意的是，最后应验证分段表示的公式是否能合并，即验证2n ≥时的公式对1n =是否适用．（3）已知n S 和n a 的关系式求通项公式这类问题一般需要由已知关系式，将n 变为1n -或1n +再写出一个类似的关系式，将两个关系式的两边分别相减，从而将关系式中的和（如n S ）转化为项．例2 已知数列{}n a 中，12a =，且1()n n a S n *+=∈N ，求n a ．解：当2n ≥时，由1n n a S +=，得1n n a S -=，将两式相减，得11n n n n a a S S +--=-，即12n n a a +=．又2112a S a ===．1212 2.n n n a n -=⎧∴=⎨⎩ ， ≥。

数学数学必修5数列总结

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第二章数列
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(3)各项的分母分别是 22,23,24,25，…，分子比分母小 1. ∴数列的通项公式为 an＝2n2＋n1＋－1 1. (4)各项可看作 21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2 005＝ 2×1 000＋5,20 007＝2×10 000×7. ∴数列的通项公式为 an＝2×10n＋(2n－1)．
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第二章数列
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2．分组化归法将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列求和问题，我们将这种方法称为分组化归法，运用这种方法的关键是将通项变形．
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第二章数列
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求数列 1 12，3 14，5 18，…，2n－1＋21n的前 n 项和．解析： Sn＝1 12＋3 14＋5 18＋…＋2n－1＋21n ＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋12＋14＋18＋…＋21n ＝1＋2n2－1·n＋1211－－1212n ＝n2＋1－21n.
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所以数列{Sn2}是以 S12＝a12＝1 为首项，公差 d＝1 的等差数列，
即 Sn2＝1＋(n－1)·1＝n. ∵an>0，∴Sn>0，∴Sn＝ n， ∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ n－ n－1. 而 n＝1 时，a1＝1 也适合上式， ∴{an}的通项公式 an＝ n－ n－1.
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(6)各项可看作 1＝1＋0，32＝12＋1，13＝13＋0， 54＝14＋1，15＝15＋0，76＝16＋1，…， ∴数列的通项公式为 an＝1n＋1＋2－1n.
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第二章数列
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2．公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是分析后项与前项的差或比是否符合等差数列或等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．