信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第二章-2
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-1
n
2.图解法。 步骤：变量置换、翻转、移位、相乘及累加。
例： x1 (n) 2,1,50 , x 2 (n) 3,1,4,21 , 求y(n) x1 (n) * x 2 (n)。
§3.1 离散时间信号－序列
一 离散时间信号的描述 1. 解析式： 例如：x( n) 2( 1) n ,
1 x ( n) , 2
n
n 0,1,2,... n 0,1,2,...
双边离散信号 单边离散信号
2. 一组数字－序列的形式：
例如： x(n) ...,2,2,2,2,2,...
第三章离散时间信号与系统分析31离散时间信号序列32离散信号的基本运算33序列的卷积和34离散时间系统的差分方程35零输入响应36零状态响应37离散系统响应模式分析31离散时间信号序列一离散时间信号的描述1
第三章 离散时间信号与系统分析
§3.1 离散时间信号－序列 §3.2 离散信号的基本运算 §3.3 序列的卷积和 §3.4 离散时间系统的差分方程 §3.5 零输入响应 §3.6 零状态响应 §3.7 离散系统响应模式分析
一 序列的相加
y(n) x1 (n) x 2 (n)
例： x1 ( n) u( n), x2 ( n) u( n 3), 求y( n) x1 ( n) x2 ( n)
同序号的值对应相加减。 x1(n)
x1(n)+x2(n)
{ 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}0
2 1
2
n-2 n-1 n
x1(0) x2(1) x2(2) x2(3) x2(4) x1(0)x2(1) x1(0)x2(2) x1(0)x2(3) x1(0)x2(4)
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第二章-4
一 单位冲激响应的定义及初步分析
1. 什么是冲激响应？
一种特殊的零 状态响应
系统初始状态 为零，输入为单位冲激信号时的响应， 称为单位冲激响应，简称为冲激响应，记为h(t)。 2. 为什么研究冲激响应？ 系统的冲激响应可以表征系统本身的特性。 3. 如何求冲激响应？ 求解系统的冲激响应h(t)，可以分两个区间分别考虑：
i(t )
1 F 6
uc ( 0 )
－
2. n≤m，且特征根全部为单根。 先对H(p)作多项式除法，然后部分分式展开。
例：系统 y' (t ) 2 y(t ) f ' ' (t ) 3 f ' (t ) 3 f (t )，求冲激响应 h(t )。
1. n>m，且特征根全部为单根。H(p)为有理真分式，作部分分式展开。
(1)在(0 ,)区间，按零输入响应的 求解方法来确定响应模 式； ( 2)在(0 ,0 )区间，h( t )中可能包含 ( t )及高阶导数项，用冲激 平衡法。
0- 0 0+
(t )
系统1
系统2
h1 (t )
系统的冲激响应为求解零状态响应提供了方法。
(t )
h2 (t )
方程式等号两边的 函数及各阶导数对应系 数必须相等。
利用公式 1 ( t ) e at u( t ) pa 1 ( t ) u( t ) p
1H
+
1. n>m，且特征根全部为单根。 H(p)为有理真分式，作部分分式展开。
例：如图所示电路系统 ，f ( t )是输入电压
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第一章-2
线性系统的三个条件： 1.系统具有分解性; 2. 系统具有零状态线性； 3. 系统具有零输入线性；
例题2
已知一线性系统，当输入f(t)为零，初始状态为y(0)=5时， 2 t y(0)=10和f(t)共同作用下的全响应 响应为 5e；在 2t 为 1 9e 。 求系统在y(0)=25和2f(t)共同作用下的全响应。
L
+ y(t) -
f(t) i(t)
C
3
§ 1.4 系统的特性与分类
从不同的角度，有不同的分类
系统的分类，体现了系统的特性
•线性、非线性系统 •时不变、时变系统 •因果、非因果系统 •稳定、非稳定系统 •有记忆、无记忆系统
4
一 线性、非线性系统
1. 线性的基本概念
Linear and Nonlinear System
12
复习
1.基本概念
信号：广义讲，一切运动或状态的变化都可以用数学抽象的方式表
现为信号。信号是信息的表现形式，信息则是信号的具体内容。 狭义上讲，信号是随时间变化的物理量。
系统：广义上讲，系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成
的具有特定功能的整体。 狭义上讲：信号的产生、存储、转化、传输和处理，需要一定 的物理装置，这样的物理装置称为系统。 本课程中信号专指电信号(电压，电流)，系统一般是电路系统。
离散时间系统(DTS-Discrete
Time Stytem):
系统的输入与输出都是离散时间信号，用差分方程描述其 数学模型。
混合系统：由连续和离散系统混合组成的模型。
七 模拟系统和数字系统 Analog and Digtal System 八 集总参数系统和分布参数系统
Lumped-parameter and Distributed-paramter System
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第二章-2
例：已知f(1-2t)的波形，求f(t).
f (1 2t) (2)
01 t f (t)
(4)
-1 0
t
§2.3 卷积积分
信号的分析 卷积 系统的分析
一 卷积的定义
t为自变量
设f1(t)和f2 (t)是定义在(,)区间上的两个函数，则 为积分变量
f1(t ) *
f2 ( t )
f(t) 1
f(2t)
f(-2t)
f(-2t+4)
压缩1/2 1
翻转 1
右移2 1
0 2t
01 t
-1 0 t
01 2 t
普通函数进行展缩、翻转和平移时，只会引起信号波形宽 度，以及在时间轴上的位置的变化，但不影响信号幅度。
三. 含有冲激函数或者高阶冲激函数时 (at b) 1 (t b )
t
f (t)dt...dt]* g(t)
n个
[ d f (t)]*[ t g(t)dt] f (t) * g(t)
dt
例：已知f(t)*g(t)的波形如图，求：
(1) f1(t) f '(t) * g(t);
(3) f3(t)
f
'(
t
)
*
t
g
(
)d
;
f(t)*g(t) 1
n
f (t) * g(t)
两 函f (个 数t) *函 先d数 微dtnn卷 积g(积 分t)结 再果 与的 另微 一积函分数，卷等积于。其中一个
t
...t
[
f
(
t
)
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-2
(a k E k a k 1 E k 1 ... a1 E a 0 ) y( n) (bm E m ... b1 E b0 ) x( n)
§3.4 离散时间系统的差分方பைடு நூலகம் 一 差分方程
一阶前向差分： x(n)=x(n+1)-x(n) 一阶后向差分： x(n)=x(n)-x(n-1)
例：某信号处理的过程是：每收到一个数据，就将此数据与 前一步的处理结果求平均，试建立输入输出的差分方程。
1 1 一阶后向差分方程 y( n 1) x( n) 2 2 1 1 y( n 1) y( n) x( n 1) 一阶前向差分方程 2 2 y( n)
一阶后向差分方程
dy( t ) 对于一阶微分方程描述 的系统： y( t ) x( t ) dt
因为
dy( t ) y( nT ) y[( n 1)T ] lim dt T T 0
y( n) y( n 1) y( n) x( n) T 一阶差分方程 1 T y( n) y( n 1) x ( n) 1 T 1 T dy( t ) dy( t ) dt t nT dt t ( n1)T d 2 y( t ) d dy( t ) 对于二阶： 2 dt dt t nT T dt t nT
y( n) y( n 1) y( n 1) y( n 2) 1 T T 2 y( n) 2 y( n 1) y( n－2) T T 离散系统 差分方程可以描述：
国防科技大学信号与系统分析笔记
国防科技大学831信号与系统分析笔记第一章1.输入信号常称为激励，输出信号常称为响应按函数值的确定性，实际的信号可分为确定信号和随机信号两大类。
按定义域来划分（即按自变量时间的取值是否连续）连续信号和离散信号对连续信号和离散信号的区分主要看信号的定义域。
对于值域可连续亦可离散。
二者均为连续——为模拟信号。
二者均为离散——为数字信号。
2.离散序列的平移：如何画f(-t±t0)及f(-k±k0)？解法一：先画f(t±t0)或f(k±k0),再反转；解法二：先画f(-t)或f(-k),再平移，但注意平移方向与前述相反。
3.阶跃函数和冲激函数一个系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的.第二章1．微分经典解法：全解=齐次解+特解=零输入响应+零状态响应2.特解：特解的函数形式与激励函数的形式有关。
全解：线性常系数微分方程的全解是齐次解和特解之和。
3.系统LTI系统冲激响应和阶跃响应的求解方法；4.卷积非零区间：两个时限信号卷积结果的左边界和右边界分别是两个时限信号左边界之和及右边界之和.形状：若两个矩形函数宽度相等,则卷积将产生一个三角波,而不同宽度的矩形函数卷积将产生一梯形.5.分配率：并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各个子系统冲激响应之和。
结合律：串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各个子系统的冲激响应的卷积。
第四章1傅立叶变换取样定理F（jw）=s f(t)e-jwtdt逆变换f(t)=0.5SF（jw）e-jwtdw2.对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。
3.期信号的傅里叶变换（或频谱密度函数）由无穷多个冲激函数组成第五章拉普拉斯变换。
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第八章-1.1
条件三：霍尔维茨阵列中第一列符号相同
特征根全部位于左半平面的条件： 条件一： A(s)的所有系数 i 符号都相同 条件二：无缺项 条件三：霍尔维茨阵列中第一列符号相同 特征方程
a0 s n a1 s n 1 ... an 1 s an 0
前两行是系数排成的两行； a0 a2 a4 ... 一直写到常数项an a1 a3 a5 ...
a01 a02 a03 ... a11 a12 a13 ...
a21 a22 a23 ... a31 a32 a33 ... ... ... ... ... 从第3行开始：
[上一行首列 ][上二行后一列 ] [上二行首列 ][上一行后一列 ] [上一行首列 ]
从第3行开始：
[上一行首列 ][上二行后一列 ] [上二行首列 ][上一行后一列 ] [上一行首列 ]
以n=3（3个单实根）为例：
A( s) ( s a)( s b)( s c )
s 3 ( a b＋c ) s 2 ( ab bc ca ) s abc
当全部极点
s1 a, s2 b, s3 c
位于左半平面时，
A(s)多项式中的系数都必须符号相同 特征根全部位于左半平面的条件： 条件一： A(s)的所有系数 i 符号都相同 条件二：无缺项
一 系统函数的零点与极点 二 系统函数与时域响应
除了常数因子外，系统的极零点可以完全表征系统函数。 复习关于极点、零点的概念 对于实系统，系统的零极点是实数或者共轭复数。
连续时间系统
N s H s D s
N z H z D z
A s zi
n
系统稳定
必要性： 系统稳定 用反证法，若
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第二章-3
1 Hp
+
f(t)
-
i(t )
1 F 6 6
p
uc ( 0 )
－
如图所示电路系统， f ( t )是输入电压源，以电流 i ( t )为输出。 当初始条件i (0 ) 1和i' (0 ) 2，输入f ( t ) 0时，求i ( t )。
1. 特征根全部为单根， i j , i j, y x ( t ) k1 e 1t k 2 e 2 t ... k n e n t ,
求解零输入响应的一般步骤： Step1：写出系统的微分方程或算子方程； Step2：写出零输入响应的算子方程； Step3：写出特征方程，即 D( p) | p D( ) Step4：求解特征根； Step5：根据特征根的形式，写出yx(t)的形式； Step6：代入初始条件，求解出系数k； Step7：写出零输入响应，注意加上“t≥0”。
例3
1. 特征根全部为单根， i j , i j, y x ( t ) k1 e 1t k 2 e 2 t ... k n e n t ,
i , j 1,2,..., n. t 0 再根据初始条件，确定 系数k1 , k 2 ,..., k n
例1
+
5
电压＝阻抗（感抗、容抗）算子×电流
2H
2p
i1 i2 i1 i 2
1
1
+
i1
1H
p
i2
例：电路如图，建立i1(t) 和i2(t)与输入f(t)之间的关系。
2
f(t)
-
小结 ① 通过引进微分算子，得到LTI系统的算子方程：
(an p n ... a1 p a0 ) y( t ) (bm p m ... b1 p b0 ) f ( t )
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-3
作业： 3.14 (2)、(6) 3.17、3.18、3.26
练习： 3.要复习的数学知识
正交、正交基、完备的正交信号集 矢量的正交分解 傅里叶级数 三角函数公式 三角函数与指数函数的积分 信号功率、信号能量
T
回顾
§3.4 离散时间系统的差分方程 离散系统
差分方程可以描述： 作为微分方程的近似方程来进行 连续系统的数字仿真 前向差分方程式
ak y( n k ) ak 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
(a k E k a k 1 E k 1 ... a1 E a 0 ) y(n) (bm E m ... b1 E b0 ) x(n)
D(E) N(E)
y ( n)
N(E) x ( n) H ( E ) x ( n) D( E )
H(E)：传输算子,或者转移算子。
单位样值响应h(n)
信号的 分解特性 系统的 线性时不变性
零状态响应yx(n) y x (n) x(n) * h(n)
一 单位样值响应
二 零状态响应
一 单位样值响应 系统对单位样值信号 (n)的零状态响应， 称为单位样值响应，又称为单位脉冲响应，记为h(n)
国防科技大学信号与系统分析课件
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
5．一维信号和多维信号
一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。 还有其他分类，如：
实信号与复信号 左边信号与右边信号 因果信号和反因果信号
离散信号的功率和能量
离散信号，也有能量信号、功率信号之分。
若满足 E | f (k)|2 的离散信号，称为能量信号。
k
若满足 P lim 1
N /2
|
f
(k)
|2
的离散信号，称为功率信号。
N N kN / 2
一般规律 ※
一般周期信号为功率信号。 时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号) 为能量信号。 还有一些非周期信号，也是非能量信号。
2,
f1( k
)
f2( k )
6 , 8,
4 ,
0 ,
k 1 k0 k1 k2
k其他
9 , k0
f1( k )
f
2
(
k
)
12
,
k1
0 , k其他
二、信号的时间变换
1.信号的反转； 2.信号的平移； 3.信号的展缩（尺度变换）；. 4.混合运算举例。
1. 信号反转
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。
2,
0,
1，
0，
k 1 k0 k 1 k2 k3 k4 其他 k
f(k)= {…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…} ↑
k=0 对应某序号k的序列值称为第k个样点的“样值”。
信号与系统分析(吴冰著)课后答案下载
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第1章信号与系统的基本概念 11.1 信号的描述与分类 11.1.1 信号的定义与描述 11.1.2 信号的分类 21.2 系统的描述与分类 61.2.1 系统的概念 61.2.2 系统的数学模型 61.2.3 系统的分类 71.3 信号与系统分析概述 121.3.1 信号与系统分析的基本内容与方法 121.3.2 信号与系统理论的应用 13练习题 14第2章信号与系统的时域分析 172.1 典型连续时间信号 172.1.1 复指数信号 172.1.2 单位阶跃信号 182.1.3 单位冲激信号 192.1.4 冲激偶信号 232.1.5 斜坡信号 242.2 典型离散时间信号 242.2.1 复指数序列 252.2.2 单位脉冲序列 272.2.3 单位阶跃序列 282.3 连续时间信号的基本运算 29 2.3.1 替换自变量的运算 292.3.2 信号的导数与积分 312.3.3 信号的相加与相乘 322.4 离散时间信号的基本运算 33 2.4.1 替换自变量的运算 332.4.2 相加与相乘 342.4.3 差分与累加 352.5 信号的时域分解 362.5.1 交、直流分解 362.5.2 奇、偶分解 362.5.3 实部、虚部分解 372.5.4 脉冲分解 372.6 连续系统的冲激响应 392.6.1 冲激响应的定义 392.6.2 冲激响应的物理解释 39 2.6.3 冲激响应的求取 402.7 离散系统的单位脉冲响应 442.8 连续系统的零状态响应 462.8.1 卷积分析法的引出 472.8.2 确定卷积积分限的公式 472.8.3 卷积的图解 482.8.4 卷积积分的性质 512.9 离散系统的零状态响应 562.9.1 离散卷积的引出 562.9.2 离散卷积的性质 572.9.3 确定离散卷积求和限的公式 582.9.4 离散卷积的图解 592.9.5 离散卷积的列表计算 602.10 系统的全响应 60练习题 63第3章连续时间信号与系统的频域分析 74 3.1 周期信号分解为傅里叶级数 743.1.1 三角形式傅里叶级数 743.1.2 指数形式傅里叶级数 773.2 周期信号的频谱 793.2.1 周期信号的频谱 793.2.2 周期信号的频谱特点 823.2.3 周期信号的频带宽度 823.2.4 周期信号的功率谱 843.3 非周期信号的频谱密度函数——傅里叶变换 85 3.3.1 非周期信号的频谱密度函数 853.3.2 傅里叶变换 863.3.3 常用信号的傅里叶变换 873.4 傅里叶变换的性质及其应用 913.4.1 傅里叶变换的性质和应用 913.4.2 频谱资源的有限性与认知无线电 1003.5 希尔伯特变换及小波变换简介 1013.5.1 希尔伯特变换 1013.5.2 小波变换简介 1033.6 取样信号的频谱 1043.6.1 时域取样 1043.6.2 时域取样定理 1073.6.3 压缩感知简介 1083.7 连续时间系统的频域分析 1083.7.1 虚指数信号的响应 1083.7.2 正弦信号的响应 1093.7.3 直流信号的响应 1093.7.4 非正弦周期信号 1093.7.5 非周期信号的响应 1103.7.6 频域系统函数 1103.8 信号的无失真传输和理想滤波器 1123.8.1 信号的无失真传输 1123.8.2 理想滤波器 113练习题 114第4章连续时间系统的复频域分析 1204.1 拉普拉氏变换 1204.1.1 拉普拉氏变换的定义 1204.1.2 拉氏变换的收敛域 1214.1.3 常用信号的拉氏变换 1224.2 拉氏变换的性质 1234.3 拉氏反变换 1304.4 连续系统的复频域分析 1334.4.1 求解系统微分方程 1334.4.2 分析电路 1344.5 系统函数 1384.5.1 系统函数 1384.5.2 系统函数的零、极点图 1394.5.3 系统函数的零、极点分布与系统冲激响应的关系 140 4.5.4 系统的稳定性 1424.6 连续系统的模拟 1434.6.1 基本运算器 1434.6.2 连续系统的模拟 144练习题 149第5章离散信号与系统的变换域分析 153 5.1 Z变换 1535.1.1 从拉氏变换到Z变换 1535.1.2 Z变换的定义 1545.1.3 Z变换的收敛域 1555.1.4 常见信号的Z变换 1565.2 Z变换的性质 1575.3 Z反变换 1665.3.1 幂级数展开法 1665.3.2 部分分式展开法 1675.4 离散系统的Z变换分析 1695.5 离散系统函数与系统特性 1745.6 离散系统的模拟 1765.6.1 基本运算器 1765.6.2 离散系统的模拟 176练习题 178附录1 常用信号的傅里叶变换 182附录2 傅里叶变换的基本性质 183附录3 常用信号的拉氏变换 184附录4 拉氏变换的基本性质 185附录5 常用序列的Z变换 186附录6 Z变换的性质 188附录7 信号与系统常用数学公式 189部分练习题参考答案 1901.信号与系统考试题及答案2.信号与系统答案-阳光大学生网3.信号与系统第三版段哲民课后答案西北工业大学出版社4.电力系统分析第二版(孟祥萍著)课后答案下载。
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第二章-5
零输入响应
y( t ) ae t
零状态响应
1 t 1 t e e , t0
当 2, 3时， 1 1 y( t ) ae 2t e 2t e 3t 5 5
瞬态响应 稳态响应
自然响应
强迫响应
例： 系统的传输算子为： H ( p)
h2(t) h1(t) h3(t) +
h y ((tt))
小结
(1) y f ( t ) f ( t ) * h( t )
(t ) * h2 (t ) * h1 (t ) * h3 (t )
系统对输入信号f(t)的零状态响应yf(t) 即是f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积。
(2) 任何信号都可以看作是某个系统的冲激响应。
h(t)
y f (t )
f 1 (t ) f 2 (t )
h(t) +
y f (t )
h(t)
例：求如图所示系统的 冲激响应，其中 h1 ( t ) u( t ), h2 ( t ) ( t 1) , h3 ( t ) ( t )
f ((tt))
h1(t)
(t ) * h1 (t )
例：已知系统
( p2 5 p 6) y(t ) pf (t ) ,
f (t ) u(t )。求y f (t ).
LTI系统分析思路
1. 特征根全部为单根， i j , i j,
x 1
1t
i , j 1,2,..., n.
1 2 n
y ( t ) k e k e ... k e , t 0 再根据初始条件，确定 系数k , k ,..., k 系 2. 特征根有r建立系统的微分方程 个重根 ， 这r个重根对应的响应模式 为： 求转移算子H(p) 统
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第四章-2
a↓
t
w
e
a t
2a ( 0) 2 a 2
e
a t
2a ( 0) 2 a 2
a→0
a→0
a 0
lim e a|t| 1
利用A lim
0, 0 lim 2 lim 2 0 A ( ) 2 a 0 a a 0 a 2a
(t ) 1
0
(1) t
f(t)
1 0
F[1]
w
1 2 ( )
0
1 t 0
(2) w
另外还有： G ( t ) sa 2
0 sa 0 t G20 ( )
时域、频域的这种二元性，是正变换和逆变换公式中的相似性造成的。
d
1 j t F ( j ) d e 2
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和； ②：发生在一切频率上，是连续变化的； ③：各频率分量的系数 但F(jw)描述了各频率分量的相对比例关系，即描述了
1 F ( j )d 2
2
例3：单位冲激信号(t)的频谱:
(t)
(t ) 1
F[(t)]
(1) 0 t 0
1 w
分析： (t)的频谱包含了所有频率分量，且各个频率分量的相对大小相同。 称为白色谱。
例4：单位阶跃信号u(t)的频谱:
当 lim e
a 0 t
1 u( t ) u( t )，求u( t )的频谱。u( t ) ( ) j
1 a
1 u( t ) a j
t
2
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第七章-2
零点
a a×
极点
Re(z)
零点
╳
极点
Re(z)
极点
a
b
× ×
b-1 Re[z]
收敛轴
7.6 z变换的性质
1. 线性性质 2. 时移特性 3. Z域尺度变换 4. 时域反转 5. z域微分 6. 时域卷积定理 一 双边Z变换的性质 二 单边Z变换的性质
( n) 1 ( n 1) z 1
n 0
1. 时移性质
左移
如果 xnun X z m 1 m k xn mun z X z x k z , k 0
xn 1u( n) zX z zx(0),
m 1
xn 2un z 2 X z z 2 x(0) zx(1)
2
na
n 1
u( n)
, | z || a |
1 z n( n 1)a n 2 u( n) , | z || a | 3 2 ( z a)
对于反因果序列有： a n u( n 1)
z , | z || a | za
自己推导类似的公式……
6 时域卷积定理
u( n) 1 1 z 1
1 1 z 1
z , | z | 1 z 1
z , | z | 1 z 1
u( n 1)
n
z a u( n) ,z a 1 za 1 az 1 z a n u( n 1) ,za 1 az 1 z a
z ( z a )2
z 1 (1 az 1 )2
z (z a)
3
z 2 (1 az 1 )3
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第四章-1
2
4
6
8 10
-10 -8
-6
-4 -2 0
2
4
6
8 10
f ( t ) c 0 c n cos(nt n )
n 1
f (t )
n
jnt F e , n
t (t 0 , t 0 T )
| Fn || F n | F0 C 0区间上积分，得到：来自a0 c0 d 0
2 2 cn d n an bn
tg( n )
bn an
, tg( n )
an bn
f ( t ) c 0 c n cos(nt n )
n 1
f ( t ) d 0 d n sin( nt n )
信号的正交分解
f (t ) c11 (t ) c22 (t ) c33 (t ) ... cii (t )
i
f ( t ) c i i ( t ) f e ( t )
i
在完备的正交信号集上可以作信号的精确正交分解。 系数ci表示f(t)中含有φi分量的多少。
t2
如果n个信号 1 (t ), 2 (t ),..., n (t ) 在(t1,t2)上满足两两正交。 则此信号集为正交信号集，各i(t)为基底信号。 完备的正交信号集
i ( t ) * j ( t )dt t1
t2
0 Ki
i j i j
如果在正交信号集 i (t ), i 1,2,..., n 之外，不存在任何能量 有限信号与各i(t)正交，则该信号集为完备的正交信号集。
图形上， 时域波形与频谱图的关系
《信号与系统分析》读书笔记思维导图
信号与系统分析课程是通信、信息、电子工程类和自控类专业的一门重要的专业基础课程。本书全面系统地 论述了信号与系统的基本理论、基本分析方法及其应用。全书共分为九章，内容包括：信号与系统的基本概念、 连续系统的时域分析、离散系统的时域分析、傅里叶变换及系统的频域分析、离散傅里叶变换、拉普拉斯变换及s 域分析、z变换及z域分析，系统的状态变量分析、MATLAB在信号与系统中的应用等。
2.1 引言
2.2 微分方程的经 典解法
2.3 0-与0+状态的 转换
2.4 零输入响应与 零状态响应
2.6 连续时间系统 的模拟
2.5 单位冲激响应 与单位阶跃响应
习题
第3章 离散时间系统的时域分析
3.1 引言
3.2 差分与差分方 程
3.3 线性常系数差 分方程的经典解法
3.4 零输入响应与 零状态响应
05
第4章 傅里叶变换及 系统的频域分析
06
第5章 离散时间信号 的傅里叶变换
目录
07 第6章 拉普拉斯变换 及连续系统的s域分 析
09
第8章 系统的状态变 量分析
08
第7章 Z变换及离散 系统的z域分析
010
第9章 MATL AB在信 号与系统中的应用
011 附录
013 参考文献
目录
012 习题答案
5.4 周期序列的离 散时间傅里叶变换
5.6 LTI离散时间 系统的频域分析
5.5 离散傅里叶变 换及其性质
习题
第6章 拉普拉斯变换及连续系统 的s域分析
01
6.1 引言
02
6.2 拉普 拉斯变换
04
6.4 拉普 拉斯反变换
06
6.6 系统 函数
信号与系统分析
信号与系统分析信号与系统分析是一门重要的电子工程学科，它研究信号在系统中的传输、处理和表示，同时也研究系统对信号的响应和性能。
这门学科对于设计和实现各种电子设备和系统非常重要，在数字信号处理、通信系统和控制系统等领域得到广泛应用。
在这篇文章中，我将介绍信号与系统分析的基本概念、原理和应用。
信号是指在时间或空间上随时间变化的某种物理量，它可以用数学函数来表示。
例如，声音、图像、电压和电流等都是信号。
信号分为连续时间信号和离散时间信号两种类型。
连续时间信号是在时间上连续变化的信号，它的表示方式是连续的函数，例如正弦波。
离散时间信号是取样和量化得到的离散的信号，它的表示方式是序列，例如数字音频信号。
信号的分类还有频域和时域信号，频域信号是将信号在频率域中表示，时域信号是将信号在时间上表示。
系统是指对信号进行处理或传输的设备，这些设备可以是线性的或非线性的。
系统的输入是信号，系统的输出也是信号。
系统可以是电子电路、通信信道或传感器等各种设备。
系统可以用数学模型来描述，常见的模型有线性时不变（LTI）系统模型、状态空间模型和传递函数模型等。
LTI系统是指响应只依赖于输入的当前值和过去的值，它具有许多重要的性质，例如稳定性、因果性和线性性等。
通过对信号和系统的分析和处理，可以得到一些重要的性能指标。
例如，频率响应、相位响应、系统的零点和极点等。
这些指标可以衡量系统的性能和稳定性。
另外，还可以使用滤波器、模数转换器和数字信号处理器等工具来处理信号和系统。
信号与系统分析的应用非常广泛，包括数字信号处理、通信系统、控制系统、图像处理、声音处理和生物医学工程等领域。
在数字信号处理领域，信号与系统分析可以用于数字滤波器和变换器的设计和实现。
在通信系统中，信号与系统分析可以用于调制、解调和信道等设备的设计和实现。
在控制系统中，信号与系统分析可以用于控制器和反馈系统的设计和分析。
在图像处理和声音处理中，信号与系统分析可以用于图像增强和声音清晰化等处理。
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第六章-2
1 e ut sa
at
s cos 0 t ut 2 2 s 0
0 sin 0 t ut 2 2 s 0
1
例6.3.2 求F s
解：
1
s3
1 e , t
st 0
0 0
的拉氏反变换。
1 2! 1 2 t u( t ) 3 2 1 2 2 s s 1 st 0 1 2 e ( t t ) 0 u( t t0 ) s3 2
9. 初值定理 10. 终值定理
f t F s f 0 lim f t lim sF s
t 0 s
f t F s f lim f t lim sF s
t s 0
直接由F(s)求出时域信号的初始值和稳定值，而不必求反变换。 例：已知
s2
2
例6.3.1 求 F s 2
解：
2 t
s 2
2
2
的拉氏反变换。
s 2t 2t L1 e e cos(2t )u( t ) 2 2 s 2
1 t 1 ' t s ut s
n! t ut n 1 s
11.卷积定理
5. 时域微分定理
dn dt
n
f t s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 1 0 f n 1 0
d2 f ( t ) s 2 F s sf 0 f ' 0 dt 2
d f ( t ) sF s f 0 dt
例：求 解：
F s
1 s( s 2 s 1)
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1．系统的初始状态
根据各电容及电感的状态值能够确定在 t 0
时刻系统的响应及其响应的各阶导数
( y(0 ) k 1, 2 , , n 1)
称这一组数据为该系统的初始状态。
2．系统的初始值
一般情况下，由于外加激励的作用或系统内 部结构和参数发生变化，使得系统的初始值与 初始状态不等，即：
y(0 ) y(0 )
自由响应又称固有响应，它反映了系统本身 的特性，取决于系统的特征根； 强迫响应又称强制响应，是与激励相关的响 应。 利用经典法可以直接求得自由响应与强迫响 应，强迫响应即特解
先求得系统的零输入响应和零状态响应，并 获得系统的全响应；
然后利用系统特性与自由响应、激励与强迫 响应的关系可以间接得到自由响应和强迫响应。
t
f (t) (t)dt f (0) (t)dt
f (0) (t)dt f (0)
(1)
0
t
ห้องสมุดไป่ตู้（3）偶函数
（4）
(at)
1 a
(t)
f (t) (t) ( f (0))
（5） (t)与U (t)的关系
0
t
1.2 基本信号及其时域特性
单位冲激偶信号 '(t)
f (t) 1/
f ' (t) (1/ )
第2章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的模型 2.2 LTI连续系统的响应 2.3 冲激响应与阶跃响应 2.4 卷积与零状态响应
2.1 LTI连续系统的模型
2.1.1 LTI连续系统的数学模型 2.1.2 LTI连续系统的框图
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2.1.1 LTI连续系统的数学模型
对于任意一个线性时不变电路，当电路结构 和组成电路的元件参数确定以后， 根据元件的伏安关系和基尔霍夫定律，可以 建立起与该电路对应的动态方程。
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例：已知f(1-2t)的波形，求f(t).
f (1 2t) (2)
01 t f (t)
(4)
-1 0
t
§2.3 卷积积分
信号的分析 卷积 系统的分析
一 卷积的定义
t为自变量
设f1(t)和f2 (t)是定义在(,)区间上的两个函数，则 为积分变量
f1(t ) *
f2 ( t )
n
f (t) * g(t)
两 函f (个 数t) *函 先d数 微dtnn卷 积g(积 分t)结 再果 与的 另微 一积函分数，卷等积于。其中一个
t
...t
[
f
(
t
)
*
g(
t
)]dt...dt
f
(
t
)
*
[
t
t
g(t
)dt
...dt
]
[
t
|a|>1,压缩；|a|<1,扩展 翻
转
f (at)
平移 b |a|
f (at b)
b 0, 左移；b 0, 右移
a
a
f (at b) f (t) 推荐顺序：平移－翻转－展缩
平移(b/a>0,右移；b/a<0,左移) 翻转 展缩(|a|倍)
例：已知f(t)的波形图，求f(-2t+4)的波形图。
u(t) * u(t) tu(t) r(t)
2.图解法 适合于已知信号波形的情况下的卷积积 分计算，可以形象的说明卷积的含义， 帮助理解卷积的概念。
f1(t) * f2(t) f1( ) f2(t )d 例： f1(t)
1 -5 -4
01 3 t
f2(t) 2
0
45 t
方法二：
f1(t) u(t 1) u(t 3) f2(t) 2[u(t 4) u(t 5)]
f1(t)*f2(t) 2
0
f1() 1
01
f2(-) 2
3
0
t-5 t-t4-51tt--45 tt--45 3t-4t-5 t-4
56 7 8
t
用图解法求解卷积的步骤是：翻转、滑动、相乘、积分。 关键是： a. 确定卷积结果的分段时限（即t的分段时限）； b. 确定每段中积分的上下限； c. 确定每段中积分函数的表达式。
t t b，表达式以及定义域中都要换
b>0时，左移；b<0时，右移。
u(t)
u(t-1)
右移1
0
t
01
t
3 翻转
(a)函数表达式 t t，表达式和定义域中都要换
(b)波形
波形以纵轴为轴翻转
二 .同时存在展缩、平移和翻转
(a)函数表达式
已知f (t),求f (at b) 方法：t at b
2 奇异信号的卷积特性
(1) (t)是卷积的单位元 f (t) * (t) f (t)
(2) (t-t0)是t0秒的延迟器 f (t) * (t t0 ) f (t－t0 ) (3) ’(t)是微分器 f (t) * '(t) f '(t) f (t) * (n) (t) f (n) (t)
(4) u(t)是积分器
f (t) * u(t)
t
f ( )d
f (1) (t )
t n1 (n 1)!
f
(t
)
*
u(t
)
t
...t
f ( )d ...d
f (n)(t)
3 卷积的微积分特性
dn dt n
f
(
t
)
*
g(t
)
dn
dt
(2) f2(t)
f
(
t
)
*
tຫໍສະໝຸດ g()d
;
(4) f4(t) f (t) f (t 1)* g(t);
f(t)*g(t) 1
01 f1(t)
(1) 01
f2(t)
3t
3t (-1)
01 3 t
f(t-1)*g(t) 1
0
2
f4(t) 2
1
4t
01
3t
01 2 3 4 t
f (t) f (at b) 推荐顺序：展缩－翻转－平移
如果a>0,
展缩为原来的1 倍
f (t)
a f (at )
平移 b a
f (at b)
a>1,压缩；a<1,扩展
b 0, 左移；b 0, 右移
a
a
展缩为原来的 1 倍
如果a<0, f (t)
| a | f (| a | t)
f1( )
f2 ( t
)d，称为f1(t)和f2 (t)的卷积。
二 卷积的性质
1 卷积代数 卷积积分遵守代数运算的某些性质规律。
(1)交换率：f 1(t) * f 2(t) f 2(t) * f 1(t) (2)分配率：f 1(t) *[ f 2(t) f 3(t)] f 1(t) * f 2(t) f 1(t) * f 3(t) (3)结合率：[ f 1(t) * f 2(t)]* f 3(t) f 1(t) *[ f 2(t) * f 3(t)]
t
f (t)dt...dt]* g(t)
n个
[ d f (t)]*[ t g(t)dt] f (t) * g(t)
dt
例：已知f(t)*g(t)的波形如图，求：
(1) f1(t) f '(t) * g(t);
(3) f3(t)
f
'(
t
)
*
t
g
(
)d
;
f(t)*g(t) 1
§2.2 信号的时域运算
一 信号的加减和相乘 二 信号的积分和微分 三 信号波形的展缩、平移和翻转 四 信号的分解
信号波形的展缩、平移和翻转
一.简单情况
1 展缩（尺度变换）
(a)函数表达式 t at(a 0)，函数表达式和定义域中都要换。
(b)波形
如果a 1，波形被压缩为原来的1；如果a 1，波形被扩展为原来的1
(3) 如果>T，会相互重叠。
三 卷积的计算
1.利用卷积的性质，或者直接计算积分得到。 直接计算积分时，一般形式简单的选为f2(t)， 相对较复杂的做f1(t)，可以简化计算。
例： (1) f1(t) cost, f2(t) (t 1) (t 1)
(2) f1(t) u(t), f2(t) u(t) (3) f1(t) u(t 1), f2(t) u(t 4) (4) f1(t) u(t), f2(t) e|t1|
例：如图为周期为T的冲激串，可用T(t)表示，即：
T (t)
(t mT )
f1(t)波形如图所示，求f(t)=f1(t)* T(t)。
m
T(t)
(1)
…
…
f1 (t )
1
-T 0 T t
0
t
f (t)
1
分析：
…
…
(1) 构造周期信号的一种方法；
T
0T
t (2) 与周期冲激串的卷积的效果 是周期延拓；
a
a
例：已知
t 0 t 2
f (t)
0
其他
求f(2t).
解：方法一，用变量替换法。
2t 0 2t 2 2t 0 t 1
f (2t)
0 其他
0
其他
方法二，图形法。
f (t)
f (2t)
2
压缩1/2 2
0
2
t
01
t
2 平移 (a)函数表达式 (b)波形
已知f (at b)，求f (t) 方法：令at b ，有t b，故：t b 。
a
a
例：已知
f
(t)
1
0
0
t 其他
2
求f(-2t+4).
(b)波形 已知f (t)的波形,求f (at b)的波形 推荐顺序：展缩－翻转－平移 已知f (at b)的波形,求f (t)的波形 推荐顺序：平移－翻转－展缩
f(t) 1
f(2t)
f(-2t)
f(-2t+4)
压缩1/2 1
翻转 1
右移2 1
0 2t
01 t
-1 0 t
01 2 t
普通函数进行展缩、翻转和平移时，只会引起信号波形宽 度，以及在时间轴上的位置的变化，但不影响信号幅度。
三. 含有冲激函数或者高阶冲激函数时 (at b) 1 (t b )