吴大正信号与线性系统分析第4章PPT课件

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信号与线性系统_吴大正_教材课件

s ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) P ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t )
第 1 章信号与系统的基本概念
同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与积信号p(k)可表示为
s ( k ) f1 ( k ) f 2 ( k ) P ( k ) f1 ( k ) f 2 ( k )
解一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号 f(at+b)(a≠0)的波形可以通过对信号f(t)波形的平移、翻转(若
a<0)和展缩变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法
画出f(1-2t)的波形。 (1) 按“翻转-展缩-平移”顺序。首先将f(t)的波形进行翻转得到如图1.3-6(b)所示的f(-t)波形。然后，以坐标原点为中心，将f(-t)波形沿t轴压缩1/2，得到f(-2t)波形如图1.3-6(c)所示。由于f(1-2t)可以改写为
f(-t+1)波形。最后，将f(-t+1)波形压缩1/2得到f(1-2t)的波形。
信号波形的变换过程如图1.3-7所示。
第 1 章信号与系统的基本概念
f (t ) f (t ＋ 1)
1 －2 －1 0 －1 1 2 t －1
1
0 －1
1
t
(a )
(b )
f (－ t ＋ 1)
f (1 － 2 ) t
第 1 章信号与系统的基本概念
f1 (t ) A 1 f2 (t ) A f3 (t )
－2
－1
0
1
2
t
o
t
o
t0
t
－A
(a )
(b )

信号与系统吴大正第四章傅立叶变换和系统的频域分析

4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱周期矩形脉冲的频谱从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。狄利赫利条件(Dirichlet condition)

t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式指数形式奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1

信号与系统吴大正第四版PPT精品文档

■
信号与系统电子课件
（2）零状态响应。先求初值 yzs(0)和。yzs(0) 将f(t)=ε(t)代入方程得
y z s ( t ) 3 y z s ( t ) 2 y z s ( t ) 2 ( t ) 6 ( t ) ( 1 )
由冲激函数匹配法知，y zs ( t应) 包含 2， ( t从) 而 y z s (在t ) t= 0处将发生跃变，即 yzs(0)。yzs(0)
.
20
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信号与系统电子课件
三、全响应
全响应 = 自由响应＋强迫响应 = 零输入响应＋零状态响应
.
21
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■
信号与系统电子课件 2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响应，称为
单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
g1(t)3g1(t)2g1(t)(t)
g1(0)g1(0)0
其特征根 11,2，其2特解为0.5，于是得：
g 1 (t) (C 1 e t C 2 e 2 t 0 .5 )(t)
又根据0-状态求得0+状态值得：g1(0)g1 (0)0
解得： C 11,C20.5
得：
g 1 (t) ( e t 0 .5 e 2 t 0 .5 )(t)
.
3
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一、微分方程的经典解
微分方程的解：y(t)= yh(t)+ yp(t) 其中， y(t): 完全解。 yh(t): 齐次解。由微分方程的特征根确定。 yp(t): 特解。与激励函数的形式有关。
.
4

信号与线性系统分析第4章课件

0
t
−0.5
0.5 f(t)
0
t
13
半波整流波形
-T -T -T -T
f(t) F
f(-t)
T
t
F
fod(t)
T
t
F
T
t
F fev(t)
T
t
14
全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|
f1(t) E
-T
Tt
a n T 4 0 T 2 f ( t ) cn o t ) d s 4 T ( t E 0 T 2 s i0 t n ) cn ( o t ) d s( t
4 T E 0 T 2 s i0 t n )c( n o 0 t) s d(t (令 0 )
2 E 1 cn o )s(
n 2 1
( n 0, 1 ) ,2,
f1 (t) 2 E 1 3 2 c2 o 0 ts ) 1 ( 2 c5 4 o 0 ts ) (
15
16
• f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相，即对称于横轴 f(t)＝−f(tT/2)
f(t) 1
-T
Tt
奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。
f ( t ) a 1 c o t ) a s 3 c (3 o t ) s a 5 c (5 o t ) s ( b 1 s it ) n b 3 s (3 i t n ) b 5 s (5 i t n ) (
19
• 傅里叶级数小结：
f(t) a 2 0 n 1 a n co n t) s n ( 1 b n sin n t)(
f(t)A 2 0n 1A nco n s t＋ ( n)

吴大正信号与线性系统分析第4章

4.3 周期信号的频谱画出 f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图幻灯片 19
4.3 周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为 1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为 T，如图所示。求频谱。令 Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）幻灯片 20
4.3 周期信号的频谱 , n = 0 ,±1，±2，… Fn 为实数，可直接画成一个频谱图。设 T = 4τ画图。特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。幻灯片 21
4.1 信号分解为正交函数三、信号的正交分解设有 n 个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数 f(t)用这 n 个正交函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C1 1+ C2 2+…+ Cn n 如何选择各系数 Cj 使 f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为幻灯片 7
f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω)
‖
g2(t) ←→ 2Sa(ω) ∴ F(jω) = 2πδ(ω) - 2Sa(ω)
-
幻灯片 33
4.5 傅里叶变换的性质
二、时移性质(Timeshifting Property)
If f (t) ←→F(jω) then where “t0” is real constant.
A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。幻灯片 4

(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解

目　录第1章　信号与系统1.1　复习笔记1.2　课后习题详解1.3　名校考研真题详解第2章　连续系统的时域分析2.1　复习笔记2.2　课后习题详解2.3　名校考研真题详解第3章　离散系统的时域分析3.1　复习笔记3.2　课后习题详解3.3　名校考研真题详解第4章　傅里叶变换和系统的频域分析4.1　复习笔记4.2　课后习题详解4.3　名校考研真题详解第5章　连续系统的s域分析5.1　复习笔记5.2　课后习题详解5.3　名校考研真题详解第6章　离散系统的z域分析6.1　复习笔记6.2　课后习题详解6.3　名校考研真题详解第7章　系统函数7.1　复习笔记7.2　课后习题详解7.3　名校考研真题详解第8章　系统的状态变量分析8.1　复习笔记8.2　课后习题详解8.3　名校考研真题详解第1章　信号与系统1.1　复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。

根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。

二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。

2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。

图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。

图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。

这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。

3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。

信号与系统吴大正第四版第四章完整ppt课件

Wa(l0,t)
O
Wal(1,t)
O
1/ 2
Wa(l2,t)
1
t
1
t
O
第1-10页
1/ 4
1/ 2
3/ 4
1
精选编辑ppt ■
t
10
信号与系统电子课件
如果是复函数集，正交是指：
若复函数集 {i(t)}i (1,2,,n)在区间（t1,t2）满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,当当 ii jj
信号与系统电子课件
连续时间信号与系统的频域分析
精选编辑ppt
1
第1-1页
■
信号与系统电子课件
本章安排
• 信号的正交分解和傅里叶级数 • 周期信号和非周期信号的频谱 • 傅里叶变换的性质 • 周期信号的傅里叶变换 • LTI系统的频域分析和取样定理 • 离散傅里叶变换及其性质
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2
第1-2页
j 1
如何选择C j才能得到最佳近似。
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1Cj
j(t)]2dt
精选编辑ppt
12
第1-12页
■
信号与系统电子课件
多元函数就极值问题
1
C j t2t1
t1 t2[f(t)jn 1C j j(t)]2d t0
Ci
t2 t1
f (t)i(t)dt
则称 1和在2区间(t1,t2)内正交。
若有n个函数 1 (t) ,2 (t)构,, 成n ( 一t) 个函数集，
这些函数在区间(t1,t2)内满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,
当 ij 当 ij

信号和线性系统分析(吴大正第四版)第四章习题答案解析

第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T解 ⑴角频率为Ω = IOO rad∕s,周期丁=盲=p÷ξ ⑵角频率为I fi=号■rad∕s,周期= 4 s(3) 角频率为Ω = 2 rad 倉，周期T = ~ = Tr S (4) 角频率为Q =兀rad∕ s,周期T=^ = 2 sΩ(5) 角频率为 Ω — rad∕s*周期 T=-^ = 8 s4 12⑹角频率为C =話rad∕s,周期T = -jy = 60 s4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）(1) e j100t(2) cos[,t - 3)](3) cos(2t) sin(4t) ⑷ cos(2 兀 t) +cos(3πt) +cos(5 兀 t)(5)π π cos( t) sin( t)2 4(6)JEJITEcos( t) cos( t) cos( t)2 35-2 -1 O 12 3 r(IJ)图4-15f>~ 十解 ⑴周期T = 4,1Ω = Y =亍r 则有H ,4⅛ - 1 ≤ r ≤ 4⅛+ 1/⑺=II∣07 4⅛ + 1 < r < 4⅛ + 3由此可得-Tu rt = ~∖ ' τ fit) cost nΩt)dt= -∣^∣ /(f)cos(^ψ^)df J- J —⅛ 乙-.：—2 I（2｝周期丁=2・0 =年=兀，则有由此可得1 + e -jrhr2π( I - √ )所含有的频率分量)dr =2 J -[2『亍=Wl f(t)sm(ττΩt)dt =1 J -T2——SInnπ （才），= om 小山（竽）出ISin(Jrt) 9fm=! 0,2⅛ ≤ r ≤ 2⅛ + 12⅛ + 1 < r < 2⅛ + 2F ri ]ft1 Γl=TJV Cf)^dr =⅛J r ∣/(r)e-7iβ,dr — -7- Sin(^f)e -dr -I ZJV4.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中扣 =O* ± 1 * + 2・・图 4-18解 (1)由旳⑺的波形可矩Λ<r) =√√-n =-∕l (f ⊂f)亠 IU Jr = f(t)cos( riΩt )df 则有丿丁人 ,jj = 0.1,2,-[仇=0"[J =盘？=应丄=*" =QE=仇=仏=*八=0 则∕√r)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠 (2)由f 2(t)的波形可知则有— ■ ??f(t)s}n(tιΩt )d r ⅛ =A rz fl , J Tni JJO则f 2(t)的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波*(3)由 f 3(t)的波形可⅛l∕3<f) = f 3(~r)则有Γ⅛ = 0, n/(z)cos( fiΩt >d;(4)% 4召=亍即ΛG)的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波* 由/<(0的波形可知，人⑺为奇谐函数■即fdι) =一 fZ 土 £)b 2 = h A = b 6 =・*・=0则有 U即人")的傅里叶级数中只含有奇次谐波•包括正弦波和余弦披"4-11 求u(t)的三角形式傅里叶系数。

信号与系统课程要点(吴大正)

信号与系统第一章信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号 3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换。

图解时方法多种，但注意仅对变量t 作变换，且结果可由值域的非零区间验证。

4．阶跃函数和冲激函数极限形式的定义；关系；冲激的Dirac 定义阶跃函数和冲激函数的导数与积分冲激函数的取样性质)()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅；⎰∞∞-=⋅)0()()(f dt t t f δ)()()()(111t t t f t t t f -⋅=-⋅δδ；⎰∞∞-=-⋅)()()(11t f dt t t t f δ分段连续函数的导数计算知道一些常用的信号 5．系统的描述方法数学模型的建立：微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连），延时单元（离）由时域框图列方程的步骤。

6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性。

时不变性：常参量LTI 系统的数学模型：线性常系数微分（差分）方程（以后都针对LTI 系统） LTI 系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性第二章连续系统的时域分析1．微分方程的经典解法：齐次解+特解（代入初始条件求系数）自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（奇异函数系数平衡法）全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性 2．冲激响应)(t h定义，求解（经典法），注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性阶跃响应)(t g 与)(t h 的关系3．卷积积分定义激励)(t f 、零状态响应)(t y f 、冲激响应)(t h 之间关系)()()(t h t f t y f *=卷积的图示解法：步骤、关键点、两个结论卷积的解析解法卷积的代数运算规则3个，物理意义函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）)()()(t f t t f =*δ；)()()(11t t f t t t f -=-*δ 卷积的微分与积分复合系统冲激响应的求解第三章离散系统的时域分析1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态（是)()2(),1(N y y y --- ），而初始条件（指的是)1()1(),0(-N y y y ） 2．单位序列响应)(k h)(k δ的定义，)(k h 的定义，求解（经典法）；若方程右侧是激励及其移位序列时，注意应用线性时不变性质求解阶跃响应)(k g 与)(k h 的关系 4．卷积和定义激励)(k f 、零状态响应)(k y f 、冲激响应)(k h 之间关系)()()(k h k f k y f *=卷积和的作图解法：步骤，注意问题。

吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3~4章【圣才出品】

①建立系统的差分方程；
②特征值→求零输入响应 yzi（k）； ③单位样值响应→利用卷积和求零状态响应 yzs（k）＝h（k）*f（k）；
④全响应 y（k）＝yzi（k）＋yzs（k）。
三、零输入响应和零状态响应 1．零输入响应 yzi（k）激励为零时，仅由系统的初始状态引起的响应，若特征根为单根时，则零状态响应为
应。
四、单位序列响应和阶跃响应
1．单位序列响应
由单位序列 δ（k）所引起的零状态响应，称为单位序列响应或单位样值响应或单位取
样响应，或简称单位响应，记为 h（k），即
。
2．阶跃响应
由阶跃序列 ε （ k ）所引起的零状态响应，称为阶跃响应，记为 g （ k ），即
和 f i。 i
0, k 0
（1）
f
k
1 2
k
,
k
0
（2）
f
k
0, k k, k
0 0
解：（1）f（k）可以表示为：
f
k
1 2
k
k
f
k
f
k
1
f
k
1 2
k
1
k
1
1 2
k
k
10,,
k 1 k 1
1 2
k
1
,
k 0
f
k
f
k
f
k
1
1 k 2
k
1 2
k
1
k
1

f k f k f k 1 k k k 1 k 1 k 1
故
k
i
f
i

信号与线性系统分析课件

04 线性系统的响应
系统的冲激响应
冲激响应定义
01
冲激响应是线性系统对单位冲激函数的响应，反映了系统对瞬
时作用的响应特性。
冲激响应计算
02
通过求解线性系统的微分方程或差分方程，可以得到系统的冲
激响应。
冲激响应的物理意义
03
冲激响应可以理解为系统内部能量的传播和分布，是分析系统
动态特性的重要手段。
卷积积分定义
卷积积分是信号处理中常用的一种运算，用于描述两个函数的相互作用。在线性系统中，卷积积分用于描述系统的输出与输入之间的关系。
卷积积分的计算
卷积积分的计算涉及到函数乘积的积分，常用的计算方法包括离散卷积和离散化卷积等。
卷积积分的物理意义
卷积积分可以理解为系统对输入信号的处理和转换能力，是分析系统动态特性的重要手段。在信号处理中，卷积积分常用于信号滤波、预测和控制系统设计等领域。
03 信号的傅里叶分析
傅里叶级数
傅里叶级数定义
将周期信号表示为无穷多个正弦和余弦函数的线性组合。
复指数形式
使用复指数函数来表示周期信号。
三角函数形式
使用正弦和余弦函数来表示周期信号。
傅里叶级数的应用
用于分析信号的频率成分和幅度变化。
傅里叶变换
01
02
03
傅里叶变换定义
将时域信号转换为频域信号，表示信号的频率分布。
傅里叶变换的性质
线性、时移、频移、共轭、对称等性质。
傅里叶变换的应用
用于信号处理、图像处理、通信等领域。
频域分析
频域分析定义
通过分析信号的频率成分来理解信号的特征和性质。
频域分析的应用
用于信号滤波、调制解调、频谱分析等领域。

吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)章节题库(傅里叶变换和系统的频域分析)【圣才出品】

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第 4 章傅里叶变换和系统的频域分析
一、选择题 1．图 4-1 所示系统由两个 LTI 子系统组成，已知子系统 H1 和 H2 的群时延分别为 τ1 和 τ2，则整个系统的群时延 τ 为（）。
图 4-1 A．τ1＋τ2 B．τ1－τ2 C．τ1·τ2 D．max（τ1,τ2）【答案】A
9．如图 4-2 所示信号 f1（t）的傅里叶发换 F1（jω）已知，求信号 f2（t）的傅里叶发换为（）。
图 4-2
【答案】A
【解析】由题意知， f2 (t) f1(t t0 ) 。由于 f2（t）＝f1（－（t＋t0）），根据傅里叶发换的反转性质和时秱性质可知， F2 ( j) F1( j)e jt0 。
4．设 f（t）的频谱函数为 F（jω），则
的频谱函数等于（）。
【答案】D
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【解析】
可写为 f[－1/2（t－6）],根据傅里叶发换的尺度发换性质，
x（at）
|
1 a
|
[x(w
/
a）]，得
f[－1/2（t）]
A．x（t）＝－4Sa[2π（t－3）]
B．x（t）＝4Sa[2π（t＋3）]
C．x（t）＝－2Sa[2π（t－3）]
D．x（t）＝2Sa[2π（t＋3）]
【答案】A
【解析】常用的傅里叶发换对
Sa(ct)
c
G2c
()
令c 2 ，则有 4Sa(2t) 2G4 ()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
再由傅里叶发换的时秱性质，有
4Sa[2 (t 3)] 2G4 ()e j3

吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题考研真题详解

第 6 章离散系统的 z 域分析 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解 6.3 名校考研真题详解
第 7 章系统函数 7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 7.3 名校考研真题详解
第 8 章系统的状态变量分析 8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 8.3 名校考研真题详解
吴大正《信号与线性系统分பைடு நூலகம்》（第 4 版）笔记和课后习题（含考研真题）详
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第 1 章信号与系统 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 名校考研真题详解
第 2 章连续系统的时域分析 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 名校考研真题详解
第 3 章离散系统的时域分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 名校考研真题详解
第 4 章傅里叶变换和系统的频域分析 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解 4.3 名校考研真题详解
第 5 章连续系统的 s 域分析 5.1 复习笔记 5.2 课后习题详解 5.3 名校考研真题详解

吴大正信号与线性系统分析第4章傅里叶变换和系统的频域分析

j 1
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t

i 1

Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有

t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的之和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
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二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交：定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足

t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集：若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1

吴大正《信号与线性系统分析》笔记及习题(傅里叶变换和系统的频域分析)【圣才出品】

第4章傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记一、信号在完备正交函数系中的表示定义在（t1，t2）区间的两个函数φ1（t）和φ2（t），若满足（两函数内积为0）则称φ1（t）和φ2（t）在（t1，t2）内正交。

1．正交函数集若n个函数φ1（t）和φ2（t），…，φn（t）构成一个函数集，当这些函数在区间（t1，t2）内满足则称此函数集为在区间（t1，t2）上的正交函数集。

2．完备正交函数集如果在正交函数集之外，不存在函数，满足等式则称此函数集为完备正交函数集。

3．复函数集的正交函数集若复函数集{φi（t）（i＝1，2，…，n）}在区间（t1，t2）满足则称此复函数集为正交函数集。

式中为函数φj（t）的共轭复函数。

4．信号在完备正交集中的表示设有n个函数φ1（t）和φ2（t），…，φn（t）在区间（t1，t2）构成一个正交函数空间，则在区间（t1，t2）内，任一函数f（t）可用这n个正交函数的线性组合来表示，即其中，。

帕塞瓦尔等式：二、周期信号的傅里叶级数1．三角形式设周期信号f（t），其周期为T，角频率，当满足狄里赫利条件时，它可分解为如下三角级数，称为f（t）的傅里叶级数。

系数a n，b n称为傅里叶系数上式也可以写成其中，。

2．指数形式其中3.周期信号的功率——帕塞瓦尔等式三、周期信号的频谱及特点1．信号频谱从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。

周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将A n～ω和n～ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。

因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。

也可画|F n|～ω和n～ω的关系，称为双边谱。

若F n为实数，也可直接画F n。

2．周期信号频谱的特点（1）离散性：频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。

时域的周期性对应于频域的离散性。

信号与线性系统分析(第四版)--吴大正课件.

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离散周期信号举例2
例判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)
解（1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列。
如：ε(t)是功率信号； tε(t)、 e t为非功率非能量信号;
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
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5．一维信号和多维信号
一维信号：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号。还有其他分类，如：
实信号与复信号左边信号与右边信号因果信号和反因果信号
③ S t ) 0 a ,t ( n π ， n 1 , 2 , 3
④ sitd n tπ, sitd n tπ
⑤
0t
2
limSat)(0
t
t
⑥ sit)n sπ c itn ( π t
t
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§1.3 信号的基本运算
两信号的相加和相乘信号的时间变化
➢ 平移 ➢ 反转 ➢ 尺度变换信号的微分和积分
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通信系统为传送消息而装设的全套技术设备
信信
信信
信
信信