积分换元法练习题
换元法怎么练习题
换元法怎么练习题换元法是微积分中的一种重要方法，用于解决复杂的积分问题。
它通过对被积函数的自变量进行合理的替换，从而简化积分的计算过程。
本文将通过一些实例来介绍换元法的练习题，并给出相应的解题思路和步骤。
首先，我们来考虑以下例子：计算积分∫(1+x^2)dx。
根据换元法的思想，我们需要选取一个合适的变量替换，使被积函数在新的变量下形式更简单。
对于这个例子，我们可以选择令x=tanθ，其中θ是某个角度。
通过这个变换，我们有dx=sec^2θdθ，且1+x^2=1+tan^2θ。
将换元结果代入原积分中，可以得到新的积分∫(1+tan^2θ)sec^2θdθ。
这个积分的结果比原积分容易计算得多，而且在计算过程中可以应用三角函数的性质，使计算更加简洁。
接下来，让我们来考虑一个稍微复杂一点的例子：计算积分∫x^2√(1+x^3)dx。
这个积分涉及到了一次函数和根号的组合，看起来有些复杂。
然而，通过合适的换元，我们可以将其转化为更容易处理的形式。
我们选择令u=1+x^3，这样我们可以通过直接对u进行求导得到du=3x^2dx，而x^2√(1+x^3)dx就可以变成(1/3)√udu。
接下来，我们可以将积分∫(1/3)√udu转化为∫(u^(1/2))/3du，这个积分更容易计算。
最后，我们只需根据换元给的关系u=1+x^3，将积分的结果转化回原变量，即可得到答案。
最后，让我们考虑一个更具挑战性的例子：计算积分∫(ln x)/(x+1)dx。
这个积分涉及到了自然对数和有理函数的组合，看起来难度较高。
然而，换元法依然是解决这个问题的一种有效途径。
我们可以选择令u=lnx，这样我们可以通过对u进行求导得到du=dx/x。
将这个换元结果代入原积分中，可以得到∫u/(e^u+1)du。
这个新的积分虽然形式稍微复杂了一些，但仍然可以通过适当的变换，将其转化为更容易计算的形式。
通过以上几个例子，我们可以看到换元法在解决一些复杂积分问题时的威力和优势。
§4.2换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法Ⅰ 授课题目§4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x CF u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dxf u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dxf u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解 33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=， dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
B1-4.2换元积分法(第2类换元法)
(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有
=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
微积分第二类换元法
平方和、差 再开方
分母阶 数高
非“平方和、 差再开方”
基 本 积 分 表
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
1 1 xa (19) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C; sec xdx ln sec x tan x C; csc xdx ln csc x cot x C; 1 1 x a x dx a arctan a C;
(9) sec x tan xdx sec x C
(10) csc x cot xdx csc x C
(11) 1 1 x
2
dx arcsin x C
1 (12) dx arctan x C 2 1 x
(13) tan xdx ln cos x C
sec tdt ln sect tan t C
x ln a
x2 a 2 a
C1
x
x2 a2
atຫໍສະໝຸດ ln x x2 a 2
C.
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
例4 解
求积分
x 3 ln xdx .
3
u ln x ,
3
x dv x dx d ( ), 4
4
1 4 1 3 x ln xdx 4 x ln x 4 x dx 1 4 1 4 x ln x x C . 4 16
5-2 不定积分的换元积分法
1 2 xdx (2) xe dx
(1)
5 x2
1 3 1 1 2 1 2 x 2 C (1 2 x ) 2 d (1 2 x ) 2 3 2
x (3) dx 2 2 3x
e 10
1
5 x2
1 5 x2 d (5 x ) e C 10
1 (2) 2 dx； a x
1 a 2 x 2 dx；
x a 2 x 2 dx
1 1 x x (3) dx； dx； dx； dx 3 2 2 5 1 x (1 x ) 1 x (1 x )
19
换元积分法
二、第二换元积分法
第一换元法中 ( x) u f [ ( x)] ( x)dx
1 ln1 2 ln x C 2
1 1 ln x d (ln x ) 1 x
x
1 1 1 d (1 2ln x ) 1 x (1 2ln x ) 2
x
11
换元积分法
利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成 中间变量的微分，常见的有：
1 dx d ax b a 1 n 1 x dx d x n n e x dx d(e x ) cos xdx d(sin x ) sec 2 xdx d(tan x ) 1
1 (t 1) 1 1 1 x dx 1 t 2tdt 2 1 t dt 1 2 (1 )dt 1 t
2t 2ln 1 t C
2 x 2 ln( 1 x) C
23
换元积分法
练习 求下列函数的不定积分 x 1 (1) x x 1dx; (2) 3 dx . 3x 1
用换元法求不定积分
用换元法求不定积分
用换元法求不定积分的方法如下：
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
第一类换元法也叫凑微分法，通过凑微分，最后依托于某个积分公式，进而求得原不定积分。
第二类换元法的变换式必须可逆，并且Φ（x）在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：根式代换法，三角代换法。
两种换元法例题如下：
第一类换元积分法
原式=∫(x-1+1)/根号下(x-1)dx
=∫[根号下(x-1)+1/根号下(x-1)]d(x-1)
=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根号下(x-1)+C，其中C是任意常数。
第二类换元积分法
令t=根号下(x-1)，则x=t^2+1，dx=2tdt
原式=∫(t^2+1)/t*2tdt
=2∫(t^2+1)dt
=(2/3)*t^3+2t+C
=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根号下(x-1)+C，其中C是任意常数。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
第二换元积分法练习题含答案-2021年个人精心整理
. ..
December 1, 2019 2 / 51
一、第二换元积分法练习题
38.
d√x
39. √ dx
40. x2√1 − x dx
(1 + x2) 1 − x2
2x − 3 + 1
√ 41. x 4 2x + 3 dx 42.
x+1
√
dx 43.
x2 1 − x2 dx
x x−2
ln 2x
2x3x
a2 − x2 + C
2
a2
9.3 arcsin
x 2
−
1 x
2
4 − x2 + C
1 10. arccos + C
|x|
x
11. √
+C
1 + x2
1 12.
arcsin(x − 1) + (x − 1)
2x − x2
2
x
1
13. arcsin x − √
+ C 14.
1 + 1 − x2
2
+C
arcsin x + ln x + 1 − x2 + C
三、习题解答
当 x < −a 时, 设 x = −u, 则 u > a, 且 dx = −du, 于是
√ x2 − a2 dx = x
√ u2 − a2 du (用上段结果) u
=
u2 − a2 + a arccos
a u
+C
=
x2 − a2 + a arccos
a −
+C
x
不定积分换元法例题
【第一换元法例题】1、(5x 7)9dx (5x 7)9dx (5x1 9 1 15 (5x 7)d(5x 7) 5 10(5x【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx,7)9；d(5x 7)7)10C — (5x501d(5x51 (5x 7)9d(5x 7)57)10C% InxIn x d ln x1x dx In x d In x x -W x)2【注】(Inx)' 1x d(ln x)1别nx) -dx, x3 (1) tan xdx sinx ,dxcosxsin xdxcosx【注】3 (2)【注】4 (1)dx 7)-dxxd(l nx)d cosx d cosxcosx cosxd cosxcosx(cosx)'cot xdxd sin xsin x(sin x)'In |cosx | C In |cosx| Csinx, d (cosx)叱dx 竺型sinx sinxsin xdx, sin xdx d(cos x)d sin xsin xIn | sin x | C In |sin x | Ccosx, d (sin x) cosxdx, cosxdx d (sin x)—dx a x1 d(a a xd(a x)【注】(a x)' 1, d (a x) dx, dx d (a x)4 (2)1 dx 1 dx 1 d(x a)x a x a x a1 d(x a) In |x a| C ln| x a | Cx a【注】(x a)' 1, d(x a) dx, dx d(x a)4 (3)1 J、, 1 1 1 1 1 1dx dx 22dx 2 2dx 2ax a x a x a x a 2a x ax| C In |a x| Cx) In |a1 dxx aIn | x a |2aIn | x a | Cx ax aC2a2, secx(secx tan x) sec x secxtanx , (1) secxdx --------------------------------- dx ---------------------------- dxsecx tanx secx tanx d(tanx secx) d(tanx secx)secx tan x secx tan xIn | secx tan x | C(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)secxdx —dxcosxcosx ,2 dxcos xcosx dx d sin xd sin x1 sin2xcsc xdxd( cotxcscxcsc xdxd( cotx2 sin x 1 sin xcscx(cscx cot x),dxcscx cotxcos2 xdsin x2csc x1 sin2xInsin x 1sin x 11ln21 sin x1 sin xcscx cot x ,dxcscx cotxcscx)cotxd(cscx cotx)cscx cot xIn | cscx cot x|cscx(cscx cotx), dxcscx cot xcsc2 x cscx cot x ,dxcscx cotxcscx)cscx cot x.I1"a^x?—dxx.3 5sin xcosdxdx2xxdxd(cscx cotx)cscx cot xIn | cscx cot x |dxarcsin x Carcta nxdx2x.2sindx5xcos(1 cos2 x) cos5・3 5 ■sin xcos xdxx d cos x.3 4sin xcosxaC2x2xadxsin xdx(cos7 x.2sin 5xcos d cosxcos5 x) d cosxcos8 x cos63 4x cosxdx sin xcos x dsinxarcsi n^ Ca丄arctan^ C , ( a a a5 56 67 78 89 9.4 .6 .3 2 2 3 5.7 sin X SIn X sin x(1 sin x) d sinx (sin x 2sin x sin x) d sinx4 3.8s^x C810 (1) 10 (2)dxxln xdxxln2 x1In x1 dx d I nx In x----- d In x In In x C In x11 (1) 12、13、14、15、16、17、1 1 dxIn x x d In xIn2xd I n xIn2x1In x2xdxx 2x 22xdx dx24^2^x 2x 2 2x2 2d(x2 1)2 21 (x 1)2arcta n(x 1)xdx 1 2 xdx 1 dx2 1 d(x21)x4 2x2 5 2 x4 2x2 5 2 x4 2x2 5 2 4 (x21)211 (2)d Jd(x21)sin、x x2 1 2x21-arctang4 2sin、x x dx/x dx2 sin x d x 2cos x C 2cos、x C2x 1 2x1 e dx e d2x2 e2x d2x 1e2x C2sin3 x cosxdx(2x 5)100dx(2x 5)100d(2x xsin x2dx sinsin(2x5)x cosxdx5)100 dxsin(2x5)101x2 xdx1 .sin2 x23 x d sin x5)100dx2sin3x d si n x.4sin xIn x —dx x、1 In x In x 1 dxxIn x.1 In x1 d(2x 5)2丄(2x 5)1012021005) d(2x 5)sin x2dx2(11cosx2I In x) 1 -d I n x”1 In x18、19、20、21、22、23、24、25、1 Inx d(123(13ln x)2arcta n xxE x12 1 x2sin xdxcos3 xxex dx2 edx、厂2乂—xdxx2x 2(x计算j____ d l n x.1 lnx1ln x) d(1 ln x)寸1 ln x12(1 ln x)2Carctan xe 2 dxxarcta nxe d arctan x arcta nx e arcta n xd arctan x e2d(1 x )Inxdx2.1dx2d(1 x2)1sin xdxcos3 xx 1dxxdx■2 (1 x)2一cos3 xx de xi12ln x ln2xd(1 x)112 ed I nxdln2x(1 x)2cosx32cos 2xd cosx12cos 2x C (xdxF(xd(x；)Ae x) ln( 2d(1 x)2 2(1 x)(x 1)d(x £)arcsi n1 x C421d(x2)1 2 7—) (—)2 2arctansin xcosx2 ~~2 —2 2—a sin xb cos xdx,a2b22「7arctan2x—1 C471 2 2 2 222 d(a sin x b cos x)2(a 2b 2)【不定积分的第二类换兀法】已知 f(t)dt F(t) C求 g(x)dx g( (t))d (t)g( (t)) '(t)dt 【做变换，令x (t)，再求微分】f(t)dtF(t) C【求积分】F( 1(x))C【变量还原，t1(x)】变量还原【分析】因为：2 2 2 2 2 2 2 2(a sin x b cos x)' a 2sin xcosx b 2cos x( sin x) 2(a b )sin xcosx 所以:d (a 2s in 2 x b 2cos 2 x) 2(a 2 b 2)sin xcosxdx 2cost C 2cos x C2(1}1 J 】"x t 2G 2—2tdt1 t2 丄 dt 2 1 — dt 1 t 1 tsin xcosxdx【解答】sin xcosxsin xcosxdx1______________ d x222.2 ,2 2 2.2 ,2 22 2a sin xb cos xa sin xb cos x a b2 ■ 2 2 2 、d(a sin x b cos x) 2 a 2 sin 2x b 2 cos 2 x1d(a 2sin 2x b 2cos x) a b2 a 2sin 2x b 2 cos x———2 Ja 2sin 2xb 2 cos 2 x C a b 2si ntdt令x t2 (2)变量还原_ _2 t ln|1 t| C 2 x ln|1 G| Ct J xdx\ x令1+ x tx (t 1)12td(t 1)21 2(t 1)dt dt dt变量还原_ _2 t ln|t| C 2 1 .x ln|1 匸| Ct 1、x12 (t6dxt3)dt1dxx(1 x)3 _____4令1 x t3 4x (t 1)x t2、(t31)4t d(t3 1)41(O 2t 4(t3 1)33t2dt变量还原12t 31 4x123(1 ：x)4变量还原2arcta nt Ct xdt22tdt 2 -^^dtt (1 t ) t(1 t ) 1 t2arctan、x C1 令e x t 15、x dx d lnt1 e x x lnt 1 t1 1 dt1 t t1 亠 1 1dtt 1 tt(1Ul t)变量还原Ilnt e xe xC1 e xIn |t| l n|1 t| C In |t I Cdx 令6x t(1 ：x)」x x t6(1 t2)t3dt6(1 t2)t3貳水t21 t2dt1 t2dt变量还原6(t arcta nt) C 6t6( . x arctan ,x) C【注】被积函数中出现了两个根式m—— n——k .■—\ x, \ x时，可令\ x t，其中k为m, n的最小公倍数。
定积分的换元法第二篇
当x0时,t 1; x4时, t 3.
∴
原式 =
3
t2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t23)dt
21
12(
1t3 3
3t
)
3 1
22 3
注：换元公式也可反过来使用 , 即得定积分的 第一类换元公式：
f[
(t
)
](t)
dt
b
f (x)dx
a
(令 x(t))
或
f[
(t
)
](t)
dt
f
[
(t
)
证: aa f(x)dx 0a f (x)dx0af(x)dx
0af(t)dt 0af(x)dx
令xt
0 a [f(x)f(x)]dx
20af(x)dx,
0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
该题几何意义是很明显的，如图所示:
y -a O
y
a
ax
O ax
例6
计算
1
2x2xcoxs dx.
0
0
16cosx02
1. 6
例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
区间可加性
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
2 0
3
sinx2dsinx
第四章
3.2 定积分的换元法
换元公式
定理 假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
4-4(1)积分换元法练习题
x 2
dx 7、 =____ d ( arctan 3 x ) ； 2 1 + 9x xdx 8、 = ____ d ( 1 x 2 ) ； 1 x2 sin t dt = _________________； _________________； 9、 ∫ t x 2 dx 10、 = _______________ . 10 、 ∫ 2 2 a x
4－4 积分换元法练习题
练 习 题
一、填空题： 填空题： 1 、若 ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C 而 u = Φ( x ) 则 _______________； ∫ f ( u)du = _______________； 可作变量代换_______ 2 、求 ∫ x a dx ( a > 0) 时，可作变量代换_______
2 2
______________，然后再求积分； ______________，然后再求积分； 1 _________； dx 时可先令 x = _________； 3 、求 ∫ 2 x 1+ x 4 、 x dx = _____ d ( 1 x 2 ) ；
5 、e dx = ___ d (1 + e ) ； dx 6 、 = ____ d ( 3 5 ln x ) ； x
练习题答案 2、 一、1、 F ( u) + C ;； 2、 x = a sec t 或 x = a csc t ； 1 1 1 3、 4、 5、-2； 6、 3、 ； 4、 ； 5、-2； 6、 ； 2 5 t 1 7、 8、 9、 7、 ； 8、 ； 9、 2 cos t + C ； 3 a2 x x 10、 10、 (arcsin 2 a 2 x 2 ) + C . 2 a a x 2、 二、1、a arcsin a 2 x 2 + C ； 2、ln ln ln x + C ； a 3、 4、 3、 ln(cos 1 + x 2 ) + C ； 4、arctan e x + C ； 3 2 1 3 2 5、 5、 (1 + x ) + C ； 6、 arctan(sin 2 x ) + C ； 9 2
二重积分的换元法
(1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ；
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0; (u,v)
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
r r
将区域D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划 . 分
则 rr
D
o
于是面积微 d元rdrd
r rr
故 f(x,y)d f(rco ,rssin )rdrd
D
D
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足
(1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ；
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0; (u,v)
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
f(rco,srsin)rdrd
D dr2()f(rco ,rs si)n rdr
r1()
d 0 r()f(rc o,rsi)n rdr 0 2 d 0 r()f(rc o,rs s i)n rdr
定积分的换元法与分部积分法
1 1 1 1 xf ( 2 x )0 f ( 2 x )dx 2 2 0
1 1 1 f ( 2) f ( 2 x )0 2 4 5 1 f ( 2) f (0) 2. 2 4
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练 习 题1
一、填空题：
1、 sin( x )dx ___________________； 3 3
2、
0
(1 sin 3 )d ________________；
2
3、 0 4、
2 x 2 dx _____________；
2
1 x 5 x 3 sin 2 x dx ________________________ .. 5、 5 4 2 x 2x 1
2 , 3 , t tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
3 4
2 3
1 sec t tan tdt sec t tan t
2
dt . 12
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思考题2解答
1 1 0 xf (2 x )dx 2 0 xdf (2 x )
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
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b
应用换元公式时应注意:
t （1）用 x (t ) 把变量x 换成新变量 时，积分限也
相应的改变.
求出 f [ ( t )] ( t )的一个原函数(t ) 后，不 （2）
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t ) 然后相减就行了.
定积分换元法和分部积分法
x
f (t)dt 是奇函数。
0
证明：令
F(x)
x f (t)dt,则F（ x）
x
f (t)dt
0
0
对
F（ x）
x
f (t)dt,
设t=-u有
0
F（ x）
x
x
f (u)(du) f (u)du
0
0
即
F（ x）
x 0
f (u)du
F ( x), F(x),
若f (u) f (u) 若f (u) f (u)
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos2
x
d
(cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
sin
x
5
4.2换元积分法-习题
第 4 章 不定积分换元积分法 习题解1．在括号中填入适合的系数，使以下等式建立： ⑴ dx () d (5 x 2) ；【解】因为 d (5 x 2) 5dx ，所以 dx1 )d (5 x2) 。
(5⑵ xdx () d (7 3x 2) ；【解】因为 d (7 3x 2 )6xdx ，所以 xdx (1 )d (7 3x2 ) 。
6⑶ x 4 dx ( ) d (2 x 5 3) ；【解】因为 d (2 x 5 3)10x 4dx ，所以 x 4 dx( 1 ) d (2 x 5 3) 。
10⑷1dx () d ( x) ；x【解】因为 d ( x)2 1 dx ，所以 1 dx ( 2 ) d ( x ) 。
x x⑸ dx() d (3ln x ) ；x3dx ，所以dx1【解】因为 d (3ln x )( ) d (3ln x ) 。
xx 3⑹ dx () d(2 arcsin x) ；1 x2【解】因为 d (2 arcsin x)dx，所以dx() d(2 arcsin x) 。
x 21 x 21⑺ xdx() d( 1x 2) ；1 x 2【解】因为 d (1 x2 )xdx ，所以 xdx() d ( 1 x 2 ) 。
1 x2 1 x 2⑻dx() d(arctan3x) 。
1 9x23dxdx 1【解】因为 d (arctan 3x)，所以 ( )d (arctan3x) 。
1 9x2 1 9x 2 32．求以下不定积分：⑴(2 x 1)2 dx ；【解】 这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 2x 1 ，积分红为能够直接积分的u 2 ，于是，应用凑微分法，得(2 x 1)2 dx 1 (2 x 1)2 d (2 x1)------d (2 x 1) 2dx21 1(2 x 1)3 c ------u 2 du 1 u 3 c2 331(2 x 1)3 c6⑵11 dx ；3x【解】这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 1 3x ，积分红为能够直接积分的1 ， u于是，应用凑微分法，得1 1 1------1 dx3 1 d (1 3x)3x3x1 ln 1 3x c ------3⑶1dx ；33 5xd (1 3x) 3dx1du ln u cu【解】 这是复合函数的积分，用简单变量u 替代中间变量 3 5x ，积分红为能够直接积分的1 ，3u于是，应用凑微分法，得11 1d(3 5x) 33 5xdx3355x 1 3(325x)3c5 223(35x)3c102⑷ xe x dx ；------d(3 5x) 5dx1du 2------3 u 3 c3u22【解】 这是积函数的积分，分别出复合函数e x ，余下为微分部份 xdx ，对照中间变量的微分 d( x 2 )2xdx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得xe x 2 dx1 e x2 d( x 2 ) ------d( x 2 )2xdx21 e x2 c------e u du e u c2⑸2x 3dx ；x 41【解】 这是积函数的积分，分别出复合函数1 ，余下为微分部份 2x 3dx ，对照中间变量1 x 4的微分 d (1 x 4 )4x 3dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2x3114------1 x 4dx2 1 x 4d (1 x )1 ln 1 x 4c------21ud(1 x 4 ) 4x 3dxdu ln u c⑹tan10x sec 2xdx ；【解】 这是三角函数的积分， 将 tan 10 x 作为复合函数， 余下为微分部份sec 2 xdx 恰为 tan x的微分，于是，应用凑微分法，得tan 10 xsec 2 xdxtan 10 xd tan x------ d tan x sec 2 xdx 1 tan 11 x c ------u 10du1 u 11 c1111⑺ e xdx ；x【解】这是积函数的积分，分别出复合函数e x，余下为微分部份1dx ，对照中间变量的x微分 d x1 dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2 x e x dx 2 e x d x ------d x1 dxx2 x2e xc------e u du e u cx⑻dx ；2 3x 2【解】这是积函数的积分，分别出复合函数 1 ，余下为微分部份xdx ，对照中间变2 3x 2量的微分 d (2 3x 2 )6xdx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得2 x dx 11d (2 3x 2 ) ------d (23x 2 )6xdx3x 2623x 212 23x 2 c------1 du 2u c6u1 2 3x 2 c3⑼ tan 1x 2x x 2 dx ；1【解】这是积函数的积分，分别出复合函数tan 1 x 2 ，余下为微分部份x dx ，对1 x 2比中间变量的微分d 1 x 22x dx ，恰巧相等，于是，应用凑微分法，得2 1 x 2tan 1 x 21 x dxtan 1 x 2 d 1 x 2--- d 1x 2x dxx 21 x 2tan 1 x 2 d 1 x 2------tan udusin u du 1 d cosuln cosu ccosucosuln cos 1 x 2 c【此答案与课本答案能够互化：ln cos 1 x 2ln (cos 1x 2 ) 1ln1ln sec 1 x 2 】cos 1 x 2⑽1x dx ；xee【解】这个复合函数有两个不一样的中间变量 e x 和 e x ，要进行换元积分，须先化为同一此中间变量：1 e x e x ，e x e x e x (e x e x ) (e x )2 1这成为积函数的积分，分别出复合函数 1 ，余下为微分部份e x dx ，对照中间(e x )2 1变量的微分de x e x dx ，仅相差一常数倍，于是，应用凑微分法，得1 e xdx 1 x---- x xe x e x dx (e x ) 2 1 (e x ) 2 1 de de e dxarctan e x c ------ 1 du arctan u c1 u2⑾1 dx ；xln x ln(ln x)【解法一】这是积函数的积分，分别出复合函数1，余下为微分部份1dx ，对照ln(ln x) x ln x中间变量的微分 d ln(ln x) 1 1dx ，恰巧相等，于是，应用凑微分法，得ln x x1 dx 1 d ln(ln x) ---- d ln(ln x) 1 1dxx ln x ln(ln x) ln(ln x) ln x xln ln(ln x) c ------ 1du ln u c u【解法二】1dx1d ln x ln x u1x ln x ln(lndu x) ln x ln(ln x) u ln u1ln u1ln t c ln ln u cd ln u t dtln u tln lnln x c 。
5.3-定积分的换元法和分部积分法-习题
1．计算下列定积分： ⑴3sin()3x dx πππ+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式3sin()3x dx πππ+⎰3sin()()33x d x ππππ=++⎰3cos()3x πππ=-+[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033ππ=----=。
【解法二】应用定积分换元法令3x u π+=，则dx du =，当x 从3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43π，于是有3sin()3x dx πππ+⎰4323sin udu ππ=⎰4323cos u ππ=-42[coscos ]33ππ=-- [cos(cos )]033ππ=----=。
⑵132(115)dxx -+⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式132(115)dx x -+⎰1321(115)(115)5x d x --=++⎰21211(115)52x --=⋅+-22111[]10(1151)(1152)=--+⨯-⨯211(1)1016=--51512=。
【解法二】应用定积分换元法令115x u +=，则15dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有132(115)dx x -+⎰163115u du -=⎰21611152u -=⋅-211(1)1016=--51512=。
⑶32sin cos d πϕϕϕ⎰；【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式320sin cos d πϕϕϕ⎰32cos cos d πϕϕ=-⎰4201cos 4πϕ=-441[cos cos 0]42π=--1[01]4=--14=。
【解法二】应用定积分换元法令cos u ϕ=，则sin d du ϕϕ-=，当ϕ从0单调变化到2π时，u 从1单调变化到0，于是有320sin cos d πϕϕϕ⎰031u du =-⎰130u du =⎰4114u =14=。
⑷30(1sin )d πθθ-⎰；【解】被积式为3(1sin )d θθ-，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
定积分的换元法和分部积分法
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
换元法求积分例题
换元法求积分例题一、利用换元法求积分∫(2x + 1)3 dx，设 u = 2x + 1，则下列哪个选项是正确的换元后的积分形式？A. ∫ u3 duB. ∫ (u3 / 2) duC. ∫ 2u3 duD. ∫ (u3 + 1) du（答案：B）二、求积分∫(3x2 + 2x)2 dx，若采用换元法，设 u = 3x2 + 2x，则换元后积分表达式为？A. ∫ u2 dxB. ∫ (u2 / (6x + 2)) duC. ∫ u2 / (3x2 + 2x) duD. ∫ (u2 + 1) du（答案：B）三、对于积分∫ sin(x2) * 2x dx，采用换元法求解，设 u = x2，则换元后的积分为？A. ∫ sin(u) duB. ∫ sin(u2) duC. ∫ 2sin(u) duD. ∫ sin(u) / 2 du（答案：A）四、求积分∫ e(2x) dx，使用换元法，设 u = 2x，则换元后的积分为？A. ∫ eu du / 2B. ∫ e(2u) duC. ∫ eu / 2 duD. ∫ 2eu du（答案：A）五、对于积分∫ (x2 + 1)(1/2) * 2x dx，采用换元法，设 u = x2 + 1，则换元后的积分为？A. ∫ u(1/2) duB. ∫ (u(1/2) + 1) duC. ∫ u duD. ∫ (u - 1)(1/2) du（答案：A）六、求积分∫ cos(3x - 1) * 3 dx，若用换元法，设 u = 3x - 1，则换元后的积分为？A. ∫ cos(u) duB. ∫ 3cos(u) duC. ∫ cos(u) / 3 duD. ∫ cos(3u) du（答案：A）七、对于积分∫ (lnx)2 / x dx，采用换元法求解，设 u = lnx，则换元后的积分为？A. ∫ u2 duB. ∫ u2 / x duC. ∫ (u2 + 1) duD. ∫ u / x du（答案：A）。