积分换元法练习题

一、填空题：
练习题
1、若 f ( x)dx F ( x) C 而u ( x)则
f (u)du _______________；
2、求 x 2 a 2 dx (a 0)时，可作变量代换_______
______________，然后再求积分；
3、求 x
1 dx 时可先令x _________； 1 x2
8、1 arcsin 2x 9 4x 2 C ；
2
3
4
9、 x 2 9 ln( x 2 9) C ；
22
10、 1 ln x 6 C ； 24 x 6 4
11、(arctan x )2 C ；
12、ln( xe x ) ln(1 xe x ) C ；
13、 102arccos x C ； 2 ln 10
2
a a2
二、1、a arcsin x a 2 x 2 C ； 2、ln ln ln x C ；
a
3、 ln(cos 1 x 2 ) C ； 4、arctane x C ；
5、2 (1
3
x3 )2
C
；
9
6、1 arctan(sin2 x) C ； 2
7、3 3 (sin x cos x)2 C ； 2
x
I n2
,
并求
tan5 xdx .
练习题答案
一、1、F (u) C ;； 2、 x a sec t 或 x a csc t ；
3、1 ； t
4、 1 ； 2
5、-2；
6、 1 ； 5
7、1 ； 3
8、 ；
9、 2cos t C ；
10、a 2 (arcsin x x a 2 x 2 ) C .
14、1 (ln tan x)2 C . 2
三、1、1 [arcsin x ln( x 1 x 2 )] C ； 2
2、 x C ； 1 x2
3、 2x ln(1 2x ) C ；
4、3a 2 arcsin x 2a x(2a x) 2a
+a x x(2a x) C . 2
_________________；
10、
x 2dx _______________ . a2 x2
二、求下列不定积分：（第一类换元法）
1、
a xdx； a x
2、
x
ln
x
dx ln (
ln
x
)
；
3、 tan 1 x 2 . xdx ； 1 x2
5、 x 2 1 x 3 dx ；
dx x6
4)
；
12、
x1 x(1 xe
x
)
dx
；
14、
ln cos
tan x x sin x
dx
.
三、求下列不定积分：（第二类换元法）
1、 x
dx ； 1 x2
2、
dx ；
( x 2 1)3
3、
1
dx 2
x
；
4、 x
x dx ； 2a x
5、设 tann xdx ,求证：
I n
1 tann1 n1
4、 x dx _____d( 1 x 2 ) ；
5、e
x 2
dx
___d (1
e
x 2
)；
6、dx ____d(3 5 ln x)； x
7、 dx =____d ( arctan 3 x )； 1 9x2
8、 xdx ____d ( 1 x 2 ) ； 1 x2
9、
sin t
t
dt
7、
sin x cos x 3 sin x cos x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
；
9、
9
x
3
x2
dx；
11、
arctan x(1
x x)
dx
；
13、 102arccos x dx ； 1 x2
4、 dx ；
ex ex
6、
sin 1
x cos x sin4 x
dx
；
8、
1 x dx； 9 4x2
10、
x(