电路原理》第五版习题解答,邱关源,罗先觉(第十四章)

[ f (t )] F1 ( s) e F1 ( s) e
sT
2 sT
F1 ( s)
F1 ( s)[e
sT
e
2 sT
e
3 sT
]
1 F1 ( s ) sT 1 e
1 [ f ( t )] F1 ( s ) sT 1 e
F ( s)


f (t )e dt
st
0

0
f (t )e dt
0


f (t )e st dt
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
e
st0


0
f ( )e s d
e
st0
st0
F ( s)
e
延迟因子
例1 解
求矩形脉冲的象函数
f(t)
1
f (t ) (t ) (t T )
s s
根据延迟性质 F ( s ) 1 1 e sT 例2 解 求三角波的象函数
T
T
f(t)
t
f ( t ) t[ ( t ) ( t T )] 1 e sT F ( s) 2 2 s s f ( t ) t ( t ) ( t T ) ( t T ) T ( t T ) 1 1 sT T sT F ( s) 2 2 e e s s s
3
象函数F(s) 存在的条件：


0
f (t )e
st
dt
e st 为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
f ( t ) Me ct t [0, )
则



0
f (t ) e dt Me
st 0

(s c ) t
dt
M sC
总可以找到一个合适的s值使上式积 分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存 在。
例
熟悉的变换
对数变换
A
把乘法运算变换为加法运算
B AB
lg A lg B lg AB
相量法
把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 相量
拉氏变换： 时域函数f(t)(原函数)
i1 i2 i I1 I 2 I
对应
复频域函数F(s)(象函数)
'
s F (S ) sf (0 ) f (0 )
d n f (t ) [ ] n dt
s n F (S ) s n1 f (0 ) f n1 (0 )
频域导数性质
设：
[ f ( t )] F (s)
0
则：
st
dF (s) [ tf ( t )] ds
典型函数的拉氏变换
F (s) f (t )e st dt
0


单位阶跃函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) [ (t )] (t )e dt
st 0


0
e st dt
1 st 1 e s s 0
单位冲激函数的象函数
t
0
[ f (t )dt ] (s)
t
1 f (t )dt ] F (s) s
应用微分性质
d [ f (t )] 0 f (t )dt dt
F(s) s (s) f (t )dt
0
t
t 0
例
解
2 [t ε( t )] 3 s
t
t
f (t )]
1 L[t (t )] 2 s
1 例1：L[te ( t )] 2 (s )
例2：L[e
终值定理：
t
s cost ( t )] (s ) 2 2
小结：
积分
(t )
1
(t )
t ( t ) t n ( t )
T
例3 解
求周期函数的拉氏变换
设f1(t)为第一周函数
f(t) 1 ... T/2 T t
[ f1 ( t )] F1 ( s )
1 则： [ f ( t )] F1 ( s ) sT 1 e 证：f ( t ) f1 ( t ) f1 ( t T )ε( t T ) f1 ( t 2T )ε( t 2T )
1 sa
二、拉普拉斯变换的基本性质
线性性质
若
则
A
[ f1 ( t )] F1 ( S ) ,
1
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0 正变换
反变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c j f (t ) F (s)e st ds 2j c j
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。
例1 解 例2 解
求 : f (t ) U ( t )的象函数
F (s)
U [U (t )] U [ (t )] s
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F (s)
1 s
cost ( t )
1 s2
n! n1 s
微分
sin t ( t )
e-t ( t )
e-t sint ( t )
2 2 s
e-t t n ( t )
s s2 2
1 s
2 2 (s )
st0
n! n1 (s )
T 本例中：f1 ( t ) ε( t ) ε( t ) 2

1 1 sT / 2 F ( s) ( e ) 1 s s
1 1 1 sT / 2 1 1 [ f ( t )] ( e ) ( sT / 2 ) sT s 1 e 1 e s s
F ( s ) L[e
0 A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )e st dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )


0 A1 f1 ( t )e dt 0 A 2 f 2 ( t )e dt
st st


A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
sin(t )

1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 s2 2 2 j s j s j
微分性质
时域导数性质
若： f (t ) F ( s)
udv
uv vdu
第13章 拉普拉斯变换
重点
拉普拉斯变换的基本原理和性质 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
一、拉普拉斯变换的定义
拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函 数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换 为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程以便求解。
f (t ) (t )
F ( s) [ (t )] (t )e dt
st 0
(t )e st dt
0
0
e s0 1
指数函数的象函数
f (t ) e
F ( s)
at
at

e
0
e e dt
at st
1 ( s a ) t e 0 sa
2
求 : f ( t ) tε( t )和f (t ) t 2 ε(t )的象函数 11 [tε( t )] [ 0 (t )dt ] s s
F ( s) φ( s ) s

[t ε( t )] 20 tdt
2 t
延迟性质
设：
注
[ f ( t )] F ( s )
对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 把F(S)分解为简单项的组合
部分分式 展开法
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f n ( t )
象函数的一般形式：
[t n ε(t )] ( 1)n d n (s) ( n! ) n1 ds
n
s
求 : f (t ) te at的象函数
[te ]
αt
d 1 1 ( ) ds s α ( s α )2
积分性质
设： [ f ( t )] F ( s )
证：令
t 0
则： [
待定常数
d 证： f (t )e st dt ds 0
f (t )( t )e dt

例1
解
[ tf (t )]
求 : f (t ) tε( t )的象函数
d 1 1 [tε( t )] ds ( s ) ( s 2 )
例2 解 例3 解
求 : f (t ) t nε( t )的象函数
N ( s ) a0 s a1 s am F ( s) (n m ) n n 1 D( s ) b0 s b1 s bn
m m 1
设n m，F (s)为真分式
1 若D( s) 0有n个单根分别为p1 pn
利用部分分式可将F(s)分解为：
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
1 dε( t ) [ε( t )] δ( t ) s dt d 1 δ(t ) [ ε(t )] s 1 s dt
推广：
d f (t ) [ ] 2 dt
2
2
s[sF (s) f (0 )] f ' (0 )
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 0 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t)包 含的冲击。
F ( s) 简写 f (t )
注
1
1
f (t ) F (s)
正变换
反变换
st
L[ f (t t 0 ) (t t 0 )] e
F ( s)
三、拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要 把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：
利用公式
1 c j st f (t ) c j F ( s)e ds 2πj
f (0 ) sF (s)
例1
求 : f (t ) cos( t )的象函数
dsin(ωt ) 1 dsin(ωt ) 解 ωcos(ωt ) cos(ωt ) dt ω dt 1 d [cosωt ] (sin( ωt ) ω dt s s 0 2 2 2 s s 2
则
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
df ( t )ห้องสมุดไป่ตู้ 证： dt
st


0
st e f (t ) e f (t )( s)dt 0 0
df (t ) st e dt e st df (t ) 0 dt
则：
[ f ( t t0 )] e st F ( s )
0
f ( t t0 ) 0 当 t t0
证：
f(t - t 0 ) 0

t0



f (t t0 )e st dt
s ( t t0 ) st0
f (t t0 )e
e
dt
令t t0