指数定义、幂的运算

指数定义、幂的运算

一、复习要求

1.能正确计算指数运算的结果.

2.理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 二、知识回顾

1．一般地，如果，那么叫做的次方根，其中并且, （1）为奇数时，正数的次方根是一个 ，负数的次方根是一个 。 （2）为偶数时，正数的次方根有 个，且互为 数， 没有偶次方根。 （3）0的任何次方根都是 。

2．式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数。 . （1）当

.（2）当

. 3．幂的有关概念

（1）规定：① ②，③

n 个 ④

（2）性质：①、），②、），

③） 注:上述性质对r 、均适用. 三、基础练习

1．= 2．=

3. 4. 5. 6.

四、典型例题

例1 .（1）求值

（2）. 计算的值.

a x n =x a n 1>n *N n ∈n n n n n n a n a n =n =n =()*N n a a a a n ∈???=Λ)0(10≠=a a ()Q p a

a p p ∈=

-1

()

1,,0*>∈>=n N n m a a a

n m n

m 且r a a a a s r s r ,0(>=?+Q s ∈r a a a s r s r ,0()(>=?Q s ∈Q r b a b a b a r r r ∈>>?=?,0,0()(R s ∈++3

2

82

1-255

-2

1）（43

-8116）（211

203

33

1164()216()( 4.8)3125--+--+-3

46

3425

.00

)2

2()32(28)2003(-?+?+-

例2．（1） （2）

（3）化简

例3.已知，求的值

五、课后评测

1．指数式化为根式是_____________

2

______________

3.求值或化简= （2）

4.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a >0）： (1)

； (2)

；

；

5.计算（式中字母均为正数）：

（1） (2).

6.已知，求下列各式的值.

（1）; （2）.

)3()6()2(6

56131212132b a b a b a -÷-?3133

73

32

9a a a a ?÷?--3232ab b a ÷52

12

1=+-

x x x

x 1

2+253

4

a b -

)0,0()1(3

2

2

4

>>?-b a ab b a 131

3

213

2

2().().(a b ab b ---??????7

）2

a 1373412;a a a 112

2

2()a a -

+1

3x x

-+=1

12

2

x x

-

+112

2

x x

--

指数函数的性质

一、复习要求

①能够掌握指数函数的图象和性质。

②利用指数函数解决相关的问题。 二、知识回顾 1.一般地，函数 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 。 指数函数的图象和性质

图象

定义域 值域 过定点 单调性

3.指数函数y =a 和y = （a>0,）的图象的关系为 。

4.(且)的图像特征：

时，过点,且在轴左侧越大，图象越靠近轴

时，过点,且在轴左侧越小，图象越靠近轴 三、基础练习

1.下列哪个函数是指数函数？

① ② ③ ④ ⑤ 四、典型例题

例1．若函数是指数函数，则= .

例2.比较下列各题中两个值的大小

（1）， （2），； （3），； （4），

例3.求下列函数的定义域 （1） ； （2）； （3）. （4）

x y a =1a >01a <

)1

(1≠a x y a =0a >1a ≠1>a ()0,1y a y 01a <<()0,1y a y x

y )3(-=x

y 3.2=x

y 32?=x

y -=3x

y 1

3=2()(33x f x a a a =-+?）

a 1.08.0-2.08.0-5.25.235.23.07.11.39.01.3a 3a 3-2

x

y =11

3

x y -=2

51

x y =-122-=+x y O

x

y

1 y=1

1 O

x

y

y=1

例4.不等式的解集为 。

五、课后评测

1．利用指数函数的性质，比较下列各题中两个数的大小：

（2）； (3); (4); (5); (6);

2．(1)求使不等式4x >32成立的x 的集合; (2) 已知，求数a 的取值范围.

3．已知下列不等式成立，比较m,n 的大小：

(1); (2); （3）; （4）.

4．求下列函数的定义域： （1）； （2）. （3） ； （4）.

5.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）

A B C D

6.给定a ，b 的一些取值，作出函数的图像，并由此探究得出：

(1)由图像如何得到的图像;(2) 由图像如何得到的

图像.

8.在同一坐标系中，作出下列函数的图像：

， ， .

x x 28

3312-->?

?

?

??0.6

0.2

(1)2.4

____2.4;134422()____()33

--540.9____0.90.5

0.8

4____40.6

1.6

1.8____0.82

3

351()____23

--42

5

a a >22m n <0.20.2m n

>(1)m n a a a >>(01)m n

a a a ><<31x

y =-115x

y =

-2x y =

42x

y =?()f x ax =()x f x a =2x a

y b +=+2x y =1

23x y +=+2x y =2x a y b +=+3x y =31x y =-2(31)x y =-1 x

y

x

O

y

x

O

y

x

O

O y 1 1

1

y

x

o

9.作出函数的图像

10. +2的定义域是________，值域是_______， 在定义域上，该函数单调递 . 11.若函数的图象恒过定点 .

12.若函数（，且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有 ( ) A.且； B.且

C.且；

D.且 六．高考真题

1.（2010广东理文数）3．若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则

A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数

2.（2010重庆理数）(5) 函数的图象

A. 关于原点对称

B. 关于直线y=x 对称

C. 关于x 轴对称

D. 关于y 轴对称

3.（2010安徽文数）（7）设，则a ，b ，c 的大小关系是

（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 4.（2010山东文数）（11）函数的图像大致是

5.（2011湖北理6）已知定义在R 上的奇函数和偶函数满足

，若，则

A.

B. C. D.

幂函数

|21|x

y =-2)2

1(-=x y 31+=+-x a y ()1x f x a b =+-0a >1a ≠01a <<0b >1a >0b >01a <<0b <1a >0b <()41

2

x x f x +=232555

322555

a b c ===（）,（），（）22x y x =

-()x f ()x g ()()2+-=+-x

x a a x g x f ()1,0≠>a a 且()a g =2()=2f 2415417

2

a

一、复习要求

1.明确幂函数的概念。

2.掌握几个幂函数的图象和性质。 二、知识回顾 1. 幂函数定义

幂函数的图像不可能过第 象限。三、基础练习

1.在函数中,，, ,哪几个函数是幂函数？

四、典型例题

例1 ①如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S _______.这里S 是a 的函数吗？

②如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V _______.这里V 是a 的函数吗？ ③如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a =_____________.这里a 是S 的函数吗？

④如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v =_______.______.这里v 是t 的函数吗？

以上几个函数中，是幂函数的有哪几个？

例2.函数既是幂函数，又是二次函数，则=

例3.幂函数的图像中，随着逐渐趋近于，函数值逐渐趋近于 。 例4.比较大小，并说明理由

（1） （2）

21

y x

=22y x =2y x x =+1y =)(x f )(x f x

y 1

=

x ∞+3

12121 1.11.41.1，，

4

141-

2

1-

6.250.250.16，，

例5.已知幂函数的图像过点，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性，单调性。

五、课后评测

2.幂函数的图象过点（3，），则它的单调增区间是（ ）

A. [1，+ ∞)

B. [0，+∞)

C.（-∞，+∞）

D.（-∞，0）

2.设a ∈{-1,1, ,3},则使函数y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为（ ）

A. 1，3

B. -1，1

C. -1，3

D. -1，1，3

3.已知幂函数y = (m ∈Z )的图象与x ,y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值。

4.已知函数f (x )= (x ≠0,常数a ∈R ) ⑴讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由。

⑵若函数f (x )在x ∈[2,+∞)上为增函数，求a 的取值范围。

5. 下列函数在(-∞,0)上为减函数的是（ ）

A. y =

B. y =x

C. y =

D. y =

6. 当x ∈(1,+∞)时，函数y =的图象恒在直线y =x 的下方，则a 的取值范围是（ ）

A. 0＜a ＜1

B. a ＜0

C. a ＜1

D. a ＞1

7. 幂函数y = ,当x ∈(0,+∞)时为减函数，则实数m 的值为（ ） A.m =-1 B. m =3 C. m =-1或m =2 D. m ≠1+

)(x f y =)2

2

,2(32

1

a x 2

23m m x --2a

x x

+

3

1x 2-3x 2x αx 122

)22(-+--m m x m m 31．(09~10考试院期末1)已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

()f x (2,4)()f x ()2f x x =2()f x x =()2x f x =()2f x x =+

8.已知f (x )=+2(k ∈Z ),若f (2)=0,求f().

9. 已知函数f (x )= ,x ∈[1,+∞)

⑴当a =时，求函数f (x )的最小值。

⑵若对任意x ∈[1,+∞),f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围。

x k lg lg 2

1x

a

x x ++222

1