理论力学课后习题答案 第8章 动量定理及其应用

第8章 动量定理及其应用
8－1 计算下列图示情况下系统的动量。

(1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。

(2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。

已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。

(3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一
端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。

解：（1）p = mv C =
ωml 2
5
，方向同C v （解图（a ）
）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））；
（3）j i p )60sin 2
60sin ()]60cos 2()60cos ([2121︒+︒+︒-+︒-=ωωωωl m l m l v m l v m
j i 4
23]42)[(2
12121m m l l m m v m m +++-
+=ωω（解图（c ）
）。

8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。

图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。

解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B
ω
ωωml ml l m p p p BC
AB 29
42=+=+= 方向同v B 。

习题8-1解图
(a)
(b)
(c)
习题8-1图
v
(a)
(b)
(c)
C
习题8－2解图
8－3 两均质杆AC 和BC 的质量分别为m 1和m 2，在C 点用铰链连接，两杆立于铅垂平面内，如图所示。

设地面光滑，两杆在图示位置无初速倒向地面。

问：当m 1= m 2和m 1= 2m 2时，点C 的运动轨迹是否相同。

解：根据受力分析知：∑
=0x F ，故系统的质心在水平方向运动守恒。

当m 1= m 2时，系统关于y 轴对称，质心位于y 轴上，且沿y 轴作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹亦为铅垂直线。

当m 1= 2m 2时，质心位于y 轴左侧，且作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹必为曲线。

故两种情况下，点C 的运动轨迹不相同。

8－4 图示水泵的固定外壳D 和基础E 的质量为m 1，曲柄OA =d ，质量为m 2，滑道B 和活塞C 的质量为m 3。

若曲柄OA 以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。

解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a ）： 解法1：用动量定理求解 瞬时t ，系统动量 p = p 2+p 3
ω2
2222d m v m p C ⋅==，方向如图 ϕωsin 3333 d m v m p C ==，方向如图 由质系动量应理：
∑==y y y
F F t p d d (1)
∑==x x x
F F t
p d d (2)
ϕωϕωsin sin 23232d m d m p p p y y y +⋅=+= ϕωcos 2
232d
m p p p x
x x ⋅=+=
x x x F F F ==∑
g m m m F F F )(321++-==∑y y y 代入（1）、（2），并注意到t ωϕ=得：
g m m m F t d m t d m t y )(sin sin 2d d 32132++-=⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅ωωωω x F t d m t =⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅ωωcos 2d d 2
得t ωd m m g m m m F 2y ωcos 2
2)(3
2321++++= （3） t m d F 2x ωωsin 2
2-= （4）
解法2：用质心运动定理解 研究对象及受力同前： R F a =C M 32p p p +=
3322C C C m m M v v v +=
t
d d
：3322C C C a a a m m M +=
习题8－4图
习题8－3解图
p
(a)
习题8－6图 2
22
ωd a =
C ，方向指向O 点； t d a C ωωcos 23=，方向向上。

写出质心运动定理的投影形式：
g m m m F t d m t d m y 2)(cos cos 2
321322++-=+ωωωω x F t d m -=⋅ωωsin 2
22
t d
-m F x ωωsin 2
22⋅=
t d m m g m m m F 2y ωωcos 2
2)(3
2321++++= 结果同解法1。

8－5 图示均质滑轮A 质量为m ，重物M 1、M
2质量分别为m 1和m 2，斜面的倾角为θ，忽略摩擦。

已知重物M 2的加速度a ，试求轴承O 处的约束力（表示成a 的函数）。

解：以系统整体为研究对象，应用动量定理 θθsin cos d d N 2F F a m t p Ox x
+== g
m m m F F a m a m t
p Oy y )(cos sin d d 21N 21++-+=-=θθ分析M 2可知：θ
cos 2N g m F =
则有
θ
θθθθcos )sin (sin cos cos 222m g a g m a m F Ox -=-=
g
m m m g m a m m F Oy )(cos )sin (212221+++--=θθ
8－6 板AB 质量为m ，放在光滑水平面上，其上用铰链连接四连杆机构OCDO 1（如图示）。

已知OC = O 1D = b ，CD = OO 1，均质杆OC 、O 1D 质量皆为m 1，均质杆CD 质量为m 2，当杆OC 从与铅垂线夹角为θ由静止开始转到水平位置时，求板AB 的位移。

解：以系统整体为研究对象，根据受力分析知：
∑=0x
F
，
故系统的质心在水平方向运动守恒。

若初始时（设CD = l ）：
m
m m l b
m l m l b m b m x C +++++++=
211210
2)sin 2(2)2sin (sin 2θθθ 设杆OC 转到水平位置时板AB 的位移为s ，
m
m m l s b
m s l m l s b m s b m x C +++-+-++-+-=
211212)2()2()2()2(x C 0 = x C
)sin 1(2212
1θ-+++=b m
m m m m s
习题8－5图
M 习题8－5解图
M m 1
习题8－6解图
习题8－7图
习题8－8图
v x
(a) B F g
m 8－7 匀质杆AB 长2l ，B 端放置在光滑水平面上。

杆在图示位置自由倒下，试求A 点轨迹方程。

解：杆水平受力为零，水平动量守恒；初始静止、质心位置C x 守恒： 0cos αl x C =
ϕcos l x x C A +=
ϕsin 2l y A =由（1），
ϕcos l x x C A =- 即 ϕαcos cos 0l l x A =- （3） 由（2）
ϕsin 2
l y A
= （4）
（3）、（4）两边平方后相加，得
222
04
)cos (l y l x A A =+-α
此为椭圆方程。

*8－8自动传送带如图所示，其运煤量恒为20kg/s ，传送带速度为1.5m/s 。

试求匀速传送时传送带作用于煤块的总水平推力。

解：设皮带作用煤块的总水平推力为F x ，皮带在d t 时间内输送量为t q V d ，由动量定理微分形式： t F v t q x V d d =⋅
305120=⨯==.v q F V x N。