计算机图形处理技术

1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
（3）对yOz坐标平面的对称变换 变换矩阵为
1 0 T 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
8
5、错切变换 与二维空间的错切变换功能相似，三维空间的错切变 换可使空间立体上某个面沿x、y、z三个方向发生错移变 形，其变换矩阵一般表示为
z
z
γ
o
o β
y
y
x
x
α
z
x
o y
4
（1）绕x轴正向旋转 角 变换矩阵为
0 1 0 cos T 0 sin 0 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
（2）绕y轴正向旋转 角 变换矩阵为
cos 0 T sin 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 0 1
13
（3） 将A点绕z轴（即P1P2轴）旋转

角。
cos sin T 3 0 0
sin cos 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
（4） 求步骤（2）和步骤（1）的逆变换，将旋转轴AA’ 恢复为原来的位置。那么，绕任意轴P1P2旋转的组合变换 矩阵为
0 0 0 1
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（2） 令P1P2轴首先绕x轴旋转 角，使其与xOz平面共 面，然后再绕y 轴旋转 角，使其与z轴重合。
0 0 0 cos （ ） 1 0 cos sin 0 0 T2 0 sin cos 0 sin （ ） 0 0 1 0 0 0 sin （ ） 0 1 0 0 0 cos （ ） 0 0 0 1
x
y z 1 T x * y * z * 1
其中，T为绕任意轴旋转的组合变换矩阵，构造矩阵T 的步骤如下：
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P1P2过原点， P1与原点重合。
（1） 将点A与旋转轴P1P2一起作平移变换，使旋转轴
0 0 1 0 1 0 T1 0 0 1 x1 y1 z1
5
（3）绕z轴正向旋转 变换矩阵为
角
cos sin T 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
立体分别绕x、y、z轴旋转90的变换结果如图所示。
z o
y
y
（a）原图
（b）绕x轴旋转90度 （c）绕y轴旋转90度 （d）绕z轴旋转90度
1 0 0 1 0 0 l m
0 0 0 0 1 0 n 1
其中，l，m，n分别为沿x，y，z方向上的平移量。 2
2、比例变换
比例变换使立体在三维空间中沿x、y、z坐标轴进 行放大、缩小等变换。比例变换矩阵为：
a 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 j 0 0 0 1
二、逆变换 所谓逆变换即是与上述的基本变换过程相反的变换， 如以三维图形的逆变换为例，对平移的逆变换就是把 移回到原处 。其矩阵表达式为： x * y * z * x y z
x
y
0 0 1 0 1 0 z 1 x * y * z * 1 0 0 1 l m n
第2章 计算机图形处理技术
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2.2.3三维图形的几何变换 一、基本变换 三维图形的几何变换与二维图形类似，其基本变换也 包括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变 换等，同时通过基本变换的组合可以实现复杂变换。 1、平移变换 平移变换是使立体在三维空间移动一个位置，而形状 保持不变。与二维平移变换相类似，平移变换矩阵为：
1 b d 1 T h i 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
根据这些元素所在的列，判断出沿哪个坐标轴发生错 切。若d、h不为0，则沿x轴方向有错切；若b、i不为0， 则沿y轴方向有错切；若c、f不为0，则沿z轴方向有错切。 我们还可以根据这些元素所在的行，判断出是关于哪个变 量的错切。比如，b、c是关于变量x的错切；d、f是关于 变量y的错切；h、i是关于变量z的错切。错切变 换按错切方向的不同，可有6种情况,即分别沿 x、y、z的正、负方向错切。（书P81表4-1） 9
0 0 0 1
对x轴旋转的逆变换是用－ 代替 ，所产生的变 换为：
x
y
0 0 1 0 cos （ ） sin （ ） z 1 x * y * z * 1 0 sin （ ） cos （ ） 0 0 0
0 0 0 1
x
x
z
z o y
z
x
x
o y
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4、对称变换
对称变换包括对坐标原点，对坐标轴和对坐标平面的 对称，下面主要介绍立体对坐标平面的对称变换。
（1）对xOy坐标平面的对称变换
变换矩阵为
1 0 T 0 0
0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
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（2）对xOz坐标平面的对称变换 变换矩阵为
其他一些几何变换的逆变换与此类似， 再此不再一一百度文库绍。
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三、三维图形的组合变换 与二维组合变换一样，通过三维组合变换可以实现对 三维物体的复杂变换。下面我们以绕任意轴旋转变换为例 进行说明。 假设空间任意轴P1P2由A（x1，y1，z1）及其方向数 （n1，n2，n3）定义，空间一点A（x，y，z）绕轴P1P2 旋 转 角，得到新点A*（x*，y*，z*），即
其中，a，e，j分别为沿x，y，z方向的比例因子。 它们的作用是使物体产生比例变换，当各变比相同时， 称为全比例变换。
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3、旋转变换 三维图形旋转变换是指空间物体绕某坐标轴旋转，三维 变换可以看成是由三个二维旋转变换组合而成，并分别取x， y，z为旋转轴。我们规定在右手坐标系中，物体旋转的正 方向为右手螺旋方向，即从该轴向原点看，是逆时针方向。 如图所示。