2010年1月自考线性代数(经管类)试题和参考答案

2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年真题试题及答案

全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=( )A.EB.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( ) A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

1001线性代数真题及答案

浙04184# 线性代数（经管类）试卷第 1 页共 9 页全国2010年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式( A )A.32 B.1 C.2D.38解：3213121113043121111034222=⨯⨯=⨯⨯=zy x z y x2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=( B ) A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=( D ) A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则( C ) A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为( C ) A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是浙04184# 线性代数（经管类）试卷第 2 页共 9 页( D )A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是( B ) A.m ≥n B.Ax =b (其中b 是m 维实向量)必有唯一解 C.r (A )=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是( A )A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T解：试误法。

线性代数(经管类)参考答案

参考答案一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1—5 C A B B D二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. ___6_____.7. 2111⎛⎫⎪⎝⎭8. 13 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--100010001000aa ba b c d a b c a b c d+==++++++++解二 ()()111410111111101101001bD c a d++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2AB -A =B -E2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E()()12-∴B =A -E A-E()()()1-=A -E A -E A +E()=A+E315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪⎪-⎝⎭()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解：12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪X -- ⎪ ⎪-⎝⎭则，331=22111113-⎛⎫⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.19.解：()12345,,,,αααααT T T T TA =1114311143113210113121355000003156700000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪----- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴向量组的秩=2且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).20.解：对增广矩阵作初等行变换()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为1342342132x x x x x x =---⎧⎨=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*=1200ηT --，，，导出组同解方程组为13423423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，基础解系()1=1110ξT--，，，，()2=2301ξT-，，，，通解为*1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，21.解：特征方程()()2200=0212221001a a aλλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ单位化为2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3ξ单位化为3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，正交矩阵()123100,,00Q p p p ⎛⎫⎪⎪==⎝，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1Q Q -A =Λ.011101110-⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭22.解：二次型矩阵()()211=11=21=011λλλλλλ--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，132333x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1111-⎛⎫⎪P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当时,1232233x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭，3112⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭因此=0⎛ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X=TY . 化二次型为2221232f y y y =-++.四.证明题（本大题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3.设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此123123123202020k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解，故1230k k k ===.因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.说明：1.试卷题目均要求为自学考试真题；2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；4.试卷格式统一为：宋体五号单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。

线性代数自考(经管类)

2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点行列式的计算
解
测试点个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以且.
答案且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,，，则下列矩阵运算中有意义的是（）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵，，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵，，则____________.
3．转置对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点矩阵乘法的一个常用技巧
解因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.

自考试题线性代数题库及答案

自考试题线性代数题库及答案线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。

以下是一套自考试题线性代数题库及答案，供学习者参考。

一、选择题1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)C. \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)D. \( D = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)答案： C2. 设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，\( I \) 是 \( n\times n \) 的单位矩阵，若 \( A^2 = I \)，则 \( A \) 称为：A. 正交矩阵B. 反对称矩阵C. 正交变换矩阵D. 反射变换矩阵答案： D二、填空题1. 设向量 \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \)，向量 \( \mathbf{w} =(4, 5, 6) \)，这两个向量的点积为 __________。

答案： 322. 若 \( A \) 是一个 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是一个\( n \times p \) 矩阵，则 \( AB \) 的行列数为 __________。

答案： \( m \times p \)三、解答题1. 证明：若 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 矩阵，且 \( A^n =I \)，则 \( A \) 必定可逆。

解答：由于 \( A^n = I \)，我们可以得出 \( A \) 的 \( n \) 次幂是单位矩阵。

自考线性代数试题

全国2010年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明:在本卷中,A T 表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A T |=( )A.-8B.-2C.2D.82.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11,B=(1,1),则AB=( ) A.0B.(1,-1)C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 3.设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA4.设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,则A -1= ( ) A.21- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 B. 21- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321 C. 21- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321 D. 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13245.下列矩阵中不是．．初等矩阵的是( ) A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010101B. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100C. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001D. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102010001 6.设A,B 均为n 阶可逆矩阵,则必有( )A.A+B 可逆B.AB 可逆C.A-B 可逆D.AB+BA 可逆7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一8.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.39.设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++λ=--=+-0x x x 0x x x 0x x x 2321321321有非零解,则λ为( )A.-1B.0C.1D.210.设二次型f(x)=x T Ax 正定,则下列结论中正确的是( )A.对任意n 维列向量x,x T Ax 都大于零B.f 的标准形的系数都大于或等于零C.A 的特征值都大于零D.A 的所有子式都大于零二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案

浙02198# 线性代数试卷第1页（共25页）全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（）A.-12 B.-6 C.6 D.122．计算行列式=----32320200051020203（）A.-180 B.-120C.120 D.1803．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（）A ．2 B 3C ．4 D ．56．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（）A ．A 与B 相似B ．|A |=|B |C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（）A ．0 B ．2C ．3D ．248．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（）A ．-2 B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

2012年1月线性代数（经管类）真题及答案

C ．b -a 是Ax =b 的解的解D ．a -b 是Ax =0的解的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（的特征值为（） A ．12,4,3B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,3 9．设矩阵A =121éùêúêúêú-ëû，则与矩阵A 相似的矩阵是（相似的矩阵是（）A ．11123-éùêú-êúêúëûB ．01102éùêúêúêúëû C ．211-éùêúêúêúëûD ．121éùêú-êúêúëû10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB )3)=__________． 12．设3阶矩阵A =12243311t -éùêúêúêú-ëû，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________．13．设方阵A 满足A k=E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n 的维数是__________．15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．17．设a 是齐次线性方程组Ax =0的解，而b 是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则(32)+A a b =__________． 18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．20．二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式1112114124611242-----．22．设矩阵A =235éùêúêúêúëû，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=a a a a 求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．极大线性无关组表示出来．24．设三阶矩阵A =143253242-éùêú-êúêú--ëû，求矩阵A 的特征值和特征向量．的特征值和特征向量．25．求下列齐次线性方程组的通解．．求下列齐次线性方程组的通解．13412412345023020x x x x x x x x x x +-=ìï+-=íï+-+=î26．求矩阵A =22420306110300111210--éùêú-êúêúêú-ëû的秩．的秩．四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设三阶矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a éùêúêúëû的行列式不等于0，证明：，证明：131112121222323313233,,a a a a a a a a a æöæöæöç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøa a a 线性无关．全国2012年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题参考答案一、选择题一、选择题1~5 DADDA 6~10 BBABA 二、填空题二、填空题11~15 8 -3 1k A - n n-r 16~20 r(A,b)=r(A) 2b 0 1 3 三、计算题三、计算题21解：11121112111211121141005301500150143115724610243024300143531242155353----------==-=-=-´=----------22解：111444()4A B A A B A A B E B A B B E A E B E ---=+Þ=+Þ-=Þ-=()100400100400((),4)020040010020,0044011A E E E B æöæöç÷ç÷-=®=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø40002001B æöç÷Þ=ç÷ç÷èø23解：()1234TTTTTA a a a a = 3016172917291729172930160217210313210421040134140134140313031303130313-æöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷----ç÷ç÷ç÷ç÷=®®®ç÷ç÷ç÷ç÷------ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø172917291729102510010313010210210210201020313001300130013000000000000000-æöæöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷®®®®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-----ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø所以可得一个极大线性无关组为123,,a a a 并且412323a a a a =+-24解：①求特征值解：①求特征值221431432532532420111431314(1)253(1)()232511(1)()(1)0E A l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l +--+---=--=---+--+--+-+-=---=--+--=--=-=11210112100304103041000400001001000--æöæöç÷ç÷--ç÷ç÷®®ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø所以矩阵Ａ的秩r(A)=3 四证明题证明题证明：令1122330x x x a a a ++=即131112121222323313233000a a a x a x a x a a a a æöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷++=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø再整理得：再整理得：111122133211222233311322333000a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=ìï++=íï++=î 因为此线性方程组的系数行列式不等于0，所以此方程组只有零解即1230x x x ===所以131112121222323313233,,a a a a a a a a a æöæöæöç÷ç÷ç÷===ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøa a a 线性无关。

《线性代数(经管类)》历年真题及参考答案

20XX年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷(课程代码 04184)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设3阶方阵A的行列式为2，则= 【】A．-1 B．-C． D．12．设，则方程的根的个数为【】A．0 B．1C．2 D．33．设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若|A|≠|B|，则必有A．|A|=0 B．|A+B|≠0C．|A|≠0 D．|A-B|≠04. 设A、B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是【】A． B．C． D．5．设A= ，其中，则矩阵A的秩为【】A．0 B．1C．2 D．36.设6的阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为【】A．0 B．2C．3 D．47.设向量a=（1，-2，3），与=（2，k，6）A．-10 B．-4C．4 D．108．已知线性方程组无解，则数a= 【】A．- B．0C． D．19．设3阶方阵A的特征多项式为，则|A|= 【】10．若3阶实对称矩阵A=( )是正定矩阵，则4的3个特征值可能为【】二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设行列式D=,其第三行各元素的代数余子式之和为．12设A=，B=,则AB：．13设A是4x3矩阵且r（A）=2，B=，则r（AB）．14.向量组（1,2），（2,3），（3,4）的秩为15设线性无关的向量组可由向量组线性表示，则r与s的关系为16．设方程组有非零解，且数，则= ．17．设4元线性方程组Ax=b的三个解，已知，．则方程组的通解是．19．设矩阵有一个特征值=2，对应的特征向量为，则数20．设实二次型，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．设矩阵，，其中口，均为3维列向量，且 |A|=18，|B|=2．求|A-B|．22．解矩阵方程23．设向量组，，问P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组．24．设3元线性方程组(1)确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)25.已知2阶方阵A的特征值为，方阵．(1)求B的特征值；(2)求B的行列式．。

2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年试题及答案 - 副本

2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年试题及答案全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列18.设A 为3阶矩阵，且|A |=6，若A 的一个特征值为2，则A *必有一个特征值为_________. 19.二次型f 123(,,)x x x =2221233x x x -+的正惯性指数为_________.20.二次型f 123(,,)x x x =22212323224x x x x x --+经正交变换可化为标准形______________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D =3512453312012034---- 22.设A =130210002-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足关系式A+X=XA ,求X. 23.设234αβγγγ，，，，均为4维列向量，A =（234αγγγ，，，）和B =（234βγγγ，，，）为4阶方阵.若行列式|A |=4，|B |=1，求行列式|A+B |的值.24.已知向量组1α=(1,2,-1,1)T ,2α=(2,0,t ,0)T ,3α=(0,-4,5,-2)T ,4α=(3,-2,t+4,-1)T （其中t 为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.25.求线性方程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解..（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）26.已知向量1=α(1,1,1)T ，求向量23αα，,使123ααα，，两两正交.四、证明题（本题6分）27.设A 为m ⨯n 实矩阵，A T A 为正定矩阵.证明：线性方程组A x =0只有零解.全国2012年1月自考《线性代数(经管类)》试题课程代码：04184说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

2010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数(经管类)试卷 (1)

2010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试试卷04184线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设A 为3阶矩阵，A =1，则2T A -= ( ) A ．-8 B. -2 C. 2 D. 82、设矩阵A =11⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭，B =（1,1），则AB = （） A ．0 B.（1，－1） C.11⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭D.1111⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭3、设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（） A ．AB BA - B. AB BA + C. AB D. BA4、设矩阵A 的伴随矩阵*A =1234⎛⎫⎪⎝⎭，则1A -= （）A ．431212-⎛⎫- ⎪-⎝⎭ B. 121342-⎛⎫- ⎪-⎝⎭ C. 121342⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 421312⎛⎫- ⎪⎝⎭5、下列矩阵中不是初等矩阵的是（）A ．101010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 100030001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 100010201⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6、设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则必有（） A ．A B +可逆 B.AB 可逆 C.A B -可逆 D.AB BA +可逆7、设向量组1α=（1,2）， 2α=（0，2） β=（4，2），则（） A ．12,,ααβ线性无关 B ．β不能由1α，2α线性表示C ．β可由1α，2α线性表示，但表示法不惟一D ．β可由1α，2α线性表示，且表示法惟一8、设A 为3阶实对称矩阵，A 的全部特征值为0,1,1，则齐次线性方程组()0E A x -= 的基础解系所含解向量的个数为（）A ．0 B. 1 C. 2 D. 39、设齐次线性方程组1231231232000x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ为（）A ．－1 B. 0 C. 1 D. 210、设二次型()Tf x X Ax =正定，则下列结论中正确的是（） A ．对任意n 维列向量x ，Tx Ax 都大于零 B ．f 的标准形的系数都大于或等于零 C ．A 的特征值都大于零 D ．A 的所有子式都大于零二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11、行列式0112的值为_________. 12、已知1223A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 中第一行第二列元素的代数余子式为_________.13、设矩阵1324A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，1101P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3AP =_________. 14、设,A B 都是3阶矩阵，且A =2，2B E =-，则1A B -=_________.15、已知向量组1α=（1，2，3），2α=（3，-1，2），3α=（2，3，k ）线性相关，则数k=_________.16、已知Ax b =为4元线性方程组，() 3.r A = 1α，2α，3α为该方程组的3个解，且11234α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，233579αα⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭，则该线性方程组的通解是_________. 17、已知P 是3阶正交矩阵，向量132α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，102β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则内积(,)P P αβ=_________.18、设2是矩阵A 的一个特征值，则矩阵3A 必有一个特征值为_________. 19、与矩阵1203A ⎛⎫=⎪⎝⎭相似的对角矩阵为_________.20、设矩阵122Ak-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若二次型Tf x Ax=正定，则实数k的取值范围是_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21、求行列式0120101221010210D=的值.22、设矩阵010100001A-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，120210000B--⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭，求满足矩阵方程2XA B E-=的矩阵X.23、若向量组11 1 1α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，2113α⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，326kα⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，422kα-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭的秩为2，求k的值.24、设矩阵223110121A⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭，21b⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.（1）求1A-；（2）求解线性方程组Ax b=，并将b用A的列向量组线性表示.25、已知3阶矩阵A 的特征值为1-，1，2，设22B A A E =+-,求（1）矩阵A 的行列式及A 的秩.（2）矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.26、求二次型123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++经可逆线性变换112321233322222x y y y x y y y x y=++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩所得的标准形.四、证明题（本题6分）27、设n 阶矩阵A 满足2A E =,证明A 的特征值只能是1±.。

年月自考线性代数经管类试题及答案有详细求解过程

全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵（行列对换）；A *表示A 的伴随矩阵； A -1=*A A （重要）求A -1 和A*时，可用这个公式，A *太复杂了自己看看r (A )表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

100E 010001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2002E 020002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,每一项都乘2 一、单项选择题 [ ]表示矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵；| |表示行列式，计算后为一个数值，行列式相乘为数值运算在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( C ) A.-12B.-6 αi （i =1,2,3）为A 的列向量，3行1列C.6D.12 2.计算行列式3 2 3 202 0 0 05 10 20 2 0 3 ----=( A )=3*-2*10*3=-180A.-180B.-120C.120D.1803.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( C )=23| A |=8*1/2=4 A.21 B.2C.4D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( B ) n+1个n 维向量线性相关A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示5.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( C ) A.2 B.3 n- r (A )=解向量的个数=2,n=6C.4D.5 6.设A 、B 为同阶方阵，且r (A )=r (B )，则( C ) A 与B 合同⇔ r (A )=r (B ) ⇔P T AP=B, P 可逆A.A 与B 相似B.| A |=| B |C.A 与B 等价D.A 与B 合同7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( D )，| A |=所有特征值的积=0A.0B.2 A +2E 的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A +2E |=4*3*2C.3D.248.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( B ) A.A 与B 等价B.A 与B 合同C.| A |=| B |D.A 与B 有相同特征值A 、B 相似⇔A 、B 特征值相同⇔| A |=| B |⇔ r (A )=r (B )；若A ～B ，B ～C ，则A ～C （～代表等价）9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( D ) T 0σβ=, 即1*2-2*3+1*t=0，t=4A.-2B.0C.2D.410.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( B )，所有特征值都大于0，正定；A.A 正定B.A 半正定所有特征值都小于0，负定；C.A 负定D.A 半负定所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

自考线性代数(经管类)试题及答案

高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．3阶行列式011101110||ij a 中元素21a 的代数余子式21A （C）A ．2B ．1C ．1D ．21011121A ．2．设矩阵22211211a a a a A ，121112221121a a a a a a B，01101P ，11012P ，则必有（A）A ．B AP P 21B ．B AP P 12C ．B P AP 21D ．B P AP 121101011021AP P 22211211222112110111a a a a a a a a B a a a a a a 121112221121．3．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足E ABC ，则1B （ D）A ．11C A B ．11ACC ．ACD ．CA由E ABC，得E ABC 111，CA B 1．4．设3阶矩阵0100010A，则2A 的秩为（B ）A ．0B ．1C ．2D ．32A00010000100010000100010，2A 的秩为1．5．设4321,,,是一个4维向量组，若已知4可以表为321,,的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4321,,是4321,,,的极大无关组，4321,,,的秩为3．6．设向量组4321,,,线性相关，则向量组中（A ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7．设321,,是齐次线性方程组0Ax 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ B）A ．2121,,B ．133221,,C ．2121,,D ．133221,,只有133221,,线性无关，可以作为基础解系．8．若2阶矩阵A 相似于矩阵3202B ，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵A E 相似的矩阵是（ C）A ．4101B ．4101C ．4201D ．4201B 与A 相似，则4201BE 与A E相似．9．设实对称矩阵120240002A ，则3元二次型Ax x x x x f T ),,(321的规范形为（D ）A ．232221z z z B ．232221z z z C ．2221z z D ．2221z z 232212332222123322221321)2(2)44(2442),,(x x x x x x x x x x x x x x x x f ，规范形为2221z z ．10．若3阶实对称矩阵)(ij a A是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（D ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．已知3阶行列式696364232333231232221131211a a a a a a a a a ，则333231232221131211a a a a a a a a a _______________．632323232323296364232333231232221131211333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，61333231232221131211a a a a a a a a a ．12．设3阶行列式3D 的第2列元素分别为3,2,1，对应的代数余子式分别为1,2,3，则3D _______________．4132)2()3(12323222221213A a A a A a D ．13．设0121A，则E AA22_______________．112211201120)(222E AEA A．14．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（2）倍加到第1列得到矩阵B ．若4321B，则A_______________．将B 的第2列的2倍加到第1列可得41125A．15．设3阶矩阵333220100A，则1A _______________．001012103100020033001010100100220333100010001333220100),(E A 0102/113/12/1010001000101012230102000601012206100020066，1A102/113/12/10．16．设向量组)1,1,(1a ，)1,2,1(2，)2,1,1(3线性相关，则数a___________．0363213103210311121112111aa a aa a a ，2a．17．已知Tx )1,0,1(1，Tx )5,4,3(2是3元非齐次线性方程组b Ax 的两个解向量，则对应齐次线性方程组0Ax有一个非零解向量_______________．Tx x )6,4,2(12（或它的非零倍数）．18．设2阶实对称矩阵A 的特征值为2,1，它们对应的特征向量分别为T)1,1(1，Tk ),1(2，则数k ______________．设db b a A，由111A，即1111d b b a ，11d b b a ，可得b a1，b d1；由222A，即kk bbb b 12111，kkb bbkb22)1(1，可得1k ．19．已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,0，且矩阵B 与A 相似，则||E B _______________．E B 的特征值为4,1,1，44)1(1||E B．20．二次型232221321)()(),,(x x x x x x x f 的矩阵A_______________．2332222121233222222121321222)2()2(),,(x x x xx x xx x x xx x x xx x x f ，11121011A．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．已知3阶行列式||ij a 4150231x x 中元素12a 的代数余子式812A ，求元素21a 的代数余子式21A 的值．解：由8445012x x A ，得2x，所以5)38(413221A ．22．已知矩阵0111A，211B，矩阵X 满足X B AX ，求X ．解：由X BAX，得B XA E)(，于是13/113/131313121121113120111112)(11BA EX ．23．求向量组T)3,1,1,1(1，T)1,5,3,1(2，T)4,1,2,3(3，T)2,10,6,2(4的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．解：24131015162312311854012460412023110700070041202311000007004120231100001004120231100100402020110000100201020110010*********，321,,是一个极大线性无关组，432120．24．设3元齐次线性方程组00321321321ax x x x ax x x x ax ，（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．解：（1）1010111)2(1111111)2(1212112111111||aaaaa aaaa a a aa aA 2)1)(2(a a，2a 或1a 时，方程组有非零解；（2）2a时，0330211A1102110110101，333231x x x x x x ，基础解系为111，全部解为111k ，k 为任意实数；1a 时，000000111A ，3322321x x x x x x x ，基础解系为11，101，全部解为1011121k k ，21,k k 为任意实数．25．设矩阵504313102B ，（1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P ，使BPP1．解：（1）)67)(1(5412)1(54313102||2B E)6()1(2，特征值121，63．对于121，解齐次线性方程组0)(x B E：0000010144303101B E ，332231x x x x x x ，基础解系为0101p ，1012p ；对于63，解齐次线性方程组0)(x B E ：04/3104/10114353104BE，3332314341x x x x x x ，基础解系为14/34/13p ．3阶矩阵B 有3个线性无关的特征向量，所以B 相似于对角阵；（2）令6010001，1104/3014/110P ，则P 是可逆矩阵，使得BP P 1．26．设3元二次型3221232221321222),,(x x x x x x x x x x f ，求正交变换Py x，将二次型化为标准形．解：二次型的矩阵为110121011A ．111121011111201110121011||A E)3)(1(1101)3(11131001，特征值01，12，33．对于01，解齐次线性方程组0)(x A E ：00011010111121011A E ，333231x x x x x x ，1111，单位化为3/13/13/11p ；对于12，解齐次线性方程组0)(x A E ：0001010101111010A E ，332310x x x x x ，1012，单位化为2/102/12p ；对于33，解齐次线性方程组0)(xA E：0210101210111012AE，3332312x x x x x x ，1213，单位化为6/16/26/13p ．令6/12/13/16/203/16/12/13/1P，则P 是正交矩阵，使得APP T3010000，经正交变换Py x 后，原二次型化为标准形23222130y yyf．四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022A A，证明A 的特征值只能是0或2．证：设是A 的特征值，则满足方程022，只能是0或2．。

(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案

浙02198# 线性代数试卷第1页（共25页）全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（）A.-12 B.-6 C.6 D.122．计算行列式=----32320200051020203（）A.-180 B.-120C.120 D.1803．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（）A ．2 B 3C ．4 D ．56．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（）A ．A 与B 相似B ．|A |=|B |C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（）A ．0 B ．2C ．3D ．248．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（）A ．-2 B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数(经管类)试题答案

全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A ,B 为同阶方阵，则必有（ D ） A ．||||||B A B A +=+ B ．BA AB =C ．T T T B A AB =)(D ．||||BA AB =A ．E ACB =B ．E CBA =C ．E BCA =D ．E BAC =A ．16-B ．4-C ．4D ．16A ．||||B A =B ．A 与B 相似C ．)()(B R A R =D ．∑∑===ni ii ni ii b a 115．设)0,0,1(1=α,)0,0,2(2=α,)0,1,1(3=α，则（ C ） A ．1α,2α,3α线性无关 B ．3α可由1α,2α线性表示 C ．1α可由2α,3α线性表示D ．1α,2α,3α的秩等于312（ D ） A ．+1α2αB ．-1α2αC ．+β+1α2αD ．32311+αβα-27．若3阶方阵A 与对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ300000相似，则下列说法错误．．的是（ B ） A ．0||=AB ．0||=+E AC ．A 有三个线性无关特征向量D ．2)(=A R321A ．0B ．1C ．2D ．3A ．2-B ．1-C ．0D ．110．对称矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112A 是（）A ．负定矩阵B ．正定矩阵C ．半正定矩阵D ．不定矩阵11．设A ,B 均为三阶可逆方阵，且2||=A ，则=--|2|21B A B ____________．4413322113．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21A ，则A 的伴随阵=*A ____________． 14．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t A 01320，且2)(=A R ，则=t____________． 321i ],,[321211αααααα+++=B ，则=||B ____________．16．三元方程组⎩⎨⎧=-=+002131x x x x 的通解是____________．17．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4112A ，则A 的特征值是____________．19．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010B 相似，则=x ____________．20．实对称矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的正交相似标准形矩阵是____________．21．计算四阶行列式4321432143214321------．解：1928641808600864043214321432143214321=⨯⨯⨯==------． 22．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=134240512A ，B 是三阶方阵，且满足E B A AB -=-2，求B ．解：因为074207232070230511034230511||≠-=---=---=--=-E A ，所以E A -可逆，由E B A AB -=-2，得E A B AB -=-2，))(()(E A E A B E A +-=-，=B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+234250513E A ．23．设)3,2,1,1(1=α,)1,1,1,1(2-=α,)5,3,3,1(3=α,)6,5,2,4(4-=α,)7,5,1,3(5----=α，试求向量组54321,,,,ααααα的秩和一个极大无关组．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=2622013110262203411176513553121231134111],,,,[54321T T T T T ααααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000002622034111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000001311034111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000001311021201，向量组的秩是2，21,αα是向量组的一个极大无关组．24．设四元方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=++-tx x x x x x x x x x x x 432143214321772222323，问t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=35410454103231177212121232311],[t t b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→700004541032311t ， 7=t 时，2)(),(==A R b A R ，该方程组有解，此时],[b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→000004541032311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→000004541013101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=++-=443343243154431x x x x x x x x x x ，该方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10530141004121k k ，21,k k 是任意常数．25．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1141P ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2001D ，矩阵A 由矩阵方程D AP P =-1确定，试求5A ．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==*-114131114131||11P P P ，1-=PDP A ， 15111115))()()()((------==PPD PDP PDP PDP PDP PDP A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=114120011141315⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=114132*********⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3733132129311141321128131．26．求正交变换PY X =，化二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++-=为标准形．解：二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011101110A ， 10011112)1(1101111)1(1101111111111||-+--=---=----=----=-λλλλλλλλλλλλλλA E22)1)(2()2)(1(112)1(-+=-+-=+-=λλλλλλλλ，A 的特征值为121==λλ，23-=λ．对于121==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1012α，正交化：=1β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=12/12/101121101||||),(1211222βββααβ，单位化：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==01121||||1111ββp ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==2116112/12/162||||1222ββp ；对于23-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：λλλ111111----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=-000110101211121112A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1113α，单位化：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==11131||||1333ααp ．令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200010001AP P T ，经过正交变换PY X =，二次型化为标准形2322212y y y f -+=．四、证明题（本题6分）27．证明任意4个3维向量组线性相关．证：设),,(321i i i i a a a =α是任意的3维向量，4,3,2,1=i ．令044332211=+++ααααk k k k ，即0),,(),,(),,(),,(4342414333231323222121312111=+++a a a k a a a k a a a k a a a k ，得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000443333223113442332222112441331221111k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a ，方程个数小于未知量个数，齐次线性方程组有非零解，4321,,,αααα线性相关．。

(完整版)线性代数(经管类)试题及答案

全国高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T 表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T AA =（） A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（）A ．-32B ．-8C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T =-A ，B T =B ，则下列命题正确的是（）A ．（A +B ）T =A +BB ．（AB ）T =-ABC ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（）A ．若A 2=0，则A =0B ．（AB ）2=A 2B 2C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k =（）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（）A ．0B ．1C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（） A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （）A ．正定B ．不定C ．负定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

历年全国自考线性代数(经管类)试题2 (1)

全国2011年1月高等教育自学考试说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（） A.12 B.24 C.36 D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（） A.A -1CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（） A.Ax =0只有零解 B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量 C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量 D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（） A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解 D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（）A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（） A.21 B.1 C.23 D.2 10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式1221---k k =0，则k =_________________________. 12.设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101，k 为正整数，则A k =_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则矩阵A =_________________________. 14.设向量α=（6，-2，0，4），β=（-3，1，5，7），向量γ满足βγα32=+，则γ=_________________________. 15.设A 是m ×n 矩阵，A x =0,只有零解，则r (A )=_________________________. 16.设21,αα是齐次线性方程组A x =0的两个解，则A （3217αα+）=________. 17.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1-x 2+x 3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A 有一个特征值为0，则|A 3|=________________________. 19.设向量=1α（-1，1，-3），=2α（2，-1，λ）正交，则λ=__________________.20.设f (x 1,x 2,x 3)=31212322212224x x x tx x x x ++++是正定二次型，则t 满足_________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式b a c c c b c a b b aa cb a ------222222 22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---16101512211λλ，对参数λ讨论矩阵A 的秩. 23.求解矩阵方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100152131X =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--31524124.求向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21211α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=56522α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11133α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=37214α的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.25.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-++-=++-03204230532432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其通解.26.求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3142281232的特征值和特征向量. 四、证明题（本大题共1小题，6分）27.设向量1α，2α，….,k α线性无关，1<j ≤k .证明：1α+j α，2α，…,k α线性无关.全国2011年4月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下列等式中，正确的是（）A．B．3=C．5D．2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（）A．B．C．D．3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C-1是（）A．B．C．D．4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A*的秩r (A*)=（）A．0 B．1C．2 D．35．设向量，若有常数a,b使，则（）A．a=-1, b=-2 B．a=-1, b=2C．a=1, b=-2 D．a=1, b=26．向量组的极大线性无关组为（）A．B．C．D．7．设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（）A．3 B．2C．1 D．08．设是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）A ．B ．C ．D ．9．设矩阵A =，则A 的对应于特征值的特征向量为（）A ．（0，0，0）TB ．（0，2，-1）TC ．（1，0，-1）TD ．（0，1，1）T10．二次型2221213212),,(x x x x x x x f +-=的矩阵为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年试题及答案

2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年试题及答案全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=( ) A.E B.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( )A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。