高中数学单调性与最大最小值检测试题(附答案)

高中数学单调性与最大最小值检测试题（附

答案）

1．函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为() A．9B．9(1－a)

C．9－a D．9－a2

解析：选A.x[0,3]时f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝9. 2．函数y＝x＋1－x－1的值域为()

A．(－，2 ] B．(0，2 ]

C．[2，＋) D．[0，＋)

解析：选B.y＝x＋1－x－1，x＋10x－10，

x1.

∵y＝2x＋1＋x－1为[1，＋)上的减函数，

f(x)max＝f(1)＝2且y＞0.

3．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为()

A．0或1 B．1

C．2 D．以上都不对

解析：选B.因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a ＋2, 对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，即f(x)max ＝f(0)＝a＋2＝3，

f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2.故a＝1.

4．(2019年高考山东卷)已知x，yR＋，且满足x3＋y4＝1.则xy的最大值为________．

解析：y4＝1－x3，0＜1－x3＜1,0＜x＜3.

而xy＝x4(1－x3)＝－43(x－32)2＋3.

当x＝32，y＝2时，xy最大值为3.

答案：3

1．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是()

A．1 B．0

C.14 D．不存在

解析：选B.由函数f(x)＝x2在[0,1]上的图象(图略)知，

f(x)＝x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)＝0.

2．函数f(x)＝2x＋6，x[1，2]x＋7，x[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为()

A．10,6 B．10,8

C．8,6 D．以上都不对

解析：选A.f(x)在x[－1,2]上为增函数，f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(－1)＝6.

3．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为()

A．1 B．2

C．－1 D．不存在

解析：选A.因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax

＝－1＋2＝1.

4．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为()

A．2 B.12

C.13 D．－12

解析：选B.函数y＝1x－1在[2,3]上为减函数，

ymin＝13－1＝12.

5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()

A．90万元B．60万元

C．120万元D．120.25万元

解析：选C.设公司在甲地销售x辆(015，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.

6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()

A．－1 B．0

C．1 D．2

解析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a. 函数f(x)图象的对称轴为x＝2，

f(x)在[0,1]上单调递增．

又∵f(x)min＝－2，

f(0)＝－2，即a＝－2.

f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

7．函数y＝2x2＋2，xN*的最小值是________．

解析：∵xN*，x21，

y＝2x2＋24，

即y＝2x2＋2在xN*上的最小值为4，此时x＝1.

答案：4

8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，

又∵f(x)的单调减区间为(－，3]，

13.

答案：(1,3]

9．函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．

解析：∵f(x)＝xx＋2＝x＋2－2x＋2＝1－2x＋2，

函数f(x)在[2,4]上是增函数，

f(x)min＝f(2)＝22＋2＝12，

f(x)max＝f(4)＝44＋2＝23.

答案：2312

10．已知函数f(x)＝x2－1211x1＜x2，

求f(x)的最大、最小值．

解：当－121时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；

当1＜x2时，由f(x)＝1x，得f(2)f(x)＜f(1)，

即12f(x)＜1.

综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.

11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.所以这时租出了88辆车．

(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－x－300050)(x－150)－x－30005050，

整理得

f(x)＝－x250＋162x－21000＝－150(x－4050)2＋307050.

所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最