傅里叶级数

(n 1,2,3, )
(3) 求bn .

f ( x)sinnxdx a0

sinnxdx

2




[ak
cos kx sinnxdx bk
sinkx sinnxdx]

k 1
bn ,
1
bn
f ( x)sin nxdx

nxdx

2
0x sin
nxdx

2
[
x
cos n
nx

sin nx n2
]0
2 cos n 2 (1)n1,
n
n
(n 1,2, )
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
(1)n1
2
sin nx.

1
1 22

1 32

1 42

,
2


4

1
2
4
,
2

1
3

2
24
,

1
2

2
6
,
3 2 1
2
. 12
9.5.3 正弦级数和余弦级数 1.奇函数和偶函数的傅里叶级数
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
f ( x)cos nxdx
(n 0,1,2, )
bn 0
(n 1,2, )
证明 (1) 设f ( x)是奇函数,
an

1



f ( x)cos nxdx
奇函数
0
(n 0,1,2,3, )
bn

1


2
f ( x)sinnxdx
偶函数


f ( x)sinnxdx



0, m n
sinmxsinnxdx


,
, mn

0, m n
cos
m x cos
nxdx


,
, mn

sinmx cos nxdx 0.
(其中m, n 1,2, )

9.5.2 将函数展开成傅里叶级数
设f (x)是周期T = 2π的周期函数，且能展开成
其中A0 ,An, n为常数。
由三角公式，我们有
Ansin(nωt+ n )=Ansin n cosnωt+A ncos n sinnωt
令 a0 2

A0 ,
an=Ansin n ， bn=Ancosn ,ωt=x，
则(1)式右端变型为
a0
2


(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
(2)
形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn
为常数。
2.三角函数系的正交性 三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x, cos nx,sinnx,
在[， ]上正交：
任意两个不同函数的乘积在[ , ]上的积分等于零.


cos nxdx 0, sinnxdx 0, (n 1,2,3, )

2



2 n
n
2
当n 1,3,5, 当n 2,4,6,
x 1 2 [( 2)sin x sin2x

2wk.baidu.com
1 ( 2)sin3x ]
3
(0 x )
在端点x 0及x 处，级数收敛到0.
(2)求余弦级数. 对f ( x)进行偶延拓,
0 x

f ( x) bn sinnx (0 x ) n1
偶延拓
令F
(
x)


f f
(x) 0 x ( x) x
0
y
f ( x)的傅氏余弦级数
0
f ( x)

a0 2


an cos nx
n1
(0 x )
x
叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在 [, ]
y
收敛于f ( x) .

2 0 2 x
1
a0
f ( x)dx

1
0
1
( x)dx

xdx
,

0
1
an
f ( x)cos nxdx

1
0
1
( x)sin nxdx

x sin nxdx 0,

0
(n 1,2,3, )
所求函数的傅氏展开式为
4 1
f (x)
cos(2n 1)x
2 n1 (2n 1)2
( x )
利用傅氏展开式求级数的和
4 1
n1 n
( x ; x , 3, )
2、函数展开成正弦级数或余弦级数
将定义在[0, ]上的f (x),展开成正弦或余弦级数。
做法：奇延拓
f (x) 0 x
令F ( x)


0
x0
y
f ( x) x 0
f ( x)的傅氏正弦级数
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ; (2)当x 是 f ( x)的间断点时,收敛于 f ( x 0) f ( x 0) ;
2
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
题目类型：
(1) 将定义在（，）上的 以2为周期的函
数 f ( x) 展开成傅立叶级数。
(n 1,2,3, )
傅里叶系数
an

1


f ( x)cos nxdx,

(n 0,1,2, )

bn

1


f ( x)sin nxdx,

(n 1,2, )
傅里叶级数
f ( x)
~
a0 2


(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
问题:
f ( x) 条件?
例4 将函数 f ( x) x 1 (0 x ) 分别展开
成正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数. 对f ( x)进行奇延拓,
bn

2

0
f ( x)sinnxdx
2


( x 1)sinnxdx
0
2 (1 cos n cos n )
n
三角级数：
f (x)

a0 2


(ak
k 1
cos kx

bk
sin kx)
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么?
2.展开的条件是什么?
傅里叶系数
若有
f (x)
a0 2


(ak
k 1
cos kx bk
s in kx)
(1) 求a0 .

f ( x)dx
(2) 求an .

f ( x)cos nxdx a0

cos nxdx

2




[ak
cos kx cos nxdx bk
sinkx cos nxdx]

k 1
an
cos 2 nxdx

an ,
1
an
f ( x)cos nxdx
a0 2

(an cos nx bn sin nx)
n1
9.5.1(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
设 f ( x) 是以2 为周期的周期函数.如果它满
足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间
断点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶
级数收敛,并且
2
a0
( x 1)dx 2,
0
2
an
( x 1)cos nxdx
0
0

2
n 2
(cos n
1)


(iii)根据收敛定理把上式写成等式
f
(x)

a0 2

n1
(an
cos
nx

bn
sin nx)
x 连续点集合
例1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t
)


Em , Em
,
0 t t 0
Em
u
将其展开为傅立叶级数.
o
t
Em
解

10
1


(Em )sin ntdt
0 Em sin ntdt
2Em (1 cos n ) 2Em [1 (1)n ]
n
n

4Em
(2k 1)
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
所给函数满足狄利克雷充分条件.
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x (2k 1)(k 0,1,2, )处不连续,
收敛于 f ( 0) f ( 0) () 0,
2
2
在连续点x( x (2k 1))处收敛于f ( x),
bn

2
0
f
( x)sin
a0

1


u(t )dt

1

0
1
( Em )dt

0 Emdt
0
1
an
u(t)cos ntdt

10
1


(Em )cos ntdt
0 Em cos ntdt
0 (n 1,2, )
1
bn
u(t)sin ntdt
所求函数的傅氏展开式为

u(t)
4Em sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
( t ;t 0, ,2 , )
在点t k (k 0,1,2, )处不连续.
收 敛 于 Em Em 0, 2
(2) 将定义在[-， ] 上的 函数f(x) 展开成傅立 叶级数。
方法:(i)对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在 (，)上的周期函数F(x).
(ii) F(x)的傅立叶级数与 f(x)的傅立叶级数相同.
(iii)限制在[-， ] 再用收敛定理得到f(x)的傅立 叶级数展开式。
例2
将函数
f
( x)

x,

x,
x0 0 x
展开为傅立
(1)当周期为2 的奇函数 f ( x) 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
an 0
(n 0,1,2, )
bn
2
0
f ( x) sin nxdx
(n 1,2, )
(2)当周期为2 的偶函数 f ( x) 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
an

2
0
方法： (i)先求傅里叶系数
an

1


f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2, )

bn

1


f ( x)sin nxdx,

(n 1,2, )
(ii) 写出对应的傅里叶级数
f ( x)
~
a0 2


(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
f (x)
cos(2n 1)x,
2 n1 (2n 1)2
当x 0时,
f (0) 0,
2
8
1
1 32

1 52

设 1 1 1 1 ,
22 32 42
1

1
1 32

1 52

(
2
8
),
2

1 22

1 42

1 62

,
3
9.5 傅里叶级数
9.5.1 三角函数系的正交性 9.5.2 将函数展开成傅里叶级数 9.5.3 正弦级数与余弦级数
9.5 傅里叶级数
9.5.1 三角函数系的正交性
1．三角级数
简谐振动： y=Asin(ωt+ ) T 2 , A为振幅，ω为角频， 为初相。

f (t) A0 An sin(nt n ) (1) n1
0
(n 1,2,3, )
同理可证(2)
定理证毕.
定义
如果
f
(
x
)
为奇函数,傅氏级数


bn
sin
nx
n1
称为正弦级数.
如果 f ( x)为偶函数,
傅氏级数a0 2


an
n1
cos nx
称为余弦级数.
例3 设 f ( x) 是 周 期 为2 的 周 期 函 数 , 它 在 [,)上的表达式为 f ( x) x ,将 f ( x) 展开成

1
0 ( x)cos nxdx 1

x cos nxdx

0

2
n 2
(cos n
1)

2
n2
[(1)n
1]


(2k
4
1)2
,
n 2k 1, k 1,2,

0,
n 2k, k 1,2,
1
bn
f ( x)sin nxdx

a0 dx 2

[

(ak cos kx bk sinkx)]dx
k 1

a0 dx 2

ak cos kxdx k 1

bk sinkxdx k 1
a0 2 ,
2
1
a0
f ( x)dx