计算机图形学4

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4.1 直线生成算法
4.1.1 数值微分法（DDA Digital Differential Analyzer） 例1:
用DDA方法绘制两点
直线段过程：
P0（ 0, 0 ）和 P1（ 5, 2 ）的
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4.1 直线生成算法
4.1.1 数值微分法（DDA Digital Differential Analyzer） 注意：

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4.1 直线生成算法
4.1.3 Bresenham画线算法 改进的整数程序：
void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1, int color) { int i, x, y, dx, dy, e; dx = x1-x0; dy = y1- y0; e=-dx; x=x0; y=y0; for (i=0; i<=dx; i++) { putpixel (x, y, color); x++, e=e+2*dy; if (e>=0) { y++; e=e-2*dx;} } }
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4.1 直线生成算法
4.1.2 中点画线法 例2: 用中点画线法方法绘制两点 P0（ 0, 0 ） 和 P1（ 5, 2 ）的直线段过程：
a=y0 -y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1; d1=2*a=-4; d2=2*(a+b)=6 。
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4.1 直线生成算法
4.1.2 中点画线法
线的粗细不一； 线的亮度差异。
）；
直线的生成要求
直线要直； 直线的起、终点要准； 直线粗细要均匀；
有限个象素构成的直线
速度要快。
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4.1 直线生成算法
直线的光栅图像
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4.1 直线生成算法
生成直线的算法很多，本节我们介绍一个象素宽直线
的三个常用生成算法：
数值微分法（DDA）；
中点画线法；
Bresenham算法。
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4.1 直线生成算法
4.1.1 数值微分法（DDA Digital Differential Analyzer）
一种从直线的微分方程出发生成直线的方法，其本质是用数值
法解微分方程。 假定直线的起点、终点分别为： （x0,y0), (x1,y1)， 且都为整数。
上述分析的算法仅适用于
k ≤1的情形。在这种情况下，x
每增加1，y 最多增加1。 当 k 1 时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加 1/k。 在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对 y进行四舍五入后取整。这使得它不利于硬件实现。
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4.1 直线生成算法
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4.1 直线生成算法
4.1.3 Bresenham画线算法 讨论：

由于：
处理中用到浮点数0.5， 用到除法计算
k， k = Δy / Δx。
速度较慢，不利于硬件实现。 考虑到只需通过判别 e 的符号，确定像素的取舍 ，因此可令 e’ = 2 × e × Δx， e > 0 ==> e’ > 0; e < 0 ==> e’ < 0。 通过判别 e’ 的符号确定像素取舍，避免了浮点运 算与除法计算，有利于硬件实现；

由于只判别d 的符号确定下一个像素位置，因此 可以用2d来判别，化为整数算法 递推算法中只包含加、减运算，便于硬件实现：
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4.1 直线生成算法
4.1.3 Bresenham画线算法

Bresenham（柏森汉）算法是计算机图形学领域使 用最广泛的直线算法。该方法类似于中点法，由误 差项符号决定下一个象素取右边点还是右上点。 思路：考虑利用增量计算，使得对像素的每一列只 要检查一个误差项的符号，就可以确定该列所求像 素。 采用增量计算，有利于硬件实现。 Bresenham画线算法还可以拓展到画圆等。
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4.1 直线生成算法
4.1.1 数值微分法（DDA Digital Differential Analyzer） 程序实现：
DDALine (x0,y0, x1, y1,Color) int x0, y0, x1, y1,Color; { int x; float dx,dy,k,y; dx=x1-x0; dy=y1-y0; k=dy/dx; y= y0; for(x= x0; x<= x1; x++) { putpixel(x, (int)(y+0.5), Color); y=y+k; } }
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4.1 直线生成算法
在数学上，理想的直线是没有宽度的，由无数个点构
成的集合。 在生成直线时，只能在显示器所给定的有限个象素组 成的矩阵中，确定最佳逼近于该直线的一组象素，并 将这些象素置为相应的颜色值（亮度）。 生成直线时会有一些问题，如有图所示：
阶梯状（锯齿、走样(aliasing)
10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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习题：
1. 按照中点划线算法，确定直线（0，0）（8，5） 的点亮象素。列出计算过程，并列出所选象素 坐标。 2. 实现可以画出任意斜率的直线的Bresenham画线 算法。
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4.2 圆与椭圆的生成算法
4.2.1 圆的特征
圆：到给定中心位置（xc, yc）距离为r的点的集合。 圆的方程： x 2 y 2 R 2 （只考虑圆心在原点的圆）
y R x
2 2
(x,y)
对称性：若已知圆弧上一点（ x,y）,可以得到其关于四条对 称轴的其它7个点，这种性质 称为八对称性。 只要生成八分之一圆弧，就可 以求出整个圆弧的象素集。
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4.1 直线生成算法
4.1.2 中点画线法
中点画线算法程序：
void MidpointLine (int x0, int y0, int x1, int y1, int color) { int a, b, d1, d2, d, x, y; a=y0-y1; b=x1-x0; d=2*a+b;d1=2*a; d2=2* (a+b); x=x0; y=y0; putpixel(x, y, color); while (x<x1) { if (d<0) {x++; y++; d+=d2; } else {x++; d+=d1;} putpixel (x, y, color); } /* while */ } /* mid PointLine */
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4.1 直线生成算法
4.1.3 Bresenham画线算法 例3：用 Bresenham 法画直线(20,10)和（30,18)。

解： Dx = 10， Dy = 8， k = Dy / Dx = 0.8， 2 Dy = 16， 2 Dy-2Dx =- 4 e0 = 2 Dy - Dx = 6。 画初始点(20, 10), 并根据判别式确定沿线段路径的后续像素 位置如下表：
4.1.2 中点画线法 原理：

假定直线斜率k<1， 当前象素点为(xp, yp)， 下一象素点可有两种选择： p1(xp+1, yp) p2(xp+1, yp+1)。 若M=(xp+1, yp+0.5)，为 p1 与 p2之中 点，Q为理想直线与 x=xp+1垂线的交 点。 当M在Q的下方，则下一象素点应为 P2 ； 当M在Q的上方，则下一象素点应为 应取P1 。



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4.Biblioteka Baidu 直线生成算法
4.1.3 Bresenham画线算法
原理：
假定直线斜率0<k<1，起点坐标为(x,y)，误差项d = 0; 下一象素可能是：右方像素(x+1, y)； 或右上方像素(x+1,y+1)。 考察误差项d，d = d+k, 当d>1 时 d=d-1，保证0< d <1; 当d > = 0.5 时， 直线接近右上方像素； d < 0.5 时，直线接近右方像素。 令 e = d － 0.5， 则当e >= 0， 取右上方像素， (x+1, y+1) d d 当 e < 0， 取右方像素 d d e 的初始值为－0.5。
P2
Q M
P1
P（Xp, Yp） 中点画线法原理
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4.1 直线生成算法
4.1.2 中点画线法
算法实现：
假设直线的起点、终点分别为：（x0,y0), (x1,y1) 该直线方程可表示为： F(x,y)=a*x+b*y+c （1） 其中： a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0*y1-x1*y0 当： F(xt,yt) = 0 点(xt,yt) 在直线上； F(xt,yt) < 0 点(xt,yt) 在直线下方； F(xt,yt) > 0 点(xt,yt) 在直线上方。 因此：将中点M坐标代入（1）式，并判断其符号即可确定 象素点的选取。构造如下判别式： d = F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 由上式可看出，d是x,y线性函数，可推导d的增量公式。
。 。
(X i , Yi)
。
栅格交点表示象素点位置
。
(X i+1 ,Yi + k)
(X i , Int(Yi +0.5))
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4.1 直线生成算法
4.1.1 数值微分法（DDA Digital Differential Analyzer）
直线的斜率： k = (y1- y0) / (x1- x0) 为讨论方便，假定 |k| ≤ 1， 直线方程： y = k* x +B 设Ｘ的增量为Δ x =１，可得如下y的增量方程： y i+1 = k x i+1 + B = k (x i + Δx) + B = k x i + B + kΔ x = y i + kΔ x = yi+k 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；

x, y (x+1, y)
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4.1 直线生成算法
4.1.3 Bresenham画线算法 程序：

void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int i, x, y, dx, dy; float k, e; dx = x1-x0; dy = y1- y0; k=dy/dx; e=-0.5; x=x0; y=y0; for (i=0; i <=dx; i++) { putpixel (x, y, color); x=x+1;e=e+k; if (e>=0) { y++; e=e-1;} } }
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4.1 直线生成算法
4.1.2 中点画线法
算法实现：（续）
当d>= 0时，取象素P1，此时再下一个象素的判别式为： d1 = F(xp+2, yp+ 0.5)=a(xp + 2)+b(yp + 0.5)+c = a(xp + 1)+b(yp + 0.5)+c +a = d + a; 当d < 0 时， 取象素P2，此时再下一个象素的判别式为： d2 = F(xp + 2, yp + 1.5)=a(xp + 2)+b(yp + 1.5)+c = a(xp + 1) + b(yp + 0.5)+c +a +b = d + a + b; d的初始值可按下式计算： d0 = F(x0+1, y0+0.5) = a(x0 +1)+b(y0 +0.5)+c = F(x0, y0)+a+0.5b = a+0.5b 由于只用d 的符号作判断，为了只包含整数运算, 可取2d 代替 d，这样可得如下中点算法程序：
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e’ i 6 2 -2 14 10 6 2 -2 14 10 (x i+1,yi+1) (21,11) (22,12) (23,12) (24,13) (25,14) (26,15) (27,16) (28,16) (29,17) (20,18)
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18 17 16 15 14 13 12 11
第四章
基本图形生成算法
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第四章 基本图形生成算法
光栅图形显示器可以看作一个象素的矩阵，可直接显
示二维图形。 二维图形的基本类型有：
直线； 圆、圆弧，椭圆、椭圆弧； 区域填充； 文本； 平面曲线等。
二维图形生成技术（算法）即是根据图形的矢量描述
，找出逼近此图形的一组象素，按扫描线顺序，对这 些象素进行写操作。（有些书将此过程称为图形的扫 描转换或光栅化）。 直线生成算法是二维图形生成技术的基础。