线段计数问题的规律探究及其简单应用例析

线段计数问题的规律探究及其简单应用例析

作为初一数学几何部分的入门知识，线段的计数问题一直是令广大学生朋友比较头痛的疑难问题之一。为帮助大家更好地理解和掌握这方面的相关知识，在下文中，笔者将结合实例和大家一起来探讨这个问题。

一、规律探究

实例：如图①和②，请问两图中各有几条线段？

图① 图②

解析：由线段的定义可知，平面上每确定两个点就会确定一条以这两点为端点的线段，故在上图①中，由A 、B 、C 三个点共可确定AB 、AC 、BC 三条线段，而在图②中，由A 、

B 、

C 、

D 四个点一共可以确定AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 共六条线段。

事实上，为避免重复，我们一般可采用下图所示的方法来数线段的条数：

即 A→AB ，AC ，AD B→BC ，BD C→CD 线段总数为3+2+1=6。

采用以上方法数线段的好处在于：当直线上的点比较多时，我们可以找到一个比较简便的计数规律，从而方便地计算出线段的条数。比如，在直线上有n 个点，则一共可以组成

(1)(2)21n n -+-+⋅⋅⋅++条不同的线段。

——而事实上，如果我们设S=(1)(2)21n n -+-+⋅⋅⋅++，则： 2S [(1)(2)21][12(2)(1)]n n n n =-+-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-+-

[(1)1][(2)2][2(2)][1(1)]n n n n =-++-++⋅⋅⋅++-++-

(1)n n n n n n -=++⋅⋅⋅++个相加

(1)n n =-.

故S=(1)2n n -，即直线上n 个点一共可以组成(1)2

n n -条线段。 二、规律应用

1、平面内n 个点最多能确定多少条直线？

解析：易知，当平面内各点中无三点在同一条直线上时，所确定的直线是最多的，又因为“两点确定一条直线”，所以这与前面每两点确定一条线段的规律是一样的，因而平面内

n个点最多能确定

(1)

2

n n-

条直线。

2、平面内n条直线相交最多有几个交点？

解析：本题和上例相类似，只要平面中的直线无三线共点（即所有直线均为两两相交），那么构成的交点数量应该是最多的，故由

两线确定一点可知，平面内n条直线相交最多能确定

(1)

2

n n-

个交点。

3、如右图，从同一端点O出发的n条射线（最大夹角小于平角），一共可以组成多少个角？

解析：因为每两条从同一点出发的射线就可以组成一个角，故本题同样符合线段条数

的计数规律，一共可以组成

(1)

2

n n-

个角。

4、在1，2，3，…，n这n个不同的自然数中任选两个求和，则不同的结果有多少种？

解析：本题看似和线段条数的计数规律无关，但事实上，若把每两个数看作直线上的点，而把这两个数求和得到的结果看成是线段，则其中的道理就和直线上线段的计数规律是

完全一致的，故本题不同的结果共有

(1)

2

n n-

种。

5、请数一数右图中共有多少个三角形？

解析：因为所有的三角形都含有顶点A，所以只需

余下的两个顶点不同即可，以上问题便转化为：在线段

BG上有多少条不同的线段。由线段条数的计数规律可知

BG上共有15条不同的线段，因而图中共有15个不同的三角形。

（当然，也可以像前面第3题一样通过数以A为顶点的角的个数来确定所组成的三角形个数）