第1章 空间几何体 单元知识梳理与能力整合

第1章空间几何体

单元知识梳理与能力整合

新典型题分类剖析

类型一三视图的画法

★【例1】（2008年宁夏、海南高考题）如图1-43所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：㎝）

在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。

★【例2】（2010年北京高考）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图1-45所示，则该几何体的俯视图为（）

类型二柱体、锥体、台体的面积和体积

★【例3】（2009年湖北调考卷）三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，设三个侧面△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S1、S2、S3，求底面△ABC的面积

★【例4】（2009年山东模拟题）求证：过三棱锥P-ABC的棱PA、PB、PC、AC的中点，M、N、T、R 的截面把该三棱锥的体积二等分。

类型三 球体的表面积和体积

★【例5】（湖北调考题）一个球内有相距9㎝的两个平行截面，它们的面积分别为49π㎝²和400π㎝²，求球的表面积。

★【例6】过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A.

316 B. 916 C. 38 D. 9

32

类型四 球与其他几何体的简单组合体问题

★【例7】（2008年山东统考题）已知一个全面积为24的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为（ ）

A .

43π π C. 3 D. 3

★【例8】（2010年全国高考卷Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB ＝CD ＝2,则四面体ABCD 的体积的最大值为* ）

A .

3 B. 3 C. D. 3

知识与能力同步测控题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. （2007年广东中山二模，文2）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）

A.(1)是棱台

B.(2)是圆台

C. (3)是棱锥

D.(4) 不是棱柱 2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积是( ) A.16 B. 64 C. 16或64 D. 都不对

3.(2007年山东济宁期末统考,文5)用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是(

)

A. 8

B. 7

C. 6

D. 5

4.下列各项式不属于三视图的是( )

A.正视图

B. 侧视图

C. 后视图

D. 俯视图

5.(2007年山东涨潍坊高三期末统考,文3)如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( ) A.

3 B.3

D.3π

6.(2005年全国高中数学竞赛浙江预赛,4)正方体的截面不可能．．．是①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形.下述正确的是( )

A.①②⑤

B. ①②④

C.②③④

D. ③④⑤ 7.(2007年广东中山高三期末统考,文6)某个容器的底部为圆柱,顶部为圆锥, 其正视图如图所示,则这个容器的容积为( )

A ．37m 3π

B ．38m 3

π C ．3

3m π

D ．3

12m π

8.三个球的半径之比为1:2:3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( ) A.1倍 B.2倍 C.

95倍 D.74

倍 9.三棱锥V-ABC 的中截面是△A 1B 1C 1,则三棱锥V-A 1B 1C 1与三棱锥A-A 1BC 的体积之比是( ) A. 1:2 B. 1:4 C.1:6 D. 1:8 10.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32

3

π，那么这个三棱柱的体积是（ ）

A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上） 11.利用斜二测画法画直观图时：

①三角形的直观图是三角形；②平行四男家形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；以上结论中，正确的是____________. 12.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的全面积为__________.

13.(2007年山东临沂高三期末考试,理13)已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是_________.

14.(2007年山东菏泽二模,文13)一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,

如图所示,A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=________.

15.（2007年山东滨州一模，文14）已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，

=4，则棱锥体积的最大值是______________.

且x y

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

16.(12分)如下图是一几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.

17.如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

18.（12分）有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把

球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？

19.（12分）已知一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为三个全等的等腰直角三角形，如图所示，如

果直角三角形的直角边长为1，求此几何体的体积.

20.（13分）球与正四面体的6条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少？